3. Nii lahendavad blondid võrrandeid!

4. Matemaatika läbi vaateklaasi

See kiri, mille tegin paar aastat tagasi, on ilmselt lühim tõestus, et ... 2 = 3. Asetage selle peale peegel (või vaadake seda läbi valguse) ja näete, kuidas "kaks" pöördub "kolmesse".

5. Kirjasegaja

Veel üks ebatavaline valem:

üksteist + kaks = kaksteist + üks.

Selgub, et inglise keeles on võrrand 11 + 2 = 12 + 1 tõene, isegi kui see on kirjutatud sõnadega - vasakul ja paremal olevate tähtede “summa” on sama! See tähendab, et selle võrdsuse parem pool on vasaku anagramm, see tähendab, et see saadakse sellest tähtede ümberpaigutamise teel.

Sarnaseid, ehkki vähem huvitavaid tähevõrdusi saab ka vene keeles:

viisteist + kuus = kuusteist + viis.

6. Pi...või mitte Pi?..

Aastatel 1960–1970 peamine rahvusjook, nimega "Moskva eriviin" maksis: pool liitrit 2,87 ja veerand 1,49. Neid arve teadis ilmselt peaaegu kogu NSV Liidu täiskasvanud elanikkond. Nõukogude matemaatikud märkasid, et kui tõsta pooleliitri hind veerandi hinnaga võrduseks, siis saadakse arv "Pi":

1,49 2,87 ??

(Teatanud B.S. Gorobets).

Juba pärast raamatu esimese väljaande ilmumist saatis Moskva Riikliku Ülikooli keemiateaduskonna dotsent Leenzon I. A. mulle selle valemi kohta nii kurioosse kommentaari: “...palju aastaid tagasi, kui polnud veel kalkulaatoreid ja meie füüsikateaduskonnas läbisime raske testi slaidireeglil (!) ( mitu korda on vaja liigutatavat joonlauda paremale-vasakule nihutada?), minu isa kõige täpsemate tabelite abil (ta oli maamõõtja, unistas ta terve elu eksamitest kõrgemas geodeesias), et nelikümmend üheksa ruupia astmes kaks kaheksakümmend seitse võrdub 3 1408-ga. See mind ei rahuldanud. Meie Nõukogude Gosplaan poleks saanud nii ebaviisakalt käituda. Kaubandusministeeriumis peetud konsultatsioonid Kirovskaja teemal näitasid, et kõik riigi mastaabis hinnaarvutused tehti sajandikkopika täpsusega. Aga nimi täpsed numbrid Minust keelduti, viidates salastatusele (üllatusin siis - mis salatsemine saab olla kümnendikutes ja sajandikutes). 1990. aastate alguses õnnestus mul arhiivist saada täpsed arvud viina maksumuse kohta, mis selleks ajaks oli erimäärusega salastatusest kustutatud. Ja selline see välja kujunes: veerand: 1 rubla 49,09 kopikat. Müügil - 1,49 rubla. Pollitrovka: 2 rubla 86,63 kopikat. Müügil - 2,87 rubla. Kalkulaatorit kasutades sain hõlpsasti teada, et antud juhul annab veerand kuni poole liitri võimsuseni (pärast ümardamist 5 märgilise numbrini) vaid 3,1416! Jääb üle vaid imestada matemaatiline võime Nõukogude riikliku planeerimiskomitee töötajad, kes (ma ei kahtle selles hetkekski) kohandasid teadlikult kõige populaarsema joogi hinnangulise maksumuse ettemääratud väärtusele. teadaolev tulemus».

Milline kooliajast tuntud matemaatik on selles rebussis krüpteeritud?

8. Teooria ja praktika

Matemaatikule, füüsikule ja insenerile anti järgmine ülesanne: „Saali vastasseinte juures seisavad noormees ja tüdruk. Mingil hetkel hakkavad nad sõbra poole kõndima ja iga kümne sekundi järel läbivad poole vahemaast. Küsimus on selles, kui kaua neil aega kulub, et nad üksteiseni jõuaksid?

Matemaatik vastas kõhklemata:

Mitte kunagi.

Füüsik ütles pärast hetke mõtlemist:

Läbi lõputu aja.

Pärast pikki arvutusi andis insener välja:

Umbes kahe minuti pärast on need praktilistel eesmärkidel piisavalt lähedal.

9. Iluvalem firmalt Landau

Järgmise pikantse valemi, mis omistati Landau’le, ilusama soo suurele armastajale, juhtis minu tähelepanu tuntud Landauved’i professor Gorobets.

Nagu MSUIE dotsent A.I. Zyulkov meile teavitas, kuulis ta, et Landau tuletas indikaatori jaoks järgmise valemi naiste atraktiivsus:

kus K- rinnaümbermõõt; M- puusadel; N- vöökohas T- kõrgus, kõik cm; P- kaal kg.

Seega, kui aktsepteerime mudeli (1960. aastad) parameetreid ligikaudu: 80-80-60-170-60 (ülaltoodud väärtuste järjestuses), siis saame valemi järgi 5. Kui aktsepteerime "" parameetrid anti-mudel", näiteks: 120 -120-120-170-60, siis saame 2. Siin selles intervallis kooliastmed ja jämedalt öeldes "Landau valem" töötab.

(tsiteeritud raamatust: Gorobets B. Landau ring. Geeniuse elu. M.: Kirjastus LKI / URSS, 2008.)

10. Et teada seda kaugust ...

Veel üks Dow'le omistatud teaduslik argument naiste atraktiivsuse kohta.

Me määratleme naise atraktiivsuse funktsioonina kaugusest tema suhtes. Argumendi lõpmatu väärtuse korral see funktsioon kaob. Teisest küljest on see nullpunktis võrdne ka nulliga ( me räägime välise atraktiivsuse, mitte puutetundlikkuse kohta). Lagrange'i teoreemi järgi mittenegatiivne pidev funktsioon, mis asub segmendi otstes nullväärtused, on sellel intervallil maksimum. Järelikult:

1. On distants, millest naine on kõige atraktiivsem.

2. Iga naise jaoks on see vahemaa erinev.

3. Hoia naistega distantsi.

11 Hobusekindel

Teoreem: Kõik hobused on sama värvi.

Tõestus. Tõestame teoreemi väidet induktsiooniga.

Kell n= 1, st ühest hobusest koosneva hulga puhul on väide ilmselgelt tõene.

Olgu teoreemi väide tõene jaoks n = k. Tõestame, et see on tõsi n = k+ 1. Selleks kaaluge suvalist hulka alates k+ 1 hobune. Kui eemaldate sellelt ühe hobuse, jäävad nad alles k. Induktsioonihüpoteesi järgi on need kõik sama värvi. Nüüd paneme eemaldatud hobuse oma kohale tagasi ja võtame mõne teise. Jällegi, induktsioonihüpoteesi järgi need külejäänud sama värvi hobused. Aga siis kõike k+ 1 hobune on sama värvi.

Seega vastavalt põhimõttele matemaatiline induktsioon, kõik hobused on sama värvi. Teoreem on tõestatud.

12. Natuke krokodillidest

Veel üks suurepärane näide rakendusest matemaatilised meetodid zooloogiasse.

Teoreem: Krokodill on pikem kui lai.

Tõestus. Võtame suvalise krokodilli ja tõestame kaks abilemmat.

Lemma 1: Krokodill on pikem kui roheline.

Tõestus. Vaatame krokodilli ülalt – see on pikk ja roheline. Vaatame krokodilli altpoolt – ta on pikk, aga mitte nii roheline (tegelikult on ta tumehall).

Seetõttu on Lemma 1 tõestatud.

Lemma 2: Krokodill on rohelisem kui lai.

Tõestus. Vaatame krokodilli uuesti ülevalt. See on roheline ja lai. Vaatame krokodilli küljelt: see on roheline, kuid mitte lai. See tõestab Lemma 2.

Tõestatud lemmadest tuleneb ilmselt teoreemi väide.

Pöördteoreem ("Krokodill on laiem kui pikk") on tõestatud sarnaselt.

Esmapilgul järeldub mõlemast teoreemist, et krokodill on kandiline. Kuna aga ebavõrdsus nende sõnastustes on range, teeb tõeline matemaatik ainsa õige järelduse: KROKODILLI EI OLE!

13. Jälle induktsioon

Teoreem: Kõik naturaalarvud on võrdsed.

Tõestus. Seda on vaja tõestada mis tahes kahe naturaalarvu puhul A ja B võrdsus A = B. Sõnastame selle ümber järgmiselt: mis tahes jaoks N> 0 ja mis tahes A ja B võrdsuse max ( A, B) = N, võrdsus A = B.

Tõestame seda induktsiooniga. Kui N= 1, siis A ja B, olles loomulik, on mõlemad võrdsed 1-ga. Seega A = B.

Oletame nüüd, et väide on mõne väärtuse puhul tõestatud k. Võtame A ja B nii et max ( A, B) = k+ 1. Siis max( A–1, B–1) = k. Induktiivse hüpoteesi järgi tähendab see, et ( A–1) = (B-1). Tähendab, A = B.

14. Kõik üldistused on valed!

Keele- ja matemaatika mõistatused ilmselt teate refleksiivseid ehk enesekirjeldusi (ärge arvake midagi halba), enesele viitavaid sõnu, fraase ja numbreid. Viimased sisaldavad näiteks arvu 2100010006, mille esimene number võrdub üheliste arvuga selle numbri kirjes, teine ​​- kaheliste arvuga, kolmas - kolmikute arvuga, .. ., kümnes - nullide arvuni.

Ennast kirjeldavad sõnad hõlmavad näiteks sõna kakskümmend üks täht Mõtlesin välja paar aastat tagasi. Sellel on tegelikult 21 tähte!

Ennast kirjeldavaid fraase on palju. Ühe esimese venekeelse näite leiutas aastaid tagasi kuulus karikaturist ja verbaalne vaimukus Vagrich Bakhchanyan: Selles lauses on kolmkümmend kaks tähte.. Siin on mõned teised, mis ilmusid palju hiljem: 1. Seitseteist tähte. 2. Selle lause lõpus on viga. 3. See lause oleks seitse sõna, kui see oleks seitse sõna lühem. 4. Olete minu kontrolli all, kui loete mind, kuni jõuate lõpuni.. 5. ...See lause algab ja lõpeb kolme punktiga..

On ka keerulisemaid kujundusi. Imetlege näiteks seda koletist siin (vt S. Tabatšnikovi märkust “Preestril oli koer” ajakirjas Kvant, nr 6, 1989): Selles fraasis esineb sõna "in" kaks korda, sõna "see" esineb kaks korda, sõna "fraas" esineb kaks korda, sõna "kohtub" esineb neliteist korda, sõna "sõna" esineb neliteist korda, sõna "aeg" ” esineb kuus korda , sõna "raza" esineb üheksa korda, sõna "kaks" esineb seitse korda, sõna "neliteist" esineb kolm korda, sõna "kolm" esineb kolm korda, sõna "üheksa" esineb kaks korda, sõna "seitse" esineb kaks korda, kaks korda sõna "kuus"..

Aasta pärast ajakirjas Kvant ilmumist tuli I. Akulich välja ennast kirjeldava fraasiga, mis kirjeldab mitte ainult selles sisalduvaid sõnu, vaid ka kirjavahemärke: Loetav fraas sisaldab: kahte sõna "fraas", kahte sõna "mis", kahte sõna "sina", kahte sõna "loe", kahte sõna "sisaldab", kakskümmend viis sõna "sõnad", kaks sõna "sõnad" , kaks sõna "koolon", kaks sõna "koma", kaks sõna "poolt", kaks sõna "vasakul", kaks sõna "ja", kaks sõna "parem", kaks sõna "jutumärgid", kaks sõna "a", kaks sõna "ka", kaks sõna "punkt", kaks sõna "üks", kaks sõna "üks", kakskümmend kaks sõna "kaks", kolm sõna "kolm", kaks sõna "neli", kolm sõna "viis", neli sõna "kakskümmend", kaks sõna "kolmkümmend", üks koolon, kolmkümmend koma, kakskümmend viis vasakut ja paremat jutumärki ning üks punkt.

Lõpuks, mõni aasta hiljem, kõik samas "Kvantis", ilmus A. Khanyani märkus, milles oli antud fraas, mis kirjeldab hoolikalt kõiki selle tähti: Seal on kaksteist B, kaks E, seitseteist T, kolm O, kaks Y, kaks F, seitse R, neliteist A, kaks 3, kaksteist E, kuusteist D, seitse H, seitse C, kolmteist L, kaheksa C, kuus M , viis I, kaks H, kaks S, kolm I, kolm W, kaks P.

“On selgelt tunda, et puudu on veel üks fraas – mis räägiks kõigist selle tähtedest ja kirjavahemärkidest,” kirjutas I. Akulich erakirjas mulle, kes sünnitas ühe varem viidatud koletistest. Võib-olla lahendab üks meie lugejatest selle väga keerulise ülesande.

15. "Ja geenius on paradokside sõber..."

Eelmise teema jätkuks tasub mainida refleksiivseid paradokse.

Juba mainitud J. Littlewoodi raamatus "Mathematical Mixture" on õigustatult öeldud, et "kõik refleksiivsed paradoksid on loomulikult suurepärased naljad". Neid on ka kaks, mida julgen tsiteerida:

1. Peavad olema (positiivsed) täisarvud, mida ei saa anda alla kuueteistkümne sõna pikkuste fraasidega. Iga positiivsete täisarvude komplekt sisaldab väikseim number, ja seetõttu on olemas number N, "väikseim täisarv, mida ei saa anda fraasiga, mis on lühem kui kuusteist sõna." Kuid see fraas sisaldab 15 sõna ja määratleb N.

2. Ajakirjas pealtvaataja kuulutati välja konkurss teemal “Mida tahaksid hommikulehte avades suurima heameelega lugeda?” Esimene auhind sai vastuse:

Meie teine ​​võistlus

Selle aasta teisel konkursil sai esikoha hr Arthur Robinson, kelle vaimukat vastust ilma liialduseta tuleks pidada parimaks. Tema vastus küsimusele: "Mida teile kõige rohkem lugeda meeldiks, kui avate oma hommikulehe?" kandis pealkirja "Meie teine ​​konkurss", kuid paberipiirangute tõttu ei saa me seda tervikuna välja trükkida.

16. Palindromaatiline

Selliseid on hämmastavad fraasid, mida loetakse samamoodi vasakult paremale ja paremalt vasakule. Ühte asja teavad kindlasti kõik: Ja roos langes Asori käpale. Just temal palus kapriisne Malvina kirjutada võhiku Pinocchio diktaadi. Selliseid vastastikku vastupidiseid fraase nimetatakse palindroomideks, mis kreeka keeles tähendab "tagasi jooksmist, tagasipöördumist". Siin on veel mõned näited: 1. Lilliput saagis sillal säga. 2. ma lähen vannituppa. 3. Ta heitis templile pikali ja peaingel on imeline ja nähtamatu. 4. Lükkas kuldi baklažaani peale. 5. Muusa, kes on haavatud tohutust kogemusest, palvetate mõistuse eest. (D. Avaliani). 6. Ma hoian harva sigaretikoni käes... (B. Goldstein) 7. Piima haises hakkan niitma. (G. Lukomnikov). 8. Tema on paju, tema aga palk. (S.F.)

Huvitav, kas matemaatikas on palindroomid? Sellele küsimusele vastamiseks proovime vastastikuse sümmeetrilise lugemise idee üle kanda numbritele ja valemitele. Selgub, et see polegi nii raske. Tutvume vaid mõne iseloomuliku näitega sellest palindroomsest matemaatikast, palindromaatikud. Kui palindroomsed numbrid kõrvale jätta – näiteks 1991 , 666 jne. Pöördume sümmeetriliste valemite poole.

Proovime esmalt lahendada järgmise ülesande: leida kõik selliste kahekohaliste arvude paarid

(x 1 - esimene number y 1 - teine ​​number) ja

et nende liitmise tulemus ei muutuks summa paremalt vasakule lugemise tulemusena, s.t.

Näiteks 42 + 35 = 53 + 24.

Probleem lahendatakse triviaalselt: kõigi selliste numbripaaride esimeste numbrite summa on võrdne nende teiste numbrite summaga. Nüüd saate hõlpsalt ehitada sarnased näited: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 ja nii edasi.

Sarnasel viisil vaieldes saab hõlpsasti sama probleemi lahendada ka ülejäänud jaoks aritmeetilised tehted.

Erinevuse korral, s.o.

saadakse järgmised näited: 41 - 32 \u003d 23 -14, 46 - 28 \u003d 82 - 64, ... - selliste arvude numbrite summad on võrdsed ( x 1 +y 1 = x 2 +y 2 ).

Korrutamise korral on meil: 63 48 \u003d 84 36, 82 14 \u003d 41 28, ... - samas kui numbrite esimeste numbrite korrutis N 1 ja N 2 on võrdne nende teise numbri korrutisega ( x 1 x 2 =y 1 y 2 ).

Lõpuks saame jagamiseks järgmised näited:

Sel juhul numbri esimese numbri korrutis N 1 teise numbrini N 2 on võrdne nende kahe ülejäänud numbri korrutisega, st. x 1 y 2 = x 2 y 1 .

17. Nõukogude-vastane teoreem

Järgmise "vähearenenud sotsialismi" ajastul ilmunud "teoreemi" tõestus põhineb nende aastate populaarsetel teesidel kommunistliku partei rolli kohta.

Teoreem. Erakonna roll on negatiivne.

Tõestus. On hästi teada, et:

1. Erakonna roll kasvab pidevalt.

2. Kommunismi ajal, klassideta ühiskonnas, on partei roll null.

Seega on meil pidevalt kasvav funktsioon, mis kaldub 0-ni. Seetõttu on see negatiivne. Teoreem on tõestatud.

18. Alla 16-aastastel lastel on keelatud otsustada

Vaatamata järgmise probleemi näilisele absurdsusele on sellel siiski täiesti range lahendus.

Ülesanne. Ema vanem kui poeg 21 aastaks. Kuue aasta pärast on ta temast viis korda vanem. Küsimus on: KUS ON PAPA?!

Otsus. Lase X- poja vanus ja Y- ema vanus. Seejärel kirjutatakse ülesande tingimus kahe lihtsa võrrandi süsteemina:

Asendamine Y = X+ 21 teise võrrandisse, saame 5 X + 30 = X+ 21 + 6, kust X= -3/4. Seega on nüüd poeg miinus 3/4 aastast, st. miinus 9 kuud. See tähendab, et isa Sel hetkel on ema peal!

19. Ootamatu järeldus

Tuntud on irooniline väljend “Kui sa oled nii tark, siis miks sa nii vaene oled?”, mis paraku kehtib väga paljude inimeste kohta. Selgub, et sellel kurval nähtusel on niisama vaieldamatutel tõdedel põhinev range matemaatiline põhjendus.

Nimelt alustame kahest tuntud postulaadist:

Postulaat 1: Teadmised = jõud.

Postulaat 2: Aeg = raha.

Lisaks teab seda iga õpilane

Kaugus s = kiirus x aeg = töö: jõud,

Töö: aeg = jõud x kiirus (*)

Asendades mõlema postulaadi väärtused "aeg" ja "jõud" väärtusega (*), saame:

Töö: (teadmised x kiirus) = raha (**)

Saadud võrdsusest (**) on näha, et "teadmised" või "kiirus" nulli sihites võime saada meelevaldselt suure raha suvalise "töö" eest.

Siit järeldus: mida rumalam ja laisem inimene, teemad rohkem raha ta saab teenida.

20. Matemaatiline mäng Landau

Mõned aastad tagasi ilmus ajakirjas "Teadus ja elu" (nr 1, 2000) lugejates suurt huvi äratanud professor B. Gorobetsi märkus, mis oli pühendatud imelisele nuputamismängule, mille akadeemik Landau selleks korraks leiutas. et autos reisides igav ei hakkaks. Mängige seda mängu, milles andur juhuslikud arvud toimis möödasõitvate autode numbritena (siis koosnesid need numbrid kahest tähest ja kahest numbripaarist), pakkus ta sageli oma kaaslastele. Mängu sisuks oli aritmeetiliste tehete märkide ja elementaarfunktsioonide sümbolite (st +, -, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg jne) kasutamine ühe ja sama juurde viimiseks. tähendab neid kahte kahekohalised numbrid mööduva auto numbrist. Sel juhul on lubatud kasutada faktoriaali ( n! = 1 x 2 x ... x n), kuid sekanti, kosekanti ja eristamise kasutamine ei ole lubatud.

Näiteks paari 75–33 puhul saavutatakse soovitud võrdsus järgmiselt:

ja paarile 00–38 nii:

Kõik numbrid pole aga nii lihtsalt lahendatud. Mõned neist (näiteks 75–65) ei alistunud mängu autorile Landau’le. Seetõttu tekib küsimus igasugusest universaalsest lähenemisest, mingist üksikust valemist, mis võimaldab "lahendada" mis tahes numbripaari. Sama küsimuse esitasid Landau ja tema õpilane prof. Kaganov. Ta kirjutab eelkõige järgmiselt: "Kas numbrimärgist on alati võimalik võrdsust teha?" küsisin Landau käest. "Ei," vastas ta üsna kindlalt. - "Kas olete olematuse teoreemi tõestanud?" - Ma olin üllatunud. - "Ei," ütles Lev Davidovitš veendunult, "aga kõik numbrid ei sobinud minu jaoks."

Selliseid lahendusi siiski leiti ja üks neist oli veel Landau enda eluajal.

Harkovi matemaatik Y. Palant pakkus välja valemi arvupaaride võrdsustamiseks

võimaldades korduva rakendamise tulemusena väljendada mis tahes kujundit mis tahes väiksema kaudu. "Ma andsin Landau tõendi," kirjutab Kaganov selle otsuse kohta. "Talle meeldis see väga ... ja me arutasime naljaga pooleks, pooleldi tõsiselt, kas avaldada see mõnes teadusajakirjas."

Palanti valem kasutab aga nüüd "keelatud" sekanti (üle 20 aasta pole seda lisatud kooli õppekava) ja seetõttu ei saa seda pidada rahuldavaks. Kuid mul õnnestus see muudetud valemiga hõlpsasti parandada

Saadud valem (vajadusel jällegi tuleb seda mitu korda rakendada) võimaldab meil väljendada mis tahes numbrit mis tahes suure numbrina ilma muid numbreid kasutamata, mis ilmselgelt ammendab Landau probleemi.

1. Arvude hulgas ei tohi olla nulle. Teeme kaks numbrit ab ja cd, (see pole muidugi toode). Näitame, millal n ? 6:

sin[( ab)!]° = patt[( cd)!]° = 0.

Tõepoolest, patt ( n!)° = 0, kui n? 6, kuna sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Lisaks saadakse suvaline faktoriaal 6 korrutamisel! järgmistele täisarvudele: 7! = 6! x7,8! = 6! x 7 x 8 jne, mis annab siinuse argumendis 360° kordse, muutes selle (ja ka puutuja) võrdseks nulliga.

2. Olgu mõnes numbripaaris null. Korrutame selle järgmise arvuga ja võrdsustame faktoriaali siinusega kraadides, mis on võetud arvu teises osas olevast arvust.

3. Olgu mõlemas arvu osas nullid. Kui korrutada naabernumbritega, saadakse triviaalne võrdus 0 = 0.

Üldlahenduse jagamine kolmeks punktiks nulliga korrutamisega punktides 2 ja 3 on tingitud asjaolust, et sin( n!)°? 0 kui n < 6».

Muidugi selline üldised lahendused võtma Landau mängult selle algse võlu, esindades vaid abstraktset huvi. Seetõttu proovige mängida üksikute keeruliste numbritega ilma universaalseid valemeid kasutamata. Siin on mõned neist: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

21. Determinantide järgi ennustamine

22. 9 tähemärki

Determinantidest lähemalt.

Mulle öeldi, et omal ajal oli Mekhmati esmakursuslaste seas populaarne "määraja" mäng raha peale. Kaks mängijat joonistavad tühjade lahtritega paberile 3 x 3 determinandi. Seejärel sisestatakse omakorda tühjadesse lahtritesse numbrid 1 kuni 9. Kui kõik lahtrid on täidetud, arvestatakse determinanti - vastuseks on märki arvestades esimese mängija kasum (või kaotus). , väljendatuna rublades. See tähendab, et kui näiteks number on –23, siis esimene mängija maksab teisele 23 rubla ja kui näiteks 34, siis vastupidi, teine ​​mängija maksab esimesed 34 rubla.

Kuigi mängureeglid on lihtsad nagu naeris, on õiget võidustrateegiat väga raske välja mõelda.

23. Kuidas akadeemikud probleemi lahendasid

Selle märkuse saatis mulle matemaatik ja kirjanik A. Žukov, imelise raamatu "Kõigilolev Pi" autor.

Professor Boriss Solomonovitš Gorobets, kes õpetab matemaatikat kahes Moskva ülikoolis, kirjutas raamatu suurest füüsikust Lev Davidovitš Landaust (1908–1968) – Landau ring. Siin on, mida uudishimulik lugu, mis on seotud ühe sissejuhatava probleemiga Füüsika ja Tehnoloogia Instituudis, rääkis ta meile.

Juhtus nii, et 1959. aastal aitasid Landau võitluskaaslane ja tema kümneköitelise teoreetilise füüsika kursuse kaasautor, akadeemik Jevgeni Mihhailovitš Lifshits (1915–1985) kooli lõpetanud Borja Gorobetsil ette valmistada. sissepääs ühte juhtivatest füüsilised ülikoolid Moskva.

Moskva Füüsika ja Matemaatika Instituudi matemaatika kirjalikul eksamil pakuti välja järgmine ülesanne: “SABC püramiidi põhjas asub ristkülikukujuline võrdhaarne kolmnurk ABC, nurgaga C = 90°, külg AB = l. Külgmised näod vorm koos alustasandiga kahetahulised nurgad?, ?, ?. Leia püramiidi sisse kirjutatud sfääri raadius.

Tulevane professor ei tulnud sel ajal ülesandega toime, kuid ta mäletas selle seisukorda ja teatas hiljem Jevgeni Mihhailovitšile. Ta, olles õpilase juuresolekul probleemi kallal möllanud, ei suutnud seda kohe lahendada ja viis selle endaga koju kaasa ning õhtul helistas ja ütles, et kuna ta pole sellest tund aega üle saanud, pakkus ta seda probleemi Lev Davidovitš.

Landau armastas lahendada probleeme, mis tekitasid teistele raskusi. Varsti helistas ta Lifshitzile tagasi ja ütles rahulolevalt: "Ma lahendasin probleemi. Otsustas täpselt üks tund. Helistasin Zeldovitšile, nüüd otsustab ta. Täpsustuseks: Jakov Borisovitš Zel'dovitš (1914–1987), tuntud teadlane, kes pidas end Landau õpilaseks, oli neil aastatel ülisalajase Nõukogude Aatomiprojekti (mida muidugi vähesed pidasid) teoreetiline füüsik. inimesed teadsid siis). Umbes tund hiljem helistas E. M. Lifshits uuesti ja ütles: Zeldovitš just helistas talle ja ütles uhkuseta: „Ma lahendasin teie probleemi. Otsustasin neljakümne minutiga!”

Kui kaua teil selle ülesande täitmine aega võtab?

24. Probleem

Vaimukas füüsika- ja tehnoloogiahuumori kogumikus "Zasauchny Humor" (M., 2000) on palju matemaatilisi nalju. Siin on vaid üks neist.

Ühe toote testimisel ilmnes üks rike. Kui suur on tõenäosus, et toode töötab tõrgeteta?

Teoreem. Kõik naturaalarvud on huvitavad.

Tõestus. Oletame vastupidist. Siis peab olema kõige vähem ebahuvitav naturaalarv. Ha, see on päris huvitav!

26. Kõrgem aritmeetika

1 + 1 = 3, kui 1 väärtus on piisavalt suur.

27. Einsteini-Pythagorase valem

E \u003d m c 2 \u003d m (a 2 + b 2).

28. Theorveri eelistest

See naljakas lugu minu poolt üliõpilaselu see on täiesti võimalik pakkuda seminaridel tõenäosusteooriat kui probleemi.

Suvel käisime sõpradega mägedes matkamas. Meid oli neli: Volodja, kaks Olegi ja mina. Meil oli telk ja kolm magamiskotti, millest üks oli kaheinimesevoodi meile Volodjale. Nende väga magamiskottidega, õigemini nende asukohaga telgis, tuli konks välja. Fakt on see, et sadas vihma, telgis oli kitsas, see lekis külgedelt ja serval lebajad ei olnud eriti mugavad. Seetõttu tegin ettepaneku lahendada see probleem "õiglaselt", partiide abil.

Vaata, - ütlesin Olegile, - meie duubel Volodjaga võib olla kas äärel või keskel. Seetõttu viskame mündi: kui “kotkas” kukub välja, on meie duubel äärel, kui “sabad” on keskel.

Olegid nõustusid, kuid pärast mõnda ööd serval (seda on valemiga lihtne arvutada täieliku tõenäosusega et igaühel meist Volodjaga on tõenäosus mitte telgi servas magada 0,75) Olegs kahtlustas, et midagi on valesti ja tegi ettepaneku leping üle vaadata.

Tõepoolest, - ütlesin ma, - võimalused olid ebavõrdsed. Tegelikult on meie duubli jaoks kolm võimalust: vasakust servast, paremalt ja keskelt. Seetõttu tõmbame igal õhtul ühe kolmest pulgast - kui tõmbame välja lühikese, siis on meie duubel keskel.

Olegs oli taas nõus, kuigi seekord oli meie võimalus ööbida mitte äärel (praegu on tõenäosus 0,66, täpsemalt kaks kolmandikku) neist igaühele parem. Pärast kahte ööbimist äärel (meil olid parimad võimalused pluss õnn meie poolel) sai Oleg taas aru, et neid on petetud. Siis aga õnneks sadu lõppes ja probleem kadus iseenesest.

Aga tegelikult peaks meie duubel olema alati äärel ja me Volodjaga oleksime iga kord mündi abil kindlaks teinud, kellel vedas. Olegs oleks sama teinud. Sel juhul oleks ääre peal magamise võimalus kõigil ühesugune ja võrdne 0,5-ga.

Märkused:

Mõnikord räägitakse sarnast lugu Jean Charles Francois Sturmist.

Sellel lehel on kõik kontrolli läbimiseks vajalikud valemid ja iseseisev töö, algebra, geomeetria, trigonomeetria, tahke geomeetria ja teiste matemaatika harude eksamid.

Siin saate kõiki peamisi alla laadida või võrgus vaadata trigonomeetrilised valemid, ringi pindala valem, lühendatud korrutamisvalem, ümbermõõdu valem, redutseerimisvalemid ja paljud teised.

Samuti saate printida vajalikud matemaatiliste valemite kogud.

Edu õpingutes!

Aritmeetilised valemid:

Algebra valemid:

Geomeetrilised valemid:

Aritmeetilised valemid:

Arvude tehteseadused

Kommutatiivne liitmise seadus: a + b = b + a.

Assotsiatiivne liitmise seadus: (a + b) + c = a + (b + c).

Korrutamise kommutatiivne seadus: ab=ba.

Korrutamise assotsiatiivne seadus: (ab)c = a(bc).

Korrutamise jaotusseadus liitmise suhtes: (a + b)c = ac + bc.

Korrutamise jaotusseadus lahutamise suhtes: (a - b)c \u003d ac - bc.

Mõned matemaatilised tähistused ja lühendid:

Jaguvuse märgid

2-ga jaguvuse märgid

Nimetatakse arvu, mis jagub 2-ga ilma jäägita isegi, ei ole jagatav - kummaline. Arv jagub ilma jäägita 2-ga, kui selle viimane number on paaris (2, 4, 6, 8) või null

"4" jaguvuse märgid

Arv jagub 4-ga ilma jäägita, kui selle kaks viimast numbrit on nullid või moodustavad summas arvu, mis jagub ilma jäägita numbriga 4

8-ga jaguvuse märgid

Arv jagub ilma jäägita 8-ga, kui selle kolm viimast numbrit on null või moodustavad summas arvu, mis jagub ilma jäägita numbriga 8 (näide: 1000 - kolm viimast numbrit on "00" ja 1000 jagamine 8-ga annab 125; 104 - numbri "12" kaks viimast numbrit jagatakse 4-ga ja 112 jagamisel 4-ga saadakse 28; jne.)

"3" ja "9" jaguvuse märgid

Ilma jäägita jaguvad "3"-ga ainult need arvud, mille numbrite summa jagub ilma jäägita "3-ga"; "9" -ga - ainult need, mille numbrite summa jagub ilma jäägita numbriga "9"

"5" jaguvuse märgid

Ilma jäägita jagatakse arvud numbriga "5", mille viimane number on "0" või "5"

"25"-ga jagamise märgid

Ilma jäägita jagatakse arvud numbritega "25", mille kaks viimast numbrit on nullid või moodustavad summas arvu, mis jagub ilma jäägita numbriga "25" (st numbrid, mis lõpevad numbritega "00", "25", "50" ", "75 »

Jaguvuse märgid "10", "100" ja "1000"

Ilma jäägita jagatakse 10-ga ainult need arvud, mille viimane number on null, 100-ga jagatakse ainult need arvud, mille kaks viimast numbrit on nullid, ainult need arvud, mille kolm viimast numbrit on nullid, jagatakse 1000-ga.

"11"-ga jaguvuse märgid

Ilma jäägita jaguvad "11"-ga ainult need arvud, milles paaritutel kohtadel olevate numbrite summa on võrdne paariskohtadel olevate numbrite summaga või erineb sellest arvuga, mis jagub arvuga "11".

Absoluutväärtus – valemid (moodul)

|a| ? 0, ja |a| = 0 ainult siis, kui a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, aga b? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|

Valemid Tegevused murdarvudega

Valem lõpliku kümnendmurru teisendamiseks ratsionaalseks murruks:

Proportsioonid

Moodustuvad kaks võrdset suhet proportsioon:

Proportsiooni põhiomadus

Proportsiooni tingimuste leidmine

Proportsioonid, samaväärne proportsioonid : Tuletis proportsioon- selle tagajärg proportsioonid nagu

Keskmised väärtused

Keskmine

Kaks suurust: n väärtused:

Geomeetriline keskmine (proportsionaalne keskmine)

Kaks suurust: n väärtused:

RMS

Kaks suurust: n väärtused:

harmooniline keskmine

Kaks suurust: n väärtused:

Mingid lõplike arvude jadad

Numbriliste võrratuste omadused

1) Kui a< b , siis mis tahes c: a + c< b + с .

2) Kui a< b ja c > 0, siis nagu< bс .

3) Kui a< b ja c< 0 , siis ac > eKr.

4) Kui a< b , a ja b siis üks märk 1/a > 1/b.

5) Kui a< b ja c< d , siis a + c< b + d , a - d< b — c .

6) Kui a< b , c< d , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, siis ac< bd .

7) Kui a< b , a > 0, b > 0, siis

8) Kui , siis

• Edenemise valemid:

• 

• Tuletis

• Logaritmid:
• Koordinaadid ja vektorid

  1. Punktide A1(x1;y1) ja A2(x2;y2) vaheline kaugus leitakse valemiga:

  2. Lõigu keskkoha koordinaadid (x;y) otstega A1(x1;y1) ja A2(x2;y2) leitakse valemitega:

  

  3. Sirge võrrand koos kaldetegur ja esialgne ordinaat on:

  Kalle k on sirgjoone poolt Ox-telje positiivse suunaga moodustatud nurga puutuja väärtus ja algordinaat q on sirge Oy-telje lõikepunkti ordinaadi väärtus.

  4. Üldvõrrand sirge on kujul: ax + by + c = 0.

  5. Vastavalt telgedega Oy ja Ox paralleelsete sirgjoonte võrrandid on kujul:

  Ax + by + c = 0.

  6. Sirgete y1=kx1+q1 ja y2=kx2+q2 paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused on vastavalt kujul:

  

  7. Raadiuse R ja keskpunktiga O(0;0) ja C(xo;yo) ringide võrrandid on järgmisel kujul:

  8. Võrrand:

  on parabooli võrrand, mille tipp on punktis, mille abstsiss

• Ristkülikukujuline Descartes'i süsteem koordinaadid ruumis

  1. Punktide A1(x1;y1;z1) ja A2(x2;y2;z2) vaheline kaugus leitakse valemiga:

  2. Lõigu otstega A1(x1;y1;z1) ja A2(x2;y2;z2) keskkoha koordinaadid (x;y;z) leitakse valemitega:

  3. Vektori koordinaatidega antud moodul leitakse valemiga:

  

  4. Vektorite liitmisel liidetakse neile vastavad koordinaadid ning vektori korrutamisel arvuga korrutatakse selle arvuga kõik tema koordinaadid, s.t. kehtivad valemid:

  5. Vektoriga samasuunaline ühikvektor leitakse valemiga:

  6. Vektorite skalaarkorrutis on arv:

  

  kus on vektorite vaheline nurk.

  7. Skalaarkorrutis vektorid

  

  8. Vektorite ja vahelise nurga koosinus leitakse valemiga:

  9. Vajalik ja piisav seisukord vektorite perpendikulaarsus ja sellel on vorm:

  10. Tasapinna üldvõrrand, vektoriga risti tundub, et:

  Ax + by + cz + d = 0.

  11. Vektoriga risti kulgeva ja punkti läbiva tasapinna võrrand (xo; yo; zo) on kujul:

  A(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

  12. Sfääriga O(0;0;0) sfääri võrrand kirjutatakse järgmiselt

Haridus on see, mis jääb alles pärast seda, kui kõik koolis õpetatu unustatakse.

Novosibirski teadlane, praegu Portugalis töötav Igor Hmelinski tõestab, et ilma tekstide ja valemite otsese päheõppimiseta on abstraktse mälu arendamine lastel keeruline. Siin on väljavõtted tema artiklistÕppetunnid haridusreformid Euroopas ja endise NSV Liidu riikides"

Peast õppimine ja pikaajaline mälu

Korrutustabeli mittetundmisel on tõsisemad tagajärjed kui suutmatusel tuvastada kalkulaatoril tehtavates arvutustes vigu. Meie pikaajaline mälu töötab assotsiatiivse andmebaasi põhimõttel, st teatud teabeelemendid seostatakse meeldejätmisel teistega, lähtudes nendega tutvumise ajal tekkinud seostest. Seega, et moodustada teadmistebaasi mis tahes ainevaldkond, näiteks aritmeetikas tuleb esmalt vähemalt midagi pähe õppida. Lisaks pärineb äsja saabuv teave lühiajaline mälu pikaajaliseks, kui lühikese aja jooksul (mitu päeva) kohtame seda korduvalt ja eelistatavalt erinevatel asjaoludel (mis aitab kaasa kasulike seoste loomisele). Kui aga püsimälus puuduvad aritmeetikateadmised, seostatakse äsja saabuvad infoelemendid elementidega, millel pole aritmeetikaga mingit pistmist – näiteks õpetaja isiksus, ilm tänaval jne. Ilmselgelt ei too selline päheõppimine õpilasele mingit reaalset kasu – kuna assotsiatsioonid viivad sellest ainevaldkonnast eemale, ei jää õpilasele aritmeetikaga seotud teadmised meelde, välja arvatud ähmased mõtted, et tal näib selle kohta midagi olevat. on kuulnud. Selliste õpilaste jaoks on tavaliselt puuduvate assotsiatsioonide roll erinevat tüüpi vihjed - kopeeri kolleegilt, kasuta juhtküsimusi juhtelemendis endas, valemeid valemite loendist, mida on lubatud kasutada jne. AT päris elu, ilma õhutamiseta osutub selline inimene täiesti abituks ja ei suuda oma peas olevaid teadmisi rakendada.

Moodustamine matemaatiline aparaat, milles valemeid pähe ei jäeta, on aeglasem kui muidu. Miks? Esiteks, uued omadused, teoreemid, matemaatiliste objektidevahelised seosed kasutavad peaaegu alati mõnda varem uuritud valemite ja mõistete tunnust. Õpilase tähelepanu uuele materjalile on raskem koondada, kui neid tunnuseid ei õnnestu lühikese aja jooksul mälust välja otsida. Teiseks takistab valemite pähe mittetundmine mõtestatud probleemidele lahendusi otsida suur kogus väikesed toimingud, mille puhul on vaja mitte ainult teatud teisendusi läbi viia, vaid ka nende käikude jada tuvastada, analüüsides mitme valemi rakendamist kaks või kolm sammu ette.

Praktika näitab, et intellektuaalne ja matemaatiline areng laps, tema teadmistebaasi ja oskuste kujunemine toimub palju kiiremini, kui enamik kasutatav teave (omadused ja valemid) on peas. Ja mida tugevamalt ja kauem seda seal hoitakse, seda parem.

Üks kõige enam keerulised tüübid komplekt on matemaatiliste valemite kogum. Valemid on tekstid, mis sisaldavad fonte vene, ladina ja kreeka keeles, otse- ja kaldkirjas, heledas, paksus kirjas, koos suur hulk matemaatilised ja muud märgid, indeksid fondi ülemisel ja alumisel real ning mitmesugused suuremõõtmelised märgid. Fontide vahemik valemite sisestamiseks on vähemalt 2000 tähemärki. WORD-98 märgitabel sisaldab 1148 tähemärki.

Peamine erinevus valemikomplekti ja kõigi teiste komplektitüüpide vahel seisneb selles, et valemikomplekt klassikalisel kujul ei ole koostatud paralleelsete joontega, vaid hõivab teatud osa riba alast.

Valem- matemaatiline või keemiline avaldis, milles arvude, sümbolite ja erimärkide abil väljendatakse teatud suuruste vahelist seost tinglikul kujul.

Numbrid- numbreid (koguseid) tähistavad või väljendavad märgid. Numbrid on araabia ja rooma keeles.

Araabia numbrid: 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Araabia numbrid muudavad oma tähendust olenevalt kohast, kus nad digitaalsete märkide seerias hõivavad. Araabia numbrid jagunevad kahte klassi - 1. - ühikud, kümned, sajad; 2. - tuhanded, kümned tuhanded, sajad tuhanded jne.

Rooma numbrid. Põhilisi digitaalseid märke on seitse: I - üks, V - viis, X - kümme, L - viiskümmend, C - sada, D - viissada, M - tuhat. Rooma numbritel on konstantne väärtus, seega saadakse numbrid digitaalsete märkide liitmise või lahutamise teel. Näiteks: 28 = XXVIII (10 + 10 + 5 + 1 + 1+ 1); 29 \u003d XXIX (10 + 10 -1 + 10); 150=CL(100+50); 200 = SS (100 + 100); 1980 = MDCCCCLXXX (1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10); 2002 = MMII (1000 + 1000 + 1 + 1).

Rooma numbrid tähistavad tavaliselt sajandeid (XV1 sajand), köidete numbreid (IX köide), peatükke (VII peatükk), osi (II osa) jne.

Sümbolid - sõnasõnalised väljendid, mis on osa valemist (näiteks matemaatilised sümbolid: l - pikkus, λ - rikkemäär (kahanemine), π - ümbermõõdu ja läbimõõdu suhe jne; keemilised sümbolid: Al - alumiinium, Pb - plii, H - vesinik jne).

Koefitsiendid- numbrid enne sümboleid, näiteks 2H 2 O; 4sinx. Sümbolitel ja numbritel on sageli ülaindeksi (ülemisel real) ja alaindeksi (alumisel real) indeksid, mis kas selgitavad indeksite tähendust (näiteks λ c - lineaarne kokkutõmbumine, G T - teoreetiline mass valandid, C f - valandi tegelik mass); või näidata matemaatilisi tehteid (näiteks x 2, y 3, z -2 jne); või näidata aatomite arvu molekulis ja ioonide laengute arvu keemilised valemid(näiteks CH4). Valemites on ka indeksid indeksiteks: ülaindeks ülaindeksiks - ülaindeks supraindeks, ülaindeks - ülaindeks alamindeks, ülaindeks alaindeksiks - madalam supraindeks ja alaindeks alaindeksiks - madalam alamindeks.

Matemaatiliste tehete ja suhtarvude märgid - liitmine "+", lahutamine "-", võrdsus "=", korrutamine "x"; jagamistoimingut tähistab horisontaalne joonlaud, mida nimetatakse murd- või jagamisjoonlauaks.

(9.12)

Pealiin- rida, kuhu on paigutatud matemaatiliste tehete ja suhtarvude peamised märgid.

Valemite klassifikatsioon.

Matemaatilised valemid jagunevad vastavalt hulga keerukusele, olenevalt valemi koostisest (ühe-, kaherea-, mitmerealine) ja selle küllastatusest erinevate matemaatiliste märkide ja sümbolite, indeksite, alamindeksite, supraindeksitega ja lisad. Vastavalt komplekti keerukusele saab kõik matemaatilised valemid tinglikult jagada nelja põhirühma ja ühte täiendavasse rühma:

1 rühm. Üherealised valemid (9,13-9,16);

2 rühma. Kaherealised valemid (9.17-9.19). Tegelikult koosnevad need f-ly 3 reast;

3. rühm. Kolmerealised valemid (9.20-9.23). Tegelikult koosnevad need f-ly 5 reast;

4 rühma. Mitmerealised valemid (9,24-9,26);

Lisarühm (9.27-9.29).

Valemite jaotamisel keerukusrühmadesse võeti arvesse tippimise keerukust ja tippimisele kuluvat aega.

II rühm. Kaherealised valemid:

(9.29)

Matemaatiliste valemite tippimise reeglid.

Matemaatilise teksti sisestamisel tuleb järgida järgmisi põhireegleid.

Helista numbrid näiteks ladina kirjas valemites 2ax; Loomaaed.

Lühendatud trigonomeetrilised ja matemaatilised terminid, näiteks sin, cos, tg, ctg, arcsin. Ig, lim jne, sisestage font Ladina tähestik sirge hele piirjoon.

Lühendatud sõnad registris tippige alumisele reale vene ladina kirjaga.

Füüsiliste, meetermõõdustiku ja tehniliste ühikute lühendid, mida tähistavad vene tähestiku tähed, sisestage tekst näiteks tavalises kirjas ilma punktideta 127 V, 20 kW. Samad nimed, mida tähistavad ladina tähestiku tähed, tuleks kirjutada ka ladina kirjas ilma punktideta, näiteks 120 V, 20 kW kui originaalis pole märgitud teisiti.

Sümbolid (või numbrid ja sümbolid), üksteise järel ja mitte ühegi tähemärgiga eraldatud, vali näiteks ilma pausita 2xy; 4a.

Kirjavahemärgid valemitesse tippige otsevalguskirjaga. Valemi sees olevad komad tuleks valemi järgmisest elemendist eraldada tähega 3 p.; koma ei eraldata valemi eelmisest elemendist; eelmisest alaindeksist on koma maha löödud 1 p.

ellips alumisel real vali täppidega, mis on jagatud poolnõeladeks. Valemi eelmistest ja järgnevatest elementidest tuleks punktid ka poolnõelaga maha lüüa, näiteks:

(9.30)

Sümbolid(või numbrid ja sümbolid) üksteise järel, ärge eraldage, vaid tippige ilma vaheajata.

Matemaatiliste tehete ja suhtarvude märgid, samuti geomeetriliste kujutiste märgid, nagu näiteks, = ,< ,> , + , - , lööge valemi eelmistest ja järgmistest elementidest 2 p võrra maha

Lühendatud matemaatilised terminid lööge valemi eelmisest ja järgnevast elemendist 2 p võrra eemale.

Eksponent, järgnedes vahetult pärast matemaatilist terminit, tippige selle lähedale ja tehke astendaja järele paus.

Kirjad "d" (tähendab "diferentsiaal"), δ (tähenduses "osaline tuletis") ja ∆ (tähenduses "kasv") on valemi eelmisest elemendist 2 p võrra eemal, järgmisest sümbolist märgitud märgidära võitle vastu.

Füüsikaliste ja tehniliste mõõtühikute lühendatud nimetused ja meetrilised mõõdud valemites ületama 3 punkti võrra numbreid ja sümboleid, millele need viitavad.

Märgid ° , " , " järgmisest märgist (või numbrist) 2 punkti võrra maha lööma, näidatud märgid ei löö eelmisest märgist maha.

Valemit järgivad kirjavahemärgid, ära vabane sellest.

Väljavoolude rida valemites sisestatakse need punktidena, kasutades nende vahel poolnõela.

Valemid, mis on sisestatud valikusse koos tekstiga, löövad maha eelmise ja järgnevad poolnõeltekstid; see polsterdus ei vähene, vaid suureneb liini väljalülitamisel. Lülitage välja ka tekstiga valikus üksteise järel järgnevad valemid.

Mitmed ühele reale asetatud, keskelt välja lülitatud valemid löövad üksteist maha tühikuga, mis ei ole väiksem kui tihvt ja mitte rohkem kui 1/2 ruutu.

Väikesed selgitavad valemid, mis on trükitud põhivalemiga samale reale, tuleks rea paremasse serva välja lülitada või põhiväljendist kahe tihvti võrra välja lülitada (kui originaalis pole märgitud teisiti).

Algarvud valemid, sisestage üherealiste valemitega ühesuurused numbrid ja lülitage paremale välja, näiteks:

X+Y=2 (9.31)

Kui valem ei mahu reavormingusse ja seda ei saa üle kanda, on lubatud see kirjutada väiksemas suuruses.

Sidekriipsutus valemites on ebasoovitav. Sidekriipsu vältimiseks on lubatud vähendada valemielementide vahelisi tühikuid. Kui tühikuid vähendades ei ole võimalik valemit soovitud reavormingusse viia, on sidekriipsud lubatud:

1) vasaku ja suhte märkide kohta õiged osad valemid ( = ,>,< );

2) liitmise või lahutamise märkidel (+, - );

3) korrutamismärkidel (x). Sel juhul algab järgmine rida märgiga, millega valem lõppes eelmisel real. Valemite ülekandmisel tuleb jälgida, et ülekantav osa ei oleks väga väike, sulgudes olevad avaldised, juure, integraali, summa märkidega seotud avaldised ei oleks katkenud; indeksite, eksponentide, murdude jagamine ei ole lubatud.

Nummerdatud valemites asetatakse valemi number selle ülekandmise korral valemi ülekantud osa keskrea tasemele. Kui seerianumber ei mahu reale, asetatakse see järgmisele ja lülitatakse parempoolsesse serva välja. Valemid, mille lugeja või nimetaja ei mahu määratud komplektvormingusse, sisestatakse väiksema suurusega või sama suurusega kirjas, kuid kahes reas koos sidekriipsuga.

Kui valemi ülekandmisel puruneb jaotusjoonlaud või juure joonlaud, siis on iga joonlaua murdekoht näidatud nooltega.

Nooli ei saa asetada matemaatiliste sümbolite lähedusse.

Ilma pikema jututa on see siin:

Tavaliselt nimetatakse seda Euleri identiteediks suure Šveitsi matemaatiku Leonhard Euleri (1707-1783) järgi. Seda võib näha T-särkidel ja kohvikruusidel ning mitmed matemaatikute ja füüsikute seas läbiviidud küsitlused on austanud seda "suurima võrrandi" tiitliga (Crease, Robert P., "The greatest equations ever").

Identiteedi ilu ja elegants tuleneb sellest, et see ühendab lihtsal kujul viis kõige enam olulised numbrid matemaatilised konstandid: - alus naturaallogaritm, — Ruutjuur alates ja . Tähelepanelikult vaadates mõtleb enamik inimesi eksponendile: mida tähendab arvu tõstmine kujuteldavasse astmesse? Kannatlikkust, kannatust, küll me jõuame.

Et selgitada, kust see valem pärineb, peame esmalt hankima Euleri leitud üldisema valemi ja seejärel näitama, et meie võrdsus on selle valemi erijuht. Üldvalem iseenesest hämmastav ja sellel on palju suurepäraseid rakendusi matemaatikas, füüsikas ja inseneriteaduses.

Esimene samm meie teekonnal on mõista, et enamikku matemaatika funktsioone saab esitada kui lõpmatu summa argumendi jõududega. See on näide:

Seda mõõdetakse radiaanides, mitte kraadides. Konkreetse väärtuse jaoks saame hea ligikaudse hinnangu, kasutades ainult seeria paari esimest liiget. See on näide Taylori seeriast ja seda valemit on arvutuse abil üsna lihtne tuletada. Siin ma teadmisi ei eelda matemaatiline analüüs seega palun lugejal seda uskuda.

Koosinuse vastav valem on:

Arv on võrdne konstant ja Euler oli esimene, kes mõistis selle fundamentaalset tähtsust matemaatikas ja tuletas viimase valemi (kaks eelnevat leidis Isaac Newton). Arvu kohta on kirjutatud raamatuid (näiteks Maor, E. (1994). e, numbri lugu. Princetoni ülikool Press), saate ka tema kohta lugeda.

1740. aasta paiku vaatas Euler neid kolme valemit, mis on paigutatud ligikaudu nii, nagu me neid siin näeme. Kohe on selge, et iga termin kolmandas valemis esineb ka mis tahes eelnevas. Siiski on pooled esimese võrdsuse liigetest negatiivsed, samas kui viimases on iga liige positiivne. Enamik inimesi oleks selle nii jätnud, kuid Euler nägi selles kõiges mustrit. Ta oli esimene, kes lisas kaks esimest valemit:

Pöörake tähelepanu selle seeria märkide järjestusele: , seda korratakse 4-liikmelistes rühmades. Euler märkas, et sama märgijada saadakse, kui tõstame kujuteldava ühiku täisarvuni:

See tähendas, et saate asendada viimases valemis järgmisega ja saada:

Nüüd vastavad märgid eelmise valemi märkidele ja uus seeria on sama, mis eelmine, välja arvatud see, et laiendusliikmed korrutatakse . See tähendab, et me saame täpselt

See on hämmastav ja salapärane tulemus, see näitab tihedat seost arvu ja siinuste ja koosinuste vahel trigonomeetrias, kuigi see oli teada ainult probleemidest, mis ei ole seotud geomeetria ega kolmnurkadega. Peale elegantsi ja veidruse oleks aga raske ülehinnata selle valemi tähtsust matemaatikas, mis on pärast selle avastamist kasvanud. See ilmub kõikjal ja hiljuti ilmus umbes 400-leheküljeline raamat (Nahin P. Dr. Euleri vapustav valem, 2006), mis kirjeldab mõningaid selle valemi rakendusi.

Pange tähele, et vana küsimus imaginaarsete eksponentide kohta on nüüdseks lahendatud: imaginaarseks astmeks tõstmiseks pange lihtsalt imaginaarne arv Euleri valemisse. Kui alus on muu number kui , on vaja ainult väikest muudatust.