25 dokaza Pitagorinog teorema. Pitagorin teorem: pozadina, dokazi, primjeri praktične primjene

Razni načini dokazivanja Pitagorinog teorema

učenica 9 "A" razreda

MOU srednja škola №8

Znanstveni savjetnik:

profesorica matematike,

MOU srednja škola №8

Umjetnost. Novi Božić

Krasnodarski kraj.

Umjetnost. Novi Božić

ANOTACIJA.

Pitagorin teorem s pravom se smatra najvažnijim u tijeku geometrije i zaslužuje veliku pozornost. To je osnova za rješavanje mnogih geometrijskih problema, osnova za proučavanje teorijskih i praktični tečaj geometrija u budućnosti. Teorem je okružen najbogatijim povijesna građa povezana s njegovim izgledom i metodama dokazivanja. Proučavanje povijesti razvoja geometrije ulijeva ljubav prema ovaj predmet, pridonosi razvoju spoznajnog interesa, opće kulture i kreativnosti te razvija vještine istraživačkog rada.

Kao rezultat istraživačke aktivnosti postignut je cilj rada, a to je nadopuna i generalizacija znanja o dokazu Pitagorinog teorema. Uspio pronaći i pregledati razne načine dokaze i produbiti znanje o temi, nadilazeći stranice školskog udžbenika.

Prikupljena građa još više uvjerava da je Pitagorin teorem veliki teorem geometrije i da ima veliki teorijski i praktični značaj.

Uvod. Referenca povijesti 5 Glavno tijelo 8

3. Zaključak 19

4. Korištena literatura 20
1. UVOD. REFERENCA POVIJESTI.

Bit istine je da je za nas zauvijek,

Kad bar jednom u njenom uvidu ugledamo svjetlo,

I Pitagorin teorem nakon toliko godina

Za nas, kao i za njega, to je nesporno, besprijekorno.

Za proslavu, Pitagora je bogovima dao zavjet:

Za dodirivanje beskrajne mudrosti,

Zaklao je stotinu bikova, hvala vječnim;

Nakon toga je uputio molitve i pohvale žrtvi.

Od tada bikovi, kad namirišu, guraju se,

Što ljude ponovno dovodi do nove istine,

Bijesno urlaju, pa nema mokraće da sluša,

Takav Pitagora im je zauvijek ulijevao strah.

Bikovi, nemoćni da se odupru novoj istini,

Što ostaje? - Samo zatvori oči, urliči, drhti.

Nije poznato kako je Pitagora dokazao svoj teorem. Ono što je sigurno je da ga je otkrio pod snažnim utjecajem egipatske znanosti. poseban slučaj Pitagorin teorem - svojstva trokuta sa stranicama 3, 4 i 5 - bio je poznat graditeljima piramida davno prije Pitagorinog rođenja, dok je on sam više od 20 godina učio kod egipatskih svećenika. Postoji legenda koja kaže da je Pitagora, dokazavši svoj slavni teorem, bogovima žrtvovao bika, a prema drugim izvorima čak 100 bikova. To je, međutim, u suprotnosti s informacijama o moralnim i religioznim pogledima Pitagore. U književnim izvorima može se pročitati da je "zabranio čak i ubijanje životinja, a još više njihovo hranjenje, jer životinje imaju dušu, kao i mi". Pitagora je jeo samo med, kruh, povrće i povremeno ribu. U vezi sa svime ovim, vjerojatnijim se može smatrati sljedeći zapis: "... pa čak i kad je otkrio da u pravokutnom trokutu hipotenuza odgovara katetama, žrtvovao je bika od pšeničnog tijesta."

Popularnost Pitagorinog teorema je toliko velika da se njegovi dokazi nalaze čak iu fikciji, na primjer, u priči poznatog engleskog pisca Huxleya "Mladi Arhimed". Isti dokaz, ali za poseban slučaj jednakokračnog pravokutnog trokuta, dan je u Platonovom dijalogu Meno.

Kuća iz bajke.

“Daleko, daleko, gdje ni avioni ne lete je zemlja geometrije. U ovoj neobičnoj zemlji postojao je jedan nevjerojatan grad - grad Teorema. Jednog dana sam došao u ovaj grad lijepa djevojka pod nazivom Hipotenuza. Pokušala je dobiti sobu, ali gdje god se prijavila, svugdje je odbijena. Napokon je prišla trošnoj kući i pokucala. Otvorio ju je čovjek koji je sebe nazvao Pravi kut, a pozvao je Hipotenuzu da živi s njim. Hipotenuza je ostala u kući u kojoj je živio Pravi Kut i njegova dva mala sina, po imenu Katet. Od tada se život u kući pod pravim kutom promijenio na nov način. Hipotenuza je posadila cvijeće na prozoru i raširila crvene ruže u prednjem vrtu. Kuća je dobila oblik pravokutnog trokuta. Hipotenuza se jako svidjela objema nogama i zamolili su je da zauvijek ostane u njihovoj kući. Navečer se ova prijateljska obitelj okuplja za obiteljskim stolom. Ponekad se Right Angle sa svojom djecom igra skrivača. Najčešće mora tražiti, a hipotenuza se skriva tako vješto da ju je vrlo teško pronaći. Jednom je tijekom igre Right Angle primijetio zanimljivo svojstvo: ako uspije pronaći katete, onda pronaći hipotenuzu nije teško. Dakle, Right Angle koristi ovaj obrazac, moram reći, vrlo uspješno. Na posjedu ovog pravokutni trokut i utemeljio Pitagorin teorem."

(Iz knjige A. Okuneva "Hvala vam na lekciji, djeco").

Zaigrana formulacija teoreme:

Ako nam je dan trokut

I, štoviše, s pravim kutom,

To je kvadrat hipotenuze

Uvijek lako možemo pronaći:

Gradimo noge u kvadratu,

Nalazimo zbroj stupnjeva -

I to na tako jednostavan način

Doći ćemo do rezultata.

Proučavajući algebru i početke analize i geometrije u 10. razredu, uvjerio sam se da osim metode dokazivanja Pitagorinog poučka razmatranog u 8. razredu, postoje i drugi načini dokazivanja. Predstavljam ih na vaše razmatranje.
2. GLAVNI DIO.

Teorema. Kvadrat u pravokutnom trokutu

hipotenuza jednak je zbroju kvadrati nogu.

1 NAČIN.

Koristeći svojstva površina mnogokuta, uspostavljamo izvanredan odnos između hipotenuze i kateta pravokutnog trokuta.

Dokaz.

a, u i hipotenuza S(Slika 1, a).

Dokažimo to c²=a²+b².

Dokaz.

Dovršavamo trokut do kvadrata sa stranom a + b kao što je prikazano na sl. 1b. Površina S ovog kvadrata je (a + b)². S druge strane, ovaj kvadrat se sastoji od četiri jednaka pravokutna trokuta, od kojih je površina svakog ½ ajme, i kvadrat sa stranom S, pa S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

Na ovaj način,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Teorem je dokazan.
2 NAČINA.

Nakon proučavanja teme "Slični trokuti", saznao sam da sličnost trokuta možete primijeniti na dokaz Pitagorinog teorema. Naime, poslužio sam se tvrdnjom da je krak pravokutnog trokuta srednja proporcionalnost hipotenuze i odsječka hipotenuze koji se nalazi između kraka i visine povučene iz vrha pravog kuta.

Promotrimo pravokutni trokut s pravim kutom C, CD je visina (slika 2). Dokažimo to AC² + JZ² = AB² .

Dokaz.

Na temelju tvrdnje o kraku pravokutnog trokuta:

AC = , CB = .

Dobivene jednakosti kvadriramo i zbrajamo:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), gdje je AD + DB = AB, tada

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Dokaz je završen.
3 NAČINA.

Definicija kosinusa šiljastog kuta pravokutnog trokuta može se primijeniti na dokaz Pitagorinog teorema. Razmotrite sl. 3.

Dokaz:

Neka je ABC zadan pravokutni trokut s pravim kutom C. Iz vrha pravog kuta C nacrtaj visinu CD.

Prema definiciji kosinusa kuta:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Stoga je AB * AD = AC²

Također,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Dakle, AB * BD \u003d BC².

Zbrajajući dobivene jednakosti član po član i uočavajući da je AD + DV = AB, dobivamo:

AC² + ned² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Dokaz je završen.
4 NAČINA.

Proučavajući temu "Omjeri stranica i kutova pravokutnog trokuta", smatram da se Pitagorin teorem može dokazati i na drugi način.

Razmotrimo pravokutni trokut s katetama a, u i hipotenuza S. (slika 4).

Dokažimo to c²=a²+b².

Dokaz.

grijeh B= klima uređaj ; cos B= kao , tada kvadriranjem dobivenih jednakosti dobivamo:

grijeh² B= in²/s²; cos² NA\u003d a² / s².

Zbrajajući ih, dobivamo:

grijeh² NA+ cos² B= v² / s² + a² / s², gdje je sin² NA+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², dakle,

c² = a² + b².

Dokaz je završen.

5 NAČINA.

Ovaj se dokaz temelji na rezanju kvadrata izgrađenih na katetama (slika 5) i slaganju dobivenih dijelova na kvadrat izgrađen na hipotenuzi.

6 NAČIN.

Za dokaz na kateti Sunce zgrada BCD ABC(slika 6). Znamo da su površine sličnih likova povezane kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija:

Oduzimajući drugu od prve jednakosti, dobivamo

c2 = a2 + b2.

Dokaz je završen.

7 NAČINA.

S obzirom(Slika 7):

ABS,= 90° , Sunce= a, AC=b, AB = c.

Dokazati:c2 = a2 +b2.

Dokaz.

Neka noga b a. Nastavimo segment SW po bodu NA i izgraditi trokut bmd tako da bodovi M i ALI ležati s jedne strane ravne linije CD i osim toga, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, tada bmd= ABC na dvije stranice i kut između njih. Točke A i M spojiti po segmentima AM. Imamo doktor medicine CD i AC CD, znači ravno AC paralelno s ravnom linijom DOKTOR MEDICINE. Jer doktor medicine< АС, zatim ravno CD i AM nisu paralelni. Stoga, AMDC- pravokutni trapez.

U pravokutnim trokutima ABC i bmd 1 + 2 = 90° i 3 + 4 = 90°, ali budući da je = =, tada je 3 + 2 = 90°; zatim AVM=180° - 90° = 90°. Pokazalo se da trapez AMDC podijeljen na tri pravokutna trokuta koja se ne preklapaju, zatim aksiomima površine

(a+b)(a+b)

Dijeljenjem svih članova nejednakosti s , dobivamo

ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Dokaz je završen.

8 NAČIN.

Ova se metoda temelji na hipotenuzi i katetama pravokutnog trokuta ABC. Gradi odgovarajuće kvadrate i dokazuje da je kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak zbroju kvadrata izgrađenih na katetama (slika 8).

Dokaz.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc, sredstva, FBC= DBA.

Na ovaj način, FBC=ABD(na dvije stranice i kut između njih).

2) , gdje je AL DE, budući da je BD zajedničko tlo, DL- ukupna visina.

3) , pošto je FB baza, AB- ukupna visina.

4)

5) Slično se može dokazati da

6) Zbrajajući pojam po pojam, dobivamo:

, BC2 = AB2 + AC2 . Dokaz je završen.

9 NAČIN.

Dokaz.

1) Neka ABDE- kvadrat (slika 9), čija je strana jednaka hipotenuzi pravokutnog trokuta ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Neka DK PRIJE KRISTA i DK = sunce, budući da je 1 + 2 = 90° (kao šiljasti kutovi pravokutnog trokuta), 3 + 2 = 90° (kao kut kvadrata), AB= BD(stranice kvadrata).

Sredstva, ABC= BDK(hipotenuzom i šiljastim kutom).

3) Neka EL DC, AM EL. Lako se može dokazati da je ABC = BDK = DEL = EAM (s nogama a i b). Zatim KS= CM= ML= LK= a -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),S2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Dokaz je završen.

10 NAČIN.

Dokaz se može provesti na slici, u šali nazvanoj "Pitagorine hlače" (slika 10). Njegova ideja je transformirati kvadrate izgrađene na katetama u jednake trokute, koji zajedno čine kvadrat hipotenuze.

ABC pomak, kao što je prikazano strelicom, i zauzima položaj KDN. Ostatak figure AKDCB jednaka površini kvadrata AKDC- to je paralelogram AKNB.

Napravio model paralelograma AKNB. Pomaknemo paralelogram kako je skicirano u sadržaju rada. Da bismo prikazali pretvorbu paralelograma u jednaki trokut, pred učenicima smo na modelu odrezali trokut i pomaknuli ga prema dolje. Dakle, površina kvadrata AKDC jednaka je površini pravokutnika. Slično, pretvaramo površinu kvadrata u površinu pravokutnika.

Napravimo transformaciju za kvadrat izgrađen na kraku a(Slika 11, a):

a) kvadrat se transformira u paralelogram jednake veličine (sl. 11.6):

b) paralelogram se okrene za četvrtinu kruga (slika 12):

c) paralelogram se transformira u pravokutnik jednake veličine (slika 13): 11 NAČIN.

Dokaz:

PCL- ravno (slika 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO+LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Dokaz gotov .

12 NAČIN.

Riža. 15 ilustrira još jedan izvorni dokaz Pitagorinog teorema.

Ovdje: trokut ABC s pravim kutom C; segment linije bf okomito SW i njemu jednak segment BITI okomito AB i njemu jednak segment OGLAS okomito AC i jednak njemu; bodova F, C,D pripadaju jednoj ravnoj liniji; četverokuti ADFB i ACBE su jednaki jer ABF = ECB; trokuta ADF i AS su jednaki; oduzimamo od oba jednaka četverokuta zajednički im trokut abc, dobivamo

, c2 = a2 + b2.

Dokaz je završen.

13 NAČIN.

Površina ovog pravokutnog trokuta, s jedne strane, jednaka je , s drugim, ,

3. ZAKLJUČAK

Kao rezultat istraživačke aktivnosti postignut je cilj rada, a to je nadopuna i generalizacija znanja o dokazu Pitagorinog teorema. Bilo je moguće pronaći i razmotriti različite načine dokazivanja i produbiti znanje o temi izlazeći izvan stranica školskog udžbenika.

Materijal koji sam prikupio još je uvjerljiviji da je Pitagorin teorem veliki teorem geometrije i da je od velike teorijske i praktične važnosti. Zaključno bih želio reći: razlog popularnosti Pitagorinog teorema trojstva je ljepota, jednostavnost i značaj!

4. KORIŠTENA LITERATURA.

1. Zabavna algebra. . Moskva "Nauka", 1978.

2. Tjedni obrazovno-metodički prilog novinama "Prvi rujan", 24/2001.

3. Geometrija 7-9. i tako dalje.

4. Geometrija 7-9. i tako dalje.

Animirani dokaz Pitagorinog teorema jedan je od temeljni teoremi euklidske geometrije, utvrđivanje odnosa između stranica pravokutnog trokuta. Vjeruje se da ju je dokazao grčki matematičar Pitagora, po kojem je i dobila ime (postoje i druge verzije, posebice alternativno mišljenje da je ovaj teorem u opći pogled formulirao je pitagorejski matematičar Hipas).
Teorem kaže:

U pravokutnom trokutu površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na nogama.

Označavanje duljine hipotenuze trokuta c, a duljine kateta kao a i b, dobivamo sljedeću formulu:

Dakle, Pitagorin teorem uspostavlja odnos koji vam omogućuje određivanje stranice pravokutnog trokuta, znajući duljine druga dva. Pitagorin poučak je poseban slučaj kosinusnog poučka, koji određuje odnos između stranica proizvoljni trokut.
Dokazuje se i obrnuta tvrdnja (također se naziva obrnuti teorem Pitagora):

Za bilo koja tri pozitivni brojevi a, b i c tako da je a ? +b? = c ?, postoji pravokutni trokut s katetama a i b i hipotenuzom c.

Vizualni dokaz za trokut (3, 4, 5) iz Chu Peija 500-200 pr. Povijest teorema može se podijeliti u četiri dijela: znanje o Pitagorinim brojevima, znanje o omjeru stranica u pravokutnom trokutu, znanje o omjeru susjedni uglovi i dokaz teorema.
Megalitske strukture oko 2500 pr u Egiptu i sjevernoj Europi sadrže pravokutne trokute s cijelim brojem stranica. Barthel Leendert van der Waerden pretpostavio je da su u to vrijeme Pitagorini brojevi bili pronađeni algebarski.
Napisano između 2000. i 1876. pr papirus iz srednjeg egipatskog kraljevstva Berlin 6619 sadrži problem čije su rješenje Pitagorini brojevi.
Za vrijeme vladavine Hamurabija Velikog, Vibilonska ploča Plimpton 322, napisano između 1790. i 1750. pr. Kr. sadrži mnogo unosa usko povezanih s Pitagorinim brojevima.
U Budhayana sutrama, koje datiraju iz različite verzije 8. ili 2. st. pr u Indiji, sadrži Pitagorine brojeve izvedene algebarski, formulaciju Pitagorinog teorema i geometrijski dokaz za jednakokračni pravokutni trokut.
Apastamba Sutre (oko 600. pr. Kr.) sadrže numerički dokaz Pitagorini teoremi pomoću izračuna površine. Van der Waerden vjeruje da se temeljio na tradicijama svojih prethodnika. Prema Albertu Burku, ovo je izvorni dokaz teorema i on sugerira da je Pitagora posjetio Arakoni i kopirao ga.
Pitagora, čije se godine života obično označavaju 569. - 475. pr. koristi algebarske metode izračunavanje Pitagorinih brojeva, prema Proklovljevim komentarima o Euklidu. Proklo je, međutim, živio između 410. i 485. godine. Prema Thomasu Gieseu, nema naznaka o autorstvu teorema pet stoljeća nakon Pitagore. Međutim, kada autori poput Plutarha ili Cicerona pripisuju teorem Pitagori, čine to kao da je autorstvo općepoznato i sigurno.
Oko 400. pr Prema Proklu, Platon je dao metodu za izračunavanje Pitagorinih brojeva, kombinirajući algebru i geometriju. Oko 300. pr. Kr., u Počeci Euklida, imamo najstariji aksiomatski dokaz koji je preživio do danas.
Napisano negdje između 500. godine pr. i 200. pr. Kr., kineski matematička knjiga"Chu Pei" (? ? ? ?), daje vizualni dokaz Pitagorinog teorema, koji se u Kini naziva gugu teorem (????), za trokut sa stranicama (3, 4, 5). Za vrijeme vladavine dinastije Han, od 202. pr. prije 220. godine Pitagorini brojevi pojavljuju se u knjizi "Devet odjeljaka matematičke umjetnosti" zajedno sa spominjanjem pravokutnih trokuta.
Korištenje teorema je prvi put dokumentirano u Kini, gdje je poznato kao gugu teorem (????) i u Indiji, gdje je poznato kao Baskarov teorem.
Mnogi raspravljaju o tome je li Pitagorin teorem otkriven jednom ili više puta. Boyer (1991) vjeruje da bi znanje koje se nalazi u Shulba Sutri moglo biti mezopotamskog podrijetla.
Algebarski dokaz
Kvadrati su formirani od četiri pravokutna trokuta. Poznato je više od stotinu dokaza Pitagorinog teorema. Ovdje se dokaz temelji na teoremu postojanja za područje figure:

Postavite četiri identična pravokutna trokuta kao što je prikazano na slici.
Četverokut sa stranicama c je kvadrat jer je zbroj dva oštri kutovi, A razvijeni kut je .
Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom "a + b", a s druge strane zbroju površina četiriju trokuta i unutarnjeg kvadrata. .

Što treba i dokazati.
Po sličnosti trokuta
Upotreba sličnih trokuta. Neka ABC je pravokutni trokut u kojem je kut C ravno, kao što je prikazano na slici. Nacrtajmo visinu iz točke c, i nazovite H točka presjeka sa stranom AB. Formiran trokut ACH poput trokuta abc, budući da su obje pravokutne (po definiciji visine) i dijele kut A, očito će treći kut biti isti i u ovim trokutima. Slično mirkuyuyuchy, trokut CBH također sličan trokutu ABC. Iz sličnosti trokuta: Ako

Ovo se može napisati kao

Ako zbrojimo ove dvije jednakosti, dobivamo

HB + c puta AH = c puta (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Drugim riječima, Pitagorina teorema:

Euklidov dokaz
Dokaz Euklida u Euklidskim "Principima", Pitagorin teorem dokazan metodom paralelograma. Neka A, B, C vrhovi pravokutnog trokuta, s pravim kutom A. Spustite okomicu iz točke A na stranu nasuprot hipotenuzi u kvadratu izgrađenom na hipotenuzi. Linija dijeli kvadrat na dva pravokutnika, od kojih svaki ima istu površinu kao kvadrati izgrađeni na nogama. glavna ideja dokaz je da su gornji kvadrati pretvoreni u paralelograme iste površine, a zatim se vratili i pretvorili u pravokutnike u donjem kvadratu i opet s istom površinom.

Nacrtajmo segmente CF i OGLAS, dobivamo trokute BCF i BDA.
kutovi TAKSI i TORBA- ravno; bodova C, A i G su kolinearni. Isti način B, A i H.
kutovi CBD i FBA- obje su ravne, zatim kut ABD jednaka kutu fbc, budući da su oboje zbroj pravog kuta i kuta ABC.
Trokut ABD i FBC razina na dvije strane i kut između njih.
Jer točkice A, K i L– kolinearna, površina pravokutnika BDLK jednaka je dvjema površinama trokuta ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Slično tome, dobivamo CKLE = ACIH = AC 2
S jedne strane područje CBDE jednak zbroju površina pravokutnika BDLK i CKLE, s druge strane, površina trga BC2, ili AB 2 + AC 2 = prije Krista 2.

Korištenje diferencijala
Korištenje diferencijala. Do Pitagorinog teorema može se doći proučavanjem kako povećanje stranice utječe na duljinu hipotenuze kao što je prikazano na slici desno i primjenom malog izračuna.
Kao rezultat rasta strane a, iz sličnih trokuta za infinitezimalne inkremente

Integracijom dobivamo

Ako a a= 0 tada c = b, pa je "konstanta". b 2. Zatim

Kao što se može vidjeti, kvadrati su rezultat omjera između priraštaja i stranica, dok je zbroj rezultat neovisnog doprinosa priraštaja stranica, koji nije očit iz geometrijski dokaz. U ovim jednadžbama da i dc su, redom, infinitezimalni prirast stranica a i c. Ali umjesto njih koristimo? a i? c, tada je granica omjera ako teže nuli da / DC, izvod, a također je jednak c / a, omjer duljina stranica trokuta, kao rezultat dobivamo diferencijalna jednadžba.
U slučaju ortogonalnog sustava vektora postoji jednakost koja se naziva i Pitagorin teorem:

Ako - Ovo su projekcije vektora na koordinatne osi, tada se ova formula podudara s euklidskom udaljenosti i znači da je duljina vektora jednaka korijenu kvadratni zbroj kvadrata njegovih komponenti.
Analog ove jednakosti u slučaju beskrajni sustav vektora naziva se Parsevalova jednakost.

U jednom možete biti sto posto sigurni da će svaka odrasla osoba na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata kateta." Ova je teorija čvrsto usađena u svijesti. obrazovana osoba, ali dovoljno je samo tražiti od nekoga da to dokaže, a onda mogu nastati poteškoće. Stoga se prisjetimo i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Kratak pregled biografije

Pitagorin teorem poznat je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ga je proizvela nije toliko popularna. Popravit ćemo to. Stoga, prije proučavanja različitih načina dokazivanja Pitagorinog teorema, trebate se ukratko upoznati s njegovom osobnošću.

Pitagora - filozof, matematičar, mislilac, porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikana. No, kako slijedi iz spisa njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na otoku Samosu. Otac mu je bio običan kamenorezac, a majka je bila iz plemićke obitelji.

Prema legendi, rođenje Pitagore predvidjela je žena po imenu Pitija, u čiju je čast dječak i dobio ime. Prema njezinu predviđanju, rođeni dječak trebao je donijeti mnoge dobrobiti i dobra čovječanstvu. Što je zapravo i učinio.

Rođenje teoreme

Pitagora se u mladosti preselio u Egipat kako bi tamo upoznao poznate egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, primljen je na studij, gdje je upoznao sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Vjerojatno je u Egiptu Pitagora bio inspiriran veličanstvom i ljepotom piramida te je stvorio svoje velika teorija. Ovo bi moglo šokirati čitatelje, ali moderni povjesničari smatraju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Ali svoje je znanje samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije izvršili sve potrebne matematičke izračune.

Bilo kako bilo, danas nije poznata jedna tehnika za dokazivanje ovog teorema, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su točno stari Grci izvodili svoje izračune, pa ćemo ovdje razmotriti različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Pitagorin poučak

Prije nego počnete s bilo kakvim izračunima, morate shvatiti koju teoriju dokazati. Pitagorin teorem zvuči ovako: "U trokutu u kojem je jedan od kutova 90 o, zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Ukupno postoji 15 različitih načina da se dokaže Pitagorin teorem. Ovo je prilično velik broj, pa obratimo pozornost na najpopularnije od njih.

Prva metoda

Prvo definirajmo što imamo. Ovi podaci također će se primijeniti na druge načine dokazivanja Pitagorinog teorema, tako da se trebate odmah sjetiti svih dostupnih notacija.

Pretpostavimo da je dan pravokutni trokut s katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokaza temelji se na činjenici da se iz pravokutnog trokuta mora izvući kvadrat.

Da biste to učinili, morate nacrtati segment do noge s duljinom jednaka nozi u, i obrnuto. Dakle, treba biti dva jednake strane kvadrat. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije, a kvadrat je spreman.

Unutar dobivene figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednaka hipotenuzi izvorni trokut. Da biste to učinili, iz ac i s vrhova, morate nacrtati dva paralelni segment jednak sa. Tako dobivamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza izvornog pravokutnog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.

Na temelju dobivene figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da osim unutarnjeg kvadrata ima četiri pravokutna trokuta. Površina svake je 0,5 av.

Prema tome, površina je: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Stoga je (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

I, dakle, s 2 \u003d 2 + u 2

Teorem je dokazan.

Druga metoda: slični trokuti

Ova formula za dokaz Pitagorinog teorema izvedena je na temelju tvrdnje iz dijela geometrije o sličnim trokutima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta sredina proporcionalna hipotenuzi i hipotenuzi koja izlazi iz vrha kuta od 90o.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo isječak CD okomit na stranicu AB. Na temelju gornje tvrdnje, kraci trokuta su jednaki:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Da bismo odgovorili na pitanje kako dokazati Pitagorin teorem, dokaz se mora postaviti kvadriranjem obje nejednakosti.

AC 2 \u003d AB * HELL i SV 2 \u003d AB * DV

Sada trebamo zbrojiti dobivene nejednakosti.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), gdje je AD + DV \u003d AB

Ispostavilo se da:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

I stoga:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Dokaz Pitagorinog poučka i različiti načini njegova rješavanja zahtijevaju svestran pristup ovom problemu. Međutim, ova je opcija jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda izračuna

Opis različitih načina dokazivanja Pitagorinog teorema možda neće reći ništa, sve dok ne počnete sami vježbati. Mnoge metode uključuju ne samo matematičke izračune, već i konstrukciju novih figura iz izvornog trokuta.

NA ovaj slučaj potrebno je dovršiti još jedan pravokutni trokut VSD od kraka zrakoplova. Dakle, sada postoje dva trokuta sa zajedničkom krakom BC.

Znajući da površine sličnih figura imaju omjer kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, tada:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (od 2 do 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

od 2 do 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + u 2

Budući da je ova opcija teško prikladna za različite metode dokazivanja Pitagorinog teorema za 8. razred, možete koristiti sljedeću tehniku.

Najlakši način za dokazati Pitagorin teorem. Recenzije

Povjesničari vjeruju da je ova metoda prvi put korištena za dokazivanje teorema još u drevna grčka. To je najjednostavnije, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve izračune. Ako ispravno nacrtate sliku, onda će dokaz tvrdnje da je a 2 + b 2 \u003d c 2 biti jasno vidljiv.

Uvjeti za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodnog. Da bismo dokazali teorem, pretpostavimo da je pravokutni trokut ABC jednakokračan.

Uzimamo hipotenuzu AC kao stranicu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne crte u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trokuta.

Na noge AB i CB također trebate nacrtati kvadrat i u svakom od njih nacrtati po jednu dijagonalnu liniju. Crtamo prvu liniju iz vrha A, drugu - iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Budući da na hipotenuzi AC postoje četiri trokuta, jednaka prvotnom, a dva na katetama, to ukazuje na istinitost ovog teorema.

Usput, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorinog teorema, poznata fraza: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima."

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je 20. predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio trag u povijesti kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadaren samouk.

U početku svoje karijere bio je obični učitelj pučke škole, ali je ubrzo postao ravnatelj jedne od viših škola. obrazovne ustanove. Želja za samorazvojem omogućila mu je i ponudu nova teorija dokaz Pitagorine teoreme. Teorem i primjer njegovog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhove ovih trokuta potrebno je spojiti kako bi na kraju dobili trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja njegovih baza i visine.

S=a+b/2 * (a+b)

Ako promatramo dobiveni trapez kao lik koji se sastoji od tri trokuta, tada se njegovo područje može pronaći na sljedeći način:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Sada moramo izjednačiti dva izvorna izraza

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + u 2

O Pitagorinom teoremu i kako ga dokazati može se napisati više od jednog sveska vodič za učenje. Ali ima li to smisla kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorinog poučka

Nažalost, moderni školski programi predviđaju korištenje ovog teorema samo u geometrijski problemi. Maturanti će uskoro napustiti školske zidove ne znajući kako svoje znanje i vještine mogu primijeniti u praksi.

Zapravo, koristite Pitagorin teorem u svom Svakidašnjica svi mogu. I ne samo u profesionalna djelatnost ali i u normalnim kućanskim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorin teorem i metode njegovog dokaza mogu biti iznimno potrebni.

Veza teoreme i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trokuti mogu povezati na papiru. Zapravo, astronomija je znanstveno polje, koji u velikoj mjeri koristi Pitagorin teorem.

Na primjer, razmotrimo kretanje svjetlosne zrake u prostoru. Znamo da svjetlost putuje u oba smjera istom brzinom. Putanju AB kojom se giba svjetlosna zraka nazivamo l. I pola vremena potrebnog svjetlu da stigne od točke A do točke B, nazovimo t. I brzina snopa - c. Ispostavilo se da: c*t=l

Ako pogledate tu istu zraku iz druge ravnine, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će se takvim promatranjem tijela njihova brzina promijeniti. U tom slučaju će se i nepokretni elementi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da komični brod plovi udesno. Tada će se točke A i B, između kojih zraka juri, pomaknuti ulijevo. Štoviše, kada se zraka kreće od točke A do točke B, točka A ima vremena za kretanje i, prema tome, svjetlost će već stići do nova točka C. Da biste pronašli polovicu udaljenosti na kojoj se pomaknula točka A, trebate pomnožiti brzinu broda s polovicom vremena putovanja grede (t").

A da biste saznali koliko bi zraka svjetlosti mogla prijeći za to vrijeme, trebate označiti polovicu puta nove bukve i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne točke C i B, kao i prostorni omotač, vrhovi jednakokračan trokut, tada će segment od točke A do linije podijeliti na dva pravokutna trokuta. Stoga, zahvaljujući Pitagorinom teoremu, možete pronaći udaljenost koju bi zraka svjetlosti mogla prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo rijetki mogu imati sreće da ga isprobaju u praksi. Stoga razmatramo svjetovnije primjene ovog teorema.

Domet prijenosa mobilnog signala

Suvremeni život više se ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali koliko bi oni bili od koristi da ne mogu povezati pretplatnike putem mobilnih komunikacija?!

Kvaliteta mobilne komunikacije izravno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena mobilnog operatera. Kako biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorin teorem.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja tako da može širiti signal unutar radijusa od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Primjenom Pitagorinog poučka dolazimo do saznanja da bi minimalna visina tornja trebala biti 2,3 kilometra.

Pitagorin teorem u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorin teorem može biti koristan čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih izračuna, jer možete jednostavno izvršiti mjerenja mjernom trakom. Ali mnogi su iznenađeni zašto se pojavljuju određeni problemi tijekom procesa montaže ako su sva mjerenja uzeta više nego točno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u vodoravnom položaju i tek tada se podiže i postavlja na zid. Stoga bočna stijenka ormara u procesu podizanja konstrukcije mora slobodno prolaziti i po visini i po dijagonali prostorije.

Pretpostavimo da postoji ormar s dubinom od 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja reći će da visina ormara treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

Uz idealne dimenzije ormara, provjerimo djelovanje Pitagorinog poučka:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - sve se konvergira.

Recimo da visina ormara nije 2474 mm, već 2505 mm. Zatim:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije prikladan za ugradnju u ovu prostoriju. Budući da se prilikom podizanja u okomiti položaj može oštetiti tijelo.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema od strane različitih znanstvenika, možemo zaključiti da je to više nego istinito. Sada možete koristiti dobivene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi izračuni biti ne samo korisni, već i točni.

Za one koji su zainteresirani za povijest Pitagorinog teorema, koji se proučava u školski plan i program, bit će zanimljiva i takva činjenica kao što je 1940. objavljena knjiga s tristo sedamdeset dokaza ovog naizgled jednostavnog teorema. Ali zaintrigirao je umove mnogih matematičara i filozofa različitih razdoblja. U Guinnessovoj knjizi rekorda zabilježen je kao teorem s najvećim brojem dokaza.

Povijest Pitagorinog teorema

Povezan s imenom Pitagore, teorem je bio poznat davno prije rođenja velikog filozofa. Dakle, u Egiptu, tijekom izgradnje objekata, prije pet tisuća godina uzet je u obzir omjer stranica pravokutnog trokuta. Babilonski tekstovi spominju isti omjer stranica pravokutnog trokuta 1200 godina prije rođenja Pitagore.

Postavlja se pitanje zašto onda priča kaže - nastanak Pitagorinog teorema pripada njemu? Odgovor može biti samo jedan – dokazao je omjer stranica u trokutu. Učinio je ono što oni koji su jednostavno koristili omjer stranica i hipotenuzu, utvrđeno iskustvom, nisu učinili stoljećima prije.

Iz Pitagorina života

Budući veliki znanstvenik, matematičar, filozof rođen je na otoku Samosu 570. godine prije Krista. povijesni dokumenti sačuvani podaci o ocu Pitagore, koji je bio rezbar drago kamenje ali nema podataka o majci. Za rođenog dječaka rekli su da je riječ o izuzetnom djetetu koje se pokazalo s djetinjstvo strast prema glazbi i poeziji. Povjesničari pripisuju Hermodamanta i Ferekida sa Sirosa učiteljima mladog Pitagore. Prvi je uveo dječaka u svijet muza, a drugi, kao filozof i utemeljitelj talijanske filozofske škole, usmjerio je mladićev pogled na logos.

U dobi od 22 godine (548. pr. Kr.) Pitagora je otišao u Naukratis da proučava jezik i religiju Egipćana. Nadalje, njegov put ležao je u Memphisu, gdje je, zahvaljujući svećenicima, prošavši kroz njihove genijalne testove, shvatio egipatsku geometriju, što je, možda, potaknulo znatiželjnog mladića da dokaže Pitagorin teorem. Povijest će kasnije teoremu pripisati ovo ime.

Zarobljen od strane babilonskog kralja

Na putu kući u Heladu, Pitagora je zarobljen od strane babilonskog kralja. Ali boravak u zatočeništvu pogodovao je radoznalom umu matematičara početnika, imao je mnogo toga za naučiti. Doista, u tim je godinama matematika u Babilonu bila razvijenija nego u Egiptu. Proveo je dvanaest godina proučavajući matematiku, geometriju i magiju. A možda je upravo babilonska geometrija bila uključena u dokaz omjera stranica trokuta i povijest otkrića teorema. Pitagora je za to imao dovoljno znanja i vremena. Ali da se to dogodilo u Babilonu, nema dokumentarne potvrde ili opovrgavanja toga.

Godine 530. pr Pitagora bježi iz zatočeništva u svoju domovinu, gdje živi na dvoru tiranina Polikrata u statusu poluroba. Pitagori takav život ne odgovara te se povlači u špilje Samosa, a zatim odlazi na jug Italije, gdje je u to vrijeme grčka kolonija kroton.

Tajni monaški red

Na temelju te kolonije Pitagora je organizirao tajnu monaški red, koja je bila vjerska zajednica i znanstveno društvo istovremeno. Ovo društvo je imalo svoju povelju, koja je govorila o poštivanju posebnog načina života.

Pitagora je tvrdio da osoba, kako bi razumjela Boga, mora poznavati znanosti poput algebre i geometrije, poznavati astronomiju i razumjeti glazbu. Istraživački rad bila svedena na spoznaju mistične strane brojeva i filozofije. Treba primijetiti da načela koja je u to vrijeme propovijedao Pitagora imaju smisla u oponašanju u današnje vrijeme.

Njemu su pripisivana mnoga otkrića do kojih su došli Pitagorini učenici. Ipak, ukratko, povijest stvaranja Pitagorinog teorema od strane antičkih povjesničara i biografa tog vremena izravno je povezana s imenom ovog filozofa, mislioca i matematičara.

Pitagorina učenja

Možda je ideja o povezanosti teorema s imenom Pitagore potaknuta izjavom povjesničara velikog Grka da su u ozloglašenom trokutu s nogama i hipotenuzom šifrirani svi fenomeni našeg života. A taj je trokut “ključ” za rješavanje svih problema koji se pojave. Veliki filozof je rekao da treba vidjeti trokut, onda možemo pretpostaviti da je problem dvije trećine riješen.

Pitagora je o svom učenju pričao svojim učenicima samo usmeno, bez ikakvih bilješki, čuvajući to u tajnosti. Nažalost, nastava najveći filozof nije preživio do danas. Nešto od toga je procurilo, no nemoguće je reći koliko je u onome što se saznalo istina, a koliko laži. Čak i uz povijest Pitagorinog teorema, nije sve sigurno. Povjesničari matematike sumnjaju u autorstvo Pitagore, po njihovom mišljenju, teorem je korišten mnogo stoljeća prije njegova rođenja.

Pitagorin poučak

Možda se čini čudnim, ali povijesne činjenice ne postoji dokaz teorema od strane samog Pitagore - ni u arhivama, ni u bilo kojim drugim izvorima. U modernoj verziji, vjeruje se da pripada nikome drugom do samom Euklidu.

Postoje dokazi jednog od najvećih povjesničara matematike, Moritza Cantora, koji je otkrio na papirusu pohranjenom u Berlinskom muzeju, što su napisali Egipćani oko 2300. pr. e. jednakosti, koja glasi: 3² + 4² = 5².

Ukratko iz povijesti Pitagorinog teorema

Formulacija teorema iz euklidskih "Početaka" u prijevodu zvuči isto kao u modernoj interpretaciji. U njezinu čitanju nema ništa novo: kvadrat suprotne strane pravi kut, jednak je zbroju kvadrata stranica uz pravi kut. Činjenicu da su drevne civilizacije Indije i Kine koristile teoremom potvrđuje rasprava Zhou Bi Suan Jin. Sadrži informacije o egipatskom trokutu, koji opisuje omjer stranica kao 3:4:5.

Ništa manje zanimljiva nije ni druga kineska matematička knjiga, Chu-Pei, koja također spominje Pitagorin trokut s objašnjenjem i crtežima koji se podudaraju s crtežima hinduističke geometrije Bashare. O samom trokutu u knjizi se kaže da ako se pravi kut može rastaviti na sastavne dijelove, tada će crta koja spaja krajeve stranica biti jednaka pet, ako je osnovica tri, a visina četiri.

Indijska rasprava "Sulva Sutra", koja datira otprilike od 7. do 5. stoljeća pr. e., govori o konstrukciji pravog kuta pomoću egipatskog trokuta.

Dokaz teorema

U srednjem vijeku studenti su smatrali i dokaz teorema teški rad. Slabi učenici učili su teoreme napamet, bez razumijevanja značenja dokaza. S tim u vezi dobili su nadimak "magarci", jer je Pitagorin teorem za njih bio nepremostiva prepreka, kao most za magarca. U srednjem vijeku studenti su smislili razigrani stih na temu ovog teorema.

Dokazati Pitagorin teorem s najviše jednostavan način, treba jednostavno izmjeriti njegove strane, bez korištenja koncepta površina u dokazu. Duljina stranice nasuprot pravog kuta je c, a a i b susjedni, kao rezultat dobivamo jednadžbu: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ova izjava, kao što je gore spomenuto, provjerava se mjerenjem duljina stranica pravokutnog trokuta.

Ako započnemo dokaz teorema razmatranjem površine pravokutnika izgrađenih na stranicama trokuta, možemo odrediti površinu cijele figure. Bit će jednaka površini kvadrata sa stranom (a + b), a s druge strane, zbroju površina četiriju trokuta i unutarnjeg kvadrata.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , što je trebalo dokazati.

Praktična vrijednost Pitagorin poučak je da se pomoću njega mogu pronaći duljine odsječaka bez njihova mjerenja. Tijekom izgradnje konstrukcija izračunavaju se udaljenosti, postavljanje nosača i greda, određuju se težišta. Pitagorina teorema primjenjuje se i u svim moderne tehnologije. Nisu zaboravili na teorem pri izradi filmova u 3D-6D dimenzijama, gdje se uz uobičajene 3 vrijednosti uzimaju u obzir: visina, duljina, širina, vrijeme, miris i okus. Kako su okusi i mirisi povezani s teoremom, pitate se? Sve je vrlo jednostavno - pri prikazivanju filma treba izračunati gdje i koje mirise i okuse usmjeriti u gledalište.

To je tek početak. Neograničen prostor za otkrivanje i stvaranje novih tehnologija čeka znatiželjne umove.

MJERENJE POVRŠINE GEOMETRIJSKIH LIKOVA.

§ 58. PITAGORIN TEOREM 1 .

__________
1 Pitagora je grčki znanstvenik koji je živio prije otprilike 2500 godina (564.-473. pr. Kr.).
_________

Neka je dan pravokutni trokut čije su stranice a, b i S(dev. 267).

Sagradimo kvadrate na njegovim stranama. Površine tih kvadrata su redom a 2 , b 2 i S 2. Dokažimo to S 2 = a 2 +b 2 .

Sastavimo dva kvadrata MKOR i M"K"O"R" (sl. 268, 269), uzimajući za stranicu svakog od njih segment jednak zbroju krakova pravokutnog trokuta ABC.

Nakon što smo dovršili konstrukcije prikazane na crtežima 268 i 269 u ovim kvadratima, vidjet ćemo da je kvadrat MKOR podijeljen na dva kvadrata s površinama a 2 i b 2 i četiri jednaka pravokutna trokuta od kojih je svaki jednak pravokutnom trokutu ABC. Kvadrat M"K"O"R" podijeljen je na četverokut (osjenčan je na crtežu 269) i četiri pravokutna trokuta od kojih je svaki također jednak trokutu ABC. Osjenčani četverokut je kvadrat jer su mu stranice jednake (svaka je jednaka hipotenuzi trokuta ABC, tj. S) a kutovi su pravi / 1 + / 2 = 90°, odakle / 3 = 90°).

Dakle, zbroj površina kvadrata izgrađenih na nogama (na crtežu 268 ti su kvadrati osjenčani) jednak je površini MKOR kvadrata bez zbroja četiri jednaki trokuti, a površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi (na crtežu 269 ovaj kvadrat je također osjenčan) jednaka je površini kvadrata M "K" O "R", jednakom kvadratu MKOR-a, bez zbroja površina četiriju istih trokuta. Stoga je površina kvadrata izgrađena na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka zbroju površina kvadrata izgrađenih na nogama.

Dobili smo formulu S 2 = a 2 +b 2, gdje S- hipotenuza, a i b- noge pravokutnog trokuta.

Pitagorina teorema može se sažeti na sljedeći način:

Kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata kateta.

Iz formule S 2 = a 2 +b 2 možete dobiti sljedeće formule:

a 2 = S 2 - b 2 ;
b 2 = S 2 - a 2 .

Ove formule se mogu koristiti za pronalaženje nepoznata stranka pravokutni trokut s dvije njegove stranice.
Na primjer:

a) ako su zadane noge a= 4 cm, b\u003d 3 cm, tada možete pronaći hipotenuzu ( S):
S 2 = a 2 +b 2, tj. S 2 = 4 2 + 3 2 ; s 2 = 25, odakle S= √25 =5 (cm);

b) ako je zadana hipotenuza S= 17 cm i krak a= 8 cm, tada možete pronaći drugu nogu ( b):

b 2 = S 2 - a 2, tj. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, odakle b= √225 = 15 (cm).

Posljedica: Ako je u dva pravokutna trokuta ABC i A 1 B 1 C 1 hipotenuza S i S 1 su jednaki, a kat b trokut ABC je veći od kraka b 1 trokut A 1 B 1 C 1,
zatim nogu a trokut ABC manji od kraka a 1 trokut A 1 B 1 C 1 . (Napravite crtež koji ilustrira ovu posljedicu.)

Doista, na temelju Pitagorine teoreme dobivamo:

a 2 = S 2 - b 2 ,
a 1 2 = S 1 2 - b 1 2

U napisanim formulama umanjenici su jednaki, a oduzetak u prvoj formuli je veći od oduzetika u drugoj formuli, dakle, prva razlika je manja od druge,
tj. a 2 < a 12 . Gdje a< a 1 .

Vježbe.

1. Pomoću crteža 270 dokažite Pitagorin poučak za jednakokračni pravokutni trokut.

2. Jedna kateta pravokutnog trokuta je 12 cm, druga 5 cm.Izračunaj duljinu hipotenuze tog trokuta.

3. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 10 cm, jedna kateta je 8 cm.Izračunaj duljinu druge katete tog trokuta.

4. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 37 cm, jedna mu je kateta 35 cm.Izračunaj duljinu druge katete tog trokuta.

5. Konstruiraj kvadrat duplo veće površine od zadanog.

6. Konstruiraj kvadrat dvostruko veće površine od zadanog. Uputa. Sačekaj dati kvadrat dijagonale. Kvadrati izgrađeni na polovicama ovih dijagonala bit će željeni.

7. Katete pravokutnog trokuta jednake su 12 cm odnosno 15 cm.Izračunaj duljinu hipotenuze tog trokuta s točnošću od 0,1 cm.

8. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 20 cm, jedna njegova kateta je 15 cm.Izračunaj duljinu druge katete s točnošću od 0,1 cm.

9. Koliko trebaju biti dugačke ljestve da se mogu pričvrstiti na prozor koji se nalazi na visini od 6 m, ako donji kraj ljestava treba biti 2,5 m od zgrade? (Prokletstvo. 271.)