Na ovu lekciju razmatrat će se zbrajanje i oduzimanje algebarski razlomci S različite nazivnike. Već znamo zbrajati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispada da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme već znamo kako algebarske razlomke svesti na zajednički nazivnik. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u kolegiju 8. razreda. pri čemu ova tema naći će se u mnogim temama tečaja algebre koje ćete proučavati u budućnosti. U sklopu lekcije proučit ćemo pravila zbrajanja i oduzimanja algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, a također ćemo analizirati cijela linija tipični primjeri.

Smatrati najjednostavniji primjer za obične razlomke.

Primjer 1 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Zapamtite pravilo zbrajanja razlomaka. Za početak, razlomke je potrebno svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) izvornih nazivnika.

Definicija

Najmanji prirodni broj koji je djeljiv i brojevima i .

Da bismo pronašli LCM, potrebno je proširiti nazivnike u glavni faktori, a zatim odaberite sve proste faktore koji su uključeni u proširenje obaju nazivnika.

; . Tada LCM brojeva mora sadržavati dvije 2 i dvije 3: .

Nakon pronalaženja zajedničkog nazivnika potrebno je za svaki od razlomaka pronaći dodatni faktor (zapravo zajednički nazivnik podijeliti s nazivnikom odgovarajućeg razlomka).

Zatim se svaki razlomak množi dobivenim dodatnim faktorom. Dobivamo razlomke s istim nazivnicima, koje smo naučili zbrajati i oduzimati u prethodnim lekcijama.

Dobivamo: .

Odgovor:.

Razmotrimo sada zbrajanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo razmotrite razlomke čiji su nazivnici brojevi.

Primjer 2 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Algoritam rješenja je potpuno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički nazivnik za ove razlomke: i dodatne faktore za svaki od njih.

.

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima:

1. Nađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka.

2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeljenjem zajedničkog nazivnika s nazivnikom tog razlomka).

3. Pomnožite brojnike odgovarajućim dodatnim faktorima.

4. Zbrajati ili oduzimati razlomke prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži doslovni izrazi.

Primjer 3 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Budući da su doslovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički nazivnik izgledat će ovako: . Dakle, rješenje ovaj primjer izgleda kao:.

Odgovor:.

Primjer 4 Oduzmi razlomke: .

Riješenje:

Ako ne možete “prevariti” pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore niti koristiti skraćene formule množenja), onda kao zajednički nazivnik morate uzeti umnožak nazivnika obaju razlomaka.

Odgovor:.

Općenito, pri odlučivanju slični primjeri, najviše težak zadatak je pronaći zajednički nazivnik.

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 5 Pojednostavite: .

Riješenje:

Kada nalazite zajednički nazivnik, prvo morate pokušati faktorizirati nazivnike izvornih razlomaka (kako biste pojednostavili zajednički nazivnik).

U ovom konkretnom slučaju:

Tada je lako odrediti zajednički nazivnik: .

Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:

Odgovor:.

Sada ćemo popraviti pravila za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer 6 Pojednostavite: .

Riješenje:

Odgovor:.

Primjer 7 Pojednostavite: .

Riješenje:

.

Odgovor:.

Razmotrimo sada primjer u kojem se ne zbrajaju dva, nego tri razlomka (uostalom, pravila zbrajanja i oduzimanja za više razlomci ostaju isti).

Primjer 8 Pojednostavite: .

Razmotrimo razlomak $\frac63$. Njegova vrijednost je 2, budući da je $\frac63 =6:3 = 2$. Što se događa ako se brojnik i nazivnik pomnože s 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očito, vrijednost razlomka se nije promijenila, pa je $\frac(12)(6)$ također jednako 2 kao y. pomnožite brojnik i nazivnik za 3 i dobiti $\frac(18)(9)$, ili za 27 i dobiti $\frac(162)(81)$ ili za 101 i dobiti $\frac(606)(303)$. U svakom od ovih slučajeva vrijednost razlomka koju dobijemo dijeljenjem brojnika s nazivnikom je 2. To znači da se nije promijenio.

Isti se obrazac opaža u slučaju drugih frakcija. Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(120)(60)$ (jednak 2) podijeli s 2 (rezultat od $\frac(60)(30)$) ili s 3 (rezultat od $\ frac(40)(20) $), ili za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) i tako dalje, tada u svakom slučaju vrijednost razlomka ostaje nepromijenjena i jednaka 2.

Ovo pravilo vrijedi i za razlomke koji nisu jednaki. cijeli broj.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ pomnože s 2, dobiva se $\frac(2)(6)$, odnosno vrijednost razlomka se nije promijenila. I zapravo, ako kolač podijelite na 3 dijela i uzmete jedan od njih, ili ga podijelite na 6 dijelova i uzmete 2 dijela, dobit ćete u oba slučaja istu količinu pite. Dakle, brojevi $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ su identični. Formulirajmo opće pravilo.

Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem, a vrijednost razlomka se ne mijenja.

Ovo je pravilo vrlo korisno. Na primjer, u nekim slučajevima, ali ne uvijek, omogućuje izbjegavanje operacija s velikim brojevima.

Na primjer, možemo podijeliti brojnik i nazivnik razlomka $\frac(126)(189)$ sa 63 i dobiti razlomak $\frac(2)(3)$ koji je puno lakše izračunati. Još jedan primjer. Brojnik i nazivnik razlomka $\frac(155)(31)$ možemo podijeliti s 31 i dobiti razlomak $\frac(5)(1)$ ili 5, budući da je 5:1=5.

U ovom primjeru prvi put smo se susreli razlomak čiji je nazivnik 1. Takvi razlomci igraju važna uloga prilikom izračunavanja. Treba imati na umu da se bilo koji broj može podijeliti s 1 i da se njegova vrijednost neće promijeniti. Odnosno, $\frac(273)(1)$ je jednako 273; $\frac(509993)(1)$ jednako je 509993 i tako dalje. Dakle, brojeve ne moramo dijeliti s jer se svaki cijeli broj može prikazati kao razlomak s nazivnikom 1.

S takvim razlomcima, čiji je nazivnik jednak 1, moguće je proizvesti iste aritmetičke operacije, kao i sa svim drugim razlomcima: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Možete pitati koja je korist od predstavljanja cijelog broja kao razlomka, koji će imati jedinicu ispod crte, jer je prikladnije raditi s cijelim brojem. Ali činjenica je da nam predstavljanje cijelog broja kao razlomka omogućuje učinkovitiju proizvodnju razne aktivnosti kada imamo posla i s cijelim i s razlomačkim brojevima u isto vrijeme. Na primjer, učiti zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Pretpostavimo da trebamo zbrojiti $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.

Znamo da možete zbrajati samo razlomke čiji su nazivnici jednaki. Dakle, moramo naučiti kako razlomke dovesti do takvog oblika kada su im nazivnici jednaki. U ovom slučaju, opet nam je potrebna činjenica da možete pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s istim brojem bez promjene njegove vrijednosti.

Prvo pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ s 5. Dobivamo $\frac(5)(15)$, vrijednost razlomka se nije promijenila. Zatim pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(5)$ s 3. Dobivamo $\frac(3)(15)$, opet se vrijednost razlomka nije promijenila. Prema tome, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Pokušajmo sada primijeniti ovaj sustav na zbrajanje brojeva koji sadrže i cijele i razlomke.

Trebamo dodati $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Prvo pretvaramo sve članove u razlomke i dobivamo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sada sve razlomke trebamo dovesti na zajednički nazivnik, za to množimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s 12, drugog s 4, a trećeg s 3. Kao rezultat toga, dobivamo $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, što je jednako $\frac(55)(12)$. Ako se želite riješiti nepravi razlomak, može se pretvoriti u broj koji se sastoji od cijelog i razlomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ili $4\frac( 7)( 12)$.

Sva pravila koja dopuštaju operacije s razlomcima, koje smo upravo proučavali, vrijede i u slučaju negativnih brojeva. Dakle, -1: 3 može se napisati kao $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) kao $\frac(1)(-3)$.

Budući da i dijeljenje negativnog broja s pozitivnim brojem i dijeljenje pozitivnog broja s negativnim rezultiraju negativnim brojevima, u oba ćemo slučaja dobiti odgovor u obliku negativnog broja. To je

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ili $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus kada se piše na ovaj način odnosi se na cijeli razlomak kao cjelinu, a ne zasebno na brojnik ili nazivnik.

S druge strane, (-1) : (-3) se može zapisati kao $\frac(-1)(-3)$, a budući da se kod dijeljenja negativnog broja s negativnim brojem dobiva pozitivan broj, tada se $\frac(-1)(-3)$ može napisati kao $+\frac(1)(3)$.

Zbrajanje i oduzimanje negativni razlomci provodi se na isti način kao i zbrajanje i oduzimanje pozitivnih razlomaka. Na primjer, koliko je $1- 1\frac13$? Predstavimo oba broja kao razlomke i dobijemo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Svedimo razlomke na zajednički nazivnik i dobijemo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, tj. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ ili $-\frac(1)(3)$.

Online kalkulator.
Evaluacija izraza sa razlomci.
Množenje, oduzimanje, dijeljenje, zbrajanje i smanjivanje razlomaka s različitim nazivnicima.

S ovim online kalkulatorom možete množenje, oduzimanje, dijeljenje, zbrajanje i smanjivanje brojčanih razlomaka s različitim nazivnicima.

Program radi s točnim, nepravilnim i mješovitim numeričkim razlomcima.

Ovaj program (online kalkulator) može:
- zbrajati mješovite razlomke s različitim nazivnicima
- Oduzimanje mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima
- dijeliti mješovite razlomke s različitim nazivnicima
- Množenje mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima
- dovesti razlomke na zajednički nazivnik
- Pretvorite mješovite razlomke u neprave
- smanjiti razlomke

Također možete unijeti ne izraz s razlomcima, već jedan jedini razlomak.
U tom slučaju, razlomak će se smanjiti, a cjelobrojni dio će se odabrati iz rezultata.

Online kalkulator za izračunavanje izraza s numeričkim razlomcima ne daje samo odgovor na problem, on daje detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.

Dakle, možete izvršiti svoje vlastiti trening i/ili njihovo osposobljavanje mlađa braća ili sestara, dok se povećava stupanj obrazovanja u području zadataka koji se rješavaju.

Ako niste upoznati s pravilima za unos izraza s numeričkim razlomcima, preporučujemo da se s njima upoznate.

Pravila za upisivanje izraza s brojevnim razlomcima

Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Nazivnik ne može biti negativan.

Pri unosu brojčanog razlomka brojnik se od nazivnika odvaja znakom dijeljenja: /
Unos: -2/3 + 7/5
Rezultat: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom &: &
Unos: -1&2/3 * 5&8/3
Rezultat: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

Dijeljenje razlomaka uvodi se dvotačkom: :
Ulaz: -9&37/12: -3&5/14
Rezultat: \(-9\frac(37)(12) : \lijevo(-3\frac(5)(14) \desno) \)
Zapamtite da ne možete dijeliti s nulom!

Zagrade se mogu koristiti pri unosu izraza s numeričkim razlomcima.
Ulazni: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Rezultat: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \desno) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

Unesite izraz s numeričkim razlomcima.

Izračunati

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U pregledniku vam je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molim pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, tada možete pisati o tome u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Obični razlomci. Dijeljenje s ostatkom

Ako trebamo podijeliti 497 s 4, tada ćemo pri dijeljenju vidjeti da 497 nije djeljivo s 4, tj. ostaje ostatak diobe. U takvim slučajevima se kaže da dijeljenje s ostatkom, a rješenje je zapisano na sljedeći način:
497: 4 = 124 (1 ostatak).

Komponente dijeljenja na lijevoj strani jednakosti nazivaju se isto kao i kod dijeljenja bez ostatka: 497 - dividenda, 4 - šestar. Rezultat dijeljenja pri dijeljenju s ostatkom naziva se nepotpuno privatno. U našem slučaju, ovaj broj je 124. I na kraju, zadnja komponenta, koja nije u uobičajenoj podjeli, je ostatak. Kada nema ostatka, kaže se da je jedan broj podijeljen drugim. bez traga ili potpuno. Vjeruje se da je s takvim dijeljenjem ostatak nula. U našem slučaju, ostatak je 1.

Ostatak je uvijek manji od djelitelja.

Kod dijeljenja možete provjeriti množenjem. Ako, na primjer, postoji jednakost 64: 32 = 2, tada se provjera može učiniti ovako: 64 = 32 * 2.

Često je u slučajevima kada se izvodi dijeljenje s ostatkom zgodno koristiti jednakost
a \u003d b * n + r,
gdje je a dividenda, b je djelitelj, n je djelomični kvocijent, r je ostatak.

Kvocijent dijeljenja prirodni brojevi može se napisati kao razlomak.

Brojnik razlomka je dividenda, a nazivnik je djelitelj.

Budući da je brojnik razlomka dividenda, a nazivnik djelitelj, vjeruju da crta razlomka znači radnju dijeljenja. Ponekad je zgodno napisati dijeljenje kao razlomak bez upotrebe znaka ":".

Kvocijent dijeljenja prirodnih brojeva m i n može se napisati kao razlomak \(\frac(m)(n) \), gdje je brojnik m djelitelj, a nazivnik n djelitelj:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Sljedeća pravila su točna:

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n) \), morate jedinicu podijeliti s n jednake dijelove(dionice) i uzeti m takve dijelove.

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n) \), trebate broj m podijeliti s brojem n.

Da biste pronašli dio cjeline, trebate broj koji odgovara cjelini podijeliti s nazivnikom i rezultat pomnožiti s brojnikom razlomka koji izražava taj dio.

Da biste pronašli cjelinu prema njezinom dijelu, morate broj koji odgovara ovom dijelu podijeliti s brojnikom i pomnožiti rezultat s nazivnikom razlomka koji izražava ovaj dio.

Ako se i brojnik i nazivnik razlomka pomnože s istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\veliki \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ako su i brojnik i nazivnik razlomka podijeljeni s istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\veliki \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ovo svojstvo se zove osnovno svojstvo razlomka.

Posljednje dvije transformacije nazivaju se smanjenje frakcije.

Ako razlomke treba predstaviti kao razlomke s istim nazivnikom, tada se takva radnja poziva svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Pravi i nepravi razlomci. mješoviti brojevi

Već znate da se razlomak može dobiti tako da se cjelina podijeli na jednake dijelove i uzme nekoliko takvih dijelova. Na primjer, razlomak \(\frac(3)(4) \) znači tri četvrtine od jedan. U mnogim zadacima iz prethodnog odjeljka razlomci su korišteni za označavanje dijela cjeline. Zdrav razum sugerira da dio uvijek mora biti manji od cjeline, ali što je onda s razlomcima kao što su \(\frac(5)(5) \) ili \(\frac(8)(5) \)? Jasno je da ovo više nije dio jedinice. Vjerojatno se zato takvi razlomci, u kojima je brojnik veći ili jednak nazivniku, nazivaju nepravi razlomci. Preostali razlomci, tj. razlomci čiji je brojnik manji od nazivnika, nazvao pravilni razlomci.

Kao što znate, bilo koji obični razlomak, i točne i netočne, mogu se smatrati rezultatom dijeljenja brojnika s nazivnikom. Stoga, u matematici, za razliku od obični jezik, izraz "nepravi razlomak" ne znači da smo nešto pogriješili, već samo da taj razlomak ima brojnik veći ili jednak nazivniku.

Ako se broj sastoji od cijelog dijela i razlomka, onda takav razlomci se nazivaju mješoviti.

Na primjer:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je cijeli broj i \(\frac(2)(3) \) je razlomački dio.

Ako je brojnik razlomka \(\frac(a)(b) \) djeljiv s prirodnim brojem n, tada da bi se taj razlomak podijelio s n, njegov brojnik mora biti podijeljen s ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ako brojnik razlomka \(\frac(a)(b) \) nije djeljiv s prirodnim brojem n, tada da biste taj razlomak podijelili s n, trebate pomnožiti njegov nazivnik ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Imajte na umu da drugo pravilo također vrijedi kada je brojnik djeljiv s n. Stoga ga možemo koristiti kada je na prvi pogled teško odrediti je li brojnik razlomka djeljiv s n ili nije.

Akcije s razlomcima. Zbrajanje razlomaka.

S razlomačkim brojevima, kao i s prirodnim brojevima, možete izvoditi aritmetičke operacije. Pogledajmo prvo zbrajanje razlomaka. Lako je zbrajati razlomke s istim nazivnicima. Pronađite, na primjer, zbroj \(\frac(2)(7) \) i \(\frac(3)(7) \). Lako je razumjeti da \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti.

Koristeći slova, pravilo za zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima može se napisati na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ako želite zbrajati razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na zajednički nazivnik. Na primjer:
\(\veliki \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativnost i asocijativnost zbrajanja.

Zbrajanje mješovitih razlomaka

Pozivaju se zapisi poput \(2\frac(2)(3) \). mješovite frakcije. Poziva se broj 2 cijeli dio mješoviti razlomak, a broj \(\frac(2)(3) \) je njegov razlomački dio. Zapis \(2\frac(2)(3) \) čita se ovako: "dvije i dvije trećine".

Dijeljenje broja 8 s brojem 3 daje dva odgovora: \(\frac(8)(3) \) i \(2\frac(2)(3) \). Oni izražavaju isti razlomački broj, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Stoga je nepravi razlomak \(\frac(8)(3) \) predstavljen kao mješoviti razlomak \(2\frac(2)(3) \). U takvim slučajevima kažu da iz nepravog razlomka izdvojio cjelinu.

Oduzimanje razlomaka (frakcijski brojevi)

Oduzimanje razlomački brojevi, kao i prirodni, određuje se na temelju operacije zbrajanja: oduzeti drugi od jednog broja znači pronaći broj koji pri zbrajanju s drugim daje prvi. Na primjer:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) jer \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Pravilo za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima slično je pravilu za zbrajanje takvih razlomaka:
Da biste pronašli razliku između razlomaka s istim nazivnicima, oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostavite isti.

Koristeći slova, ovo pravilo je napisano na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi umnožak napisati kao brojnik, a drugi kao nazivnik.

Koristeći slova, pravilo za množenje razlomaka može se napisati na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Koristeći formulirano pravilo, moguće je pomnožiti razlomak s prirodnim brojem, s mješovita frakcija a također i množenje mješovitih razlomaka. Da biste to učinili, morate prirodni broj napisati kao razlomak s nazivnikom 1, mješoviti razlomak kao nepravi razlomak.

Rezultat množenja treba pojednostaviti (ako je moguće) smanjivanjem razlomka i isticanjem cijelog dijela nepravog razlomka.

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativno i asocijativno svojstvo množenja, kao i svojstvo distributivnosti množenja u odnosu na zbrajanje.

Dijeljenje razlomaka

Uzmite razlomak \(\frac(2)(3) \) i "okrenite" ga zamjenom brojnika i nazivnika. Dobivamo razlomak \(\frac(3)(2) \). Ovaj se razlomak zove obrnuti razlomci \(\frac(2)(3) \).

Ako sada “obrnemo” razlomak \(\frac(3)(2) \), tada ćemo dobiti izvorni razlomak \(\frac(2)(3) \). Stoga se razlomci kao što su \(\frac(2)(3) \) i \(\frac(3)(2) \) nazivaju međusobno inverzni.

Na primjer, razlomci \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18 )(7) \).

Koristeći slova, međusobno inverzne razlomke možemo napisati na sljedeći način: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)

Jasno je da umnožak recipročnih razlomaka je 1. Na primjer: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Koristeći recipročne razlomke, dijeljenje razlomaka može se svesti na množenje.

Pravilo za dijeljenje razlomka razlomkom:
Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednošću djelitelja.

Djetetu je teško razumjeti razlomke. Većina ljudi ima poteškoća s . Prilikom proučavanja teme "zbrajanje razlomaka s cijelim brojevima", dijete pada u stupor, teško mu je riješiti zadatak. U mnogim primjerima mora se izvršiti niz izračuna prije nego što se radnja može izvesti. Na primjer, pretvorite razlomke ili pretvorite nepravi razlomak u pravi.

Jasno objasnite djetetu. Uzmite tri jabuke, od kojih će dvije biti cijele, a treća će biti izrezana na 4 dijela. Od izrezane jabuke odvojite jednu krišku, a preostale tri stavite uz dvije cijele voćke. Dobivamo ¼ jabuke s jedne strane i 2 ¾ s druge strane. Ako ih spojimo, dobit ćemo tri cijele jabuke. Pokušajmo 2 ¾ jabuke smanjiti za ¼, odnosno maknuti još jednu krišku, dobit ćemo 2 2/4 jabuke.

Pogledajmo pobliže akcije s razlomcima, koji uključuju cijele brojeve:

Prvo se prisjetimo pravila izračuna za frakcijski izrazi sa zajedničkim nazivnikom:

Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali to se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju pretvorbu.

Kako pronaći vrijednost izraza u kojem su nazivnici različiti

U nekim zadacima potrebno je pronaći vrijednost izraza kod kojih su nazivnici različiti. Razmotrimo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3

Nađite vrijednost ovog izraza, za ovo nalazimo zajednički nazivnik za dva razlomka.

Za brojeve 7 i 3 to je 21. Cijele dijelove ostavljamo iste, a razlomke smanjujemo na 21, za to prvi razlomak množimo s 3, drugi sa 7, dobivamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da cijeli dijelovi ne podliježu konverziji. Kao rezultat, dobivamo dva razlomka s jednim nazivnikom i izračunavamo njihov zbroj:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Što ako je rezultat zbrajanja nepravi razlomak koji već ima cjelobrojni dio:
2 1/3+3 2/3
NA ovaj slučaj Zbrajanjem cijelih i razlomaka dobivamo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, dakle 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

S pronalaženjem zbroja sve je jasno, analizirajmo oduzimanje:

Iz rečenog slijedi pravilo djelovanja na mješoviti brojevi koji zvuči ovako:

• Ako je potrebno od razlomaka oduzeti cijeli broj, nije potrebno drugi broj prikazati kao razlomak, dovoljno je djelovati samo na cjelobrojnim dijelovima.

Pokušajmo sami izračunati vrijednost izraza:

Pogledajmo više primjera pod slovom "m":

4 5/11-2 8/11, brojnik prvog razlomka manji je od drugog. Da bismo to učinili, uzimamo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobivamo,
3 5/11+11/11=3 cijelo 16/11, oduzmite drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11

• Budite oprezni pri izvršavanju zadatka, ne zaboravite pretvoriti nepravi razlomci u mješoviti, ističući cijeli dio. Da biste to učinili, potrebno je podijeliti vrijednost brojnika s vrijednošću nazivnika, tada ono što se dogodilo zauzima mjesto cijelog dijela, ostatak će biti brojnik, na primjer:

19/4=4 ¾, provjera: 4*4+3=19, u nazivniku 4 ostaje nepromijenjeno.

Rezimirati:

Prije nego što se pristupi zadatku koji se odnosi na razlomke, potrebno je analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije treba napraviti na razlomku da bi rješenje bilo točno. Tražite racionalnija rješenja. ne idi komplicirane načine. Planirajte sve radnje, prvo odlučite skica, pa prebaciti u školsku bilježnicu.

Kako biste izbjegli zabunu pri rješavanju razlomačkih izraza, potrebno je slijediti pravilo niza. Sve odlučite pažljivo, bez žurbe.

U članku ćemo pokazati kako riješiti razlomke na jednostavnom razumljivi primjeri. Shvatimo što je razlomak i razmotrimo rješavanje razlomaka!

koncept razlomci uvodi se u nastavu matematike od 6. razreda srednje škole.

Razlomci izgledaju ovako: ±X / Y, gdje je Y nazivnik, govori na koliko je dijelova cjelina podijeljena, a X je brojnik, govori koliko je takvih dijelova uzeto. Radi jasnoće, uzmimo primjer s tortom:

U prvom slučaju kolač je izrezan na jednake dijelove i uzeta je jedna polovica, tj. 1/2. U drugom slučaju kolač je isječen na 7 dijelova, od kojih su uzeta 4 dijela, tj. 4/7.

Ako dio dijeljenja jednog broja s drugim nije cijeli broj, piše se kao razlomak.

Na primjer, izraz 4:2 \u003d 2 daje cijeli broj, ali 4:7 nije potpuno djeljiv, pa se ovaj izraz piše kao razlomak 4/7.

Drugim riječima frakcija je izraz koji označava dijeljenje dvaju brojeva ili izraza, a koji se piše kosom crtom.

Ako je brojnik manji od nazivnika, razlomak je točan, ako je obrnuto, netočan je. Razlomak može sadržavati cijeli broj.

Na primjer, 5 cijelih 3/4.

Ovaj unos znači da za dobivanje cijelog 6 nije dovoljan jedan dio od četiri.

Ako se želite sjetiti kako riješiti razlomke za 6. razred morate to shvatiti rješavanje razlomaka u osnovi se svodi na razumijevanje nekoliko jednostavnih stvari.

• Razlomak je u biti izraz za razlomak. To je brojčani izraz koji je dio dana vrijednost iz jedne cjeline. Na primjer, razlomak 3/5 izražava da ako nešto cijelo podijelimo na 5 dijelova, a broj dijelova ili dijelova ove cjeline je tri.
• Razlomak može biti manji od 1, na primjer 1/2 (ili u biti polovica), tada je točan. Ako je razlomak veći od 1, npr. 3/2 (tri polovice ili jedan i pol), onda je netočan i radi pojednostavljenja rješenja bolje nam je odabrati cijeli dio 3/2= 1 cijeli 1 /2.
• Razlomci su isti brojevi kao 1, 3, 10, pa čak i 100, samo što brojevi nisu cijeli, već razlomci. S njima možete izvoditi sve iste operacije kao i s brojevima. Brojanje razlomaka nije teže, a dalje konkretni primjeri mi ćemo to pokazati.

Kako riješiti razlomke. Primjeri.

Na razlomke se mogu primijeniti razne aritmetičke operacije.

Dovođenje razlomka na zajednički nazivnik

Na primjer, trebate usporediti razlomke 3/4 i 4/5.

Da bismo riješili problem, prvo pronalazimo najmanji zajednički nazivnik, tj. najmanji broj, koji je djeljiv bez ostatka sa svakim od nazivnika razlomaka

Najmanji zajednički nazivnik (4,5) = 20

Tada se nazivnik obaju razlomaka svodi na najmanji zajednički nazivnik

Odgovor: 15/20

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

Ako je potrebno izračunati zbroj dvaju razlomaka, oni se prvo dovode na zajednički nazivnik, zatim se zbrajaju brojnici, dok nazivnik ostaje nepromijenjen. Razlika razlomaka se razmatra na sličan način, jedina razlika je što se brojnici oduzimaju.

Na primjer, trebate pronaći zbroj razlomaka 1/2 i 1/3

Sada pronađite razliku između razlomaka 1/2 i 1/4

Množenje i dijeljenje razlomaka

Ovdje je rješenje razlomaka jednostavno, ovdje je sve vrlo jednostavno:

• Množenje - brojnici i nazivnici razlomaka se međusobno množe;
• Dijeljenje - prvo dobijemo razlomak, recipročnu vrijednost drugog razlomka, tj. zamijenimo njegov brojnik i nazivnik, nakon čega množimo dobivene razlomke.

Na primjer:

O ovome kako riješiti razlomke, svi. Ako imate pitanja o rješavanje razlomaka, nešto nije jasno, onda napišite u komentarima i mi ćemo vam odgovoriti.

Ako ste profesor, moguće je preuzeti prezentaciju za osnovna škola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) će vam dobro doći.