Als het doel van het modelleren duidelijk is, ontstaat de volgende taak: de taak om te construeren: wiskundig model. In dit stadium worden de initiële veronderstellingen vertaald in een duidelijke, ondubbelzinnige taal van kwantitatieve relaties en worden vage, dubbelzinnige uitspraken of definities geëlimineerd, die misschien worden vervangen door benaderende, maar duidelijke uitspraken die geen verschillende interpretaties toestaan.

De constructie van een wiskundig model wordt in de volgende volgorde uitgevoerd:

1) keuze van het type modellen en submodellen;

2) het ontwerpen van de opbouw en samenstelling van modellen (submodellen);

3) ontwikkeling van individuele submodellen;

4) montage van het model als geheel;

5) identificatie van modelparameters en voorbereiding van initiële gegevens;

6) validatie van het systeemmodel.

In de eerste en tweede subfase wordt de beschrijving van het systeem geformaliseerd: de structuur en essentiële afhankelijkheden tussen de elementen worden vastgesteld. De belangrijkste taak van deze twee subfasen is het verkrijgen van een wiskundige beschrijving van de processen in het gesimuleerde systeem en zijn blokdiagram, die identiek moet zijn aan het blokschema van het industriële systeem.

Bij een hoge systeemcomplexiteit wordt het proces van het functioneren van het systeem in eerste instantie opgedeeld in afzonderlijke, vrij autonome deelprocessen. Het model is dus functioneel onderverdeeld in submodellen, die elk op hun beurt weer kunnen worden onderverdeeld in nog kleinere elementen.

Voor een correct geconstrueerd model is het kenmerkend dat het alleen die patronen onthult die de onderzoeker nodig heeft, en geen rekening houdt met de eigenschappen van het systeem. , niet essentieel voor deze studie. Opgemerkt moet worden dat het origineel en het model tegelijkertijd in sommige opzichten en in andere verschillend moeten zijn, wat het mogelijk maakt om de belangrijkste onderzochte eigenschappen te onderscheiden.

De ontwikkeling van individuele submodellen bestaat uit het samenstellen van hun wiskundige beschrijving: bij het leggen van relaties tussen procesparameters en het identificeren van hun grens- en beginvoorwaarden, evenals bij het formaliseren van het proces in de vorm van een systeem van wiskundige relaties die het bestudeerde object karakteriseren ( technologisch proces). Bij het opstellen van een wiskundige beschrijving wordt ofwel een theoretische ofwel een statistische benadering gebruikt (zie paragraaf 2.2.4).

Bij het uitvoeren van deze fase is het vooral belangrijk om een ​​wiskundig model te kiezen met de minimaal vereiste complexiteit. Als het model van een complex systeem wordt gevormd door simpelweg de complete modellen van subsystemen van lagere niveaus te combineren, kan er een disproportie ontstaan ​​tussen de vereiste nauwkeurigheid en de werkelijke complexiteit van het model. Deze wanverhouding kan worden geëlimineerd door de modellen op een lager niveau te grover te maken (na een gedetailleerde autonome studie ervan). Opties dergelijke verruwing zijn:

Reductie van gedetailleerde beschrijvingen van een meercomponentenproces tot het hoofdcomponent met correctiefactoren;

Consolidatie van toestanden en fasen van processen;

Benadering van de geïdentificeerde afhankelijkheden;

Middelen van de kenmerken van processen door hun argumenten;

Bevriezing langzaam veranderende parameters;

Verminderde nauwkeurigheidseisen voor iteratie;

Verwaarlozing van onderlinge afhankelijkheid van variabelen;

Voor de afgeleide wiskundige relaties worden in de volgende subfase hun parameters geïdentificeerd. Momenteel worden verschillende methoden voor het schatten van parameters veel gebruikt: volgens de methode van de kleinste kwadraten, volgens de methode van maximale waarschijnlijkheid, Bayesian, Markov-schattingen.

Initiële gegevensvoorbereiding bestaat uit het verzamelen en verwerken van de resultaten van waarnemingen van het bestudeerde systeem. Verwerking in een typisch geval bestaat uit de constructie van verdelingsfuncties van de overeenkomstige willekeurige variabelen of de berekening van numerieke kenmerken van verdelingen. Deze initiële gegevens, verkregen als resultaat van de studie op een echt systeem, zullen worden gebruikt als modelparameters wanneer ze op een computer worden geïmplementeerd.

Validatie van het systeemmodel is de eerste van de controles die worden uitgevoerd tijdens de implementatiefase van het model. Aangezien het model een benaderende beschrijving is van het proces van functioneren van een echt systeem , totdat de geldigheid van het model is bewezen , er kan niet worden beweerd dat met zijn hulp resultaten zullen worden verkregen die overeenkomen met die welke zouden kunnen worden verkregen bij het uitvoeren van een volledig experiment met een echt systeem . Daarom bepaalt het bepalen van de betrouwbaarheid van het model de mate van vertrouwen in de resultaten die door de modelleringsmethode worden verkregen. Controle van het model in de beschouwde subfase zou een antwoord moeten geven op de vraag in hoeverre het logische schema van het systeemmodel en de gebruikte wiskundige relaties de bedoeling van het in de eerste fase gevormde model weerspiegelen. Tegelijkertijd worden de mogelijkheid om de taak op te lossen, de nauwkeurigheid van de weerspiegeling van het idee in het logische schema, de volledigheid van het logische schema van het model, de juistheid van de gebruikte wiskundige relaties gecontroleerd.

Pas nadat de ontwikkelaar door een passende verificatie van de juistheid van al deze voorzieningen is overtuigd, kan worden aangenomen dat het ontwikkelde logicaschema van het systeemmodel geschikt voor verder werken aan de implementatie van het model op een computer.

Stuur uw goede werk in de kennisbank is eenvoudig. Gebruik het onderstaande formulier

Goed werk naar site">

Studenten, afstudeerders, jonge wetenschappers die de kennisbasis gebruiken in hun studie en werk zullen je zeer dankbaar zijn.

Vergelijkbare documenten

Het belang van wiskunde in ons leven. De geschiedenis van de rekening. De ontwikkeling van methoden voor computationele wiskunde op dit moment. Het gebruik van wiskunde in andere wetenschappen, de rol wiskundige modellering. De staat van wiskundig onderwijs in Rusland.

artikel, toegevoegd 01/05/2010


Basisconcepten van wiskundige modellering, kenmerken van de fasen van het maken van modellen van productieplanningstaken en transporttaken; analytische en programmatische benaderingen van hun oplossing. Simplex-methode voor het oplossen van problemen lineair programmeren.

scriptie, toegevoegd 12/11/2011


Het proces van het selecteren of bouwen van een model om onder bepaalde voorwaarden bepaalde eigenschappen van een origineel te onderzoeken. Stadia van het modelleringsproces. Wiskundige modellen en hun typen. Geschiktheid van wiskundige modellen. Mismatch tussen origineel en model.

test, toegevoegd 10/09/2016


Essentie van wiskundige modellering. Analytische en simulatie wiskundige modellen. Geometrische, kinematische en vermogensanalyse van mechanismen van hefscharnierinrichtingen. Berekening voor de stabiliteit van een mobiele landbouweenheid.

scriptie, toegevoegd 18-12-2015


Wiskundige modellering van problemen commerciële activiteiten op het voorbeeld van het modelleren van het proces van het kiezen van een product. Methoden en modellen van lineaire programmering (bepalen van het dagelijkse plan voor de productie van producten die het maximale inkomen uit de verkoop opleveren).

test, toegevoegd 16/02/2011


Wiskunde als een uiterst krachtig en flexibel hulpmiddel bij de studie van de wereld. De rol van wiskunde in industrieel gebied, bouw, medicijnen en het menselijk leven. De plaats van wiskundige modellering bij het maken van verschillende architecturale modellen.

presentatie, toegevoegd 31-03-2015


De belangrijkste stadia van wiskundige modellering - een benaderende beschrijving van een klasse van verschijnselen of objecten echte wereld in de taal van de wiskunde. Informatiecoderingsmethoden. Een apparaat bouwen waarmee je morsecode in machinecode kunt vertalen.

scriptie, toegevoegd 28-06-2011


Toepassing van het MathCAD-systeem bij het oplossen van toegepaste problemen van technische aard. Basismiddelen voor wiskundige modellering. Beslissing differentiaalvergelijkingen. Het MathCad-systeem gebruiken om wiskundige modellen van elektrische circuits te implementeren.

scriptie, toegevoegd 17-11-2016

College 1

METHODOLOGISCHE BASIS VAN MODELLEN

De huidige stand van zaken van het probleem van systeemmodellering

Concepten van modellering en simulatie

Modellering kan worden beschouwd als een vervanging van het onderzochte object (origineel) door zijn voorwaardelijke afbeelding, beschrijving of een ander object, genaamd model- en het leveren van gedrag dat dicht bij het origineel ligt binnen bepaalde aannames en acceptabele fouten. Modellering wordt meestal uitgevoerd met als doel de eigenschappen van het origineel te kennen door het model ervan te onderzoeken, en niet het object zelf. Modellering is natuurlijk gerechtvaardigd in het geval dat het eenvoudiger is dan het origineel zelf te maken, of wanneer het om de een of andere reden beter is om helemaal niet te maken.

Onder model- Onder een fysiek of abstract object wordt verstaan ​​waarvan de eigenschappen in zekere zin vergelijkbaar zijn met de eigenschappen van het bestudeerde object. In dit geval worden de vereisten voor het model bepaald door het probleem dat wordt opgelost en de beschikbare middelen. Er zijn een aantal algemene vereisten voor modellen:

2) volledigheid - de ontvanger voorzien van alle benodigde informatie

over het voorwerp;

3) flexibiliteit - het vermogen om verschillende situaties in alles te reproduceren

scala aan veranderende omstandigheden en parameters;

4) de complexiteit van de ontwikkeling moet acceptabel zijn voor het bestaande

tijd en software.

Modellering is het proces van het bouwen van een model van een object en het bestuderen van de eigenschappen ervan door het model te onderzoeken.

Modellering omvat dus 2 hoofdfasen:

1) modelontwikkeling;

2) studie van het model en het trekken van conclusies.

Tegelijkertijd wordt in elke fase verschillende taken en gebruikt

wezenlijk verschillende methoden en middelen.

In de praktijk toepassen verschillende methoden modellering. Afhankelijk van de implementatiemethode kunnen alle modellen worden onderverdeeld in twee grote klassen: fysiek en wiskundig.

Wiskundige modellering Het is gebruikelijk om het te beschouwen als een middel om processen of verschijnselen te bestuderen met behulp van hun wiskundige modellen.

Onder fysieke modellering verwijst naar de studie van objecten en verschijnselen op fysieke modellen, wanneer het bestudeerde proces wordt gereproduceerd met behoud van zijn fysieke aard of gebruik een ander fysiek fenomeen dat lijkt op het fenomeen dat wordt bestudeerd. Waarin fysieke modellen In de regel gaan ze uit van de werkelijke belichaming van die fysieke eigenschappen van het origineel die essentieel zijn in een bepaalde situatie.Bij het ontwerpen van een nieuw vliegtuig wordt bijvoorbeeld het model gemaakt dat dezelfde aerodynamische eigenschappen heeft; bij het plannen van een gebouw maken architecten een lay-out die de ruimtelijke ordening van de elementen weerspiegelt. In dit opzicht wordt fysieke modellering ook wel prototypen.

HIL-modellering is een studie van gecontroleerde systemen op simulatiecomplexen met de opname van echte apparatuur in het model. Naast echte apparatuur omvat het gesloten model impact- en interferentiesimulatoren, wiskundige modellen van de externe omgeving en processen, waarvoor geen voldoende nauwkeurige wiskundige beschrijving bekend is. Het opnemen van echte apparatuur of echte systemen in het circuit voor het modelleren van complexe processen maakt het mogelijk om a priori onzekerheid te verminderen en processen te verkennen waarvoor geen exacte wiskundige beschrijving bestaat. Met behulp van semi-natuurlijke simulatie worden studies uitgevoerd waarbij rekening wordt gehouden met kleine tijdconstanten en niet-lineariteiten die inherent zijn aan echte apparatuur. Bij de studie van modellen met toevoeging van echte apparatuur, wordt het concept gebruikt dynamische simulatie, in de studie ingewikkelde systemen en verschijnselen - evolutionair, imitatie en cybernetische simulatie.

Het is duidelijk dat het echte voordeel van modellering alleen kan worden verkregen als aan twee voorwaarden wordt voldaan:

1) het model geeft een juiste (adequate) weergave van eigenschappen

het origineel, belangrijk vanuit het oogpunt van de onderzochte operatie;

2) het model maakt het mogelijk om de hierboven genoemde problemen, die inherent zijn, te elimineren

onderzoek doen naar echte objecten.

2. Basisconcepten van wiskundige modellering

De oplossing van praktische problemen door wiskundige methoden wordt consequent uitgevoerd door het probleem te formuleren (ontwikkeling van een wiskundig model), een methode te kiezen om het verkregen wiskundige model te bestuderen en het verkregen wiskundige resultaat te analyseren. De wiskundige formulering van het probleem wordt meestal gepresenteerd in de vorm van geometrische afbeeldingen, functies, stelsels van vergelijkingen, enz. De beschrijving van een object (fenomeen) kan worden weergegeven met behulp van continue of discrete, deterministische of stochastische en andere wiskundige vormen.

Theorie van wiskundige modellering zorgt voor de identificatie van regelmatigheden in de stroom van verschillende fenomenen van de omringende wereld of de werking van systemen en apparaten door hun wiskundige beschrijving en modellering zonder veldtesten. In dit geval worden de bepalingen en wetten van de wiskunde gebruikt die de gesimuleerde verschijnselen, systemen of apparaten beschrijven op een bepaald niveau van hun idealisering.

Wiskundig model (MM) is een geformaliseerde beschrijving van een systeem (of bewerking) in een abstracte taal, bijvoorbeeld in de vorm van een reeks wiskundige relaties of een algoritmeschema, d.w.z. e) een dergelijke wiskundige beschrijving die een imitatie geeft van de werking van systemen of apparaten op een niveau dat voldoende dicht bij hun werkelijke gedrag ligt, verkregen tijdens volledige tests van systemen of apparaten.

Elke MM beschrijft een echt object, fenomeen of proces met een zekere mate van benadering van de werkelijkheid. Het type MM hangt zowel af van de aard van het werkelijke object als van de doelstellingen van het onderzoek.

Wiskundige modellering sociale, economische, biologische en fysieke verschijnselen, objecten, systemen en verschillende apparaten is een van de belangrijkste manieren om de natuur te begrijpen en een grote verscheidenheid aan systemen en apparaten te ontwerpen. Er zijn voorbeelden bekend van het effectieve gebruik van modellering bij het creëren van nucleaire technologieën, luchtvaart- en ruimtevaartsystemen, bij de voorspelling van atmosferische en oceanische verschijnselen, het weer, enz.

Dergelijke serieuze gebieden van modellering vereisen echter vaak supercomputers en jarenlang werk van grote teams van wetenschappers om gegevens voor te bereiden voor modellering en het debuggen ervan. Desalniettemin, ook in dit geval, bespaart wiskundige modellering van complexe systemen en apparaten niet alleen geld op onderzoek en testen, maar kan het ook milieurampen elimineren - het stelt u bijvoorbeeld in staat om het testen van nucleaire en thermonucleaire wapens in het voordeel van de wiskundige modellering of het testen van ruimtevaartsystemen vóór hun daadwerkelijke vluchten Ondertussen wiskundige modellering op het niveau van het oplossen van eenvoudigere problemen, bijvoorbeeld op het gebied van mechanica, elektrotechniek, elektronica, radiotechniek en vele andere wetenschapsgebieden en technologie is nu beschikbaar voor prestaties op moderne pc's. En bij gebruik van gegeneraliseerde modellen wordt het mogelijk om vrij complexe systemen te modelleren, bijvoorbeeld telecommunicatiesystemen en -netwerken, radar- of radionavigatiesystemen.

Het doel van wiskundige modellering is de analyse van reële processen (in de natuur of technologie) door wiskundige methoden. Dit vereist op zijn beurt de formalisering van het MM-proces dat moet worden onderzocht. Het model kan een wiskundige uitdrukking zijn die variabelen bevat waarvan het gedrag vergelijkbaar is met het gedrag van een echt systeem. Het model kan elementen van willekeur bevatten die rekening houden met de waarschijnlijkheden van mogelijke acties van twee of meer"spelers", zoals bijvoorbeeld in de speltheorie; of het kan de echte variabelen vertegenwoordigen van de onderling verbonden delen van het besturingssysteem.

Wiskundige modellering voor het bestuderen van de kenmerken van systemen kan worden onderverdeeld in analytisch, simulatie en gecombineerd. Op hun beurt zijn MM onderverdeeld in simulatie en analytisch.

Analytische modellering

Voor analytische modellering het is kenmerkend dat de werkingsprocessen van het systeem zijn geschreven in de vorm van enkele functionele relaties (algebraïsche, differentiële, integraalvergelijkingen). Het analytische model kan op de volgende manieren worden onderzocht:

1) analytisch, wanneer ze ernaar streven om in algemeen beeld expliciete afhankelijkheden voor systeemkenmerken;

2) numeriek, wanneer het niet mogelijk is om een ​​oplossing te vinden voor vergelijkingen in algemene vorm en ze worden opgelost voor specifieke initiële gegevens;

3) kwalitatief, wanneer, bij afwezigheid van een oplossing, enkele van zijn eigenschappen worden gevonden.

Analytische modellen kunnen alleen worden verkregen voor relatief eenvoudige systemen. Bij complexe systemen ontstaan ​​vaak grote wiskundige problemen. Om de analytische methode toe te passen, gaat men naar een aanzienlijke vereenvoudiging van het oorspronkelijke model. Een onderzoek naar een vereenvoudigd model helpt echter om alleen indicatieve resultaten te verkrijgen. Analytische modellen geven wiskundig correct de relatie tussen invoer- en uitvoervariabelen en parameters weer. Maar hun structuur weerspiegelt niet de interne structuur van het object.

Bij analytische modellering worden de resultaten gepresenteerd in de vorm van analytische uitdrukkingen. Door bijvoorbeeld verbinding te maken met RC- circuit naar bron constante spanning E(R, C en E zijn de componenten van dit model), kunnen we een analytische uitdrukking maken voor de tijdsafhankelijkheid van de spanning jij(t) op de condensator C:

Dit is een lineaire differentiaalvergelijking (DE) en is een analytisch model van dit eenvoudige lineaire circuit. De analytische oplossing, onder de beginvoorwaarde: jij(0) = 0, wat een ontladen condensator betekent C aan het begin van de simulatie, kunt u de vereiste afhankelijkheid vinden - in de vorm van een formule:

jij(t) = E(1− exp(- t/RC)). (2)

Maar zelfs in dit eenvoudigste voorbeeld zijn bepaalde inspanningen vereist om differentiaalvergelijking (1) op te lossen of toe te passen computer wiskunde systemen(SCM) met symbolische berekeningen - computeralgebrasystemen. Voor dit vrij triviale geval is de oplossing van het probleem van het modelleren van een lineaire RC-circuit geeft een analytische uitdrukking (2) van een vrij algemene vorm - het is geschikt voor het beschrijven van de werking van het circuit voor alle componentclassificaties R, C en E, en beschrijft de exponentiële lading van de condensator C via een weerstand R van een constante spanningsbron E.

Ongetwijfeld blijkt het vinden van analytische oplossingen in analytische modellering uiterst waardevol voor het onthullen van de algemene theoretische wetten van eenvoudige lineaire circuits, systemen en apparaten. De complexiteit neemt echter sterk toe naarmate de impact op het model complexer wordt en de volgorde en het aantal van toestandsvergelijkingen die het gemodelleerde object beschrijven, nemen toe. U kunt min of meer zichtbare resultaten krijgen bij het modelleren van objecten van de tweede of derde orde, maar zelfs met een hogere orde worden analytische uitdrukkingen buitengewoon omslachtig, complex en moeilijk te begrijpen. Zo bevat zelfs een simpele elektronische versterker vaak tientallen componenten. Veel moderne SCM's, zoals systemen van symbolische wiskunde Esdoorn, Mathematica of woensdag MATLAB in staat om de oplossing voor een groot deel te automatiseren uitdagende taken analytische modellering.

Een type modellering is: numerieke simulatie, die bestaat uit het verkrijgen van de noodzakelijke kwantitatieve gegevens over het gedrag van systemen of apparaten door middel van elke geschikte numerieke methode, zoals de Euler- of Runge-Kutta-methoden. In de praktijk is de modellering van niet-lineaire systemen en apparaten met behulp van numerieke methoden veel efficiënter dan de analytische modellering van individuele private lineaire circuits, systemen of apparaten. Bijvoorbeeld om DE (1) of systemen van DE's op te lossen moeilijke gevallen een oplossing in analytische vorm wordt niet verkregen, maar numerieke simulatiegegevens kunnen worden gebruikt om voldoende volledige gegevens te verkrijgen over het gedrag van de gesimuleerde systemen en apparaten, evenals om grafieken te plotten die dit gedrag van afhankelijkheden beschrijven.

Simulatie

Bij imitatie Bij modellering reproduceert het algoritme dat het model implementeert het proces van het functioneren van het systeem in de tijd. De elementaire fenomenen waaruit het proces bestaat, worden nagebootst, met behoud van hun logische structuur en de volgorde van de stroom in de tijd.

Het belangrijkste voordeel van simulatiemodellen in vergelijking met analytische modellen is het vermogen om complexere problemen op te lossen.

Simulatiemodellen maken het gemakkelijk om rekening te houden met de aanwezigheid van discrete of continue elementen, niet-lineaire kenmerken, willekeurige effecten, enz. Daarom wordt deze methode veel gebruikt in de ontwerpfase van complexe systemen. Het belangrijkste hulpmiddel voor de implementatie van simulatiemodellering is een computer die digitale modellering van systemen en signalen mogelijk maakt.

In dit verband definiëren we de uitdrukking " computermodellering”, dat steeds vaker in de literatuur wordt gebruikt. We gaan ervan uit dat computermodellering- dit is wiskundige modellering met behulp van computertechnologie. Dienovereenkomstig omvat computersimulatietechnologie de volgende acties:

1) definitie van het doel van modellering;

2) ontwikkeling van een conceptueel model;

3) formalisering van het model;

4) software-implementatie van het model;

5) planning van modelexperimenten;

6) uitvoering van het experimentplan;

7) analyse en interpretatie van simulatieresultaten.

Bij simulatiemodellering de gebruikte MM reproduceert het algoritme ("logica") van de werking van het bestudeerde systeem in de tijd voor verschillende combinaties van waarden van de parameters van het systeem en de omgeving.

Een voorbeeld van het eenvoudigste analytische model is de vergelijking van uniforme rechtlijnige beweging. Bij het bestuderen van een dergelijk proces met behulp van een simulatiemodel, moet observatie van de verandering in het afgelegde pad in de tijd worden geïmplementeerd.Het is duidelijk dat in sommige gevallen analytische modellering meer de voorkeur heeft, in andere - simulatie (of een combinatie van beide). Om een ​​goede keuze te kunnen maken, moeten twee vragen worden beantwoord.

Wat is het doel van modelleren?

In welke klasse kan het gesimuleerde fenomeen worden ingedeeld?

Antwoorden op beide vragen kunnen worden verkregen tijdens de uitvoering van de eerste twee fasen van het modelleren.

Simulatiemodellen komen niet alleen in eigenschappen, maar ook in structuur overeen met het object dat wordt gemodelleerd. In dit geval is er een ondubbelzinnige en expliciete overeenkomst tussen de processen die op het model worden verkregen en de processen die op het object plaatsvinden. Het nadeel van simulatiemodellering is dat het lang duurt om het probleem op te lossen om een ​​goede nauwkeurigheid te verkrijgen.

De resultaten van simulatiemodellering van de werking van een stochastisch systeem zijn realisaties willekeurige variabelen of processen. Om de kenmerken van het systeem te vinden, zijn daarom meerdere herhalingen en daaropvolgende gegevensverwerking vereist. Meestal wordt in dit geval een type simulatie gebruikt - statistisch

modellering(of de Monte Carlo-methode), d.w.z. reproductie in modellen van willekeurige factoren, gebeurtenissen, hoeveelheden, processen, velden.

Op basis van de resultaten van statistische modellering worden schattingen bepaald van probabilistische kwaliteitscriteria, algemeen en bijzonder, die de werking en efficiëntie van het gecontroleerde systeem karakteriseren. Statistische modellering wordt veel gebruikt om wetenschappelijke en toegepaste problemen op verschillende gebieden van wetenschap en technologie op te lossen. Methoden voor statistische modellering worden veel gebruikt bij de studie van complexe dynamische systemen, de evaluatie van hun functioneren en efficiëntie.

De laatste fase van statistische modellering is gebaseerd op de wiskundige verwerking van de verkregen resultaten. Hier worden methoden van wiskundige statistiek gebruikt (parametrische en niet-parametrische schatting, hypothesetoetsing). Een voorbeeld van een parametrische beoordeling is het steekproefgemiddelde van een prestatiemaatstaf. Van de niet-parametrische methoden, de meest gebruikte histogram methode:.

Het overwogen schema is gebaseerd op meerdere statistische tests van het systeem en methoden van statistiek van onafhankelijke willekeurige variabelen. Dit schema is in de praktijk lang niet altijd natuurlijk en optimaal in termen van kosten. De systeemtesttijd kan worden verkort door nauwkeurigere schattingsmethoden te gebruiken. Zoals bekend is uit wiskundige statistieken, hebben effectieve schattingen de hoogste nauwkeurigheid voor een gegeven steekproefomvang. Optimale filtering en de maximale waarschijnlijkheidsmethode geven algemene methode: het verkrijgen van dergelijke schattingen Bij de problemen van statistische modellering is de verwerking van realisaties van willekeurige processen niet alleen noodzakelijk voor de analyse van outputprocessen.

Het is ook erg belangrijk om de kenmerken van willekeurige invoereffecten te controleren. De controle bestaat uit het controleren of de verdelingen van de gegenereerde processen overeenkomen met de gegeven verdelingen. Deze taak wordt vaak geformuleerd als: taak voor het testen van hypothesen.

De algemene trend in computerondersteunde simulatie van complexe gecontroleerde systemen is de wens om de simulatietijd te verkorten en om onderzoek in realtime uit te voeren. Computationele algoritmen worden handig weergegeven in een terugkerende vorm die hun implementatie in het tempo van de huidige informatie mogelijk maakt.

PRINCIPES VAN EEN SYSTEEMBENADERING IN MODELLERING

Grondbeginselen van systeemtheorie

De belangrijkste bepalingen van de systeemtheorie zijn ontstaan ​​in de loop van de studie van dynamische systemen en hun functionele elementen. Een systeem wordt opgevat als een groep onderling verbonden elementen die samenwerken om een ​​vooraf bepaalde taak uit te voeren. Systeemanalyse stelt u in staat om de meest echte manieren uitvoering van de gestelde taak, waarbij maximale voldoening aan de gestelde eisen wordt gegarandeerd.

De elementen die ten grondslag liggen aan de systeemtheorie worden niet gecreëerd met behulp van hypothesen, maar worden experimenteel ontdekt. Om te beginnen met het bouwen van een systeem, is het noodzakelijk om algemene kenmerken van technologische processen te hebben. Hetzelfde geldt voor de principes van het creëren van wiskundig geformuleerde criteria waaraan een proces of de theoretische beschrijving ervan moet voldoen. Modelleren is een van de meest belangrijke methoden wetenschappelijk onderzoek en experimenten.

Bij het bouwen van modellen van objecten wordt een systematische benadering gebruikt, wat een methodologie is voor het oplossen van complexe problemen, die gebaseerd is op de overweging van een object als een systeem dat in een bepaalde omgeving werkt. De systeembenadering omvat de onthulling van de integriteit van het object, de identificatie en studie van de interne structuur, evenals verbindingen met de externe omgeving. In dit geval wordt het object gepresenteerd als een deel van de echte wereld, die wordt geïdentificeerd en bestudeerd in verband met het probleem van het bouwen van een model dat wordt opgelost. Daarnaast, systeem benadering omvat een consistente overgang van het algemene naar het bijzondere, wanneer de afweging is gebaseerd op het ontwerpdoel en het object wordt beschouwd in relatie tot de omgeving.

Een complex object kan worden onderverdeeld in subsystemen, dit zijn onderdelen van het object die aan de volgende eisen voldoen:

1) het subsysteem is een functioneel onafhankelijk onderdeel van het object. Het is verbonden met andere subsystemen, wisselt informatie en energie met hen uit;

2) voor elk subsysteem kunnen functies of eigenschappen worden gedefinieerd die niet overeenkomen met de eigenschappen van het gehele systeem;

3) elk van de subsystemen kan verder worden onderverdeeld naar het niveau van elementen.

In dit geval wordt een element opgevat als een subsysteem van het lagere niveau, waarvan de verdere verdeling ondoelmatig is vanuit het standpunt van het probleem dat wordt opgelost.

Een systeem kan dus worden gedefinieerd als een representatie van een object in de vorm van een reeks subsystemen, elementen en relaties met het oog op de creatie, het onderzoek of de verbetering ervan. Tegelijkertijd wordt een vergrote weergave van het systeem, dat de belangrijkste subsystemen en verbindingen daartussen omvat, een macrostructuur genoemd, en een gedetailleerde onthulling van de interne structuur van het systeem op het niveau van elementen wordt een microstructuur genoemd.

Naast het systeem is er meestal een supersysteem - een systeem van een hoger niveau, dat het object in kwestie omvat, en de functie van elk systeem kan alleen worden bepaald via het supersysteem.

Het is noodzakelijk om het concept van de omgeving te onderscheiden als een verzameling objecten van de externe wereld die de efficiëntie van het systeem aanzienlijk beïnvloeden, maar die geen deel uitmaken van het systeem en zijn supersysteem.

In samenhang met de systematische benadering van bouwmodellen wordt het begrip infrastructuur gebruikt, dat de relatie van het systeem met zijn omgeving (omgeving) beschrijft, in dit geval de selectie, beschrijving en bestudering van de eigenschappen van een object die essentieel zijn binnen een specifieke taak wordt de gelaagdheid van een object genoemd, en elk model van een object is de gelaagde beschrijving ervan.

Voor een systematische aanpak is het belangrijk om de structuur van het systeem te bepalen, d.w.z. reeks koppelingen tussen de elementen van het systeem, die hun interactie weerspiegelen. Om dit te doen, beschouwen we eerst de structurele en functionele benaderingen van modellering.

Met een structurele aanpak wordt de samenstelling van de geselecteerde elementen van het systeem en de verbanden daartussen zichtbaar. Het geheel van elementen en relaties maakt het mogelijk om de structuur van het systeem te beoordelen. De meest algemene beschrijving van een structuur is een topologische beschrijving. Hiermee kunt u de componenten van het systeem en hun relaties definiëren met behulp van grafieken. Minder algemeen is de functionele beschrijving wanneer afzonderlijke functies worden beschouwd, d.w.z. algoritmen voor het gedrag van het systeem. Tegelijkertijd wordt een functionele benadering geïmplementeerd die de functies bepaalt die het systeem vervult.

Op basis van een systematische benadering kan een reeks modelontwikkeling worden voorgesteld, waarbij twee hoofdfasen van ontwerp worden onderscheiden: macro-ontwerp en micro-ontwerp.

In de macro-ontwerpfase wordt een model van de externe omgeving gebouwd, middelen en beperkingen geïdentificeerd, een systeemmodel en criteria voor het beoordelen van de geschiktheid geselecteerd.

De fase van microdesign hangt grotendeels af van het specifieke type model dat is gekozen. In het algemeen gaat het om het creëren van informatie, wiskundige, technische en softwarematige ondersteuning voor het modelleringssysteem. In dit stadium worden de belangrijkste technische kenmerken van het gemaakte model vastgesteld, worden de tijdsduur van het werken ermee en de kosten van middelen geschat om de gegeven kwaliteit van het model te verkrijgen.

Ongeacht het type model, bij het bouwen ervan, moet u zich laten leiden door een aantal principes van een systematische aanpak:

1) consistente voortgang door de stadia van het maken van een model;

2) coördinatie van informatie, middelen, betrouwbaarheid en andere kenmerken;

3) de juiste verhouding van verschillende niveaus van modelbouw;

4) de integriteit van de afzonderlijke fasen van het modelontwerp.

Om een ​​wiskundig model te bouwen, heb je nodig:

1. analyseer zorgvuldig het echte object of proces;
2. markeer de belangrijkste kenmerken en eigenschappen ervan;
3. variabelen definiëren, d.w.z. parameters waarvan de waarden de belangrijkste kenmerken en eigenschappen van het object beïnvloeden;
4. afhankelijkheid beschrijven basiseigenschappen object, proces of systeem uit de waarde van variabelen met behulp van logische en wiskundige relaties (vergelijkingen, gelijkheden, ongelijkheden, logische en wiskundige constructies);
5. de interne verbindingen van een object, proces of systeem benadrukken met behulp van beperkingen, vergelijkingen, gelijkheden, ongelijkheden, logische en wiskundige constructies;
6. definiëren Externe links en beschrijf ze met behulp van beperkingen, vergelijkingen, gelijkheden, ongelijkheden, logische en wiskundige constructies.

Wiskundige modellering omvat naast het bestuderen van een object, proces of systeem en het samenstellen van hun wiskundige beschrijving ook:

1. constructie van een algoritme dat het gedrag van een object, proces of systeem modelleert;
2. het controleren van de geschiktheid van het model en object, proces of systeem op basis van computationeel en natuurlijk experiment;
3. modelaanpassing;
4. het model gebruiken.

De wiskundige beschrijving van de bestudeerde processen en systemen hangt af van:

1. de aard van een echt proces of systeem en is samengesteld op basis van de wetten van de natuurkunde, scheikunde, mechanica, thermodynamica, hydrodynamica, elektrotechniek, de plasticiteitstheorie, de elasticiteitstheorie, enz.
2. de vereiste betrouwbaarheid en nauwkeurigheid van de studie en bestudering van reële processen en systemen.

De constructie van een wiskundig model begint meestal met de constructie en analyse van het eenvoudigste, meest ruwe wiskundige model van het object, proces of systeem in kwestie. In de toekomst wordt het model, indien nodig, verfijnd, de overeenstemming met het object wordt completer.

Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen. Noodzaak om de oppervlakte te bepalen bureau. Meestal worden hiervoor de lengte en breedte gemeten en vervolgens worden de resulterende getallen vermenigvuldigd. Zo'n elementaire procedure betekent eigenlijk het volgende: het echte object (tafeloppervlak) wordt vervangen door een abstract wiskundig model - een rechthoek. De afmetingen die zijn verkregen als resultaat van het meten van de lengte en breedte van het tafeloppervlak, worden toegeschreven aan de rechthoek en het gebied van een dergelijke rechthoek wordt ongeveer genomen als het gewenste oppervlak van de tafel. Het rechthoekige bureaumodel is echter het eenvoudigste, meest ruwe model. Met een serieuzere benadering van het probleem, moet dit model worden gecontroleerd voordat het rechthoekmodel wordt gebruikt om het tafeloppervlak te bepalen. Controles kunnen als volgt worden uitgevoerd: meet de lengtes tegenovergestelde kanten tafel, evenals de lengte van de diagonalen en vergelijk ze met elkaar. Als, met de vereiste mate van nauwkeurigheid, de lengtes van de tegenoverliggende zijden en de lengtes van de diagonalen paarsgewijs gelijk zijn, dan kan het oppervlak van de tafel inderdaad als een rechthoek worden beschouwd. Anders moet het rechthoekmodel worden afgewezen en vervangen door een algemeen vierhoeksmodel. Bij een hogere eis aan nauwkeurigheid kan het nodig zijn om het model nog verder te verfijnen, bijvoorbeeld om rekening te houden met de afronding van de hoeken van de tafel.

Met behulp hiervan een eenvoudig voorbeeld er werd aangetoond dat het wiskundige model niet uniek wordt bepaald door het onderzochte object, proces of systeem.

OF (wordt morgen bevestigd)

Manieren om mat op te lossen. modellen:

1, Constructie van m. op basis van de natuurwetten (analytische methode)

2. Formele manier met behulp van statistiek. Verwerking en meetresultaten (statistische benadering)

3. Constructie van een meter op basis van een model van elementen (complexe systemen)

1, Analytisch - gebruik bij voldoende studie. Algemeen patroon: Izv. modellen.

2. experimenteren. Bij gebrek aan informatie

3. Imitatie m. - onderzoekt de eigenschappen van het object sst. Over het algemeen.

Een voorbeeld van het bouwen van een wiskundig model.

Wiskundig model- Deze wiskundige representatie realiteit.

Wiskundige modellering is het proces van het construeren en bestuderen van wiskundige modellen.

Allemaal natuurlijk en sociale wetenschappen gebruik makend van wiskundig apparaat, zijn in feite bezig met wiskundige modellering: ze vervangen een object door zijn wiskundig model en bestuderen dit vervolgens. De verbinding van een wiskundig model met de werkelijkheid wordt gerealiseerd met behulp van een aaneenschakeling van hypothesen, idealiseringen en vereenvoudigingen. Via wiskundige methoden beschrijft in de regel een ideaal object dat is gebouwd in het stadium van zinvolle modellering.

Waarom zijn modellen nodig?

Heel vaak ontstaan ​​er bij het bestuderen van een object moeilijkheden. Het origineel zelf is soms niet beschikbaar, of het gebruik ervan is niet aan te raden, of de betrokkenheid van het origineel is kostbaar. Al deze problemen kunnen worden opgelost met behulp van simulatie. Het model kan in zekere zin het bestudeerde object vervangen.

De eenvoudigste voorbeelden van modellen

§ Een foto is een model van een persoon te noemen. Om een ​​persoon te herkennen, volstaat het om zijn foto te zien.

§ De architect maakte de indeling van de nieuwe woongebied. Hij kan zijn hand bewegen hoog gebouw van het ene deel naar het andere. In werkelijkheid zou dit niet mogelijk zijn.

Modeltypes

Modellen kunnen worden onderverdeeld in: materiaal" en ideaal. de bovenstaande voorbeelden zijn: materiaal modellen. Ideale modellen zijn vaak symbolisch. In dit geval worden echte concepten vervangen door enkele tekens, die gemakkelijk op papier, in het computergeheugen, enz. Kunnen worden vastgelegd.

Wiskundige modellering

Wiskundige modellering behoort tot de klasse van tekenmodellering. Tegelijkertijd kunnen modellen worden gemaakt op basis van elke wiskundige objecten: getallen, functies, vergelijkingen, enz.

Een wiskundig model bouwen

§ Er zijn verschillende fasen bij het construeren van een wiskundig model:

1. De taak begrijpen, de belangrijkste kwaliteiten, eigenschappen, waarden en parameters voor ons benadrukken.

2. Introductie van notatie.

3. Opstellen van een stelsel van beperkingen waaraan de ingevoerde waarden moeten voldoen.

4. Formuleren en vastleggen van de voorwaarden waaraan de gewenste optimale oplossing moet voldoen.

Het modelleringsproces eindigt niet bij het samenstellen van het model, maar begint er pas mee. Nadat ze een model hebben samengesteld, kiezen ze een methode om het antwoord te vinden, het probleem op te lossen. nadat het antwoord is gevonden, vergelijk het met de werkelijkheid. En het kan zijn dat het antwoord niet voldoet, in dat geval wordt het model aangepast of zelfs een heel ander model gekozen.

Voorbeeld van een wiskundig model

Taak

De productievereniging, waar twee meubelfabrieken onder vallen, moet het machinepark vernieuwen. Bovendien moet de eerste meubelfabriek drie machines vervangen, en de tweede zeven. Bestellingen kunnen worden geplaatst bij twee machinefabrieken. De eerste fabriek kan niet meer dan 6 machines produceren en de tweede fabriek accepteert een bestelling als er minimaal drie zijn. Het is nodig om te bepalen hoe bestellingen te plaatsen.

De taken die door LP-methoden worden opgelost, zijn zeer divers van inhoud. Maar hun wiskundige modellen zijn vergelijkbaar en worden conventioneel gecombineerd tot drie grote groepen taken:

• transporttaken;
• taken plannen;

Laten we eens kijken naar voorbeelden van specifieke economische problemen van elk type, en in detail stilstaan ​​bij het bouwen van een model voor elk probleem.

Transporttaak

Op twee handelsbases MAAR en BIJ Er zijn 30 meubelsets, 15 voor elk. Alle meubels moeten worden afgeleverd bij twee meubelzaken, Met en D en in Met je moet 10 headsets inleveren, en in D- 20. Het is bekend dat de levering van één headset vanaf het basisstation MAAR naar de winkel Met kost één munteenheid, naar de winkel D- om drie uur munteenheden s. Volgens de basis BIJ naar winkels Met en D: twee en vijf munteenheden. Maak een transportplan zodat de kosten van al het transport zo laag mogelijk zijn.
Voor het gemak markeren we deze taken in een tabel. Op het snijpunt van rijen en kolommen staan ​​getallen die de kosten van het betreffende transport karakteriseren (tabel 3.1).

Tabel 3.1

Laten we een wiskundig model van het probleem maken.
Variabelen moeten worden ingevoerd. De formulering van de vraag zegt dat het noodzakelijk is om een ​​vervoersplan op te stellen. Aanduiden door X 1 , X 2 aantal headsets vervoerd vanaf het basisstation MAAR naar winkels Met en D respectievelijk, en door Bij 1 , Bij 2 - het aantal headsets dat vanaf het basisstation wordt vervoerd BIJ naar winkels Met en D respectievelijk. Dan de hoeveelheid meubels die uit het magazijn is gehaald MAAR, gelijk aan ( X 1 + X 2) goed uit voorraad BIJ - (Bij 1 + Bij 2). winkel nodig Met is gelijk aan 10 headsets, en ze brachten het ( X 1 + Bij 1) stukken, d.w.z. X 1 + Bij 1 = 10. Zo ook voor de winkel D we hebben X 2 + Bij 2 = 20. Merk op dat de behoeften van winkels precies gelijk zijn aan het aantal headsets op voorraad, dus X 1 + Bij 2 = 15 en Bij 1 + Bij 2 = 15. Als je minder dan 15 sets uit de magazijnen zou halen, zouden de winkels niet genoeg meubilair hebben om aan hun behoeften te voldoen.
Dus de variabelen X 1 , X 2 , Bij 1 , Bij 2 zijn niet-negatief in de betekenis van het probleem en voldoen aan het systeem van beperkingen:
(3.1)
aanduiding door middel van F verzendkosten, laten we ze tellen. voor het vervoer van één meubel van MAAR in Met een dag doorbrengen. eenheden, voor transport x 1 reeksen - x 1 dag eenheden Evenzo, voor vervoer: x 2 sets van MAAR in D kosten 3 x 2 dagen eenheden; van BIJ in MET - 2ja 1 dag eenheden, van BIJ in D - 5ja 2 dagen eenheden
Dus,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2ja 1 + 5ja 2 → min (3.2)
(we willen dat de totale verzendkosten zo laag mogelijk zijn).
Laten we het probleem wiskundig formuleren.
Zoek op de verzameling oplossingen van het beperkingssysteem (3.1) een oplossing die de doelfunctie minimaliseert F(3.2), of vind het optimale plan ( x 1 , x 2, ja 1 , ja 2) bepaald door het systeem van beperkingen (3.1) en de doelfunctie (3.2).
Het probleem dat we hebben overwogen, kan in een meer algemene vorm worden weergegeven, met een willekeurig aantal leveranciers en consumenten.
In het probleem dat we hebben overwogen, is de beschikbaarheid van vracht van leveranciers (15 + 15) gelijk aan de totale behoefte van consumenten (10 + 20). Zo'n model heet gesloten, en de bijbehorende taak is uitgebalanceerd transport taak.
In economische berekeningen belangrijke rol de zogenaamde open modellen, waarin deze gelijkheid niet wordt nageleefd, spelen ook. Ofwel is het aanbod van leveranciers groter dan de vraag van de consumenten, ofwel is de vraag groter dan de beschikbaarheid van goederen. merk op dat dan in het systeem van beperkingen van de onevenwichtige transporttaak samen met de vergelijkingen bevatten ook ongelijkheden.

Beschouw een voorbeeld van een onevenwichtig transportprobleem.
in punten MAAR en BIJ steenfabrieken zijn gevestigd, en in Met en D- Steengroeven die ze van zand voorzien. de behoefte aan zand in fabrieken is kleiner dan de productiviteit van steengroeven. Het is bekend hoeveel zand elk van de fabrieken nodig heeft en hoeveel er in elke steengroeve wordt gewonnen. De kosten van het transporteren van 1 ton zand van elke steengroeve naar de fabrieken zijn ook bekend (cijfers op de pijlen). Het is noodzakelijk om de bevoorrading van fabrieken met zand zo te plannen dat de transportkosten het laagst zijn. Taakgegevens op het diagram.

We construeren een wiskundig model van het probleem.
Laten we variabelen introduceren:
x 11 - het aantal tonnen zand dat uit de groeve wordt vervoerd Met naar de fabriek MAAR;
x 12 - uit een steengroeve Met naar de fabriek MAAR;
x 21 - het aantal tonnen zand in MAAR uit een steengroeve D;
x 22 - het aantal tonnen zand uit de groeve D naar de fabriek BIJ.
Naar fabriek MAAR Vanuit beide open kuilen moet 40 ton aangevoerd worden, dat wil zeggen x 11 + x 21 = 40, fabriek BIJ 50 ton moet worden geleverd, wat betekent: x 12 + x 22 = 50. Uit de steengroeve Met er werd niet meer dan 70 ton geëxporteerd, d.w.z. x 11 + x 12 ≤ 70, vergelijkbaar x 21 + x 22 ≤ 30. We hebben een systeem van beperkingen:
(3.3)
En de objectieve functie F, die de transportkosten uitdrukt, heeft de vorm
F = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22→min. (3.4)

De taak om een ​​plan op te stellen

Sommige fabrieken moeten een optimaal plan opstellen voor de productie van twee soorten producten die op vier soorten machines worden verwerkt. Bepaalde hardwaremogelijkheden en prestaties zijn bekend; de prijs van producten die de fabriek winst opleveren, is 4 duizend roebel. voor een product van type I, 6000 roebel. - voor een product van het type II. Maak een plan voor de productie van deze producten zodat de plant de meeste winst haalt uit de verkoop ervan. De tabel toont de tijd die nodig is om elk van de twee soorten producten te verwerken op apparatuur van alle vier de soorten (tabel 3.2).

Tabel 3.2

Producten	Machinetypes
	1	2	3	4
l	1	0,5	1	0
II	1	1	0	1
Mogelijke machine-uren	18	12	12	9

Laten we een wiskundig model bouwen.
In het probleem is het noodzakelijk om het plan voor de productie van producten te bepalen, aangegeven met x aantal producten van type I, voor ja- het aantal producten van type II. Vervolgens berekenen we hoeveel tijd de eerste machine kwijt is aan het verwerken van alle productieproducten. Ze besteedt één tijdseenheid aan één item van type I, wat betekent: x stukken van producten zullen 1 . besteden x eenheden tijd voor verwerking ja producten van type II kosten 1 ja eenheden tijd. In totaal is de tijdreserve voor de bediening van de eerste machine 18 tijdseenheden. Middelen, x + ja≤ 18. Een soortgelijke redenering met de tweede machine, de derde en de vierde zal een systeem van beperkingen opleveren:
(3.5)
De totale winst wordt uitgedrukt in objectieve functie:
F = 4x + 6ja → maximaal (3.6)
Het probleem is om op de verzameling oplossingen van stelsel (3.5) zo'n oplossing te vinden waarvoor de waarde van de doelfunctie (3.6) maximaal zou zijn.

Mengtaak

Een ander veelvoorkomend LP-probleem is het probleem van de mengselsamenstelling. Een voorbeeld van dergelijke taken kan de taak zijn om mengsels van aardolieproducten samen te stellen die aan bepaalde technische vereisten voldoen en qua kosten het goedkoopst zijn. Of taken over het dieet, wanneer dat nodig is bepaalde stoffen en het gehalte van deze stoffen in verschillende producten. Het is noodzakelijk om het dieet zo samen te stellen dat aan de behoefte aan de benodigde stoffen wordt voldaan en dat tegelijkertijd de voedselmand een minimum aan kosten zou hebben bij gegeven voedselprijzen.
Vrijwel vergelijkbare taken worden bijvoorbeeld op elk veehouderijbedrijf gesteld en hebben zeer groot spectrum toepassingen.
Overweeg een voorbeeld. Voor vleeskippen op een pluimveebedrijf moet hun dieet minimaal 33 eenheden van de stof bevatten MAAR, 23 voedingseenheden BIJ, 12 eenheden Met. Voor het mesten worden drie soorten voer gebruikt. Gegevens over het gehalte aan nutriënten in elk type voer staan ​​in de tabel. Ook de voerkosten zijn bekend. Het is noodzakelijk om het goedkoopste dieet te maken (Tabel 3.3).

Tabel 3.3

Voer producten	stoffen			De kosten van 1 eenheid. streng
	MAAR	BIJ	Met
l	4	3	1	20
II	3	2	1	20
III	2	1	2	10

Om het probleem te begrijpen, kun je je voorstellen dat stoffen MAAR, BIJ, Met- dit zijn vetten, eiwitten, koolhydraten en de producten I, II, III worden gevoerd met bijvoorbeeld gierst, mengvoer, vitaminesupplementen. Dan toont de eerste regel van de tabel de inhoud in één eenheid gierst: 4 eenheden. eiwit, 3 eenheden. vet, een eenheid koolhydraten. De tweede regel - het gehalte aan eiwitten, vetten, koolhydraten in 1 eenheid. II-product, enz.
Als de probleemstelling duidelijk is, gaan we over tot de constructie van een wiskundig model.
Als antwoord op de taak moeten we een dieet aanbieden, dat wil zeggen aangeven hoeveel en wat voor soort voer we moeten nemen om benodigde hoeveelheid voedingsstoffen werden gehaald en tegelijkertijd zo min mogelijk kosten.
Laten we daarom aanduiden: x 1 hoeveelheid type I voer in het dieet, per x 2 - de hoeveelheid voertype II en dienovereenkomstig x 3 - de hoeveelheid voer III in het dieet. Dan de stoffen MAAR bij het eten van dit dieet krijgen kippen 4 x 1 - bij het consumeren van type I-producten, 3 x 2 - bij consumptie van product II, 2 x 3 - bij consumptie III. Totale stof MAAR afhankelijk van de toestand van het probleem, is het noodzakelijk om ten minste 33 eenheden te gebruiken, dus 4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
Op dezelfde manier argumenteren met stoffen BIJ en Met, we hebben:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 en x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
Zo krijgen we een systeem van beperkingen:
(3.7)
De variabelen zijn niet-negatief in de zin van het probleem. In dit geval worden de kosten van het dieet uitgedrukt door de functie:
F = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → min, (3.8)
omdat 20, 20, 10 - de kosten van één eenheid. producten I, II, III soorten respectievelijk, en hun dieet bevat x 1 , x 2 , x 3 eenheden.
Het systeem van beperkingen (3.7) vormt samen met de objectieve functie (3.8) het wiskundige model oorspronkelijke taak. Oplossen betekent vinden x 1 , x 2 , x 3 voldoen aan het systeem van beperkingen en de waarde van de functie omkeren F tot het minimum.

Rangschikking van scheepstypes langs de lijnen

Stel een dergelijk plan op voor de plaatsing van twee soorten schepen langs drie lijnen die de maximale totale laadcapaciteit van de vloot zouden opleveren, maar niet minder dan het verkeersvolume dat op de lijnen wordt aangegeven.

Type vaartuig:	Productiviteit van het schip, miljoen ton-mijlen per dag			Bedrijfsperiode, dagen
	1e lijn	2e lijn	3e lijn
1	p 11	p 12	p 13	s 1
2	p21	p22	p 23	s2
Doelvolume van transport, miljoen ton-mijlen	V 1	V 2	V 3

Economisch-wiskundig model van het probleem.
Beperkingen in de gebruiksperiode:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

Leveringsbeperkingen:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

objectieve functie
p 11 x 1 + p 12 x 2 + p 13 x 3 + p 21 x 4 + p 22 x 5 + p 23 x 6 → max

Vragen voor zelfbeheersing
1. Verklaring van het vervoersprobleem. de constructie van een wiskundig model beschrijven.
2. Wat is een evenwichtig en onevenwichtig vervoersprobleem?
3. Wat wordt berekend in de objectieve functie van de transporttaak?
4. Wat weerspiegelt elke ongelijkheid van het systeem van beperkingen van het planprobleem?
5. Wat weerspiegelt elke ongelijkheid van het systeem van beperkingen van het mengselprobleem?
6. Wat betekenen de variabelen in het planprobleem en het mengselprobleem?