Mõnes füüsikaülesandes ei saa protsessi kirjeldavate suuruste vahel otsest seost luua. Kuid on võimalus saada võrdsus, mis sisaldab uuritavate funktsioonide tuletisi. Nii tekivad diferentsiaalvõrrandid ja vajadus neid lahendada, et leida tundmatu funktsioon.

See artikkel on mõeldud neile, kes seisavad silmitsi diferentsiaalvõrrandi lahendamise probleemiga, milles tundmatu funktsioon on ühe muutuja funktsioon. Teooria on üles ehitatud nii, et diferentsiaalvõrranditest nullist arusaamisega saate oma tööd teha.

Iga diferentsiaalvõrrandi tüüp on seotud lahendusmeetodiga, mis sisaldab üksikasjalikke selgitusi ja tüüpiliste näidete ja probleemide lahendusi. Peate lihtsalt määrama oma probleemi diferentsiaalvõrrandi tüübi, leidma sarnase analüüsitud näite ja tegema sarnaseid toiminguid.

Sest edukas lahendus diferentsiaalvõrrandid, vajate ka võimalust leida erinevate funktsioonide antiderivaatide (määramata integraalide) komplekte. Vajadusel soovitame vaadata jaotist.

Esmalt vaatleme esimest järku tavaliste diferentsiaalvõrrandite tüüpe, mida saab tuletise suhtes lahendada, seejärel liigume edasi teist järku ODE-de juurde, seejärel peatume kõrgemat järku võrranditel ja lõpetame diferentsiaalvõrrandisüsteemidega.

Tuletage meelde, et kui y on argumendi x funktsioon.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid.

Vormi esimest järku lihtsaimad diferentsiaalvõrrandid .

Paneme kirja mitu näidet sellisest DE-st .

Diferentsiaalvõrrandid saab tuletise suhtes lahendada, jagades võrdsuse mõlemad pooled f(x)-ga . Sel juhul jõuame võrrandini , mis on samaväärne algse võrrandiga f(x) ≠ 0 korral. Selliste ODE-de näited on .

Kui argumendis x on väärtused, mille puhul funktsioonid f(x) ja g(x) kaovad samaaegselt, ilmuvad lisalahendused. Võrrandi lisalahendused antud x on mis tahes funktsioonid, mis on määratud nende argumendi väärtuste jaoks. Selliste diferentsiaalvõrrandite näited on .

Teist järku diferentsiaalvõrrandid.

Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid koos konstantsed koefitsiendid.

Konstantsete koefitsientidega LODE on väga levinud diferentsiaalvõrrandi tüüp. Nende lahendus pole eriti keeruline. Kõigepealt leitakse juured iseloomulik võrrand . Erinevate p ja q puhul on võimalik kolm juhtumit: karakteristiku võrrandi juured võivad olla reaalsed ja erinevad, reaalsed ja kokku langevad või kompleksne konjugaat. Sõltuvalt iseloomuliku võrrandi juurte väärtustest on see kirjutatud ühine otsus diferentsiaalvõrrand as , või , või vastavalt.

Näiteks vaatleme konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarset homogeenset diferentsiaalvõrrandit. Tema iseloomuliku võrrandi juured on k 1 = -3 ja k 2 = 0. Juured on reaalsed ja erinevad, seetõttu on konstantsete koefitsientidega LDE üldine lahendus


Lineaarsed mittehomogeensed konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandid.

Konstantsete koefitsientidega y teist järku LIDE üldlahendust otsitakse vastava LODE üldlahenduse summana ja originaali konkreetne lahendus homogeenne võrrand, see on, . Eelmine lõik on pühendatud konstantsete koefitsientidega homogeense diferentsiaalvõrrandi üldise lahenduse leidmisele. Ja konkreetne lahendus määratakse kas määramata koefitsientide meetodil at teatud vorm funktsioon f(x) , mis seisab algse võrrandi paremal küljel, või suvaliste konstantide muutmise meetodil.

Näitena konstantsete koefitsientidega teist järku LIDE-dest esitame


Saage teooriast aru ja tutvuge sellega üksikasjalikke otsuseid näiteid, mida pakume teile konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarsete mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lehel.

Lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid (LODE) ja teist järku lineaarsed mittehomogeensed diferentsiaalvõrrandid (LNDE).

Seda tüüpi diferentsiaalvõrrandite erijuhtumid on konstantsete koefitsientidega LODE ja LODE.

LODE üldlahendit teatud intervallil kujutab selle võrrandi kahe lineaarselt sõltumatu erilahenduse y 1 ja y 2 lineaarne kombinatsioon, see tähendab, .

Peamine raskus seisneb just seda tüüpi diferentsiaalvõrrandi lineaarselt sõltumatute osalahenduste leidmises. Tavaliselt valitakse konkreetsed lahendused järgmised süsteemid lineaarselt sõltumatud funktsioonid:


Siiski ei esitata alati konkreetseid lahendusi sellisel kujul.

LODU näide on .

LIDE üldlahendust otsitakse kujul , kus on vastava LODE üldlahend ja see on algse diferentsiaalvõrrandi erilahend. Me just rääkisime leidmisest, kuid seda saab määrata suvaliste konstantide muutmise meetodil.

LNDE näide on .

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid.

Diferentsiaalvõrrandid, mis võimaldavad järjekorra vähendamist.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord , mis ei sisalda soovitud funktsiooni ja selle tuletisi kuni k-1 järku, saab taandada n-k-ks, asendades .

Sel juhul taandub algne diferentsiaalvõrrand väärtuseks . Pärast selle lahenduse p(x) leidmist jääb üle pöörduda tagasi asendusse ja määrata tundmatu funktsioon y .

Näiteks diferentsiaalvõrrand pärast seda, kui asendus muutub eraldatavaks võrrandiks ja selle järjekorda vähendatakse kolmandalt esimesele.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Lahendusnäited.
Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandid (DE). Need kaks sõna hirmutavad tavalist võhikut. Diferentsiaalvõrrandid näivad olevat midagi ennekuulmatut ja paljude õpilaste jaoks raskesti omandatavad. Uuuuuu… diferentsiaalvõrrandid, kuidas ma seda kõike üle elaks?!

Selline arvamus ja selline suhtumine on põhimõtteliselt vale, sest tegelikult DIFERENTSIAALVÕRRADID ON LIHTSALT JA ISEGI LÕBUSAD. Mida on vaja teada ja õppida diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks? Difuuride edukaks õppimiseks peate oskama hästi integreerida ja eristada. Mida paremini teemasid õpitakse Ühe muutuja funktsiooni tuletis ja Määramatu integraal, seda lihtsam on diferentsiaalvõrranditest aru saada. Ütlen veel, kui sul on enam-vähem korralik lõimumisoskus, siis on teema praktiliselt läbitud! Mida rohkem integraale erinevat tüüpi sa tead, kuidas otsustada - seda parem. Miks? Tuleb palju integreerida. Ja eristada. Samuti väga soovitadaõppige leidma.

95% juhtudest sisse kontrolltööd Esimest järku diferentsiaalvõrrandeid on 3 tüüpi: eraldatavad võrrandid, mida selles õppetükis käsitleme; homogeensed võrrandid ja lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Algajatele difuusoreid uurima soovitan lugeda selles järjestuses olevaid õppetunde ja pärast kahe esimese artikli lugemist ei tee haiget oma oskusi täiendavas töötoas kinnistada - võrrandid, mis taandavad homogeenseks.

On olemas veelgi haruldasemaid diferentsiaalvõrrandi tüüpe: võrrandid summaarsetes diferentsiaalides, Bernoulli võrrandid ja mõned teised. Kõige olulisem neist kahest uusimad liigid on võrrandid sees summaarsed erinevused, kuna lisaks sellele DE-le ma arvan uus materjal – osaline integratsioon.

Kui teil on jäänud vaid päev või kaks, siis ülikiireks valmistamiseks seal on välkkursus pdf formaadis.

Niisiis, maamärgid on seatud – lähme:

Meenutagem esmalt tavalisi algebralisi võrrandeid. Need sisaldavad muutujaid ja numbreid. Lihtsaim näide: . Mida tähendab tavalise võrrandi lahendamine? See tähendab leida numbrite komplekt mis seda võrrandit rahuldavad. On lihtne näha, et laste võrrandil on üks juur: . Lõbu pärast kontrollime, asendame leitud juur meie võrrandiga:

- saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et lahendus leitakse õigesti.

Difuusid on paigutatud umbes samamoodi!

Diferentsiaalvõrrand esimene tellimus sisse üldine juhtum sisaldab:
1) sõltumatu muutuja ;
2) sõltuv muutuja (funktsioon);
3) funktsiooni esimene tuletis: .

Mõnes esimest järku võrrandis ei pruugi olla "x" või (ja) "y", kuid see pole oluline - oluline nii et DU-s oli esimene tuletis ja ei olnud kõrgema järgu tuletised - , jne.

Mida tähendab ? Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab leidmist kõigi funktsioonide komplekt mis seda võrrandit rahuldavad. Sellisel funktsioonide komplektil on sageli vorm ( on suvaline konstant), mida nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Näide 1

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Täis laskemoon. Kust alustada lahendus?

Kõigepealt peate tuletise veidi teistsugusel kujul ümber kirjutama. Meenutame tülikat märkimist, mida paljud teist ilmselt pidasid naeruväärseks ja ebavajalikuks. See on see, mis valitseb hajutites!

Teises etapis vaatame, kas see on võimalik jagada muutujad? Mida tähendab muutujate eraldamine? Jämedalt öeldes, vasakul pool me peame lahkuma ainult "mängud", a paremal pool korraldada ainult x-id. Muutujate eraldamine toimub “kooli” manipulatsioonide abil: sulud, terminite ülekandmine osalt osale koos märgivahetusega, tegurite ülekandmine osast osasse proportsioonireegli järgi jne.

Diferentsiaalid ja on täielikud kordistajad ja aktiivsed vaenutegevuses osalejad. Selles näites on muutujad kergesti eraldatavad ümberpööramisteguritega vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud. Vasakul pool - ainult "Mäng", paremal - ainult "X".

Järgmine etapp - diferentsiaalvõrrandi integreerimine. See on lihtne, me riputame integraalid mõlemale osale:

Muidugi tuleb võtta integraalid. AT sel juhul need on tabelina:

Nagu mäletame, määratakse igale antiderivaadile konstant. Siin on kaks integraali, kuid konstandi kirjutamisest piisab üks kord (sest konstant + konstant on ikkagi võrdne teise konstandiga). Enamikul juhtudel asetatakse see paremale küljele.

Rangelt võttes loetakse diferentsiaalvõrrand pärast integraalide võtmist lahendatuks. Ainus asi on see, et meie "y" ei väljendata "x" kaudu, see tähendab, et lahendus on esitatud implitsiitses vormi. Diferentsiaalvõrrandi kaudset lahendit nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldintegraal. See tähendab, et see on üldine integraal.

Sellisel kujul vastus on üsna vastuvõetav, kuid kas on paremat võimalust? Proovime saada ühine otsus.

Palun, mäleta esimest tehnikat, on see väga levinud ja seda kasutatakse sageli praktilisi ülesandeid: kui pärast integreerimist ilmub paremale poole logaritm, siis on paljudel juhtudel (aga mitte mingil juhul alati!) soovitatav kirjutada ka konstant logaritmi alla.

See on, SELLE ASEMEL tavaliselt kirjutatakse protokolle .

Miks seda vaja on? Ja selleks, et "y" väljendamine oleks lihtsam. Kasutame logaritmide omadust . Sel juhul:

Nüüd saab logaritme ja mooduleid eemaldada:

Funktsioon on selgelt esitatud. See on üldine lahendus.

Vastus: ühine otsus: .

Paljude diferentsiaalvõrrandite vastuseid on üsna lihtne kontrollida. Meie puhul tehakse seda üsna lihtsalt, võtame leitud lahenduse ja eristame seda:

Seejärel asendame tuletise algse võrrandiga:

- saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et üldlahend vastab võrrandile , mida oli vaja kontrollida.

Kui annate konstantse erinevad väärtused, võite saada lõpmatu arvu eraotsused diferentsiaalvõrrand. On selge, et mis tahes funktsioonid , jne. rahuldab diferentsiaalvõrrandi .

Mõnikord nimetatakse üldist lahendust funktsioonide perekond. AT see näideühine otsus - see on perekond lineaarsed funktsioonid, õigemini, otseste proportsionaalsuste perekond.

Pärast esimese näite üksikasjalikku arutelu on asjakohane vastata mõnele naiivsele küsimusele diferentsiaalvõrrandite kohta:

1)Selles näites õnnestus meil muutujad eraldada. Kas seda on alati võimalik teha? Ei mitte alati. Ja veelgi sagedamini ei saa muutujaid eraldada. Näiteks sisse homogeensed esimest järku võrrandid tuleb esmalt välja vahetada. Teist tüüpi võrrandites, näiteks esimest järku lineaarses mittehomogeenses võrrandis, peate üldlahenduse leidmiseks kasutama erinevaid nippe ja meetodeid. Eraldatavad muutujavõrrandid, mida me esimeses õppetükis vaatleme, on − lihtsaim tüüp diferentsiaalvõrrandid.

2) Kas diferentsiaalvõrrandit on alati võimalik integreerida? Ei mitte alati. Väga lihtne on välja mõelda "väljamõeldud" võrrand, mida ei saa integreerida, lisaks on integraale, mida ei saa võtta. Kuid selliseid DE-sid saab ligikaudu lahendada kasutades spetsiaalsed meetodid. D'Alembert ja Cauchy garanteerivad... ...uh, lurkmore. Ma lugesin just praegu palju, lisasin peaaegu "teisest maailmast".

3) Selles näites oleme saanud lahenduse üldintegraali kujul . Kas üldintegraalist on alati võimalik leida üldlahendus ehk väljendada "y" eksplitsiitses vormis? Ei mitte alati. Näiteks: . Noh, kuidas ma saan siin "y" väljendada?! Sellistel juhtudel tuleks vastus kirjutada üldise integraalina. Lisaks võib mõnikord leida üldise lahenduse, kuid see on nii kohmakalt ja kohmakalt kirja pandud, et parem on jätta vastus üldise integraali kujul

4) ...ehk praeguseks piisab. Esimeses näites me kohtusime teine oluline punkt , aga selleks, et "mannekeenid" ei kataks laviiniga uut teavet Jätan selle järgmise õppetunnini.

Ärme kiirusta. Veel üks lihtne kaugjuhtimispult ja teine ​​tüüpiline lahendus:

Näide 2

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust

Lahendus: vastavalt tingimusele, mida on vaja leida eraotsus DE, mis vastab antud algtingimusele. Sellist küsitlemist nimetatakse ka Cauchy probleem.

Esiteks leiame üldise lahenduse. Võrrandis pole muutujat “x”, kuid see ei tohiks olla piinlik, peaasi, et sellel oleks esimene tuletis.

Kirjutame tuletise ümber soovitud vorm:

Ilmselgelt saab muutujaid jagada, poisid vasakule, tüdrukud paremale:

Integreerime võrrandi:

Üldine integraal saadakse. Siin joonistasin aktsenttähega konstandi, tõsiasi on see, et varsti muutub see teiseks konstandiks.

Nüüd proovime teisendada üldist integraali üldlahenduseks (väljendage "y" selgesõnaliselt). Meenutame vana, head kooli: . Sel juhul:

Indikaatori konstant tundub kuidagi mitte koššer, seetõttu langetatakse see tavaliselt taevast maa peale. Üksikasjalikult juhtub see nii. Kasutades kraadide omadust, kirjutame funktsiooni ümber järgmiselt:

Kui on konstant, siis on ka mõni konstant, määrake see ümber tähega :

Pidage meeles, et konstandi "lammutamine" on teine ​​tehnika, mida kasutatakse sageli diferentsiaalvõrrandite lahendamise käigus.

Seega on üldine lahendus: Selline tore eksponentsiaalfunktsioonide perekond.

Viimases etapis peate leidma konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele. See on ka lihtne.

Mis on ülesanne? Vaja korjata selline konstandi väärtus tingimuse rahuldamiseks .

Saate seda korraldada erineval viisil, kuid võib-olla on see kõige arusaadavam. Üldlahenduses asendame “x” asemel nulli ja “y” asemel kaks:



See on,

Standardse disaini versioon:

Nüüd asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendusega:
– see on konkreetne lahendus, mida me vajame.

Vastus: privaatne lahendus:

Teeme kontrolli. Konkreetse lahenduse kontrollimine hõlmab kahte etappi:

Esmalt tuleb kontrollida, kas leitud konkreetne lahendus tõesti rahuldab algtingimust? "x" asemel asendame nulliga ja vaatame, mis juhtub:
- jah, tõepoolest, saadi kaks, mis tähendab, et algtingimus on täidetud.

Teine etapp on juba tuttav. Võtame saadud konkreetse lahenduse ja leiame tuletise:

Asendage algses võrrandis:

- saavutatakse õige võrdsus.

Järeldus: konkreetne lahendus leitakse õigesti.

Liigume edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 3

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Lahendus: Kirjutame tuletise ümber meile vajalikul kujul:

Hinnatakse, kas muutujaid saab eraldada? Saab. Teise termini kanname märgivahetusega paremale:

Ja me pöörame tegurid vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud, integreerime mõlemad osad:

Ma pean teid hoiatama, et kohtupäev on tulemas. Kui te pole hästi õppinud määramata integraalid, lahendas vähe näiteid, siis pole enam kuhugi minna - need tuleb nüüd meisterdada.

Vasaku külje integraali on lihtne leida, kotangensi integraaliga tegeleme standardtehnikaga, mida tunnis käsitlesime Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine Möödunud aastal:

Paremal pool on meil logaritm ja minu esimese tehnilise soovituse kohaselt tuleks logaritmi alla kirjutada ka konstant.

Nüüd proovime üldist integraali lihtsustada. Kuna meil on ainult logaritmid, siis on täiesti võimalik (ja vajalik) neist lahti saada. Kasutades tuntud omadused maksimaalselt "pakkida" logaritme. Kirjutan väga üksikasjalikult:

Pakend on täielik, et olla barbaarselt räbaldunud:

Kas on võimalik väljendada "y"? Saab. Mõlemad osad peavad olema ruudukujulised.

Aga sa ei pea.

Kolmas tehniline nõuanne: kui üldise lahenduse saamiseks peate tõstma võimu või juurduma, siis Enamikel juhtudel peaksite nendest tegevustest hoiduma ja jätma vastuse üldise integraali kujul. Fakt on see, et üldine lahendus näeb lihtsalt kohutav välja - suurte juurte, siltide ja muu prügiga.

Seetõttu kirjutame vastuse üldise integraalina. Heaks vormiks peetakse selle esitamist vormis, st paremale küljele jätke võimalusel ainult konstant. Seda pole vaja teha, kuid alati on kasulik professorile meeldida ;-)

Vastus:üldine integraal:

! Märge: mis tahes võrrandi üldintegraali saab kirjutada mitte ainus viis. Seega, kui teie tulemus ei langenud kokku varem teadaoleva vastusega, ei tähenda see, et lahendasite võrrandi valesti.

Üldintegraali kontrollitakse ka üsna lihtsalt, peaasi, et leiaks kaudselt defineeritud funktsiooni tuletis. Eristagem vastust:

Korrutame mõlemad terminid arvuga:

Ja me jagame:

Algne diferentsiaalvõrrand saadi täpselt, mis tähendab, et üldintegraal leiti õigesti.

Näide 4

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust. Käivitage kontroll.

See on näide sõltumatu lahendus.

Tuletan teile meelde, et algoritm koosneb kahest etapist:
1) üldlahenduse leidmine;
2) vajaliku konkreetse lahenduse leidmine.

Kontroll viiakse läbi ka kahes etapis (vt näidist näites nr 2), vajate:
1) veenduma, et leitud lahendus vastab algtingimusele;
2) kontrollida, kas konkreetne lahendus üldiselt rahuldab diferentsiaalvõrrandit.

Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Näide 5

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus , mis vastab esialgsele tingimusele. Käivitage kontroll.

Lahendus: Esmalt leiame üldlahenduse See võrrand sisaldab juba valmis diferentsiaale ja , mis tähendab, et lahendus on lihtsustatud. Muutujate eraldamine:

Integreerime võrrandi:

Vasakpoolne integraal on tabelikujuline, parempoolne integraal on võetud diferentsiaali märgi all oleva funktsiooni summeerimise meetod:

Üldintegraal on saadud, kas üldlahendit on võimalik edukalt väljendada? Saab. Me riputame logaritmid mõlemale küljele. Kuna need on positiivsed, on moodulmärgid üleliigsed:

(Loodan, et kõik saavad transformatsioonist aru, selliseid asju peaks juba teadma)

Seega on üldine lahendus:

Leiame konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele .
Üldlahenduses asendame "x" asemel nulliga ja "y" asemel kahe logaritmiga:

Tuntum disain:

Asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendiga.

Vastus: privaatne lahendus:

Kontrollige: kõigepealt kontrollige, kas esialgne tingimus on täidetud:
- kõik on hästi.

Nüüd kontrollime, kas leitud konkreetne lahendus diferentsiaalvõrrandit üldse rahuldab. Leiame tuletise:

Vaatame algset võrrandit: – see esitatakse diferentsiaalidena. Kontrollimiseks on kaks võimalust. Diferentsiaali leitud tuletisest on võimalik väljendada:

Asendame leitud konkreetse lahenduse ja saadud diferentsiaali algsesse võrrandisse :

Kasutame põhilogaritmilist identiteeti:

Saavutatakse õige võrdsus, mis tähendab, et konkreetne lahendus leitakse õigesti.

Teine kontrolliviis on peegeldatud ja tuttavam: võrrandist väljendage tuletist, selleks jagame kõik tükid järgmisega:

Ja teisendatud DE-s asendame saadud konkreetse lahendi ja leitud tuletise . Lihtsustuste tulemusena tuleks saavutada ka õige võrdsus.

Näide 6

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Väljendage vastust üldise integraalina.

See on näide iseseisvaks lahendamiseks, täislahenduseks ja vastuseks tunni lõpus.

Millised raskused ootavad ees eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandite lahendamisel?

1) Alati pole (eriti teekannu puhul) ilmne, et muutujaid saab eraldada. Kaaluge tingimuslik näide: . Siin peate tegurid sulgudest välja võtma ja eraldama juured:. Kuidas edasi minna, on selge.

2) Integratsiooni enda raskused. Integraalid tekivad sageli mitte kõige lihtsamad ja kui leidmise oskustes on vigu määramatu integraal, siis on see paljude difuusoritega keeruline. Lisaks on kogumike ja käsiraamatute koostajad populaarsed loogikaga "kuna diferentsiaalvõrrand on lihtne, siis on vähemalt integraalid keerulisemad."

3) Teisendused konstandiga. Nagu kõik on märganud, saab diferentsiaalvõrrandite konstandiga üsna vabalt hakkama ja mõni teisendus pole algajale alati selge. Vaatame veel ühte hüpoteetilist näidet: . Selles on soovitatav kõik terminid korrutada 2-ga: . Saadud konstant on ka mingi konstant, mida saab tähistada järgmiselt: . Jah, ja kuna paremal küljel on logaritm, on soovitatav konstant teiseks konstandiks ümber kirjutada: .

Häda on selles , et sageli ei viitsita indeksitega ja kasutatakse sama tähte . Selle tulemusena võtab otsuste protokoll järgmine vaade:

Mis ketserlus? Siin on vead! Rangelt võttes jah. Sisulisest küljest aga vigu pole, sest muutujakonstandi teisenduse tulemusena saadakse ikkagi muutuvkonstant.

Või teine ​​näide, oletame, et võrrandi lahendamise käigus saadakse üldine integraal. See vastus näeb kole välja, seetõttu on soovitatav iga termini märki muuta: . Vormiliselt on jälle viga - paremal peaks olema kirjutatud . Kuid mitteametlikult antakse mõista, et "miinus ce" on endiselt konstant ( mis võtab sama hästi mis tahes väärtused!), seega pole "miinuse" panemine mõttekas ja saab kasutada sama tähte.

Püüan vältida hoolimatut lähenemist ja panen konstantide teisendamisel siiski üles erinevad indeksid.

Näide 7

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Käivitage kontroll.

Lahendus: See võrrand lubab muutujate eraldamist. Muutujate eraldamine:

Integreerime:

Siinset konstanti ei pea defineerima logaritmi all, sest sellest ei tule midagi head.

Vastus:üldine integraal:

Kontrollige: eristage vastust ( kaudne funktsioon):

Vabaneme murdudest, selleks korrutame mõlemad terminid arvuga:

Saadud on algne diferentsiaalvõrrand, mis tähendab, et üldintegraal on leitud õigesti.

Näide 8

Leidke DE konkreetne lahendus.
,

See on tee-seda-ise näide. Ainus vihje on see, et siit saate üldise integraali ja õigemini peate leidma mitte konkreetse lahenduse, vaid privaatne integraal . Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Esimest järku võrrandit kujul a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks. Kui b (x) ≡ 0, siis nimetatakse võrrandit homogeenseks, vastasel juhul - heterogeenne. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi puhul on olemasolu ja kordumatuse teoreemil konkreetsem vorm.

Teenindusülesanne. Interneti-kalkulaator saab kasutada lahuse testimiseks homogeensed ja mittehomogeensed lineaarsed diferentsiaalvõrrandid nagu y"+y=b(x) .

=

Kasutage muutuja asendust y=u*v
Kasutage suvalise konstantse variatsiooni meetodit
Leia konkreetne lahendus y( ) = .

Lahenduse saamiseks tuleb algne avaldis taandada kujule: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Näiteks y"-exp(x)=2*y korral see on y"-2 *y=exp(x) .

Teoreem. Olgu a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) pidevad intervallil [α,β], a 1 ≠0 ∀x∈[α,β] korral. Siis on mis tahes punkti (x 0, y 0), x 0 ∈[α,β] jaoks olemas ainulaadne võrrandi lahend, mis rahuldab tingimust y(x 0) = y 0 ja on defineeritud kogu intervallil [α ,β].
Vaatleme homogeenset lineaarset diferentsiaalvõrrandit a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Muutujate eraldamisel saame , või, integreerides mõlemad osad, Viimane seos, võttes arvesse tähistust exp(x) = e x, kirjutatakse kujule

Proovime nüüd leida lahenduse võrrandile määratud kujul, milles funktsioon C(x) on asendatud konstandiga C, st kujul

Asendades selle lahenduse algse lahendusega, saame pärast vajalikke teisendusi Viimaste integreerimine on meil olemas

kus C 1 on mingi uus konstant. Asendades saadud avaldise C(x)-ga, saame lõpuks algse lineaarvõrrandi lahendi
.

Näide. Lahendage võrrand y" + 2y = 4x. Vaatleme vastavat homogeenset võrrandit y" + 2y = 0. Selle lahendamisel saame y = Ce -2 x. Nüüd otsime lahendust algsele võrrandile kujul y = C(x)e -2 x . Asendades algsesse võrrandisse y ja y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x, saame C"(x) = 4xe 2 x, kust C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 ja y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x on algse võrrandi üldlahend. see lahendus, y 1 (x) \u003d 2x-1 - objekti liikumine jõu mõjul b (x) \u003d 4x, y 2 (x) \u003d C 1 e -2 x - oma liikumine objektiks.

Näide nr 2. Leidke esimest järku diferentsiaalvõrrandi y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x üldlahend.
seda ebahomogeenne võrrand. Teeme muutujate muudatuse: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x või u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Lahendus koosneb kahest etapist:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. Võrdle u=0, leidke lahendus 3v tg(3x)+v" = 0
Esitage kujul: v" = -3v tg(3x)

Integreerides saame:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos (3x)
2. Teades v-d, leidke u tingimusest: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Integreerides saame:
Tingimusest y=u v saame:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) või y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Tuletise suhtes lahendatud esimest järku diferentsiaalvõrrandid

Kuidas lahendada esimest järku diferentsiaalvõrrandeid

Olgu meil tuletise suhtes lahendatud esimest järku diferentsiaalvõrrand:
.
Jagades selle võrrandi , juures , saame vormi võrrand:
,
kus .

Järgmisena vaatame, kas need võrrandid kuuluvad ühte allpool loetletud tüüpidest. Kui ei, siis kirjutame võrrandi ümber diferentsiaalide kujul. Selleks kirjutame ja korrutame võrrandi . Saame võrrandi diferentsiaalide kujul:
.

Kui see võrrand ei ole summaarsete diferentsiaalide võrrand, siis leiame, et selles võrrandis on see sõltumatu muutuja ja funktsioon . Jagame võrrandi järgmisega:
.
Järgmisena vaatame, kas see võrrand kuulub ühte allpool loetletud tüüpidest, arvestades seda ja kas see on vahetatud.

Kui selle võrrandi jaoks tüüpi ei leita, siis uurime, kas võrrandit on võimalik lihtsa asendusega lihtsustada. Näiteks kui võrrand on:
,
siis märkame seda. Seejärel teeme asendus. Pärast seda on võrrand lihtsamal kujul:
.

Kui see ei aita, siis püüame leida integreeriva teguri.

Eraldatavad muutujavõrrandid

;
.
Jagage poolt ja integreerige. Kui saame:
.

Võrrandid, mis taanduvad eraldatavate muutujatega võrranditeks

Homogeensed võrrandid

Lahendame asendamise teel:
,
kus on funktsioon . Siis
;
.
Eralda muutujad ja integreeri.

Homogeenseks taandatavad võrrandid

Tutvustame muutujaid ja:
;
.
Konstandid ja valitakse nii, et vabad terminid kaovad:
;
.
Selle tulemusena saame homogeense võrrandi muutujates ja .

Üldistatud homogeensed võrrandid

Teeme asendus. Me saame homogeense võrrandi muutujates ja .

Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Lineaarvõrrandite lahendamiseks on kolm meetodit.

2) Bernoulli meetod.
Otsime lahendust kahe funktsiooni korrutise ja muutuja kujul:
.
;
.
Saame valida ühe neist funktsioonidest meelevaldselt. Seega, kui valime võrrandi mis tahes nullist erineva lahendi:
.

3) Konstandi (Lagrange) muutmise meetod.
Siin lahendame kõigepealt homogeense võrrandi:

Homogeense võrrandi üldlahend on järgmine:
,
kus on konstant. Järgmisena asendame konstandi muutujast sõltuva funktsiooniga:
.
Asendage algses võrrandis. Selle tulemusena saame võrrandi, mille põhjal määrame .

Bernoulli võrrandid

Asenduse teel taandatakse Bernoulli võrrand lineaarseks võrrandiks.

Seda võrrandit saab lahendada ka Bernoulli meetodiga. See tähendab, et me otsime lahendust kahe funktsiooni korrutise kujul, sõltuvalt muutujast:
.
Asendame algsesse võrrandisse:
;
.
Kui valime võrrandi mis tahes nullist erineva lahendi:
.
Olles määranud, saame võrrandi jaoks eraldatavate muutujatega.

Riccati võrrandid

See ei ole lahendatud üldine vaade. Asendamine

Riccati võrrand taandatakse järgmisele kujule:
,
kus on konstant; ; .
Järgmiseks asendamine:

see näeb välja nagu:
,
kus .

Riccati võrrandi omadused ja mõned selle lahendamise erijuhud on toodud lehel
Riccati diferentsiaalvõrrand >>>

Jacobi võrrandid

Lahendatud asendamisega:
.

Võrrandid kogudiferentsiaalides

Tingimusel
.
Kui see tingimus on täidetud, on võrdsuse vasakul küljel olev avaldis mõne funktsiooni diferentsiaal:
.
Siis
.
Siit saame diferentsiaalvõrrandi integraali:
.

Funktsiooni leidmiseks on kõige mugavam meetod meetod järjestikune valik diferentsiaal. Selleks kasutatakse valemeid:
;
;
;
.

Integreeriv tegur

Kui esimest järku diferentsiaalvõrrandit ei taandata ühelegi loetletud tüübile, võite proovida leida integreeriva teguri. Integreeriv tegur on selline funktsioon, millega korrutades muutub diferentsiaalvõrrand summaarsete diferentsiaalide võrrandiks. Esimest järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmatu arv integreerivaid tegureid. Kuid, levinud meetodid integreeriva teguri leidmiseks ei ole.

Võrrandid ei lahendatud tuletise y jaoks

Võrrandid, mis lubavad lahendust tuletise y suhtes"

Kõigepealt peate proovima lahendada võrrandi tuletise suhtes. Võimaluse korral võib võrrandi taandada ühele ülaltoodud tüüpidest.

Faktoriseerimist võimaldavad võrrandid

Kui saate võrrandi faktoriseerida:
,
siis ülesanne on järjekindel lahendus lihtsamaid võrrandeid:
;
;

;
. Meie usume. Siis
või .
Järgmisena integreerime võrrandi:
;
.
Selle tulemusena saame parameetri kaudu teise muutuja avaldise.

Rohkem üldvõrrandid:
või
on lahendatud ka parameetrilisel kujul. Selleks tuleb valida funktsioon, mida saab algsest võrrandist väljendada või parameetri kaudu .
Teise muutuja väljendamiseks parameetri kaudu integreerime võrrandi:
;
.

Võrrandid lahendatud y suhtes

Clairaut' võrrandid

Sellel võrrandil on üldine lahendus

Lagrange'i võrrandid

Otsime lahendust parameetrilisel kujul. Eeldame, kus on parameeter.

Bernoulli võrrandini viivad võrrandid

Need võrrandid taandatakse Bernoulli võrrandiks, kui otsime nende lahendusi parameetrilisel kujul, sisestades parameetri ja tehes asendused.

Viited:
V.V. Stepanov, Diferentsiaalvõrrandite kursus, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Ülesannete kogu kõrgem matemaatika, "Lan", 2003.

1. Esimest järku diferentsiaalvõrrandil on vorm

Kui seda võrrandit saab ta suhtes lahendada, saab selle kirjutada kui

Sel juhul ütleme, et diferentsiaalvõrrand on tuletise suhtes lahendatud. Sellise võrrandi puhul kehtib järgmine teoreem, mida nimetatakse teoreemiks diferentsiaalvõrrandi lahendi olemasolu ja kordumatuse kohta. Teoreem. Kui võrrandis

funktsioon ja selle osatuletis y suhtes on pidevad mingis domeenis D mingit punkti sisaldaval tasapinnal , siis on sellele võrrandile ainulaadne lahendus

tingimuse rahuldamine kl

Seda teoreemi tõestab § 27 pt. XVI.

Teoreemi geomeetriline tähendus on selles, et on olemas ja pealegi ainulaadne funktsioon, mille graafik läbib punkti

Äsja öeldud teoreemist järeldub, et võrrandil on lõpmatu arv erinevaid lahendusi(näiteks lahendus, mille graaf läbib punkti, teine ​​lahendus, mille graaf läbib punkti jne, kui ainult need punktid asuvad piirkonnas

Tingimust, et kui funktsioon y peab olema võrdne antud arvuga, nimetatakse algtingimuseks. Sageli kirjutatakse seda kui

Definitsioon 1. Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendus on funktsioon

mis sõltub ühest suvalisest konstandist C ja vastab järgmistele tingimustele:

a) see rahuldab konstandi C mis tahes konkreetse väärtuse diferentsiaalvõrrandit;

b) olenemata algtingimusest, võite leida sellise väärtuse, et funktsioon vastab antud algtingimusele. Eeldatakse, et väärtused kuuluvad muutujate x ja y variatsioonipiirkonda, milles on täidetud lahenduse olemasolu ja kordumatuse teoreemi tingimused.

2. Diferentsiaalvõrrandi üldlahendust otsides jõuame sageli vormilise seoseni

suhtes ei ole lubatud Lahendades selle seose y suhtes, saame üldlahenduse. Et aga väljendada y-d suhtest (2) sisse elementaarsed funktsioonid ei ole alati võimalik; sellistel juhtudel jäetakse üldine lahendus kaudseks. Üldlahendust implitsiitselt täpsustavat vormi võrdsust nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldintegraaliks.

Definitsioon 2. Konkreetne lahend on mis tahes funktsioon, mis saadakse üldlahendist, kui lisame viimase suvalise konstandi C teatud väärtus Seost nimetatakse sel juhul võrrandi osaintegraaliks.

Näide 1. Esimest järku võrrandi jaoks

üldlahendus on funktsioonide perekond; seda saab kontrollida võrrandis lihtsa asendusega.

Leiame konkreetne lahendus, mis rahuldab järgmist algtingimust: nende väärtuste asendamiseks valemis saame või Seetõttu on nõutav konkreetne lahendus funktsioon

Geomeetrilisest vaatenurgast on üldine integraal kõverate perekond koordinaattasand, sõltuvalt ühest suvalisest konstandist C (või, nagu öeldakse, ühest parameetrist C).

Neid kõveraid nimetatakse antud diferentsiaalvõrrandi integraalkõverateks. Osaline integraal vastab selle perekonna ühele kõverale, mis läbib mõnda antud punkt lennukid.

Jah, sisse viimane näideüldine integraal on geomeetriliselt esindatud hüperboolide perekonnaga ja näidatud algtingimusega määratletud konkreetne integraal on esindatud ühega neist punktist läbivatest hüperboolidest. 251 näitab perekonna kõveraid, mis vastavad mõnele parameetri väärtusele: jne.

Et arutlus oleks selgem, nimetame edaspidi võrrandi lahendust mitte ainult võrrandit rahuldavaks funktsiooniks, vaid ka vastavaks integraalkõveraks. Sellega seoses räägime näiteks lahendusest, mis läbib punkti .

Kommenteeri. Võrrandil ei ole lahendust, mis läbib punkti, mis asub joonise fig 2 teljel. 251), sest parem osa võrrand ei ole defineeritud ja seetõttu ei ole see pidev.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamine või, nagu sageli öeldakse, integreerimine tähendab:

a) leiab selle üldlahendi või üldintegraali (kui lähtetingimusi pole antud) või

b) leida võrrandi see konkreetne lahend, mis rahuldab antud esialgsed tingimused(Kui neid on).

3. Andkem esimest järku diferentsiaalvõrrandi geomeetriline tõlgendus.

Olgu antud diferentsiaalvõrrand, mis on tuletise suhtes lahendatud:

ja olgu üldine lahendus antud võrrand. See üldlahendus määratleb tasapinna integraalkõverate perekonna

Võrrand (D) iga punkti M jaoks koordinaatidega x ja y määrab tuletise väärtuse s.t. kalle seda punkti läbiva integraalkõvera puutuja. Seega annab diferentsiaalvõrrand (D) suundade komplekti või, nagu öeldakse, määrab tasapinna suundade välja

Seetõttu koos geomeetriline punkt Diferentsiaalvõrrandi integreerimise ülesanne seisneb vaatenurgast kõverate leidmises, mille puutujate suund langeb kokku välja suunaga vastavates punktides.

Diferentsiaalvõrrandi (1) puhul nimetatakse punktide asukohta, milles seos kehtib, antud diferentsiaalvõrrandi isokliiniks.

Kell erinevad väärtused k saame erinevad isokliinid. K väärtusele vastav isokliini võrrand on ilmselgelt järgmine: Konstrueerides isokliinide perekonna, saab ligikaudselt konstrueerida integraalkõverate perekonna. Öeldakse, et isokliine teades saab kvalitatiivselt määrata integraalkõverate asukoha tasapinnal.