25 bewijzen van de stelling van Pythagoras. De stelling van Pythagoras: achtergrond, bewijs, voorbeelden van praktische toepassing
Verschillende manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen
leerling van 9 "A" klasse
MOU middelbare school №8
Leidinggevende:
wiskunde leraar,
MOU middelbare school №8
Kunst. nieuwe kerst
Krasnodar-gebied.
Kunst. nieuwe kerst
ANNOTATIE.
De stelling van Pythagoras wordt terecht als de belangrijkste beschouwd in de loop van de meetkunde en verdient veel aandacht. Het is de basis voor het oplossen van veel geometrische problemen, de basis voor het bestuderen van de theoretische en praktijkcursus geometrie in de toekomst. De stelling is omgeven door de rijkste historisch materiaal geassocieerd met het uiterlijk en de bewijsmethoden. De studie van de geschiedenis van de ontwikkeling van de meetkunde wekt liefde voor dit onderwerp, draagt bij aan de ontwikkeling van cognitieve interesse, algemene cultuur en creativiteit, en ontwikkelt ook de vaardigheden van onderzoekswerk.
Als resultaat van de zoekactiviteit werd het doel van het werk bereikt, namelijk het aanvullen en veralgemenen van kennis over het bewijs van de stelling van Pythagoras. Beheerd om te vinden en te beoordelen verschillende manieren bewijzen en de kennis over het onderwerp verdiepen, verder gaan dan de pagina's van een schoolboek.
Het verzamelde materiaal overtuigt des te meer dat de stelling van Pythagoras de grote stelling van de meetkunde is en van groot theoretisch en praktisch belang is.
Invoering. Geschiedenis referentie 5 Hoofdgedeelte 8
3. Conclusie 19
4. Literatuur gebruikt 20
1. INLEIDING. GESCHIEDENIS REFERENTIE.
De essentie van waarheid is dat het voor altijd voor ons is,
Als we tenminste één keer in haar inzicht het licht zien,
En de stelling van Pythagoras na zoveel jaren
Voor ons, net als voor hem, is het onbetwistbaar, onberispelijk.
Om dit te vieren, kregen de goden een gelofte van Pythagoras:
Voor het aanraken van oneindige wijsheid,
Hij slachtte honderd stieren, dankzij de eeuwige;
Hij sprak daarna gebeden en lof toe aan het slachtoffer.
Sindsdien hebben stieren, als ze ruiken, duwen,
Wat leidt mensen weer naar de nieuwe waarheid,
Ze brullen woedend, dus er is geen urine om te luisteren,
Zulke Pythagoras boezemden hen voor altijd angst in.
Stieren, machteloos om de nieuwe waarheid te weerstaan,
Wat overblijft? - Sluit je ogen, brul, beef.
Het is niet bekend hoe Pythagoras zijn stelling heeft bewezen. Wat zeker is, is dat hij het ontdekte onder de sterke invloed van de Egyptische wetenschap. speciaal geval de stelling van Pythagoras - de eigenschappen van een driehoek met zijden 3, 4 en 5 - was al lang voor de geboorte van Pythagoras bekend bij de bouwers van de piramides, terwijl hij zelf meer dan 20 jaar met Egyptische priesters studeerde. Er is een legende die zegt dat Pythagoras, nadat hij zijn beroemde stelling had bewezen, een stier aan de goden offerde, en volgens andere bronnen zelfs 100 stieren. Dit is echter in tegenspraak met informatie over de morele en religieuze opvattingen van Pythagoras. In literaire bronnen kan men lezen dat hij 'zelfs het doden van dieren verbood, en nog meer het voeren ervan, omdat dieren een ziel hebben, zoals wij'. Pythagoras at alleen honing, brood, groenten en af en toe vis. In verband met dit alles kan de volgende vermelding als aannemelijker worden beschouwd: "... en zelfs toen hij ontdekte dat in een rechthoekige driehoek de hypotenusa overeenkomt met de benen, offerde hij een stier gemaakt van tarwedeeg."
De populariteit van de stelling van Pythagoras is zo groot dat de bewijzen ervan zelfs in fictie te vinden zijn, bijvoorbeeld in het verhaal van de beroemde Engelse schrijver Huxley "Young Archimedes". Hetzelfde bewijs, maar dan voor het specifieke geval van een gelijkbenige rechthoekige driehoek, wordt gegeven in Plato's dialoog Meno.
Sprookjes huis.
“Ver, ver weg, waar zelfs vliegtuigen niet vliegen, ligt het land van de geometrie. In dit ongewone land was er een geweldige stad - de stad Teorem. Op een dag kwam ik naar deze stad mooi meisje genaamd Hypotenusa. Ze probeerde een kamer te krijgen, maar waar ze ook solliciteerde, ze werd overal geweigerd. Eindelijk naderde ze het gammele huis en klopte aan. Ze werd geopend door een man die zichzelf de Rechte Hoek noemde, en hij nodigde de Hypotenusa uit om bij hem te komen wonen. De hypotenusa bleef in het huis waar Right Angle en zijn twee zoontjes, Katet genaamd, woonden. Sindsdien is het leven in het Right Angle House op een nieuwe manier veranderd. De hypotenusa plantte bloemen voor het raam en verspreidde rode rozen in de voortuin. Het huis had de vorm van een rechthoekige driehoek. Beide benen hielden erg van Hypotenuse en vroegen haar om voor altijd in hun huis te blijven. 's Avonds komt dit vriendelijke gezin samen aan de familietafel. Soms speelt Right Angle verstoppertje met zijn kinderen. Meestal moet hij kijken, en de hypotenusa verbergt zich zo vakkundig dat het heel moeilijk kan zijn om hem te vinden. Eens tijdens een spel merkte Right Angle een interessante eigenschap op: als hij de benen weet te vinden, is het vinden van de hypotenusa niet moeilijk. Dus Right Angle gebruikt dit patroon, moet ik zeggen, zeer succesvol. Op het terrein van deze rechthoekige driehoek en stichtte de stelling van Pythagoras."
(Uit het boek van A. Okunev "Bedankt voor de les, kinderen").
Een speelse formulering van de stelling:
Als we een driehoek krijgen
En bovendien, met een rechte hoek,
Dat is het kwadraat van de hypotenusa
We kunnen altijd gemakkelijk vinden:
We bouwen de poten in een vierkant,
We vinden de som van graden -
En op zo'n simpele manier
We komen tot het resultaat.
Toen ik algebra en het begin van analyse en meetkunde in de 10e klas bestudeerde, was ik ervan overtuigd dat naast de methode om de stelling van Pythagoras te bewijzen in de 8e klas, er andere manieren zijn om het te bewijzen. Ik leg ze ter overweging voor.
2. HOOFD DEEL.
Stelling. Vierkant in een rechthoekige driehoek
hypotenusa is gelijk aan de som vierkanten van poten.
1 MANIER.
Met behulp van de eigenschappen van de gebieden van veelhoeken stellen we een opmerkelijke relatie vast tussen de hypotenusa en de benen van een rechthoekige driehoek.
Bewijs.
een, in en hypotenusa met(Fig. 1, a).
Laten we dat bewijzen c²=a²+b².
Bewijs.
We voltooien de driehoek tot een vierkant met een zijde a + b zoals getoond in afb. 1b. De oppervlakte S van dit vierkant is (a + b)². Aan de andere kant bestaat dit vierkant uit vier gelijke rechthoekige driehoeken, waarvan de oppervlakte ½ is aw, en een vierkant met een zijde met, dus S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².
Dus,
(a + b)² = 2 av + s²,
c²=a²+b².
De stelling is bewezen.
2 WEGEN.
Na het onderwerp "Soortgelijke driehoeken" te hebben bestudeerd, ontdekte ik dat je de overeenkomst van driehoeken kunt toepassen op het bewijs van de stelling van Pythagoras. Ik gebruikte namelijk de stelling dat het been van een rechthoekige driehoek het gemiddelde evenredig is voor de hypotenusa en het segment van de hypotenusa dat is ingesloten tussen het been en de hoogte getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek.
Beschouw een rechthoekige driehoek met een rechte hoek C, CD is de hoogte (Fig. 2). Laten we dat bewijzen AC² + SW² = AB²
.
Bewijs.
Gebaseerd op de uitspraak over het been van een rechthoekige driehoek:
AC = , CB = .
We kwadrateren en voegen de resulterende gelijkheden toe:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), waarbij AD + DB = AB, dan
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Het bewijs is compleet.
3 MANIER.
De definitie van de cosinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek kan worden toegepast op het bewijs van de stelling van Pythagoras. Beschouw afb. 3.
Bewijs:
Laat ABC een gegeven rechthoekige driehoek zijn met een rechte hoek C. Teken een hoogte CD vanaf het hoekpunt van de rechte hoek C.
Per definitie van de cosinus van een hoek:
cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Vandaar AB * AD = AC²
Insgelijks,
cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.
Vandaar AB * BD \u003d BC².
Als we de resulterende gelijkheden term voor term optellen en opmerken dat AD + DВ = AB, krijgen we:
AC² + zon² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²
Het bewijs is compleet.
4 MANIER.
Na het onderwerp "Verhoudingen tussen de zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek" te hebben bestudeerd, denk ik dat de stelling van Pythagoras op een andere manier kan worden bewezen.
Overweeg een rechthoekige driehoek met benen een, in en hypotenusa met. (Afb. 4).
Laten we dat bewijzen c²=a²+b².
Bewijs.
zonde B= a/c ; omdat B= als , dan krijgen we, door de resulterende gelijkheden te kwadrateren:
zonde² B= binnen²/s²; cos² BIJ\u003d a² / s².
Als we ze bij elkaar optellen, krijgen we:
zonde² BIJ+ cos² B= v² / s² + a² / s², waarbij sin² BIJ+ cos² B=1,
1 \u003d (v² + a²) / s², dus
c² = a² + b².
Het bewijs is compleet.
5 MANIER.
Dit bewijs is gebaseerd op het uitsnijden van de vierkanten die op de poten zijn gebouwd (Fig. 5) en het stapelen van de resulterende delen op het vierkant dat op de hypotenusa is gebouwd.
6 MANIER.
Voor bewijs op de katheter Zon het opbouwen van BCD abc(Afb. 6). We weten dat de gebieden van vergelijkbare figuren gerelateerd zijn als de vierkanten van hun vergelijkbare lineaire afmetingen:
Als we de tweede van de eerste gelijkheid aftrekken, krijgen we
c2 = a2 + b2.
Het bewijs is compleet.
7 MANIER.
Gegeven(Afb. 7):
BUIKSPIEREN,= 90° , zon= een, AC=b, AB = c.
Bewijzen:c2 = a2 +b2.
Bewijs.
laat het been b a. Laten we doorgaan met het segment SW per punt BIJ en bouw een driehoek bmd zodat de punten M en MAAR aan één kant van een rechte lijn liggen CD en daarnaast, BD=b, BDM= 90°, DM= een, dan bmd= abc aan twee kanten en de hoek daartussen. Punten A en M verbinden door segmenten BEN. We hebben MD CD en AC CD, betekent rechtdoor AC evenwijdig aan een rechte lijn MD. Als MD< АС, dan rechtdoor CD en BEN zijn niet parallel. Daarom, AMDC- rechthoekig trapezium.
In rechthoekige driehoeken ABC en bmd 1 + 2 = 90° en 3 + 4 = 90°, maar aangezien = =, dan 3 + 2 = 90°; dan AVM=180° - 90° = 90°. Het bleek dat de trapezium AMDC verdeeld in drie niet-overlappende rechthoekige driehoeken, vervolgens door de gebiedsaxioma's
(a+b)(a+b)
Als we alle termen van de ongelijkheid delen door , krijgen we
ab + c2 + ab = (een +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Het bewijs is compleet.
8 MANIER.
Deze methode is gebaseerd op de hypotenusa en de benen van een rechthoekige driehoek ABC. Hij bouwt de overeenkomstige vierkanten en bewijst dat het vierkant gebouwd op de hypotenusa gelijk is aan de som van de vierkanten die op de benen zijn gebouwd (Fig. 8).
Bewijs.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ abc= FBA+ abc, middelen, FBC= DBA.
Dus, FBC=ABD(aan twee kanten en de hoek ertussen).
2) 
,
waarbij AL DE is, aangezien BD is gemeenschappelijke basis, DL- totale hoogte.
3) 
, aangezien FB een basis is, AB- totale hoogte.
4) 
5) Op dezelfde manier kan men bewijzen dat: 
6) Door term voor term toe te voegen, krijgen we:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Het bewijs is compleet.
9 MANIER.
Bewijs.
1) Laten we ABDE- een vierkant (Fig. 9), waarvan de zijde gelijk is aan de hypotenusa van een rechthoekige driehoek ABC (AB= c, BC = een, AC =b).
2) Laten we DK BC en DK = zon, aangezien 1 + 2 = 90° (als de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek), 3 + 2 = 90° (als de hoek van een vierkant), AB= BD(zijden van het plein).
Middelen, abc= BDK(door hypotenusa en scherpe hoek).
3) Laten we EL DC, AM EL. Het kan gemakkelijk worden bewezen dat ABC = BDK = DEL = EAM (met poten a en b). Dan KS= CM= ML= LK= a -b.
4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),met2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Het bewijs is compleet.
10 MANIER.
Het bewijs kan worden uitgevoerd op een figuur, die gekscherend "Pythagoras-broek" wordt genoemd (Fig. 10). Het idee is om de vierkanten die op de benen zijn gebouwd om te zetten in gelijke driehoeken, die samen het vierkant van de hypotenusa vormen.
abc verschuiven, zoals aangegeven door de pijl, en het neemt de positie in KDN. De rest van de figuur AKDCB gelijk aan de oppervlakte van een vierkant AKDC- het is een parallellogram AKNB.
Een parallellogrammodel gemaakt AKNB. We verschuiven het parallellogram zoals geschetst in de inhoud van het werk. Om de transformatie van een parallellogram in een gelijke driehoek te laten zien, voor de ogen van de studenten, snijden we een driehoek op het model af en schuiven deze naar beneden. Dus de oppervlakte van het plein AKDC gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoek. Op dezelfde manier converteren we de oppervlakte van een vierkant naar de oppervlakte van een rechthoek.
Laten we een transformatie maken voor een vierkant gebouwd op een been a(Afb. 11, a):
a) het vierkant wordt omgezet in een even groot parallellogram (Fig. 11.6):
b) het parallellogram draait een kwartslag (Fig. 12):
c) het parallellogram wordt omgezet in een rechthoek van gelijke grootte (Fig. 13): 11 MANIER.
Bewijs:
PCL- recht (afb. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Bewijs voorbij .
12 MANIER.
Rijst. 15 illustreert een ander origineel bewijs van de stelling van Pythagoras.
Hier: driehoek ABC met rechte hoek C; lijnstuk vriendje loodrecht SW en gelijk daaraan, het segment ZIJN loodrecht AB en gelijk daaraan, het segment ADVERTENTIE loodrecht AC en gelijk aan hem; punten V, C,D behoren tot één rechte lijn; vierhoeken ADFB en ACBE zijn gelijk omdat ABF = ECB; driehoeken ADF en ACE zijn gelijk; we trekken van beide gelijke vierhoeken een gemeenschappelijke driehoek voor hen af abc, we krijgen
, c2 = a2 +
b2.
Het bewijs is compleet.
13 MANIER.
De oppervlakte van deze rechthoekige driehoek is enerzijds gelijk aan ,
met iemand anders, ,
3. CONCLUSIE
Als resultaat van de zoekactiviteit werd het doel van het werk bereikt, namelijk het aanvullen en veralgemenen van kennis over het bewijs van de stelling van Pythagoras. Het was mogelijk om verschillende manieren te vinden en te overwegen om het te bewijzen en de kennis over het onderwerp te verdiepen door verder te gaan dan de pagina's van een schoolboek.
Het materiaal dat ik heb verzameld is nog overtuigender dat de stelling van Pythagoras de grote stelling van de meetkunde is en van groot theoretisch en praktisch belang is. Tot slot zou ik willen zeggen: de reden voor de populariteit van de stelling van Pythagoras van de drieënige is schoonheid, eenvoud en betekenis!
4. GEBRUIKTE LITERATUUR.
1. Vermakelijke algebra. . Moskou "Nauka", 1978.
2. Wekelijkse educatieve en methodologische bijlage bij de krant "Eerste september", 24/2001.
3. Geometrie 7-9. en etc.
4. Geometrie 7-9. en etc.
Een geanimeerd bewijs van de stelling van Pythagoras is een van de fundamenteel stellingen van de Euclidische meetkunde, waarmee de relatie tussen de zijden van een rechthoekige driehoek wordt vastgesteld. Er wordt aangenomen dat het werd bewezen door de Griekse wiskundige Pythagoras, naar wie het is genoemd (er zijn andere versies, met name een alternatieve mening dat deze stelling in algemeen beeld werd geformuleerd door de pythagorische wiskundige Hippasus).
De stelling zegt:
In een rechthoekige driehoek is de oppervlakte van het vierkant gebouwd op de hypotenusa gelijk aan de som van de oppervlakten van de vierkanten die op de poten zijn gebouwd.
Aanduiding van de lengte van de hypotenusa van de driehoek c, en de lengtes van de benen als a en b, we krijgen de volgende formule:
De stelling van Pythagoras stelt dus een relatie vast waarmee je de zijde van een rechthoekige driehoek kunt bepalen, terwijl je de lengtes van de andere twee kent. De stelling van Pythagoras is een speciaal geval van de cosinusstelling, die de relatie tussen de zijden bepaalt willekeurige driehoek.
De omgekeerde bewering is ook bewezen (ook wel omgekeerde stelling Pythagoras):
Voor elke drie positieve getallen a, b en c zodanig dat a ? +b? = c ?, er is een rechthoekige driehoek met benen a en b en hypotenusa c.
Visueel bewijs voor de driehoek (3, 4, 5) van Chu Pei 500-200 v.Chr. De geschiedenis van de stelling is in te delen in vier delen: kennis over de getallen van Pythagoras, kennis over de verhouding van de zijden in een rechthoekige driehoek, kennis over de verhouding aangrenzende hoeken en het bewijs van de stelling.
Megalithische bouwwerken rond 2500 voor Christus in Egypte en Noord-Europa, rechthoekige driehoeken met gehele zijden bevatten. Barthel Leendert van der Waerden vermoedde dat in die tijd de Pythagoreïsche getallen algebraïsch werden gevonden.
Geschreven tussen 2000 en 1876 voor Christus papyrus uit het Middenrijk van Egypte Berlijn 6619 bevat een probleem waarvan de oplossing de Pythagoras-getallen zijn.
Tijdens het bewind van Hammurabi de Grote, een Vibylonische tablet Plimpton 322, geschreven tussen 1790 en 1750 voor Christus bevat veel vermeldingen die nauw verwant zijn aan Pythagoras-getallen.
In de Budhayana-soetra's, die dateren uit verschillende versies 8e of 2e eeuw voor Christus in India, bevat algebraïsche afgeleide Pythagoras-getallen, een formulering van de stelling van Pythagoras en een geometrisch bewijs voor een gelijkbenige rechthoekige driehoek.
De Apastamba Sutra's (circa 600 voor Christus) bevatten: numeriek bewijs Stellingen van Pythagoras met behulp van oppervlakteberekening. Van der Waerden gelooft dat het gebaseerd was op de tradities van zijn voorgangers. Volgens Albert Burko is dit het originele bewijs van de stelling en hij suggereert dat Pythagoras Arakoni heeft bezocht en het heeft gekopieerd.
Pythagoras, wiens levensjaren gewoonlijk 569 - 475 v. Chr. worden aangegeven. toepassingen algebraïsche methoden berekening van de getallen van Pythagoras, volgens Proklovs opmerkingen over Euclides. Proclus leefde echter tussen 410 en 485 na Christus. Volgens Thomas Giese is er geen indicatie van het auteurschap van de stelling gedurende vijf eeuwen na Pythagoras. Wanneer auteurs zoals Plutarchus of Cicero de stelling echter aan Pythagoras toeschrijven, doen ze alsof het auteurschap algemeen bekend en zeker is.
Rond 400 voor Christus Volgens Proclus gaf Plato een methode voor het berekenen van Pythagoras-getallen, waarbij algebra en geometrie werden gecombineerd. Rond 300 voor Christus, in begin Euclides, we hebben het oudste axiomatische bewijs dat tot op de dag van vandaag bewaard is gebleven.
Geschreven ergens tussen 500 voor Christus. en 200 voor Christus, Chinees wiskundeboek"Chu Pei" (? ? ? ?), geeft een visueel bewijs van de stelling van Pythagoras, die in China de stelling van gugu (????) wordt genoemd, voor een driehoek met zijden (3, 4, 5). Tijdens het bewind van de Han-dynastie, vanaf 202 voor Christus. voor 220 AD Pythagoras-getallen verschijnen in het boek "Nine Sections of the Mathematical Art", samen met een vermelding van rechthoekige driehoeken.
Het gebruik van de stelling is voor het eerst gedocumenteerd in China, waar het bekend staat als de gugu-stelling (????) en in India, waar het bekend staat als de stelling van Baskar.
Velen betwijfelen of de stelling van Pythagoras een keer of herhaaldelijk is ontdekt. Boyer (1991) gelooft dat de kennis die in de Shulba Sutra wordt gevonden, van Mesopotamische oorsprong kan zijn.
Algebraïsch bewijs 
Vierkanten worden gevormd uit vier rechthoekige driehoeken. Er zijn meer dan honderd bewijzen van de stelling van Pythagoras bekend. Hier is het bewijs gebaseerd op de existentiestelling voor het gebied van een figuur:
Plaats vier identieke rechthoekige driehoeken zoals weergegeven in de afbeelding.
Vierhoek met zijden c is een kwadraat omdat de som van twee Scherpe hoeken, En de ontwikkelde hoek is .
De oppervlakte van de hele figuur is enerzijds gelijk aan de oppervlakte van een vierkant met zijde "a + b", en anderzijds aan de som van de oppervlakten van vier driehoeken en het binnenste vierkant .
Dat is wat bewezen moet worden.
Door de gelijkenis van driehoeken 
Gebruik van gelijkaardige driehoeken. laten zijn abc is een rechthoekige driehoek waarin de hoek C recht, zoals op de foto. Laten we een hoogte tekenen vanaf een punt c, en bel H snijpunt met een zijde AB. Driehoek gevormd ACH als een driehoek abc, omdat ze allebei rechthoekig zijn (per definitie van hoogte) en ze delen een hoek EEN, uiteraard zal de derde hoek ook in deze driehoeken hetzelfde zijn. Evenzo mirkuyuyuchy, driehoek CBH ook vergelijkbaar met driehoek ABC. Van de gelijkenis van driehoeken: If
Dit kan worden geschreven als
Als we deze twee gelijkheden bij elkaar optellen, krijgen we
HB + c keer AH = c keer (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
Met andere woorden, de stelling van Pythagoras:
Het bewijs van Euclides 
Bewijs van Euclides in de Euclidische "Principes", de stelling van Pythagoras bewezen door de methode van parallellogrammen. laten zijn A, B, C hoekpunten van een rechthoekige driehoek, met een rechte hoek A. Laat een loodlijn vallen vanuit een punt EEN aan de zijde tegenover de hypotenusa in een vierkant gebouwd op de hypotenusa. De lijn verdeelt het vierkant in twee rechthoeken, die elk dezelfde oppervlakte hebben als de vierkanten die op de poten zijn gebouwd. hoofdidee het bewijs bestaat uit het veranderen van de bovenste vierkanten in parallellogrammen van hetzelfde gebied, en dan terugkeren en veranderen in rechthoeken in het onderste vierkant en opnieuw met hetzelfde gebied.
Laten we segmenten tekenen CF en ADVERTENTIE, we krijgen driehoeken BCF en BDA.
hoeken TAXI en TAS- Rechtdoor; punten C, A en G zijn collineair. Zelfde manier B, A en H.
hoeken CBD en FBA- beide zijn recht, dan is de hoek ABD gelijk aan de hoek fbc, aangezien beide de som zijn van een rechte hoek en een hoek ABC.
Driehoek ABD en FBC niveau aan twee zijden en de hoek ertussen.
Omdat de puntjes A, K en L– collineair, de oppervlakte van de rechthoek BDLK is gelijk aan twee oppervlakten van de driehoek ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Op dezelfde manier krijgen we CKLE = ACIH = AC 2
Aan de ene kant het gebied CBDE gelijk aan de som van de oppervlakten van de rechthoeken BDLK en CKLE, aan de andere kant, de oppervlakte van het plein BC2, of AB 2 + AC 2 = v.Chr. 2.
Differentiëlen gebruiken 
Het gebruik van differentiëlen. De stelling van Pythagoras kan worden verkregen door te bestuderen hoe de toename van een zijde de lengte van de hypotenusa beïnvloedt, zoals weergegeven in de afbeelding rechts, en een kleine berekening toe te passen.
Als gevolg van de groei van de zijkant a, van gelijkaardige driehoeken voor oneindig kleine stappen
Integreren krijgen we
Als een a= 0 dan c = b, dus de "constante" is b2. Dan
Zoals te zien is, zijn de kwadraten het gevolg van de verhouding tussen verhogingen en zijden, terwijl de som het resultaat is van de onafhankelijke bijdrage van de verhogingen van de zijden, niet duidelijk uit geometrisch bewijs. In deze vergelijkingen da en dc zijn respectievelijk oneindig kleine stappen van de zijkanten a en c. Maar in plaats van hen gebruiken we? a en? c, dan is de limiet van de verhouding als ze neigen naar nul da / gelijkstroom, afgeleide, en is ook gelijk aan c / a, de verhouding van de lengtes van de zijden van de driehoeken, als resultaat krijgen we differentiaalvergelijking.
Bij een orthogonaal stelsel van vectoren vindt een gelijkheid plaats, ook wel de stelling van Pythagoras genoemd:
Als - Dit zijn de projecties van de vector op Coördinaatassen, dan valt deze formule samen met de Euclidische afstand en betekent dat de lengte van de vector gelijk is aan de wortel vierkante som kwadraten van zijn componenten.
Een analoog van deze gelijkheid in het geval eindeloos systeem vectoren heet de gelijkheid van Parseval.
In één ding kun je er honderd procent zeker van zijn dat elke volwassene, wanneer hem wordt gevraagd wat het kwadraat van de hypotenusa is, stoutmoedig zal antwoorden: "De som van de vierkanten van de benen." Deze theorie is stevig geplant in de hoofden van iedereen. goed opgeleide persoon, maar het is voldoende om iemand te vragen het te bewijzen, en dan kunnen er moeilijkheden ontstaan. Laten we daarom verschillende manieren bedenken om de stelling van Pythagoras te bewijzen.
Kort overzicht van de biografie
De stelling van Pythagoras is bij bijna iedereen bekend, maar om de een of andere reden is de biografie van de persoon die het heeft opgesteld niet zo populair. We zullen het repareren. Daarom moet je, voordat je de verschillende manieren bestudeert om de stelling van Pythagoras te bewijzen, kort kennis maken met zijn persoonlijkheid.
Pythagoras - een filosoof, wiskundige, denker, oorspronkelijk uit Tegenwoordig is het erg moeilijk om zijn biografie te onderscheiden van de legendes die zich hebben ontwikkeld ter nagedachtenis aan deze grote man. Maar zoals blijkt uit de geschriften van zijn volgelingen, werd Pythagoras van Samos geboren op het eiland Samos. Zijn vader was een gewone steenhouwer, maar zijn moeder kwam uit een adellijke familie.
Volgens de legende werd de geboorte van Pythagoras voorspeld door een vrouw genaamd Pythia, ter ere van wie de jongen werd genoemd. Volgens haar voorspelling zou een geboren jongen veel voordelen en goeds voor de mensheid brengen. Wat hij ook werkelijk deed.
De geboorte van een stelling
In zijn jeugd verhuisde Pythagoras naar Egypte om daar de beroemde Egyptische wijzen te ontmoeten. Na een ontmoeting met hen, werd hij toegelaten om te studeren, waar hij alle grote prestaties van de Egyptische filosofie, wiskunde en geneeskunde leerde.
Waarschijnlijk was het in Egypte dat Pythagoras werd geïnspireerd door de majesteit en schoonheid van de piramides en zijn eigen geweldige theorie. Dit kan lezers schokken, maar moderne historici geloven dat Pythagoras zijn theorie niet heeft bewezen. Maar hij gaf zijn kennis alleen door aan zijn volgelingen, die later alle benodigde wiskundige berekeningen voltooiden.
Hoe het ook zij, er is tegenwoordig niet één techniek bekend om deze stelling te bewijzen, maar meerdere tegelijk. Vandaag kunnen we alleen maar raden hoe de oude Grieken precies hun berekeningen maakten, dus hier zullen we verschillende manieren bekijken om de stelling van Pythagoras te bewijzen.
de stelling van Pythagoras
Voordat je met berekeningen begint, moet je uitzoeken welke theorie je moet bewijzen. De stelling van Pythagoras klinkt als volgt: "In een driehoek waarin een van de hoeken 90 o is, is de som van de kwadraten van de benen gelijk aan het kwadraat van de hypotenusa."
Er zijn in totaal 15 verschillende manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen. Dit is een vrij groot aantal, dus laten we aandacht besteden aan de meest populaire.
Methode één:
Laten we eerst definiëren wat we hebben. Deze gegevens zijn ook van toepassing op andere manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen, dus u moet onmiddellijk alle beschikbare notaties onthouden.
Stel dat er een rechthoekige driehoek wordt gegeven, met benen a, b en hypotenusa gelijk aan c. De eerste bewijsmethode is gebaseerd op het feit dat uit een rechthoekige driehoek een vierkant moet worden getrokken.
Om dit te doen, moet je een segment naar het been tekenen met een lengte gelijk aan het been binnen, en omgekeerd. Dus het moeten er twee zijn gelijke kanten plein. Het blijft alleen om twee parallelle lijnen te tekenen en het vierkant is klaar.
Binnen de resulterende figuur moet je nog een vierkant met een zijde tekenen gelijk aan de hypotenusa originele driehoek. Om dit te doen, moet je vanaf de hoekpunten ac en s twee . tekenen parallel segment gelijk aan. We krijgen dus drie zijden van het vierkant, waarvan er één de hypotenusa is van de oorspronkelijke rechthoekige driehoek. Het blijft alleen om het vierde segment te tekenen.
Op basis van de resulterende figuur kunnen we concluderen dat de oppervlakte van het buitenste vierkant (a + b) 2 is. Als je in de figuur kijkt, kun je zien dat het naast het binnenvierkant vier rechthoekige driehoeken heeft. Het gebied van elk is 0,5 av.
Daarom is het gebied: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2
Vandaar (a + c) 2 \u003d 2av + c 2
En dus met 2 \u003d een 2 + in 2
De stelling is bewezen.
Methode twee: soortgelijke driehoeken
Deze formule voor het bewijs van de stelling van Pythagoras is afgeleid op basis van een uitspraak uit het deel van de meetkunde over gelijke driehoeken. Er staat dat het been van een rechthoekige driehoek het gemiddelde is dat evenredig is met zijn hypotenusa en het hypotenusa-segment dat uit het hoekpunt van een hoek van 90 o komt.
De initiële gegevens blijven hetzelfde, dus laten we meteen beginnen met het bewijs. Laten we een segment CD loodrecht op zijde AB tekenen. Op basis van de bovenstaande verklaring zijn de benen van de driehoeken gelijk:
AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.
Om de vraag te beantwoorden hoe de stelling van Pythagoras kan worden bewezen, moet het bewijs worden geleverd door beide ongelijkheden te kwadrateren.
AC 2 \u003d AB * HELL en SV 2 \u003d AB * DV
Nu moeten we de resulterende ongelijkheden optellen.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), waarbij AD + DV \u003d AB
Het blijkt dat:
AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB
En daarom:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Het bewijs van de stelling van Pythagoras en de verschillende manieren om het op te lossen, vereisen een veelzijdige benadering van dit probleem. Deze optie is echter een van de eenvoudigste.
Een andere berekeningsmethode
Beschrijving van verschillende manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen zegt misschien niets, totdat je zelf gaat oefenen. Veel methoden omvatten niet alleen wiskundige berekeningen, maar ook de constructie van nieuwe figuren uit de oorspronkelijke driehoek.
BIJ deze zaak het is noodzakelijk om nog een rechthoekige driehoek VSD te voltooien vanaf het been van het vliegtuig. Er zijn nu dus twee driehoeken met een gemeenschappelijk been BC.
Wetende dat de gebieden van vergelijkbare figuren een verhouding hebben als de vierkanten van hun vergelijkbare lineaire afmetingen, dan:
S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2
S avs * (van 2 tot 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)
van 2 naar 2 \u003d een 2
c 2 \u003d een 2 + in 2
Aangezien deze optie nauwelijks geschikt is voor verschillende methoden om de stelling van Pythagoras voor graad 8 te bewijzen, kun je de volgende techniek gebruiken.
De eenvoudigste manier om de stelling van Pythagoras te bewijzen. Beoordelingen
Historici geloven dat deze methode voor het eerst werd gebruikt om de stelling te bewijzen in het oude Griekenland. Het is de eenvoudigste, omdat er absoluut geen berekeningen voor nodig zijn. Als u een afbeelding correct tekent, is het bewijs van de stelling dat a 2 + b 2 \u003d c 2 duidelijk zichtbaar is.
Voorwaarden voor deze methode zal iets anders zijn dan de vorige. Om de stelling te bewijzen, veronderstel dat de rechthoekige driehoek ABC gelijkbenig is.
We nemen de hypotenusa AC als de zijde van het vierkant en tekenen de drie zijden. Bovendien is het noodzakelijk om twee diagonale lijnen in het resulterende vierkant te tekenen. Zodat je erin vier gelijkbenige driehoeken krijgt.
Voor de benen AB en CB moet je ook een vierkant tekenen en in elk ervan een diagonale lijn tekenen. We trekken de eerste lijn van hoekpunt A, de tweede - van C.
Nu moet je goed naar de resulterende afbeelding kijken. Aangezien er vier driehoeken op de hypotenusa AC staan, gelijk aan de oorspronkelijke, en twee op de benen, geeft dit de juistheid van deze stelling aan.
Trouwens, dankzij deze methode om de stelling van Pythagoras te bewijzen, is de beroemde zin: "Pythagorasbroeken zijn in alle richtingen gelijk."
Bewijs door J. Garfield
James Garfield is de 20e president van de Verenigde Staten van Amerika. Naast zijn stempel op de geschiedenis als heerser van de Verenigde Staten, was hij ook een begaafde autodidact.
Aan het begin van zijn carrière was hij een gewone leraar op een volksschool, maar al snel werd hij directeur van een van de hogere onderwijsinstellingen. Het verlangen naar zelfontwikkeling en stelde hem in staat om te bieden nieuwe theorie bewijs van de stelling van Pythagoras. De stelling en een voorbeeld van de oplossing zijn als volgt.
Eerst moet je twee rechthoekige driehoeken op een stuk papier tekenen, zodat het been van een van hen een voortzetting is van de tweede. De hoekpunten van deze driehoeken moeten worden verbonden om een trapezium te krijgen.
Zoals u weet, is de oppervlakte van een trapezium gelijk aan het product van de helft van de som van de bases en de hoogte.
S=a+b/2 * (a+b)
Als we het resulterende trapezium beschouwen als een figuur bestaande uit drie driehoeken, dan kan het gebied als volgt worden gevonden:
S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2
Nu moeten we de twee originele uitdrukkingen gelijk maken
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2
c 2 \u003d een 2 + in 2
Er kunnen meer dan één volume worden geschreven over de stelling van Pythagoras en hoe deze te bewijzen studie gids. Maar heeft het zin als deze kennis niet in de praktijk kan worden gebracht?
Praktische toepassing van de stelling van Pythagoras
Helaas voorzien de moderne schoolcurricula in het gebruik van deze stelling alleen in: geometrische problemen. Afgestudeerden verlaten straks de schoolmuren zonder te weten hoe ze hun kennis en vaardigheden in de praktijk kunnen toepassen.
Gebruik in feite de stelling van Pythagoras in je Alledaagse leven iedereen kan. En niet alleen in professionele activiteit maar ook bij normale huishoudelijke taken. Laten we eens kijken naar verschillende gevallen waarin de stelling van Pythagoras en de methoden voor het bewijs ervan uiterst noodzakelijk kunnen zijn.
Verbinding van de stelling en astronomie
Het lijkt erop hoe sterren en driehoeken op papier kunnen worden verbonden. In feite is astronomie wetenschappelijk veld, die uitgebreid gebruik maakt van de stelling van Pythagoras.
Beschouw bijvoorbeeld de beweging van een lichtstraal in de ruimte. We weten dat licht zich met dezelfde snelheid in beide richtingen voortplant. We noemen de baan AB waarlangs de lichtstraal beweegt ik. En de helft van de tijd die licht nodig heeft om van punt A naar punt B te komen, laten we bellen t. En de snelheid van de straal - c. Het blijkt dat: c*t=l
Als je naar dezelfde straal kijkt vanuit een ander vliegtuig, bijvoorbeeld vanuit een ruimteschip dat met een snelheid v beweegt, dan zal bij zo'n observatie van de lichamen hun snelheid veranderen. In dit geval zullen zelfs stilstaande elementen met een snelheid v in de tegenovergestelde richting bewegen.
Laten we zeggen dat het stripschip naar rechts vaart. Dan zullen de punten A en B, waartussen de straal snelt, naar links bewegen. Bovendien, wanneer de straal van punt A naar punt B beweegt, heeft punt A tijd om te bewegen en, dienovereenkomstig, zal het licht al aankomen op nieuw punt C. Om de helft van de afstand te vinden die punt A heeft afgelegd, moet je de snelheid van de voering vermenigvuldigen met de helft van de reistijd van de balk (t ").
En om uit te vinden hoe ver een lichtstraal in deze tijd zou kunnen reizen, moet je de helft van het pad van de nieuwe beuken aangeven en de volgende uitdrukking krijgen:
Als we ons voorstellen dat de lichtpunten C en B, evenals de space liner, de hoekpunten zijn gelijkbenige driehoek, dan verdeelt het segment van punt A naar de voering het in twee rechthoekige driehoeken. Daarom kun je dankzij de stelling van Pythagoras de afstand vinden die een lichtstraal zou kunnen afleggen.
Dit voorbeeld is natuurlijk niet het meest succesvolle, aangezien slechts enkelen het geluk kunnen hebben om het in de praktijk uit te proberen. Daarom beschouwen we meer alledaagse toepassingen van deze stelling.
Mobiel signaaloverdrachtsbereik:
Het moderne leven is niet meer voorstelbaar zonder het bestaan van smartphones. Maar hoeveel zouden ze van nut zijn als ze abonnees niet via mobiele communicatie zouden kunnen verbinden?!
De kwaliteit van mobiele communicatie hangt direct af van de hoogte waarop de antenne van de mobiele operator zich bevindt. Om te berekenen hoe ver van een zendmast een telefoon een signaal kan ontvangen, kun je de stelling van Pythagoras toepassen.
Laten we zeggen dat je de geschatte hoogte van een stationaire toren moet vinden, zodat deze een signaal kan verspreiden binnen een straal van 200 kilometer.
AB (torenhoogte) = x;
BC (straal van signaaloverdracht) = 200 km;
besturingssysteem (straal de wereldbol) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Als we de stelling van Pythagoras toepassen, komen we erachter dat de minimale hoogte van de toren 2,3 kilometer moet zijn.
Stelling van Pythagoras in het dagelijks leven
Vreemd genoeg kan de stelling van Pythagoras zelfs nuttig zijn in alledaagse zaken, zoals het bepalen van de hoogte van een kast, bijvoorbeeld. Op het eerste gezicht is het niet nodig om dergelijke complexe berekeningen te gebruiken, omdat u eenvoudig metingen kunt doen met een meetlint. Maar velen zijn verbaasd waarom er bepaalde problemen ontstaan tijdens het assemblageproces als alle metingen meer dan nauwkeurig zijn uitgevoerd.
Het feit is dat de kledingkast in een horizontale positie wordt gemonteerd en pas dan omhoog gaat en tegen de muur wordt geïnstalleerd. Daarom moet de zijwand van de kast tijdens het optillen van de constructie vrij langs de hoogte en diagonaal van de kamer gaan.
Stel dat er een kledingkast is met een diepte van 800 mm. Afstand van vloer tot plafond - 2600 mm. Een ervaren meubelmaker zal zeggen dat de hoogte van de kast 126 mm minder moet zijn dan de hoogte van de kamer. Maar waarom precies 126 mm? Laten we een voorbeeld bekijken.
Laten we, met ideale afmetingen van de kast, de werking van de stelling van Pythagoras controleren:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - alles komt samen.
Laten we zeggen dat de hoogte van de kast niet 2474 mm is, maar 2505 mm. Dan:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Daarom is deze kast niet geschikt voor installatie in deze ruimte. Omdat bij het optillen naar een verticale positie schade aan het lichaam kan worden veroorzaakt.
Misschien kunnen we, na verschillende manieren te hebben overwogen om de stelling van Pythagoras door verschillende wetenschappers te bewijzen, concluderen dat het meer dan waar is. Nu kunt u de ontvangen informatie in uw dagelijks leven gebruiken en er volledig zeker van zijn dat alle berekeningen niet alleen nuttig, maar ook correct zijn.
Voor degenen die geïnteresseerd zijn in de geschiedenis van de stelling van Pythagoras, die wordt bestudeerd in schoolcurriculum, zal een feit als de publicatie in 1940 van een boek met driehonderdzeventig bewijzen van deze schijnbaar eenvoudige stelling ook interessant zijn. Maar het intrigeerde de geest van veel wiskundigen en filosofen uit verschillende tijdperken. In het Guinness Book of Records wordt het vastgelegd als een stelling met het maximale aantal bewijzen.
Geschiedenis van de stelling van Pythagoras
Geassocieerd met de naam Pythagoras, was de stelling al lang voor de geboorte van de grote filosoof bekend. Dus in Egypte, tijdens de constructie van constructies, werd vijfduizend jaar geleden rekening gehouden met de verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek. De Babylonische teksten vermelden dezelfde verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek 1200 jaar voor de geboorte van Pythagoras.
De vraag rijst waarom dan het verhaal zegt - de opkomst van de stelling van Pythagoras is van hem? Er kan maar één antwoord zijn - hij bewees de verhouding van de zijden in de driehoek. Hij deed wat degenen die simpelweg de beeldverhouding en de hypotenusa gebruikten, vastgesteld door ervaring, eeuwen geleden niet deden.
Uit het leven van Pythagoras
De toekomstige grote wetenschapper, wiskundige en filosoof werd geboren op het eiland Samos in 570 voor Christus. historische documenten bewaarde informatie over de vader van Pythagoras, die beeldhouwer was edelstenen maar er is geen informatie over de moeder. Ze zeiden over de geboren jongen dat dit een uitstekend kind was dat showde met jeugd passie voor muziek en poëzie. Historici schrijven Hermodamant en Pherekides van Syros toe aan de leraren van de jonge Pythagoras. De eerste introduceerde de jongen in de wereld van de Muzen, en de tweede, een filosoof en oprichter van de Italiaanse school voor filosofie, richtte de blik van de jongeman op de logos.
Op 22-jarige leeftijd (548 v. Chr.) ging Pythagoras naar Naucratis om de taal en religie van de Egyptenaren te bestuderen. Verder lag zijn pad in Memphis, waar hij, dankzij de priesters, die hun ingenieuze tests hadden doorstaan, de Egyptische meetkunde begreep, wat de nieuwsgierige jongeman misschien ertoe aanzette om de stelling van Pythagoras te bewijzen. De geschiedenis zal deze naam later aan de stelling toeschrijven.
Gevangen genomen door de koning van Babylon
Op weg naar huis, naar Hellas, wordt Pythagoras gevangengenomen door de koning van Babylon. Maar gevangenschap kwam de nieuwsgierige geest van de beginnende wiskundige ten goede, hij moest nog veel leren. In die jaren was de wiskunde in Babylon inderdaad meer ontwikkeld dan in Egypte. Hij studeerde twaalf jaar wiskunde, meetkunde en magie. En misschien was het de Babylonische meetkunde die betrokken was bij het bewijs van de verhouding van de zijden van de driehoek en de geschiedenis van de ontdekking van de stelling. Pythagoras had hiervoor voldoende kennis en tijd. Maar dat dit in Babylon is gebeurd, daar is geen documentaire bevestiging of weerlegging van.
In 530 v.Chr Pythagoras vlucht uit gevangenschap naar zijn vaderland, waar hij in de status van halfslaaf aan het hof van de tiran Polycrates woont. Zo'n leven past niet bij Pythagoras, en hij trekt zich terug in de grotten van Samos en gaat dan naar het zuiden van Italië, waar op dat moment de Griekse kolonie Croton.
Geheime kloosterorde
Op basis van deze kolonie organiseerde Pythagoras een geheim kloosterorde, die een religieuze unie was en wetenschappelijke samenleving tegelijkertijd. Dit genootschap had zijn charter, dat sprak over de naleving van een speciale manier van leven.
Pythagoras voerde aan dat om God te begrijpen, een persoon wetenschappen als algebra en geometrie, astronomie en muziek moet kennen. Onderzoek werd teruggebracht tot de kennis van de mystieke kant van getallen en filosofie. Opgemerkt moet worden dat de principes die toen door Pythagoras werden gepredikt, in de huidige tijd zinvol zijn in navolging.
Veel van de ontdekkingen van de discipelen van Pythagoras werden aan hem toegeschreven. Desalniettemin, kortom, de geschiedenis van de totstandkoming van de stelling van Pythagoras door oude historici en biografen uit die tijd is direct verbonden met de naam van deze filosoof, denker en wiskundige.
De leer van Pythagoras
Misschien werd het idee van de verbinding van de stelling met de naam van Pythagoras ingegeven door de verklaring van de historici van de grote Griek dat in de beruchte driehoek met zijn benen en hypotenusa alle verschijnselen van ons leven zijn gecodeerd. En deze driehoek is de "sleutel" tot het oplossen van alle problemen die zich voordoen. De grote filosoof zei dat men een driehoek moet zien, dan kunnen we aannemen dat het probleem voor tweederde is opgelost.
Pythagoras vertelde alleen mondeling aan zijn studenten over zijn onderwijs, zonder aantekeningen te maken en het geheim te houden. Helaas, lesgeven de grootste filosoof heeft het tot op de dag van vandaag niet overleefd. Een deel ervan is uitgelekt, maar het is onmogelijk om te zeggen hoeveel waar en hoeveel onwaar is in wat bekend is geworden. Zelfs met de geschiedenis van de stelling van Pythagoras is niet alles zeker. Historici van de wiskunde twijfelen aan het auteurschap van Pythagoras, naar hun mening werd de stelling vele eeuwen voor zijn geboorte gebruikt.
de stelling van Pythagoras
Het lijkt misschien vreemd, maar historische feiten er is geen bewijs van de stelling door Pythagoras zelf - noch in de archieven, noch in andere bronnen. In de moderne versie wordt aangenomen dat het van niemand minder dan Euclid zelf is.
Er is bewijs van een van de grootste historici van de wiskunde, Moritz Cantor, die ontdekte op een papyrus opgeslagen in het Berlijnse museum, geschreven door de Egyptenaren rond 2300 voor Christus. e. gelijkheid, die luidde: 3² + 4² = 5².
Kort uit de geschiedenis van de stelling van Pythagoras
De formulering van de stelling uit het Euclidische "Begin" in vertaling klinkt hetzelfde als in de moderne interpretatie. Er is niets nieuws in haar lezing: het vierkant van de andere kant juiste hoek, is gelijk aan de som van de kwadraten van de zijden die grenzen aan de rechte hoek. Het feit dat de oude beschavingen van India en China de stelling gebruikten, wordt bevestigd door de verhandeling Zhou Bi Suan Jin. Het bevat informatie over de Egyptische driehoek, die de beeldverhouding beschrijft als 3:4:5.
Niet minder interessant is een ander Chinees wiskundig boek, Chu-Pei, dat ook vermeldt: Pythagoras driehoek met uitleg en tekeningen die samenvallen met de tekeningen van de hindoegeometrie van Bashara. Over de driehoek zelf zegt het boek dat als een rechte hoek kan worden ontleed in zijn samenstellende delen, de lijn die de uiteinden van de zijden verbindt gelijk is aan vijf, als de basis drie is en de hoogte vier.
De Indiase verhandeling "Sulva Sutra", daterend uit ongeveer de 7e-5e eeuw voor Christus. e., vertelt over de constructie van een rechte hoek met behulp van de Egyptische driehoek.
Bewijs van de stelling
In de Middeleeuwen vonden studenten het bewijs van een stelling ook hard werken. Zwakke studenten leerden stellingen uit hun hoofd, zonder de betekenis van het bewijs te begrijpen. In dit opzicht kregen ze de bijnaam "ezels", omdat de stelling van Pythagoras voor hen een onoverkomelijk obstakel was, zoals een brug voor een ezel. In de middeleeuwen bedachten leerlingen een speels versje over deze stelling.
Om de stelling van Pythagoras met de meeste te bewijzen de makkelijke manier, moet men gewoon de zijkanten meten, zonder het concept van gebieden in het bewijs te gebruiken. De lengte van de zijde tegenover de rechte hoek is c, en de a en b ernaast, als resultaat krijgen we de vergelijking: a 2 + b 2 \u003d c 2. Deze verklaring, zoals hierboven vermeld, wordt geverifieerd door de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek te meten.
Als we het bewijs van de stelling beginnen door te kijken naar de oppervlakte van de rechthoeken die aan de zijkanten van de driehoek zijn gebouwd, kunnen we de oppervlakte van de hele figuur bepalen. Het is gelijk aan de oppervlakte van een vierkant met een zijde (a + b), en aan de andere kant de som van de oppervlakten van vier driehoeken en het binnenste vierkant.
(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;
a 2 + 2ab + b 2 ;
c 2 = a 2 + b 2 , wat bewezen moest worden.
Praktische waarde De stelling van Pythagoras is dat het kan worden gebruikt om de lengtes van segmenten te vinden zonder ze te meten. Tijdens de constructie van constructies worden afstanden, plaatsing van steunen en balken berekend, zwaartepunten bepaald. De stelling van Pythagoras wordt toegepast en al met al moderne technologieën. Ze zijn de stelling niet vergeten bij het maken van films in 3D-6D-dimensies, waarbij naast de gebruikelijke 3 waarden rekening wordt gehouden met hoogte, lengte, breedte, tijd, geur en smaak. Hoe zijn smaken en geuren gerelateerd aan de stelling, vraag je? Alles is heel eenvoudig - bij het vertonen van een film moet je berekenen waar en welke geuren en smaken je in het auditorium moet regisseren.
Het is nog maar het begin. Grenzeloze mogelijkheden voor het ontdekken en creëren van nieuwe technologieën wachten op nieuwsgierige geesten.
HET METEN VAN HET GEBIED VAN GEOMETRISCHE CIJFERS.
§ 58. DE STELLING VAN PYTHAGOREA 1 .
__________
1 Pythagoras is een Griekse wetenschapper die ongeveer 2500 jaar geleden leefde (564-473 v.Chr.).
_________
Laat een rechthoekige driehoek worden gegeven waarvan de zijden a, b en met(ontw. 267).
Laten we vierkanten aan de zijkanten bouwen. De oppervlakten van deze vierkanten zijn respectievelijk a 2 , b 2 en met 2. Laten we dat bewijzen met 2 = een 2 +b 2 .
Laten we twee vierkanten MKOR en M"K"O"R" (Fig. 268, 269) bouwen, waarbij we voor de zijkant van elk van hen een segment nemen dat gelijk is aan de som van de benen van een rechthoekige driehoek ABC.
Nadat we de constructies in tekeningen 268 en 269 in deze vierkanten hebben voltooid, zullen we zien dat het MKOR-vierkant is verdeeld in twee vierkanten met gebieden a 2 en b 2 en vier gelijke rechthoekige driehoeken, die elk gelijk zijn aan rechthoekige driehoek ABC. Het vierkant M"K"O"R" is verdeeld in een vierhoek (het is gearceerd in tekening 269) en vier rechthoekige driehoeken, die elk ook gelijk zijn aan de driehoek ABC. De gearceerde vierhoek is een vierkant, aangezien de zijden gelijk zijn (elk is gelijk aan de hypotenusa van de driehoek ABC, d.w.z. met) en de hoeken zijn goed / 1 + / 2 = 90°, vanwaar / 3 = 90°).
Dus de som van de oppervlakten van de vierkanten gebouwd op de poten (in tekening 268 zijn deze vierkanten gearceerd) is gelijk aan de oppervlakte van het MKOR-vierkant zonder de som vier gelijke driehoeken, en de oppervlakte van het vierkant gebouwd op de hypotenusa (in tekening 269 is dit vierkant ook gearceerd) is gelijk aan de oppervlakte van het vierkant M "K" O "R", gelijk aan het vierkant van de MKOR, zonder de som van de oppervlakten van vier dezelfde driehoeken. Daarom is het gebied van het vierkant gebouwd op de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk aan de som van de gebieden van de vierkanten die op de poten zijn gebouwd.
We krijgen de formule: met 2 = een 2 +b 2 , waar met- hypotenusa, a en b- benen van een rechthoekige driehoek.
De stelling van Pythagoras kan als volgt worden samengevat:
Het kwadraat van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de benen.
van de formule met 2 = een 2 +b 2 kunt u de volgende formules krijgen:
a 2 = met 2 - b 2 ;
b 2 = met 2 - a 2 .
Deze formules kunnen worden gebruikt om te vinden onbekende partij rechthoekige driehoek gegeven twee van zijn zijden.
Bijvoorbeeld:
a) als benen worden gegeven a= 4cm, b\u003d 3 cm, dan kun je de hypotenusa vinden ( met):
met 2 = een 2 +b 2, d.w.z. met 2
= 4 2 + 3 2 ; met 2 = 25, vanwaar met= √25 =5 (cm);
b) als de hypotenusa is gegeven met= 17 cm en been a= 8 cm, dan kun je een ander been vinden ( b):
b 2 = met 2 - a 2, d.w.z. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, vanwaar b= √225 = 15 (cm).
Gevolg:
Als in twee rechthoekige driehoeken ABC en A 1 B 1 C 1 schuine zijde met en met 1 zijn gelijk, en het been b driehoek ABC is groter dan het been b 1 driehoek A 1 B 1 C 1,
dan het been a driehoek ABC kleiner dan het been a 1 driehoek A 1 B 1 C 1 . (Maak een tekening die dit gevolg illustreert.)
Op basis van de stelling van Pythagoras krijgen we inderdaad:
a 2 = met 2 - b 2 ,
a 1 2 = met 1 2 - b 1 2
In de geschreven formules zijn de mintekens gelijk, en het aftrekteken in de eerste formule is groter dan het aftrekteken in de tweede formule, daarom is het eerste verschil kleiner dan de tweede,
d.w.z. a 2 < a 12 . Waar a< a 1 .
Opdrachten.
1. Bewijs met behulp van tekening 270 de stelling van Pythagoras voor een gelijkbenige rechthoekige driehoek.
2. Een been van een rechthoekige driehoek is 12 cm, het andere is 5 cm Bereken de lengte van de schuine zijde van deze driehoek.
3. De schuine zijde van een rechthoekige driehoek is 10 cm, een van de benen is 8 cm Bereken de lengte van het andere been van deze driehoek.
4. De schuine zijde van een rechthoekige driehoek is 37 cm, een van zijn benen is 35 cm Bereken de lengte van het andere been van deze driehoek.
5. Construeer een vierkant tweemaal de oppervlakte van het gegeven vierkant.
6. Construeer een vierkant, tweemaal de oppervlakte van de gegeven. Instructie. Inhouden gegeven vierkant diagonalen. De vierkanten die op de helften van deze diagonalen zijn gebouwd, zullen de gewenste zijn.
7. De benen van een rechthoekige driehoek zijn respectievelijk 12 cm en 15 cm Bereken de lengte van de schuine zijde van deze driehoek met een nauwkeurigheid van 0,1 cm.
8. De schuine zijde van een rechthoekige driehoek is 20 cm, een van zijn benen is 15 cm Bereken de lengte van het andere been tot op 0,1 cm nauwkeurig.
9. Hoe lang moet de ladder zijn zodat deze kan worden bevestigd aan een raam op een hoogte van 6 m, als het onderste uiteinde van de ladder zich op 2,5 m van het gebouw bevindt? (Verdomme. 271.)
Het spel "Skyrim": al het geschreeuw Skyrim schreeuw van 4 woorden
The Elder Scrolls V: Skyrim
The Elder Scrolls V: Skyrim Walkthrough