Mis on normaalne? Lihtsate sõnadega, normaalne on risti. See tähendab, et sirge normaalvektor on antud sirgega risti. On ilmne, et igal sirgel on neid lõpmatu arv (nagu ka suunavektoreid) ja kõik sirge normaalvektorid on kollineaarsed (ühissuunalised või mitte - vahet pole).

Nendega tegelemine on veelgi lihtsam kui suunavektoritega:

Kui joon on antud üldvõrrandiga in ristkülikukujuline süsteem koordinaadid, siis vektor on antud sirge normaalvektor.

Kui suunavektori koordinaadid tuleb võrrandist ettevaatlikult “välja tõmmata”, siis normaalvektori koordinaadid lihtsalt “eemaldatakse”.

Normaalvektor on alati sirge suunavektoriga ortogonaalne. Veenduge, et need vektorid oleksid skalaarkorrutise abil ortogonaalsed:

Toon näiteid samade võrranditega nagu suunavektori puhul:

Kas on võimalik kirjutada sirge võrrandit, teades üht punkti ja normaalvektorit? Kui normaalvektor on teada, määratakse ka kõige sirgema joone suund üheselt - see on "jäik struktuur", mille nurk on 90 kraadi.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

Kui on teada mõni sirgele kuuluv punkt ja selle sirge normaalvektor, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Lahendus: kasutage valemit:

Saadakse sirge üldvõrrand, kontrollime:

1) "Eemaldage" võrrandist normaalvektori koordinaadid: - jah, tõepoolest, algvektor saadakse tingimusest (või vektor peaks olema algvektoriga kollineaarne).

2) Kontrollige, kas punkt vastab võrrandile:

Tõeline võrdsus.

Kui oleme veendunud, et võrrand on õige, täidame ülesande teise, lihtsama osa. Tõmbame välja sirgjoone suunavektori:

Vastus:

Joonisel on olukord järgmine:

Koolituse eesmärgil sarnane ülesanne sõltumatu otsus:

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Tunni viimane osa on pühendatud vähem levinud, aga ka olulised liigid tasapinna sirgjoone võrrandid

Segmentides sirgjoone võrrand.
Sirge võrrand parameetrilisel kujul

Segmentide sirgjoone võrrand on kujul , kus on nullist erinevad konstandid. Teatud tüüpi võrrandeid ei saa sellisel kujul esitada, näiteks otsest proportsionaalsust (kuna vaba liige on null ja paremale poolele ei saa ühte).

See on piltlikult öeldes "tehnilist" tüüpi võrrand. Tavaline ülesanne on kujutada sirge üldvõrrandit sirge võrrandina segmentides. Miks see on mugav? Segmentides sirgjoone võrrand võimaldab kiiresti leida sirge lõikepunktid koordinaatteljed, mis on mõne kõrgema matemaatika ülesande puhul väga oluline.

Leidke sirge ja telje lõikepunkt. Lähtestame "y" ja võrrand võtab kuju . Soovitud punkt saadakse automaatselt: .

Sama teljega on punkt, kus joon lõikub y-teljega.

Need toimingud, mida just üksikasjalikult selgitasin, tehakse suuliselt.

Antud sirgjoon. Koostage sirgjoone võrrand segmentides ja määrake graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.

Lahendus: Toome võrrandi vormile . Esmalt liigume vaba tähtaja juurde parem pool:

Parempoolse ühiku saamiseks jagame võrrandi iga liikme -11-ga:

Teeme murrud kolmekorruselised:

Pinnatud sirge ja koordinaattelgede lõikepunktid:

Vastus:

Jääb kinnitada joonlaud ja tõmmata sirgjoon.

On lihtne näha, et selle sirgjoone määravad unikaalselt punased ja rohelised segmendid, sellest ka nimi - "lõikude sirgjoone võrrand".

Muidugi pole võrrandist punkte nii raske leida, kuid ülesanne on siiski kasulik. Vaadeldav algoritm on vajalik tasandi ja koordinaattelgede lõikepunktide leidmiseks, teist järku sirgvõrrandi viimiseks kanoonilisele kujule ja mõnes muus ülesandes. Seetõttu paar sirgjoont iseseisva lahenduse jaoks:

Koostage sirge võrrand lõikude kaupa ja määrake selle lõikepunktid koordinaattelgedega.

Lahendused ja vastused lõpus. Ärge unustage, et kui soovite, saate kõike joonistada.

Kuidas kirjutada sirgele parameetrilisi võrrandeid?

Parameetrilised võrrandid read on asjakohasemad ruumijoonte jaoks, kuid ilma nendeta jääb meie abstrakt orvuks.

Kui on teada mõni sirgele kuuluv punkt ja selle sirge suunavektor, siis annab selle sirge parameetrilised võrrandid süsteemiga:

Koostage sirge parameetrilised võrrandid punkti ja suunavektori järgi

Lahendus lõppes enne, kui see alata sai:

Parameeter "te" võib võtta mis tahes väärtuse vahemikus "miinus lõpmatus" kuni "pluss lõpmatus" ja iga parameetri väärtus vastab konkreetsele tasapinna punktile. Näiteks kui , siis saame punkti .

Pöördprobleem: kuidas kontrollida, kas tingimuspunkt kuulub antud reale?

Asendame saadud parameetriliste võrranditega punkti koordinaadid:

Mõlemast võrrandist järeldub, et süsteem on järjekindel ja sellel on ainulaadne lahendus.

Vaatleme sisukamaid ülesandeid:

Koostage sirge parameetrilised võrrandid

Lahendus: tingimuse järgi on rida antud üldine vaade. Sirge parameetriliste võrrandite koostamiseks on vaja teada selle suunavektorit ja mõnda selle sirge juurde kuuluvat punkti.

Leiame suunavektori:

Nüüd peate leidma joonele kuuluva punkti (selleks sobib iga punkt), selleks on mugav üldvõrrand ümber kirjutada kaldega võrrandi kujul:

See annab muidugi mõista

Koostame sirge parameetrilised võrrandid:

Ja lõpuks väike loominguline ülesanne iseseisva lahenduse jaoks.

Koostada sirge parameetrilised võrrandid, kui selle juurde kuuluv punkt ja normaalvektor on teada

Ülesande saab täita ainus viis. Lahenduse üks versioone ja vastus lõpus.

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Lahendus: leidke kalle:

Koostame sirgjoone võrrandi, kasutades punkti ja nurga koefitsient :

Vastus:

Näide 4: Lahendus: Koostame sirgjoone võrrandi valemi järgi:

Vastus:

Näide 6: Lahendus: kasutage valemit:

Vastus: (y-telg)

Näide 8: Lahendus: Teeme sirgjoone võrrandi kahes punktis:

Korrutage mõlemad pooled -4-ga:

Ja jagage 5-ga:

Vastus:

Näide 10: Lahendus: Kasutage valemit:

Vähendame -2 võrra:

Suunavektori otsene:
Vastus:

Näide 12:
a) Lahendus: Teisendame võrrandi:

Sellel viisil:

Vastus:

b) Lahendus: Teisendame võrrandi:

Sellel viisil:

Vastus:

Näide 15: Lahendus: Esiteks kirjutame punkti antud sirge üldvõrrandi ja normaalvektor :

Korrutage 12-ga:

Korrutame veel 2-ga, nii et pärast teise sulu avamist vabaneksite murdosast:

Suunavektori otsene:
Koostame sirge parameetrilised võrrandid punkti järgi ja suunavektor :
Vastus:

Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal.
Vastastikune korraldus otsene. Nurk ridade vahel

Jätkame nende lõpmatute-lõpmatute joonte käsitlemist.

Kuidas leida kaugust punktist jooneni?
Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?
Kuidas leida nurk kahe joone vahel?

Kahe sirgjoone vastastikune paigutus

Vaatleme kahte sirget, mis on antud võrranditega üldkujul:

Juhtum, kui saal laulab kooris kaasa. Kaks rida võivad:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Palun pea meeles matemaatiline märk ristmikul, juhtub seda väga sageli. Kirje tähendab, et joon lõikub punktis oleva sirgega.

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, st "lambda" arv on nii suur, et võrdsused kehtivad

Vaatleme sirgeid ja koostame vastavatest kordajatest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage -1-ga (muutke märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid vähendades 2 võrra, saate sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid muutujatel on võrdelised: , aga .

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on selge, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid muutujate juures EI OLE proportsionaalsed, st "lambda" väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks koostame süsteemi:

Esimesest võrrandist tuleneb, et , ja teisest võrrandist: , mis tähendab, et süsteem on vastuolus (lahendusi pole). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

Praktilistes ülesannetes saab kasutada just vaadeldud lahendusskeemi. Muide, see on väga sarnane vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmiga. Kuid on ka tsiviliseeritud pakett:

Uurige joonte suhtelist asukohta:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, nii et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on kas paralleelsed või samad. Siin pole determinant vajalik.

Ilmselt on tundmatute koefitsiendid proportsionaalsed, samas kui .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Sellel viisil,

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame determinandi, mis koosneb nende vektorite koordinaatidest:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või langevad kokku.

Proportsionaalsuskordaja "lambda" saab leida otse kollineaarsete suunavektorite suhte järgi. Kuid see on võimalik ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).

Seega jooned langevad kokku.

Kuidas tõmmata antud joonega paralleelset joont?

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: Tähistage tundmatut sirget tähega . Mida seisund selle kohta ütleb? Joon läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmselge, et sirge "ce" suunav vektor sobib ka sirge "te" konstrueerimiseks.

Me võtame võrrandist välja suunavektori:

Näite geomeetria näeb välja lihtne:

Analüütiline kontrollimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Analüütilist kontrollimist on enamikul juhtudel lihtne suuliselt läbi viia. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist saavad kiiresti aru, kuidas jooned on paralleelsed ilma jooniseta.

Tänased näited ise lahendamiseks on loomingulised.

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Lühim tee on lõpus.

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid süsteemi lahendus lineaarvõrrandid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Siin on teile geomeetriline tähendus kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemid on kaks tasandis lõikuvat (kõige sagedamini) sirget.

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline viis on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida lõikepunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igasse sirge võrrandisse asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Tegelikult oleme kaalunud graafilist meetodit lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid sellel on märgatavaid puudusi. Ei, asi pole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise tegemine võtab aega. Lisaks pole mõnda joont nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib olla kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on otstarbekam otsida ristumispunkti analüütiline meetod. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminipõhise liitmise meetodit.

Kontrollimine on triviaalne – ristumispunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on tee-seda-ise näide. Probleemi on mugav jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage sirge võrrand.
2) Kirjutage sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljudele geomeetrilised probleemid, ja ma keskendun sellele korduvalt.

Täielik lahendus ja vastus lõpus:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Nurk ridade vahel

Kuidas tõmmata joont, mis on antud joonega risti?

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva ristsirge jaoks.

Lahendus: On teada eeldusel, et . Tore oleks leida sirge suunavektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame sirgjoone võrrandi punktist ja suunavektorist:

Vastus:

Avame geomeetrilise visandi:

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Eraldage võrranditest suunavektorid ja kasutades vektorite skalaarkorrutist, järeldame, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Kontrollimist on jällegi lihtne suuliselt läbi viia.

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja punkt.

See on tee-seda-ise näide. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on mugav lahendust punkt-punkti kaupa järjestada.

Kaugus punktist jooneni

Geomeetrias tähistatakse kaugust traditsiooniliselt kreeka tähega "p", näiteks: - kaugus punktist "m" sirgjooneni "d".

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Leidke kaugus punktist jooneni

Lahendus: kõik, mida pead tegema, on numbrid ettevaatlikult valemiga sisestada ja arvutused teha:

Vastus:

Teostame joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui teed ruudulisele paberile joonise mõõtkavas 1 ühikut. \u003d 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Mõelge teisele ülesandele sama joonise järgi:

Kuidas konstrueerida sirge suhtes sümmeetrilist punkti?

Ülesandeks on leida punkti koordinaadid, mis on sirge suhtes sümmeetriline punktiga . Teen ettepaneku sooritada toimingud ise, kuid määran lahendusalgoritmi vahetulemused:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Geomeetrias võetakse VÄIKSEMAKS nurgaks kahe sirge vaheline nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka ristuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja selliseks peetakse tema "rohelist" naabrit või vastassuunalist "vaarikanurka".

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on põhimõtteliselt oluline nurga "kerimise" suund. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma seda ütlesin? Tundub, et tavapärase nurga mõistega saab hakkama. Fakt on see, et valemites, mille abil leiame nurgad, võib see kergesti välja tulla negatiivne tulemus ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Joonisel jaoks negatiivne nurk kindlasti märkige selle suund (päripäeva) noolega.

Eelneva põhjal vormistatakse lahendus mugavalt kahes etapis:

1) Arvutage sirgjoonte suunavektorite skalaarkorrutis:
nii et jooned ei ole risti.

2) Leiame joonte vahelise nurga valemiga:

Kasutades pöördfunktsioon nurga enda leidmine on lihtne. Sel juhul kasutame kaartangensi veidrust:

Vastus:

Vastuses märgime kalkulaatori abil arvutatud täpse väärtuse ja ka ligikaudse väärtuse (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides).

Noh, miinus, nii miinus, see on okei. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesande seisukorras on esimene number sirge ja nurga “väänamine” algas just sellest.

On ka kolmas lahendus. Idee on arvutada nurk joonte suunavektorite vahel:

Siin ei räägi me orienteeritud nurgast, vaid "lihtsalt nurgast", see tähendab, et tulemus on kindlasti positiivne. Konks on selles, et see võib juhtuda nürinurk(mitte see, mida soovite). Sel juhul peate tegema reservatsiooni, et joonte vaheline nurk on väiksem, ja lahutama saadud kaarekoosinus radiaanidest "pi" (180 kraadi).

Leidke nurk joonte vahel.

See on tee-seda-ise näide. Proovige seda lahendada kahel viisil.

Lahendused ja vastused:

Näide 3: Lahendus: leidke sirge suunavektor:

Koostame punkti ja suunavektori abil soovitud sirge võrrandi

Märkus: siin korrutatakse süsteemi esimene võrrand 5-ga, seejärel lahutatakse 2. 1. võrrandist liige liikme haaval.
Vastus:

Koordinaatide meetod on väga tõhus ja universaalne viis mis tahes nurkade või kauguste leidmine stereomeetriliste objektide vahel ruumis. Kui teie matemaatikaõpetajal on kõrgelt kvalifitseeritud siis ta peaks teadma. Muidu soovitaksin "C" osal juhendajat vahetada. Minu ettevalmistus matemaatika C1-C6 eksamiks sisaldab tavaliselt allpool kirjeldatud põhialgoritmide ja valemite analüüsi.

Nurk sirgete a ja b vahel

Ruumijoonte vaheline nurk on nurk nendega paralleelsete ristuvate sirgete vahel. See nurk võrdne nurgaga nende joonte suunavektorite vahel (või täiendab seda 180 kraadini).

Millist algoritmi kasutab matemaatikaõpetaja nurga leidmiseks?

1) Valige mis tahes vektorid ning millel on joonte a ja b suunad (neiga paralleelsed).
2) Määrame vektorite koordinaadid ning nende alguse ja lõpu vastavate koordinaatide järgi (alguse koordinaadid tuleb lahutada vektori lõpu koordinaatidest).
3) Asendame leitud koordinaadid valemiga:
. Nurga enda leidmiseks peate leidma tulemuse kaarekoosinuse.

Tavaline lennukile

Tasapinna normaal on mis tahes vektor, mis on selle tasapinnaga risti.
Kuidas leida normaalset? Normaali koordinaatide leidmiseks piisab, kui on teada antud tasapinnal asuva mis tahes kolme punkti M, N ja K koordinaadid. Neid koordinaate kasutades leiame vektorite koordinaadid ja nõuame, et tingimused ja oleksid täidetud. Võrdsustades vektorite skalaarkorrutise nulliga, koostame kolme muutujaga võrrandisüsteemi, millest leiame normaalse koordinaadid.

Matemaatika juhendaja märkus : Süsteemi pole vaja täielikult lahendada, sest piisab, kui valida vähemalt üks normaalne. Selleks võite selle tundmatute koordinaatide asemel asendada suvalise arvu (näiteks ühe) ja lahendada kahe võrrandi süsteemi ülejäänud kahe tundmatuga. Kui sellel pole lahendusi, tähendab see, et normaalide perekonnas pole ühtegi, kellel oleks valitud muutuja jaoks ühik. Seejärel asendage üks teise muutujaga (teine ​​koordinaat) ja lahendage uus süsteem. Kui jätate uuesti vahele, on teie tavalisel ühik piki viimast koordinaati ja see osutub mõnega paralleelseks. koordinaattasand(sel juhul on seda lihtne leida ilma süsteemita).

Ütleme nii, et meile on antud sirge ja tasapind suunavektori ja normaalkoordinaatidega
Sirge ja tasapinna vaheline nurk arvutatakse järgmise valemi abil:

Olgu ja on antud tasandite suvalised kaks normaalväärtust. Siis tasapindadevahelise nurga koosinus võrdne mooduliga normaalväärtuste vahelise nurga koosinus:

Tasapinna võrrand ruumis

Võrdsust rahuldavad punktid moodustavad normaalsega tasapinna. Koefitsient vastutab hälbe (paralleelse nihke) suuruse eest kahe sama normaaltasemega tasapinna vahel. Tasapinna võrrandi kirjutamiseks tuleb esmalt leida selle normaal (nagu ülalpool kirjeldatud), seejärel asendada võrrandisse tasapinna mis tahes punkti koordinaadid koos leitud normaalpunkti koordinaatidega ja leida koefitsient. .

Pinna normaalvektor punktis langeb kokku puutujatasandi normaalsega selles punktis.

Normaalvektor pinnale antud punktis on ühikvektor, mis rakendatakse antud punktile ja on paralleelne normaalsuunaga. Iga sileda pinna punkti jaoks saate määrata kaks normaalvektorit, mis erinevad suuna poolest. Kui pinnal saab defineerida pideva normaalvektorite välja, siis öeldakse, et see väli defineerib orientatsiooni pind (st valib ühe külje). Kui seda ei saa teha, nimetatakse pinda mitteorienteeruv.

Sarnaselt määratletud normaalvektor kõverale antud punktis. On ilmne, et antud punktis saab kõverale rakendada lõpmatult palju tegureid. paralleelsed vektorid normaalväärtused (sarnaselt sellele, kui lõpmata palju saab pinnale rakendada mitteparalleelseid puutujavektoreid). Nende hulgast valitakse kaks, mis on üksteise suhtes ortogonaalsed: põhinormaalvektor ja binormaalvektor.

Vaata ka

Kirjandus

• Pogorelov A. I. Diferentsiaalgeomeetria (6. väljaanne). M.: Nauka, 1974 (djvu)

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Sünonüümid:

• Trebbia lahing (1799)
• Grammoniit

Vaadake, mis on "tavaline" teistes sõnaraamatutes:

NORMAALNE- (fr.). Risti kõvera puutujaga antud punktis, mille normaalväärtust otsitakse. Sõnastik võõrsõnad sisaldub vene keeles. Chudinov A.N., 1910. NORMAALNE joon puutujaga, mis on tõmmatud ... ... Vene keele võõrsõnade sõnastik

normaalne- ja noh. normale f. lat. normalis. 1. matt. Puutepunkti läbiva puutujajoone või tasandiga risti. BASS 1. Tavaline rida või tavaline. Analüütilises geomeetrias on see sirge nimi, mis on risti ... ... Ajalooline sõnastik vene keele gallicismid

normaalne- risti. Ant. paralleelne vene sünonüümide sõnaraamat. tavaline nimisõna, sünonüümide arv: 3 binormaalne (1) … Sünonüümide sõnastik

NORMAALNE- (alates lat. normalis sirgjoonest) kõverjoonele (pinnale) selle antud punktis, sirge, mis läbib seda punkti ja on risti puutujaga (puutujatasandiga) selles punktis ...

NORMAALNE- standardi vananenud nimi ... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

NORMAALNE- NORMAALNE, normaalne, naine. 1. Puutepunkti (mat.) läbiv puutuja või tasandiga risti. 2. Tehases paigaldatud näidise detail (tehn.). Sõnastik Ušakov. D.N. Ušakov. 1935 1940 ... Ušakovi seletav sõnaraamat

normaalne- tavaline vertikaalne standardreaalne - [L.G.Sumenko. Inglise vene infotehnoloogia sõnaraamat. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teemad Infotehnoloogiaüldiselt Sünonüümid norEN normaalne ... Tehnilise tõlkija käsiraamat

normaalne- ja; ja. [alates lat. normalis rectilinear] 1. Mat. Risti puutepunkti läbiva puutujajoone või tasapinnaga. 2. Tehn. Moodustatud valimi detail. * * * normaalne I (alates lat. normalis sirgest) kuni kõverjooneni (pind) ... ... entsüklopeediline sõnaraamat

NORMAALNE- (Prantsuse normaalnorm, norm, lat. normalis sirgest) 1) N. standardis ja jaoks ja ja vananenud nimetus. standard. 2) N. matemaatikas N. kõverale (pinnale) antud punktis nimetatakse. sirgjoon, mis läbib seda punkti ja on puutujaga risti. ... ... Suur entsüklopeediline polütehniline sõnaraamat

normaalne- normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normaalne vok. Normale, f rus. tavaline, frank. normale, f … Fizikos terminų žodynas

Raamatud

• Radikaalides lahendatavate algebraliste võrrandite geomeetria: rakendused numbrilistes meetodites ja arvutusgeomeetrias, G.P. Kutištšev. Selles raamatus käsitletakse teoreetiline tase koolist veidi kõrgem, väga üksikasjalikult kaalutud algebralised võrrandid, lubades lahendust elementaartehetes või lahendust radikaalides. Need…

Tasapinnaline võrrand. Kuidas kirjutada tasapinna võrrandit?
Lennukite vastastikune paigutus. Ülesanded

Ruumigeomeetria pole palju keerulisem kui "tasane" geomeetria ja meie lennud kosmoses algavad sellest artiklist. Et teemast aru saada, peab olema sellest hea arusaam vektorid, lisaks on soovitav olla kursis tasapinna geomeetriaga - seal on palju sarnasusi, palju analooge, nii et teave on palju paremini seeditav. Minu õppetundide sarjas avaneb 2D-maailm artikliga Tasapinna sirgjoone võrrand. Kuid nüüd on Batman lameekraanteleviisorilt maha astunud ja stardib Baikonuri kosmodroomilt.

Alustame jooniste ja sümbolitega. Skemaatiliselt saab tasapinna joonistada rööpkülikuna, mis jätab ruumi mulje:

Tasapind on lõpmatu, kuid meil on võimalus kujutada sellest vaid tükki. Praktikas joonistatakse lisaks rööpkülikule ka ovaal või isegi pilv. Tehnilistel põhjustel on minu jaoks mugavam kujutada lennukit nii ja sellises asendis. Päris lennukid, mida me käsitleme praktilisi näiteid, saab paigutada nii, nagu soovite - võtke joonistus vaimselt oma kätesse ja keerake seda ruumis, andes tasapinnale igasuguse kalde, mis tahes nurga.

Märge: lennukid on tavaks tähistada väikeste kreeka tähtedega, ilmselt selleks, et neid mitte segamini ajada otse lennukis või koos otse ruumis. Olen harjunud kirja kasutama . Joonisel on see täht "sigma", mitte auk. Kuigi, auklik lennuk, on see kindlasti väga naljakas.

Mõnel juhul on tasapindade tähistamiseks mugav kasutada samu kreeka tähti koos alaindeksitega, näiteks .

On ilmne, et tasapind on üheselt määratud kolme erineva punktiga, mis ei asu samal sirgel. Seetõttu on lennukite kolmetähelised tähistused üsna populaarsed - nende juurde kuuluvate punktide järgi näiteks jne. Sageli on tähed sulgudes: , et mitte ajada tasapinda segamini mõne teise geomeetrilise kujundiga.

Kogenud lugejatele annan kiirmenüü:

• Kuidas kirjutada punkti ja kahe vektori abil tasapinna võrrandit?
• Kuidas kirjutada võrrandit tasapinnale kasutades punkti ja normaalvektorit?

ja me ei virele pikki ootamisi:

Tasapinna üldvõrrand

Tasapinna üldvõrrand on kujul , kus koefitsiendid on samaaegselt nullist erinevad.

Mitmed teoreetilised arvutused ja praktilised ülesanded kehtivad nii tavalise ortonormaalse aluse kui ka jaoks afiinne alus tühik (kui õli on õli, minge tagasi õppetundi Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus). Lihtsuse huvides eeldame, et kõik sündmused toimuvad ortonormaalses aluses ja Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Ja nüüd harjutame natuke ruumiline kujutlusvõime. Pole hullu, kui teil on see halb, nüüd arendame seda veidi. Isegi närvidel mängimine nõuab harjutamist.

Väga üldine juhtum, kui arvud on nullist erinevad, lõikub tasapind kõigi kolme koordinaatteljega. Näiteks nii:

Kordan veel kord, et lennuk jätkub lõputult igas suunas ja meil on võimalus kujutada ainult osa sellest.

Mõelge tasandite lihtsaimatele võrranditele:

Kuidas mõista antud võrrand? Mõelge sellele: "Z" on ALATI, kui "X" ja "Y" väärtused on võrdne nulliga. See on "natiivse" koordinaattasandi võrrand. Tõepoolest, formaalselt saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt: , kust on selgelt näha, et meid ei huvita, millised väärtused “x” ja “y” võtavad, on oluline, et “z” oleks võrdne nulliga.

Sarnaselt:
on koordinaattasandi võrrand ;
on koordinaattasandi võrrand.

Teeme ülesande veidi keerulisemaks, vaatleme tasapinda (siin ja edasises lõigus eeldame, et arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga). Kirjutame võrrandi ümber kujul: . Kuidas sellest aru saada? "X" on ALATI, sest "y" ja "z" mis tahes väärtus on võrdne teatud arvuga. See tasand on paralleelne koordinaattasandiga. Näiteks tasapind on tasapinnaga paralleelne ja läbib punkti.

Sarnaselt:
- koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand;
- koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand.

Lisa liikmeid: . Võrrandi saab ümber kirjutada järgmiselt: st "Z" võib olla ükskõik milline. Mida see tähendab? "X" ja "Y" on ühendatud suhtega, mis tõmbab tasapinnale teatud sirge (te tunnete ära tasapinna sirgjoone võrrand?). Kuna Z võib olla ükskõik milline, on see rida "kordatud" igal kõrgusel. Seega defineerib võrrand koordinaatteljega paralleelse tasandi

Sarnaselt:
- koordinaatteljega paralleelse tasandi võrrand;
- koordinaatteljega paralleelse tasandi võrrand.

Kui vabad liikmed on nullid, siis tasandid läbivad otse vastavaid telgi. Näiteks klassikaline "otsene proportsionaalsus":. Joonistage tasapinnal sirgjoon ja korrutage see vaimselt üles ja alla (kuna "z" on suvaline). Järeldus: lennuk, võrrandiga antud, läbib koordinaattelge .

Lõpetame ülevaate: tasapinna võrrand läbib päritolu. No siin on üsna ilmne, et punkt rahuldab antud võrrandit.

Ja lõpuks, joonisel näidatud juhtum: - tasapind sõbruneb kõigi koordinaattelgedega, samal ajal kui see alati "lõikab" kolmnurga, mis võib asuda ükskõik millises kaheksast oktandist.

Lineaarsed ebavõrdsused ruumis

Infost arusaamiseks on vaja hästi õppida tasapinna lineaarsed ebavõrdsused sest paljud asjad on sarnased. Lõik on lühike ülevaade koos mõne näitega, kuna materjal on praktikas üsna haruldane.

Kui võrrand määratleb tasandi, siis võrratused
küsi poolruumid. Kui võrratus ei ole range (nimekirjas kaks viimast), siis sisaldab võrratuse lahend lisaks poolruumile ka tasandit ennast.

Näide 5

Leia vallaline normaalvektor lennuk .

Lahendus: Ühikvektor on vektor, mille pikkus on üks. Tähistage antud vektor läbi . On üsna selge, et vektorid on kollineaarsed:

Esiteks eemaldame tasapinna võrrandist normaalvektori: .

Kuidas leida ühikvektor? Ühikvektori leidmiseks on vaja iga vektori koordinaat jagatud vektori pikkusega.

Kirjutame normaalvektori vormi ümber ja leiame selle pikkuse:

Vastavalt ülaltoodule:

Vastus:

Kontrollige: , mille kontrollimiseks oli vaja.

Lugejad, kes on õppetunni viimast lõiku hoolikalt uurinud, märkasid seda ilmselt ühikvektori koordinaadid on täpselt vektori suunakoosinused:

Läheme kõrvale lahti võetud probleemist: kui teile antakse suvaline nullist erinev vektor, ja tingimuse järgi on vaja leida selle suunakoosinused (vt tunni viimaseid ülesandeid Vektorite punktkorrutis), siis tegelikult leiad ka antud vektoriga kollineaarse ühikvektori. Tegelikult kaks ülesannet ühes pudelis.

Ühikulise normaalvektori leidmise vajadus kerkib esile mõne matemaatilise analüüsi probleemi puhul.

Arvasime välja tavalise vektori püügi, nüüd vastame vastupidisele küsimusele:

Kuidas kirjutada võrrandit tasapinnale kasutades punkti ja normaalvektorit?

Seda normaalvektori ja punkti jäika konstruktsiooni tunneb hästi nooleviske sihtmärk. Palun sirutage käsi ette ja valige vaimselt suvaline punkt ruumi, näiteks väike kass puhvetkapis. Ilmselgelt saate selle punkti kaudu joonistada ühe tasapinna, mis on oma käega risti.

Vektoriga risti läbiva tasandi võrrandit väljendatakse järgmise valemiga:

Koordinaadimeetodi kasutamiseks on vaja valemeid hästi tunda. Neid on kolm:

Esmapilgul tundub see ähvardav, kuid natuke harjutamist – ja kõik toimib suurepäraselt.

Ülesanne. Leidke vektorite a = (4; 3; 0) ja b = (0; 12; 5) vahelise nurga koosinus.

Lahendus. Kuna meile on antud vektorite koordinaadid, asendame need esimese valemiga:

Ülesanne. Kirjutage võrrand tasapinnale, mis läbib punkte M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) ja K = (2; 1; 0), kui on teada, et see ei läbi päritolu.

Lahendus. Tasapinna üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0, kuid kuna soovitud tasand ei läbi alguspunkti - punkti (0; 0; 0) -, siis paneme D = 1. Kuna see tasand läbib läbi punktide M, N ja K, siis peaksid nende punktide koordinaadid muutma võrrandi tõeliseks arvuliseks võrdusmärgiks.

Asendame x, y ja z asemel punkti M = (2; 0; 1) koordinaadid. Meil on:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Samamoodi saame punktide N = (0; 1; 1) ja K = (2; 1; 0) jaoks võrrandid:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Seega on meil kolm võrrandit ja kolm tundmatut. Koostame ja lahendame võrrandisüsteemi:

Saime, et tasapinna võrrand on kujul: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Ülesanne. Tasapind on antud võrrandiga 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Leia antud tasandiga risti oleva vektori koordinaadid.

Lahendus. Kolmanda valemi abil saame n = (7; − 2; 4) - see on kõik!

Vektorite koordinaatide arvutamine

Aga mis siis, kui ülesandes pole vektoreid - on ainult sirgetel asuvad punktid ja nende sirgjoonte vaheline nurk on vajalik arvutada? See on lihtne: teades punktide koordinaate - vektori algust ja lõppu - saate arvutada vektori enda koordinaadid.

Vektori koordinaatide leidmiseks on vaja selle lõpu koordinaatidest lahutada alguse koordinaadid.

See teoreem töötab võrdselt nii tasapinnal kui ka ruumis. Väljend “lahuta koordinaadid” tähendab, et ühe punkti x-koordinaadist lahutatakse teise punkti x-koordinaat, siis tuleb sama teha y- ja z-koordinaatidega. siin on mõned näidised:

Ülesanne. Ruumis on kolm punkti, mis on antud nende koordinaatidega: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) ja C = (− 4; 3; − 2). Leia vektorite AB, AC ja BC koordinaadid.

Vaatleme vektorit AB: selle algus on punktis A ja lõpp punktis B. Seetõttu on selle koordinaatide leidmiseks vaja lahutada punkti A koordinaadid punkti B koordinaatidest:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Samamoodi on vektori AC algus endiselt sama punkt A, kuid lõpp on punkt C. Seega on meil:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Lõpuks, vektori BC koordinaatide leidmiseks on vaja lahutada punkti B koordinaadid punkti C koordinaatidest:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Vastus: AB = (2; − 7; 4); AC = (-5; -3; -5); BC = (-7; 4; -9)

Pöörake tähelepanu viimase vektori BC koordinaatide arvutamisele: paljud inimesed teevad sellega töötades vigu negatiivsed arvud. See kehtib muutuja y kohta: punkti B koordinaat on y = − 1 ja punkti C y = 3. Saame täpselt 3 − (− 1) = 4, mitte 3 − 1, nagu paljud arvavad. Ärge tehke nii rumalaid vigu!

Sirgete suunavektorite arvutamine

Kui loete hoolikalt ülesannet C2, avastate üllatusega, et seal pole vektoreid. On ainult sirged ja tasapinnad.

Alustame sirgjoontega. Siin on kõik lihtne: igal real on vähemalt kaks erinevaid punkte ja vastupidi, mis tahes kaks erinevat punkti määratlevad ühe sirge...

Kas keegi saab aru, mis eelmises lõigus on kirjutatud? Ma ei saanud sellest ise aru, nii et selgitan seda lihtsamalt: ülesandes C2 antakse jooned alati punktipaariga. Kui võtta kasutusele koordinaatsüsteem ja vaadelda vektorit, mille algus ja lõpp on nendes punktides, saame sirge nn suunava vektori:

Miks seda vektorit vaja on? Asi on selles, et kahe sirge vaheline nurk on nurk nende suunavektorite vahel. Seega liigume arusaamatutelt sirgjoontelt konkreetsete vektoriteni, mille koordinaadid on kergesti arvutatavad. Kui lihtne? Heitke pilk näidetele:

Ülesanne. Kuubis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tõmmatakse jooned AC ja BD 1 . Leia nende sirgete suunavektorite koordinaadid.

Kuna tingimuses ei ole kuubi servade pikkust määratud, siis määrame AB = 1. Toome sisse koordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on punktis A ja teljed x, y, z on suunatud piki sirgeid AB, AD ja AA 1, vastavalt. Ühiku segment on võrdne AB = 1.

Nüüd leiame sirge AC suunavektori koordinaadid. Vajame kahte punkti: A = (0; 0; 0) ja C = (1; 1; 0). Siit saame vektori AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) koordinaadid - see on suunavektor.

Nüüd käsitleme sirget BD 1 . Sellel on ka kaks punkti: B = (1; 0; 0) ja D 1 = (0; 1; 1). Saame suunavektori BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Vastus: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Ülesanne. Paremal kolmnurkne prisma ABCA 1 B 1 C 1, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, tõmmatakse sirged AB 1 ja AC 1. Leia nende sirgete suunavektorite koordinaadid.

Tutvustame koordinaatide süsteemi: alguspunkt on punktis A, x-telg langeb kokku AB-ga, z-telg langeb kokku AA-ga 1, y-telg moodustab OXY-tasandi x-teljega, mis langeb kokku ABC-ga. lennuk.

Kõigepealt käsitleme sirget AB 1 . Siin on kõik lihtne: meil on punktid A = (0; 0; 0) ja B 1 = (1; 0; 1). Saame suunavektori AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Nüüd leiame AC 1 suunavektori. Kõik on sama - ainus erinevus on see, et punktil C 1 on irratsionaalsed koordinaadid. Niisiis, A = (0; 0; 0), seega on meil:

Vastus: AB 1 = (1; 0; 1);

Väike aga väga oluline märkus umbes viimane näide. Kui vektori algus langeb kokku alguspunktiga, on arvutused oluliselt lihtsustatud: vektori koordinaadid on lihtsalt võrdsed lõpu koordinaatidega. Kahjuks kehtib see ainult vektorite kohta. Näiteks tasapindadega töötades muudab koordinaatide lähtepunkti olemasolu nendel arvutused ainult keerulisemaks.

Tasapindade normaalvektorite arvutamine

Tavavektorid ei ole vektorid, millel läheb hästi või mis tunnevad end hästi. Definitsiooni järgi on tasapinna normaalvektor (normaal) vektor, mis on antud tasapinnaga risti.

Teisisõnu, normaal on vektor, mis on risti antud tasapinna mis tahes vektoriga. Kindlasti olete kohanud sellist definitsiooni – vektorite asemel oli aga tegemist sirgetega. Kuid just ülalpool näidati, et C2 ülesandes saab opereerida mis tahes mugava objektiga - isegi sirge, isegi vektoriga.

Tuletan teile veel kord meelde, et mis tahes tasapind on ruumis defineeritud võrrandiga Ax + By + Cz + D = 0, kus A, B, C ja D on mõned koefitsiendid. Lahenduse üldistust vähendamata võime eeldada, et D = 1, kui tasand ei läbi alguspunkti, või D = 0, kui see läbib. Igal juhul on selle tasapinna normaalvektori koordinaadid n = (A; B; C).

Niisiis, tasapinda saab edukalt asendada ka vektoriga – seesama normaal. Iga tasapind on ruumis määratletud kolme punktiga. Kuidas leida tasapinna võrrandit (ja seega ka normaalset), oleme juba artikli alguses arutanud. See protsess tekitab aga paljudele probleeme, seega toon veel paar näidet:

Ülesanne. Kuubi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sisse on joonistatud lõik A 1 BC 1. Leia selle lõigu tasapinna normaalvektor, kui alguspunkt on punktis A ning teljed x, y ja z ühtivad vastavalt servadega AB, AD ja AA 1.

Kuna tasand ei läbi alguspunkti, näeb selle võrrand välja selline: Ax + By + Cz + 1 = 0, s.o. koefitsient D \u003d 1. Kuna see tasapind läbib punkte A 1, B ja C 1, muudavad nende punktide koordinaadid tasapinna võrrandi õigeks arvuliseks võrdsuseks.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Samamoodi saame punktide B = (1; 0; 0) ja C 1 = (1; 1; 1) jaoks võrrandid:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Kuid koefitsiendid A = − 1 ja C = − 1 on meile juba teada, seega jääb üle leida koefitsient B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Saame tasapinna võrrandi: - A + B - C + 1 = 0, Seetõttu on normaalvektori koordinaadid n = (- 1; 1; - 1).

Ülesanne. Kuubis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 joonistatakse lõik AA 1 C 1 C. Leidke selle lõigu tasapinna normaalvektor, kui alguspunkt on punktis A ning x-, y- ja z-teljed ühtivad servad vastavalt AB, AD ja AA 1.

AT sel juhul tasapind läbib alguspunkti, seega koefitsient D \u003d 0 ja tasapinna võrrand näeb välja selline: Ax + By + Cz \u003d 0. Kuna tasapind läbib punkte A 1 ja C, on nende punktide koordinaadid muuda tasapinna võrrand õigeks arvuliseks võrrandiks.

Asendame punkti A koordinaadid 1 = (0; 0; 1) x, y ja z asemel. Meil on:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Samamoodi saame punkti C = (1; 1; 0) jaoks võrrandi:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Olgu B = 1. Siis A = − B = − 1 ja kogu tasandi võrrand on: − A + B = 0. Seetõttu on normaalvektori koordinaadid n = (− 1; 1; 0).

Üldiselt on ülaltoodud ülesannete puhul vaja koostada võrrandisüsteem ja see lahendada. Seal saab olema kolm võrrandit ja kolm muutujat, kuid teisel juhul on üks neist vaba, s.o. võtta suvalised väärtused. Sellepärast on meil õigus panna B = 1 - ilma et see piiraks lahenduse üldistust ja vastuse õigsust.

Väga sageli tuleb ülesandes C2 töötada punktidega, mis jagavad lõigu pooleks. Selliste punktide koordinaadid on kergesti arvutatavad, kui on teada lõigu otste koordinaadid.

Niisiis, andke segment selle otste järgi - punktid A \u003d (x a; y a; z a) ja B \u003d (x b; y b; z b). Siis saab lõigu keskpunkti koordinaadid - tähistame seda punktiga H - leida valemiga:

Teisisõnu, lõigu keskkoha koordinaadid on selle otste koordinaatide aritmeetiline keskmine.

Ülesanne. Ühikkuubik ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 asetatakse koordinaatsüsteemi nii, et teljed x, y ja z on suunatud vastavalt servi AB, AD ja AA 1 ning alguspunkt langeb kokku punktiga A. Punkt K on serva A 1 B keskpunkt üks . Leidke selle punkti koordinaadid.

Kuna punkt K on lõigu A 1 B 1 keskpunkt, on selle koordinaadid võrdsed otste koordinaatide aritmeetilise keskmisega. Kirjutame üles otste koordinaadid: A 1 = (0; 0; 1) ja B 1 = (1; 0; 1). Nüüd leiame punkti K koordinaadid:

Ülesanne. Ühikkuubik ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 asetatakse koordinaatsüsteemi nii, et x-, y- ja z-teljed on suunatud vastavalt piki servi AB, AD ja AA 1 ning alguspunkt langeb kokku punktiga A. Leidke koordinaadid. punktist L, kus nad lõikuvad ruudu diagonaalid A 1 B 1 C 1 D 1 .

Planimeetria käigust on teada, et ruudu diagonaalide lõikepunkt on kõigist selle tippudest võrdsel kaugusel. Eelkõige A 1 L = C 1 L, st. punkt L on lõigu A 1 C 1 keskpunkt. Kuid A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), seega on meil:

Vastus: L = (0,5; 0,5; 1)