Primjeri rješavanja iracionalnih, trigonometrijskih, logaritamskih i drugih jednadžbi rješavanih netradicionalnim metodama. Glavna svojstva funkcije

Datum objave: 2016-03-23

Kratki opis: ...

PRIMJERI RJEŠAVANJA JEDNADŽBI POMOĆU NEKIH IZVORNIH TEHNIKA.

1
. Riješenje iracionalne jednadžbe.

1.1.1 Riješite jednadžbu .

Imajte na umu da su predznaci x ispod radikala različiti. Uvodimo notaciju

, .

Zatim,

Izvršimo zbrajanje član po član oba dijela jednadžbe.

I imamo sustav jednadžbi

Jer a + b = 4, tada

Z glasi: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Odgovor: x \u003d 1.

1.1.2. Riješite jednadžbu .

Uvodimo oznaku: , ; , .

Sredstva:

Zbrajajući član po član s lijeve i desne strane jednadžbi, imamo .

I imamo sustav jednadžbi

a + b = 2, , , ,

Vratimo se sustavu jednadžbi:

, .

Nakon što smo riješili jednadžbu za (ab), imamo ab = 9, ab = -1 (-1 strani korijen, jer , .).

Ovaj sustav nema rješenja, pa ni izvorna jednadžba nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Uvodimo oznaku , gdje je . Zatim , .

, ,

Razmotrite tri slučaja:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [0; 1). [ jedan ; 2). a = 2.

Rješenje: [ 1 ; 2].

Ako a , zatim , , .

Odgovor: .

1.2. Metoda ocjenjivanja lijevog i desnog dijela (metoda majorante).

Majorantna metoda je metoda za pronalaženje ograničenosti funkcije.

Majorizacija - pronalaženje točaka ograničenja funkcije. M je majorant.

Ako imamo f(x) = g(x) i poznat je ODZ, te ako

, , onda

ODZ: .

Smatrati desna strana jednadžbe.

Uvedimo funkciju. Graf je parabola s vrhom A(3 ; 2).

Najmanja vrijednost funkcije y(3) = 2, tj.

Razmotrimo lijevu stranu jednadžbe.

Uvedimo funkciju. Pomoću derivacije lako je pronaći maksimum funkcije koja je diferencijabilna na x  (2 ; 4).

Na ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Imamo .

Kao rezultat toga, , dakle

Sastavimo sustav jednadžbi na temelju gornjih uvjeta:

Rješavanjem prve jednadžbe sustava imamo x = 3. Zamjenom ove vrijednosti u drugu jednadžbu uvjeravamo se da je x = 3 rješenje sustava.

Odgovor: x = 3.

1.3. Primjena monotonosti funkcije.

1.3.1. Riješite jednadžbu:

O DZ: , jer  .

Poznato je da je zbroj rastućih funkcija rastuća funkcija.

Lijeva strana ima rastuću funkciju. Desna strana je linearna funkcija (k=0). Grafička interpretacija sugerira da je korijen jedinstven. Nalazimo ga odabirom, imamo x = 1.

Dokaz:

Onda pretpostavimo da postoji korijen x 1 veći od 1

Jer x 1 >1,

.Zaključujemo da nema korijena većeg od jedan.

Slično se može dokazati da ne postoje korijeni manji od jedan.

Dakle, x=1 je jedini korijen.

Odgovor: x = 1.

1.3.2. Riješite jednadžbu:

O DZ: [ 0,5 ; + ), jer oni. .

Transformirajmo jednadžbu,

Lijeva strana je rastuća funkcija (umnožak rastućih funkcija), desna strana je linearna funkcija (k = 0). Geometrijska interpretacija pokazuje da izvorna jednadžba mora imati jedan korijen koji se može pronaći uklapanjem, x = 7.

Ispitivanje:

Može se dokazati da nema drugih korijena (vidi gornji primjer).

Odgovor: x = 7.

2. Logaritamske jednadžbe.

2.1.1. Riješite jednadžbu: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Procijenimo lijevu stranu jednadžbe.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Zatim log 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Procijenimo desnu stranu jednadžbe.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

Izvorna jednadžba može imati rješenje samo ako su obje strane jednake četiri.

Sredstva

Odgovor: x = 1.

Za samostalan rad.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Odgovor: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Odgovor: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Odgovor: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Odgovor: x \u003d 3.

2.2. Korištenje monotonosti funkcije, izbor korijena.

2.2.1. Riješite jednadžbu: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Napravimo promjenu 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Zatim x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, tada

log 2 t = 20 - t .

Funkcija y = log 2 t je rastuća, a funkcija y = 20 - t padajuća. Geometrijska interpretacija nam daje do znanja da izvorna jednadžba ima jedan korijen, što nije teško pronaći odabirom t = 16.

Rješavajući jednadžbu 2x - x 2 + 15 = 16, nalazimo da je x = 1.

Provjeravamo je li odabrana vrijednost ispravna.

Odgovor: x = 1.

2.3. Nekoliko “zanimljivih” logaritamskih jednadžbi.

2.3.1. Riješite jednadžbu .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Prijeđimo na jednadžbu

, , ,

Prijeđimo na ekvivalentnu jednadžbu

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, ili cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 ili cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Provjerimo pronađene vrijednosti zamjenom u ODZ.

1) ako je x = 15 , tada je (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 je pogrešno.

x = 15 - nije korijen jednadžbe.

2) ako je x = 2  k, k Z, tada (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, uočimo da je 15  5 . Imamo

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5, ….

3) ako je x =  + 2 l, l Z, zatim ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2  l< 15,

2 l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Imamo: l< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

Odgovor: x = 2  k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1,0, -1, - 2, ...).

3. Trigonometrijske jednadžbe.

3.1. Metoda procjene lijevog i desnog dijela jednadžbe.

4.1.1. Riješite jednadžbu cos3x cos2x = -1.

Prvi način..

0,5 (cos x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Jer cos x - 1 , cos 5 x - 1, zaključujemo da je cos x+ cos 5 x> -2, dakle

slijedi sustav jednadžbi

c os x = -1,

jer 5 x = - 1.

Rješavanje jednadžbe cos x= -1, dobivamo x=  + 2 k, gdje je k Z.

Ove vrijednosti x također su rješenja cos jednadžbe 5x= -1, jer

jer 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Na ovaj način, x=  + 2 k, gdje su k Z , sva rješenja sustava, a time i izvorna jednadžba.

Odgovor: x=  (2k + 1), k Z.

Drugi način.

Može se pokazati da skup sustava slijedi iz izvorne jednadžbe

jer 2 x = - 1,

jer 3 x = 1.

jer 2 x = 1,

jer 3 x = - 1.

Rješavajući svaki sustav jednadžbi, nalazimo uniju korijena.

Odgovor: x = (2  do + 1), k Z.

Za samostalan rad.

Riješite jednadžbe:

3.1.2. 2 jer 3x + 4 sin x/2 = 7. Odgovor: nema rješenja.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Odgovor: nema rješenja.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Odgovor: x = 2 do, k Z.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Odgovor: x = /2 +  do, k Z.

3.1.6. cos 8 x + sin 7 x = 1. Odgovor: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Z.

Općinska obrazovna ustanova

"Kudinska srednja škola br. 2"

Načini rješavanja iracionalnih jednadžbi

Izvršila: Egorova Olga,

Nadglednik:

Učitelj, nastavnik, profesor

matematika,

viša kvalifikacija

Uvod....……………………………………………………………………………………… 3

Odjeljak 1. Metode rješavanja iracionalnih jednadžbi…………………………………6

1.1 Rješavanje iracionalnih jednadžbi dijela C……….….….………………………21

Odjeljak 2. Samostalni zadaci…………………………………………….....………...24

Odgovori………………………………………………………………………………………….25

Bibliografija…….…………………………………………………………………….26

Uvod

Matematičko obrazovanje stečeno u općeobrazovna škola, je bitna komponenta opće obrazovanje i zajednička kultura modernog čovjeka. Gotovo sve što okružuje modernu osobu na ovaj ili onaj način povezano je s matematikom. ALI nedavna postignuća u fizici, tehnici i informacijskoj tehnologiji ne ostavljaju nikakvu sumnju da će iu budućnosti stanje stvari ostati isto. Stoga se rješavanje mnogih praktičnih problema svodi na rješavanje razne vrste jednadžbe kako biste naučili rješavati. Jedna od tih vrsta su iracionalne jednadžbe.

Iracionalne jednadžbe

Jednadžba koja sadrži nepoznatu (ili racionalnu algebarski izraz iz nepoznatog) pod znakom radikala, zove se iracionalna jednadžba. U elementarnoj matematici rješenja iracionalnih jednadžbi traže se u skupu realnih brojeva.

Svaka iracionalna jednadžba uz pomoć elementarnih algebarskih operacija (množenje, dijeljenje, dizanje oba dijela jednadžbe na cjelobrojnu potenciju) može se svesti na racionalnu algebarsku jednadžbu. U ovom slučaju, treba imati na umu da se rezultirajuća racionalna algebarska jednadžba može pokazati neekvivalentnom izvornoj iracionalnoj jednadžbi, naime, može sadržavati "dodatne" korijene koji neće biti korijeni izvorne ir racionalna jednadžba. Dakle, nakon što su pronađeni korijeni dobivene racionalne algebarske jednadžbe, potrebno je provjeriti hoće li svi korijeni racionalne jednadžbe biti korijeni iracionalne jednadžbe.

Općenito, teško je bilo što navesti univerzalna metoda rješenja bilo koje iracionalne jednadžbe, budući da je poželjno da se kao rezultat transformacija izvorne iracionalne jednadžbe ne dobije samo neka vrsta racionalne algebarske jednadžbe, među čijim će korijenima biti i korijeni ove iracionalne jednadžbe, nego racionalna algebarska jednadžba sastavljena od polinoma najmanjeg mogućeg stupnja. Želja da se dobije ta racionalna algebarska jednadžba sastavljena od polinoma najmanjeg mogućeg stupnja sasvim je prirodna, jer pronalaženje svih korijena racionalne algebarske jednadžbe samo po sebi može biti prilično težak zadatak, koji možemo u potpunosti riješiti samo u vrlo ograničenom broju slučajeva.

Vrste iracionalnih jednadžbi

Rješavanje iracionalnih jednadžbi parnog stupnja uvijek uzrokuje više problema nego rješenje iracionalnih jednadžbi neparnog stupnja. Pri rješavanju iracionalnih jednadžbi neparnog stupnja ODZ se ne mijenja. Stoga ćemo u nastavku razmotriti iracionalne jednadžbe čiji je stupanj paran. Postoje dvije vrste iracionalnih jednadžbi:

2..

Razmotrimo prvi od njih.

odz jednadžba: f(x)≥ 0. U ODZ, lijeva strana jednadžbe je uvijek nenegativna, tako da rješenje može postojati samo kada g(x)≥ 0. U ovom slučaju obje strane jednadžbe su nenegativne, a potenciranje 2 n daje ekvivalentna jednadžba. Shvaćamo to

Obratimo pozornost na činjenicu da dok ODZ se izvodi automatski, a ne možete ga napisati, već stanjeg(x) ≥ 0 mora biti označeno.

Bilješka: Ovo je vrlo važan uvjet jednakovrijednost. Prvo, oslobađa učenika potrebe da istražuje, a nakon pronalaženja rješenja provjerava uvjet f(x) ≥ 0 - nenegativnost korijenskog izraza. Drugo, fokusira se na provjeru stanjag(x) ≥ 0 su nenegativnosti desne strane. Uostalom, nakon kvadriranja, jednadžba je riješena tj. rješavaju se dvije jednadžbe odjednom (ali na različitim intervalima numeričke osi!):

1. - gdje g(x)≥ 0 i

2. - gdje je g(x) ≤ 0.

U međuvremenu, mnogi, prema školskoj navici pronalaženja ODZ, rade upravo suprotno kada rješavaju takve jednadžbe:

a) provjeriti, nakon nalaženja rješenja, uvjet f(x) ≥ 0 (koji je automatski zadovoljen), napraviti aritmetičke pogreške i dobiti netočan rezultat;

b) zanemariti uvjetg(x) ≥ 0 - i opet odgovor može biti pogrešan.

Bilješka: Uvjet ekvivalencije posebno je koristan pri rješavanju trigonometrijske jednadžbe, u kojem nalaz ODZ vezano uz odluku trigonometrijske nejednakosti, što je puno teže od rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Provjera parnih uvjeta u trigonometrijskim jednadžbama g(x)≥ 0 nije uvijek lako učiniti.

Razmotrimo drugu vrstu iracionalnih jednadžbi.

. Neka jednadžba . Njegov ODZ:

U ODZ obje su strane nenegativne, a kvadriranje daje ekvivalentnu jednadžbu f(x) =g(x). Stoga se u ODZ odn

Ovom metodom rješenja dovoljno je provjeriti nenegativnost jedne od funkcija - možete odabrati jednostavniju.

Odjeljak 1. Metode rješavanja iracionalnih jednadžbi

1 metoda. Oslobađanje od radikala uzastopnim dizanjem obje strane jednadžbe na odgovarajuću prirodni stupanj

Najčešće korištena metoda za rješavanje iracionalnih jednadžbi je metoda oslobađanja od radikala uzastopnim dizanjem oba dijela jednadžbe na odgovarajući prirodni stupanj. U ovom slučaju treba imati na umu da kada se oba dijela jednadžbe podignu na čak stupanj rezultirajuća jednadžba je ekvivalentna izvornoj, a kada se oba dijela jednadžbe podignu na parnu potenciju, rezultirajuća jednadžba će, općenito govoreći, biti neekvivalentna izvornoj jednadžbi. To se može lako provjeriti dizanjem obje strane jednadžbe na bilo koju parnu potenciju. Ova operacija rezultira jednadžbom , čiji je skup rješenja unija skupova rješenja: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Međutim, unatoč Ovaj nedostatak, to je postupak za podizanje oba dijela jednadžbe na neku (često čak) potenciju koji je najčešći postupak za redukciju iracionalne jednadžbe na racionalnu jednadžbu.

Riješite jednadžbu:

Gdje su neki polinomi. Na temelju definicije operacije izvlačenja korijena u skupu realnih brojeva, dopuštene vrijednosti nepoznatog https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Budući da su oba dijela 1. jednadžbe kvadrirana, može se ispostaviti da neće svi korijeni 2. jednadžbe biti rješenja izvorne jednadžbe, potrebno je provjeriti korijene.

Riješite jednadžbu:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Podižući obje strane jednadžbe u kocku, dobivamo

S obzirom da https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(zadnja jednadžba može imati korijene koji, općenito govoreći, nisu korijeni jednadžba ).

Obje strane ove jednadžbe dižemo na kocku: . Jednadžbu prepisujemo u obliku x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Provjerom utvrđujemo da je x1 = 0 vanjski korijen jednadžbe (-2 ≠ 1), a x2 = 1 zadovoljava izvorna jednadžba.

Odgovor: x = 1.

2 metoda. Zamjena susjednog sustava uvjeta

Prilikom rješavanja iracionalnih jednadžbi koje sadrže radikale parnog reda, odgovori se mogu pojaviti stranih korijena koje nije uvijek lako prepoznati. Kako bi se lakše identificirali i odbacili strani korijeni, u tijeku rješavanja iracionalnih jednadžbi odmah se zamjenjuju susjednim sustavom uvjeta. Dodatne nejednadžbe u sustavu zapravo uzimaju u obzir ODZ jednadžbe koja se rješava. ODZ možete pronaći zasebno i kasnije ga uzeti u obzir, ali poželjno je koristiti mješovite sustave uvjeta: manja je opasnost da nešto zaboravite, ne uzimajući to u obzir u procesu rješavanja jednadžbe. Stoga je u nekim slučajevima racionalnije koristiti metodu prijelaza na mješovite sustave.

Riješite jednadžbu:

Odgovor: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Ova jednadžba jednako je sustavu

Odgovor: jednadžba nema rješenja.

3 metoda. Korištenje svojstava n-tog korijena

Pri rješavanju iracionalnih jednadžbi koriste se svojstva korijena n-tog stupnja. aritmetički korijen n- th stupnjeva iz među a nazvati nenegativan broj, n- i čiji je stupanj jednak a. Ako a n-čak( 2n), tada je a ≥ 0, inače korijen ne postoji. Ako a n- neparan( 2 n+1), tada je a bilo koji i = - ..gif" width="45" height="19"> Zatim:

Primjenom bilo koje od ovih formula, formalno (bez uzimanja u obzir navedenih ograničenja), treba imati na umu da ODZ lijevog i desnog dijela svake od njih može biti različit. Na primjer, izraz je definiran s f ≥ 0 i g ≥ 0, a izraz je kao u f ≥ 0 i g ≥ 0, kao i f ≤ 0 i g ≤ 0.

Za svaku od formula 1-5 (bez uzimanja u obzir navedenih ograničenja), ODZ njenog desnog dijela može biti širi od ODZ lijevog. Slijedi da transformacije jednadžbe formalnom uporabom formula 1-5 "slijeva na desno" (kako su napisane) dovode do jednadžbe koja je posljedica izvorne. U tom slučaju mogu se pojaviti strani korijeni izvorne jednadžbe, pa je verifikacija obavezan korak u rješavanju izvorne jednadžbe.

Transformacije jednadžbi s formalnom upotrebom formula 1-5 "s desna na lijevo" su neprihvatljive, jer je moguće prosuditi ODZ izvorne jednadžbe, a time i gubitak korijena.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

što je posljedica izvornog. Rješenje ove jednadžbe svodi se na rješavanje skupa jednadžbi .

Iz prve jednadžbe ovog skupa nalazimo https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> odakle nalazimo . Dakle, korijeni ova jednadžba može biti samo brojevi ( -1) i (-2) Provjera pokazuje da oba pronađena korijena zadovoljavaju ovu jednadžbu.

Odgovor: -1,-2.

Riješite jednadžbu: .

Rješenje: na temelju identiteta zamijenite prvi član s . Imajte na umu da kao zbroj dvaju nenegativnih brojeva na lijevoj strani. “Ukloniti” modul i nakon unosa sličnih članova riješiti jednadžbu. Od , dobivamo jednadžbu . Od i , zatim https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Odgovor: x = 4,25.

4 metoda. Uvođenje novih varijabli

Drugi primjer rješavanja iracionalnih jednadžbi je način na koji se uvode nove varijable s obzirom na koje se dobiva ili jednostavnija iracionalna jednadžba ili racionalna jednadžba.

Rješenje iracionalnih jednadžbi zamjenom jednadžbe njezinom posljedicom (uz naknadnu provjeru korijena) može se provesti na sljedeći način:

1. Nađite ODZ izvorne jednadžbe.

2. Idite od jednadžbe do njezine posljedice.

3. Pronađite korijene dobivene jednadžbe.

4. Provjerite jesu li pronađeni korijeni korijeni izvorne jednadžbe.

Provjera je sljedeća:

A) provjerava se pripadnost svakog pronađenog korijena ODZ izvornoj jednadžbi. Oni korijeni koji ne pripadaju ODZ su strani za izvornu jednadžbu.

B) za svaki korijen uključen u ODZ izvorne jednadžbe provjerava se imaju li identične znakove lijevi i desni dio svake od jednadžbi koje nastaju u procesu rješavanja izvorne jednadžbe i dižu se na parnu potenciju. Oni korijeni za koje dijelovi bilo koje jednadžbe dignute na parnu potenciju imaju različite znakove, su strani za izvornu jednadžbu.

C) izravnom zamjenom u provjeravaju se samo oni korijeni koji pripadaju ODZ izvorne jednadžbe i za koje oba dijela svake od jednadžbi koje nastaju u procesu rješavanja izvorne jednadžbe i podignute na parnu potenciju imaju iste predznake. izvorna jednadžba.

Takva metoda rješenja s navedenom metodom provjere omogućuje izbjegavanje glomaznih izračuna u slučaju izravne zamjene svakog od pronađenih korijena posljednje jednadžbe u izvornu.

Riješite iracionalnu jednadžbu:

Skup dopuštenih vrijednosti ove jednadžbe:

Postavljanjem , nakon supstitucije dobivamo jednadžbu

ili njemu ekvivalentna jednadžba

koja se može promatrati kao kvadratna jednadžba za . Rješavajući ovu jednadžbu, dobivamo

Stoga je skup rješenja izvorne iracionalne jednadžbe unija skupova rješenja sljedećih dviju jednadžbi:

, .

Kockirajte obje strane svake od ovih jednadžbi i dobit ćemo dvije racionalne algebarske jednadžbe:

, .

Rješavajući ove jednadžbe, nalazimo da ova iracionalna jednadžba ima jedan korijen x = 2 (nije potrebna provjera, jer su sve transformacije ekvivalentne).

Odgovor: x = 2.

Riješite iracionalnu jednadžbu:

Označimo 2x2 + 5x - 2 = t. Tada će izvorna jednadžba poprimiti oblik . Kvadriranjem oba dijela dobivene jednadžbe i dovođenjem sličnih članova dobivamo jednadžbu , koja je posljedica prethodne. Iz njega nalazimo t=16.

Vraćajući se na nepoznatu x, dobivamo jednadžbu 2x2 + 5x - 2 = 16, koja je posljedica izvorne. Provjerom uvjeravamo se da su njegovi korijeni x1 \u003d 2 i x2 \u003d - 9/2 korijeni izvorne jednadžbe.

Odgovor: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metoda. Transformacija jednadžbe identiteta

Pri rješavanju iracionalnih jednadžbi ne treba započeti rješavanje jednadžbe dizanjem obaju dijelova jednadžbi na prirodni potenc, pokušavajući svesti rješenje iracionalne jednadžbe na rješavanje racionalne algebarske jednadžbe. Najprije je potrebno vidjeti je li moguće napraviti neku identičnu transformaciju jednadžbe koja bi značajno pojednostavila njezino rješenje.

Riješite jednadžbu:

Skup valjanih vrijednosti za ovu jednadžbu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Podijelite ovu jednadžbu s .

Dobivamo:

Za a = 0, jednadžba neće imati rješenja; za , jednadžba se može napisati kao

jer ova jednadžba nema rješenja, jer za bilo koju x, koji pripada skupu dopuštenih vrijednosti jednadžbe, izraz na lijevoj strani jednadžbe je pozitivan;

kada jednadžba ima rješenje

Uzimajući u obzir da je skup dopuštenih rješenja jednadžbe određen uvjetom , konačno dobivamo:

Prilikom rješavanja ove iracionalne jednadžbe, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> rješenje jednadžbe bit će . Za sve ostale vrijednosti x jednadžba nema rješenja.

PRIMJER 10:

Riješite iracionalnu jednadžbu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Riješenje kvadratna jednadžba Sustav daje dva korijena: x1 = 1 i x2 = 4. Prvi od dobivenih korijena ne zadovoljava nejednakost sustava, stoga je x = 4.

Bilješke.

1) Držanje identične transformacije omogućuje vam da to učinite bez provjere.

2) Nejednakost x - 3 ≥0 odnosi se na identične transformacije, a ne na područje jednadžbe.

3) Postoji opadajuća funkcija na lijevoj strani jednadžbe, a rastuća funkcija na desnoj strani ove jednadžbe. Grafovi padajućih i rastućih funkcija u sjecištu svojih domena definiranja mogu imati najviše jednu zajedničku točku. Očito, u našem slučaju, x = 4 je apscisa sjecišta grafova.

Odgovor: x = 4.

6 metoda. Korištenje domene definiranja funkcija pri rješavanju jednadžbi

Ova je metoda najučinkovitija pri rješavanju jednadžbi koje uključuju funkcije https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> i pronalaženju njihovih definicija područja (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, tada morate provjeriti je li jednadžba istinita na krajevima intervala, štoviše, ako je< 0, а b >0, tada je potrebno provjeriti intervale (a;0) i . Najmanji cijeli broj u E(y) je 3.

Odgovor: x = 3.

8 metoda. Primjena derivacije u rješavanju iracionalnih jednadžbi

Najčešće se pri rješavanju jednadžbi metodom izvoda koristi metoda estimacije.

PRIMJER 15:

Riješite jednadžbu: (1)

Rješenje: Od https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, ili (2). Razmotrimo funkciju ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> uopće i stoga raste. Prema tome, jednadžba je ekvivalentan jednadžbi koja ima korijen koji je korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor:

PRIMJER 16:

Riješite iracionalnu jednadžbu:

Područje definiranja funkcije je segment. Pronađite najveću i najmanja vrijednost vrijednosti ove funkcije na intervalu . Da bismo to učinili, nalazimo izvod funkcije f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19"> Pronađimo vrijednosti funkcije f(x) na krajevima segmenta i u točki : Dakle, Ali i, prema tome, jednakost je moguća samo pod uvjetom https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Provjera pokazuje da je broj 3 korijen ove jednadžbe.

Odgovor: x = 3.

9 metoda. Funkcionalan

Na ispitima ponekad nude rješavanje jednadžbi koje se mogu napisati u obliku , gdje je određena funkcija.

Na primjer, neke jednadžbe: 1) 2) . Dapače, u prvom slučaju , u drugom slučaju . Stoga riješite iracionalne jednadžbe koristeći sljedeću izjavu: ako je funkcija strogo rastuća na skupu x i za bilo koji , tada su jednadžbe, itd., ekvivalentne na skupu x .

Riješite iracionalnu jednadžbu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> striktno raste na setu R, i https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > koja ima jedinstveni korijen Prema tome, ekvivalentna jednadžba (1) također ima jedinstven korijen

Odgovor: x = 3.

PRIMJER 18:

Riješite iracionalnu jednadžbu: (1)

Po definiciji korijen dobivamo da ako jednadžba (1) ima korijene, onda oni pripadaju skupu https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Smatrajte da funkcija https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> strogo raste na ovom skupu za bilo koji ..gif" width="100" visina ="41"> koji ima jedan korijen Prema tome, i njemu ekvivalentan na skupu x jednadžba (1) ima jedan korijen

Odgovor: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Rješenje: Ova jednadžba je ekvivalentna mješoviti sustav

Realni brojevi. Aproksimacija realnih brojeva konačnim decimalnim razlomcima.

Realni ili pravi broj je matematička apstrakcija nastala iz potrebe mjerenja geometrijskih i fizikalne veličine svijet oko sebe, kao i izvođenje operacija poput vađenja korijena, izračunavanja logaritama, rješavanja algebarske jednadžbe. Ako a cijeli brojevi nastali u procesu brojanja, racionalni - iz potrebe operiranja dijelovima cjeline, tada su realni brojevi namijenjeni mjerenju kontinuirane količine. Tako je širenje zalihe brojeva koje se razmatra dovelo do skupa realnih brojeva koji osim racionalnih brojeva uključuje i druge elemente tzv. iracionalni brojevi .

Apsolutna pogreška i njezina granica.

Neka postoji neka brojčana vrijednost, i brojčana vrijednost, koji mu je dodijeljen, smatra se točnim, zatim pod pogreška približne vrijednosti brojčana vrijednost (pogreška) razumjeti razliku između točne i približne vrijednosti brojčane vrijednosti: . Pogreška može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Vrijednost se zove poznata aproksimacija na točnu vrijednost numeričke vrijednosti - bilo koji broj koji se koristi umjesto točne vrijednosti. Protozoa kvantitativna mjera greška je apsolutna greška. Apsolutna pogreška Približna vrijednost naziva se vrijednost za koju se zna da je: Relativna pogreška i njezina granica.

Kvaliteta aproksimacije bitno ovisi o prihvaćenim mjernim jedinicama i skalama veličina, stoga je preporučljivo dovesti u korelaciju pogrešku veličine i njezinu vrijednost, za što se uvodi pojam relativne pogreške. Relativna greška Približna vrijednost naziva se vrijednost za koju je poznato da: . Relativna pogreška često se izražava u postocima. Korištenje relativne pogreške prikladni, osobito, jer ne ovise o ljestvicama veličina i mjernim jedinicama.

Iracionalne jednadžbe

Jednadžba u kojoj je varijabla sadržana pod predznakom korijena naziva se iracionalnom. Kod rješavanja iracionalnih jednadžbi dobivena rješenja zahtijevaju provjeru, jer npr. netočna jednakost pri kvadriranju može dati točnu jednakost. Doista, netočna jednakost kada se kvadrira daje ispravnu jednakost 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Ponekad je prikladnije rješavati iracionalne jednadžbe pomoću ekvivalentnih prijelaza.

Kvadrirajmo obje strane ove jednadžbe; Nakon transformacija dolazimo do kvadratne jednadžbe; i obucimo ga.

Kompleksni brojevi. Djelovanje na kompleksne brojeve.

Kompleksni brojevi - proširenje skupa realnih brojeva, obično ozn. Bilo koji kompleksni broj može se predstaviti kao formalni zbroj x + iy, gdje x i g- realni brojevi, ja– imaginarna jedinica Kompleksni brojevi tvore algebarski zatvoreno polje – to znači da polinom stupnja n s kompleksnim koeficijentima ima točno n kompleksnih korijena, odnosno temeljni teorem algebre je istinit. To je jedan od glavnih razloga široke upotrebe kompleksni brojevi u matematičko istraživanje. Osim toga, korištenje složenih brojeva omogućuje nam praktično i kompaktno formuliranje mnogih matematički modeli primijenjeno u matematička fizika i u prirodne znanosti- elektrotehnika, hidrodinamika, kartografija, kvantna mehanika, teorija oscilacija i mnoge druge.

Usporedba a + dvo = c + di znači da a = c i b = d(dva kompleksna broja su jednaka ako i samo ako su im jednaki realni i imaginarni dio).

Dodavanje ( a + dvo) + (c + di) = (a + c) + (b + d) ja .

Oduzimanje ( a + dvo) − (c + di) = (a − c) + (b − d) ja .

Množenje

Numerička funkcija. Načini postavljanja funkcije

U matematici numerička funkcija je funkcija čije su domene i vrijednosti podskupovi setovi brojeva- obično skupovi realnih brojeva ili skupovi kompleksnih brojeva.

Verbalno: Korištenje prirodni jezik Y je jednako cijeli dio od x. Analitički: korištenje analitičke formule f (x) = x !

Grafički Via graf Fragment grafa funkcije.

Tabularno: korištenje tablice vrijednosti

Glavna svojstva funkcije

1) Opseg funkcija i raspon funkcija . Opseg funkcije x(varijabilno x) za koju je funkcija y=f(x) definiran.

Raspon funkcija g koju funkcija prihvaća. U elementarnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.2 ) Funkcija nula) Monotonost funkcije . Povećanje funkcije Opadajuća funkcija . Ravnomjerna funkcija x f(-x) = f(x). neparna funkcija- funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koji x f(-x) = -f(x. Funkcija se zove ograničeno neograničen .7) Periodičnost funkcije. Funkcija f(x) - časopis razdoblje funkcije

Funkcijski grafikoni. Najjednostavnije transformacije grafova pomoću funkcije

Grafikon funkcije- skup točaka čije su apscise važeće vrijednosti argument x, a ordinate su odgovarajuće vrijednosti funkcije g .

Ravna crta- raspored linearna funkcija y=ax+b. Funkcija y monotono raste za a > 0 i opada za a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabola- graf funkcije kvadratni trinom y \u003d sjekira 2 + bx + c. Ima okomita os simetrija. Ako je a > 0, ima minimum ako je a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0

Hiperbola- graf funkcije. Kada se a > O nalazi u I i III četvrtini, kada je a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ili y - x (a< 0).

Logaritamska funkcija y = log a x(a > 0)

trigonometrijske funkcije. Kod konstruiranja trigonometrijskih funkcija koristimo se radijan mjera kutova. Zatim funkcija g= grijeh x prikazan grafom (slika 19). Ova krivulja se zove sinusoida .

Grafikon funkcije g= cos x prikazano na sl. dvadeset; to je također sinusni val koji je rezultat pomicanja grafa g= grijeh x duž osi x lijevo od /2.

Osnovna svojstva funkcije. Monotonost, parnost, neparnost, periodičnost funkcija.

Opseg funkcija i raspon funkcija . Opseg funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenta x(varijabilno x) za koju je funkcija y=f(x) definiran.

Raspon funkcija je skup svih realnih vrijednosti g koju funkcija prihvaća.

U elementarnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.2 ) Funkcija nula- je vrijednost argumenta, pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.3 ) Intervali konstantnosti funkcije- oni skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.4 ) Monotonost funkcije .

Povećanje funkcije(u nekom intervalu) - funkcija za koju veću vrijednost argument iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija(u nekom intervalu) - funkcija u kojoj većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara manja vrijednost funkcije.5 ) Parne (neparne) funkcije . Ravnomjerna funkcija- funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(-x) = f(x). Raspored ravnomjerna funkcija simetričan u odnosu na y-osu. neparna funkcija- funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(-x) = -f(x). Raspored neparna funkcija simetričan u odnosu na ishodište.6 ) Ograničene i neograničene funkcije. Funkcija se zove ograničeno, ako postoji pozitivan broj M takav da je |f (x) | ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, onda je funkcija neograničen .7) Periodičnost funkcije. Funkcija f(x) - časopis, ako postoji takav broj T različit od nule da za bilo koji x iz domene funkcije vrijedi: f (x+T) = f (x). Takav najmanji broj nazvao razdoblje funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).

Periodične funkcije. Pravila za pronalaženje glavnog perioda funkcije.

Periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti nakon nekog razdoblja različitog od nule, tj. ne mijenja svoju vrijednost kada se argumentu doda fiksni broj različit od nule (točka). Sve trigonometrijske funkcije su periodične. su u krivu izjave o iznosu periodične funkcije: Zbroj 2 funkcije s usporedivim (čak i osnovnim) razdobljima T 1 i T 2 je funkcija s periodom LCM ( T 1 ,T 2). Iznos 2 kontinuirane funkcije s nesumjerljivim (čak i osnovnim) periodima je neperiodična funkcija. Nema periodičnih funkcija jednaka konstanti, čija su razdoblja nesamjerljivi brojevi.

Iscrtavanje funkcija snage.

Funkcija snage. Ovo je funkcija: y = ax n, gdje a,n- trajno. Na n= 1 dobivamo izravna proporcionalnost : g =sjekira; na n = 2 - četvrtasta parabola; na n = 1 - obrnuta proporcionalnost ili hiperbola. Dakle, ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage. Znamo da je nulta potencija bilo kojeg broja osim nule jednaka 1, dakle, kada n = 0 funkcija snage preobraziti se u konstantna vrijednost: g =a, tj. njegov graf je ravna linija paralelna s osi x, isključujući ishodište koordinata (molimo objasnite zašto?). Svi ovi slučajevi (sa a= 1) prikazani su na sl. 13 ( n 0) i sl.14 ( n < 0). Отрицательные значения x ovdje se ne razmatraju jer tada neke funkcije:

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija- funkcija koja preokreće ovisnost izraženu ovom funkcijom. Funkcija je inverzna funkciji ako vrijede sljedeći identiteti: za sve za sve

Limit funkcije u točki. Osnovna svojstva limita.

Korijen n-tog stupnja i njegova svojstva.

N-ti korijen broja a je broj čija je n-ta potencija jednaka a.

Definicija: Aritmetički korijen n-tog stupnja broja a je nenegativan broj čija je n-ta potencija jednaka a.

Glavna svojstva korijena:

Stupanj s proizvoljnim pravi pokazatelj i njegova svojstva.

Neka su zadani pozitivan broj i proizvoljan realan broj. Broj se naziva stupanj, broj je baza stupnja, broj je eksponent.

Po definiciji se pretpostavlja:

Ako i - pozitivni brojevi, i - bilo koji realni brojevi, onda sljedeća svojstva:

.

.

Funkcija stepena, njezina svojstva i grafovi

Funkcija snage kompleksna varijabla f (z) = z n s cjelobrojnim eksponentom određuje se korištenjem analitičkog nastavka slične funkcije realnog argumenta. Za to se koristi eksponencijalni oblik zapisivanja kompleksnih brojeva. potencna funkcija s cjelobrojnim eksponentom je analitička u cijeloj kompleksnoj ravnini, kao produkt konačan broj instance mapiranja identiteta f (z) = z. Prema teoremu jedinstvenosti, ova dva kriterija su dovoljna za jedinstvenost rezultirajućeg analitičkog nastavka. Koristeći ovu definiciju, možemo odmah zaključiti da funkcija snage kompleksne varijable ima značajne razlike od svog stvarnog dvojnika.

Ovo je funkcija oblika , . Razmatraju se sljedeći slučajevi:

a). Ako tada . Zatim, ; ako je broj paran, onda je i funkcija parna (tj. za sve ); ako je broj neparan, onda je funkcija neparna (tj. za sve).

Eksponencijalna funkcija, njezina svojstva i grafici

Eksponencijalna funkcija- matematička funkcija.

U stvarnom slučaju, baza stupnja je neki nenegativan pravi broj, a argument funkcije je pravi eksponent.

U teoriji složene funkcije smatra više opći slučaj, kada argument i eksponent mogu biti proizvoljni kompleksni broj.

U samom opći pogled - u v, koju je uveo Leibniz 1695. godine.

Posebno je istaknut slučaj kada broj e djeluje kao baza stupnja. Takvu funkciju nazivamo eksponentom (realnim ili kompleksnim).

Svojstva ; ; .

eksponencijalne jednadžbe.

Prijeđimo izravno na eksponencijalne jednadžbe. Kako bi se odlučila eksponencijalna jednadžba potrebno je koristiti sljedeći teorem: Ako su stupnjevi jednaki i baze jednake, pozitivne i različite od jedinice, onda su im jednaki i eksponenti. Dokažimo ovaj teorem: Neka su a>1 i a x =a y .

Dokažimo da je u ovom slučaju x=y. Pretpostavimo suprotno od onoga što treba dokazati, tj. recimo da je x>y ili da je x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х a y . Oba ova rezultata proturječe hipotezi teorema. Dakle, x=y, što je i trebalo dokazati.

Teorem je također dokazan za slučaj kada je 0 0 i a≠1.

eksponencijalne nejednakosti

Nejednakosti oblika (ili manje) za a(x) >0 a rješavaju se na temelju svojstava eksponencijalne funkcije: za 0 < а (х) < 1 pri usporedbi f(x) i g(x) mijenja se predznak nejednakosti, a kada a(x) > 1- je spremljeno. Najteži slučaj za sjekira)< 0 . Ovdje možemo dati samo opću naznaku: odrediti pri kojim vrijednostima x indikatori f(x) i g(x) biti cijeli brojevi i od njih odabrati one koji zadovoljavaju uvjet. Konačno, ako izvorna nejednakost vrijedi za a(x) = 0 ili a(x) = 1(na primjer, kada nejednakosti nisu stroge), tada se i ti slučajevi moraju uzeti u obzir.

Logaritmi i njihova svojstva

Logaritam broja b razumom a (od grčkog λόγος - "riječ", "odnos" i ἀριθμός - "broj") definiran je kao pokazatelj stupnja do kojeg se baza mora podići a da dobijem broj b. Oznaka: . Iz definicije slijedi da su natuknice i ekvivalentne. Primjer: jer. Svojstva

Osnovni logaritamski identitet:

Logaritamska funkcija, njezina svojstva i grafici.

Logaritamska funkcija je funkcija oblika f (x) = log a x, definirano na

Domena:

Raspon vrijednosti:

Graf bilo koje logaritamske funkcije prolazi točkom (1; 0)

Derivacija logaritamske funkcije je:

Logaritamske jednadžbe

Jednadžba koja sadrži varijablu pod predznakom logaritma naziva se logaritamska jednadžba. Najjednostavniji primjer logaritamske jednadžbe je jednadžba log a x \u003d b (gdje je a > 0, i 1). Njegova odluka x = a b .

Rješavanje jednadžbi na temelju definicije logaritma, na primjer, jednadžba log a x \u003d b (a\u003e 0, ali 1) ima rješenje x = a b .

metoda potenciranja. Pod potenciranjem se misli na prijelaz s jednakosti koja sadrži logaritme na jednakost koja ih ne sadrži:

ako log a f (x) = log a g (x), zatim f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,a > 0 , a 1 .

Metoda svođenja logaritamske jednadžbe na kvadratnu.

Metoda logaritmiranja oba dijela jednadžbe.

Metoda svođenja logaritama na istu bazu.

Logaritamske nejednadžbe.

Nejednadžba koja sadrži varijablu samo pod predznakom logaritma naziva se logaritamskom: log a f (x) > log a g (x).

Pri rješavanju logaritamskih nejednadžbi treba uzeti u obzir opća svojstva nejednadžbi, svojstvo monotonosti logaritamske funkcije i njezino područje definiranja. Nejednakost log a f (x) > log a g (x) jednako je sustavu f (x) > g (x) > 0 za a > 1 i sustav 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Radijansko mjerenje kutova i lukova. Sinus, kosinus, tangens, kotangens.

stupanjska mjera. Ovdje je mjerna jedinica stupanj ( oznaka ) - je rotacija grede za 1/360 jednog punog okretaja. Dakle, puna rotacija grede je 360. Jedan stupanj se sastoji od 60 minuta ( njihova oznaka '); jedna minuta - odnosno od 60 sekundi ( označen sa ").

radijanska mjera. Kao što znamo iz planimetrije (vidi odlomak "Duljina luka" u odjeljku "Lokus točaka. Krug i krug"), duljina luka l, radius r i odgovarajući središnji kut povezani su sa: = l / r.

Ova formula je temelj definicije radijanske mjere kutova. Pa ako l = r, tada je = 1, a kažemo da je kut jednak 1 radijanu, što se označava: = 1 radostan. Dakle, imamo sljedeću definiciju radijanske mjere:

Radijan je središnji kut, čija su dužina i polumjer luka jednaki(A m B = AO, slika 1). Tako, radijanska mjera kuta je omjer duljine luka nacrtanog proizvoljnim polumjerom i zatvorenog između stranica tog kuta i polumjera luka.

Trigonometrijske funkcije šiljastih kutova mogu se definirati kao omjer duljina stranica pravokutnog trokuta.

Sinus:

Kosinus:

Tangens:

Kotangens:

Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta

Definicija .

Sinus od x je broj jednak sinusu kuta u x radijanima. Kosinus broja x je broj jednak kosinusu kuta u x radijanima .

Ostale trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta definirane su na sličan način x .

Formule duhova.

Adicinske formule. Formule dvostrukog i poluargumenta.

Dvostruko.

( ; .

Trigonometrijske funkcije i njihovi grafovi. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija.

Trigonometrijske funkcije- vrste elementarnih funkcija. Obično se pozivaju na njih sinus (grijeh x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), Trigonometrijske funkcije se obično definiraju geometrijski, ali se mogu definirati analitički u terminima zbroja nizova ili kao rješenja nekih diferencijalnih jednadžbi, što nam omogućuje proširenje domene definiranja ovih funkcija na kompleksne brojeve.

Funkcija y sinx njena svojstva i graf

Svojstva:

2. E (y) \u003d [-1; jedan].

3. Funkcija y \u003d sinx je neparna, jer je, po definiciji, sinus trigonometrijskog kuta grijeh(- x)= - g/p = - sinx, gdje je R polumjer kruga, y je ordinata točke (Sl.).

4. T \u003d 2n - najmanji pozitivni period. Stvarno,

sin(x+p) = sinx.

s osi Ox: sinx= 0; x = pn, nOZ;

s osi y: ako je x = 0, tada je y = 0,6. Intervali postojanosti:

sinx > 0, ako je xO (2pn; p + 2pn), nOZ;

sinx< 0 , ako je xO (p + 2pn; 2p+pn), nOZ.

Znakovi sinusa u četvrtinama

y > 0 za kutove a prve i druge četvrtine.

na< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Intervali monotonosti:

y= sinx raste na svakom od intervala [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nnz i opada na svakom od intervala , nnz.

8. Ekstremne točke i ekstremne točke funkcije:

xmax= p/2 + 2pn, nnz; g max = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nnz; ymin = - 1.

Svojstva funkcije y= cosx i njen raspored:

Svojstva:

2. E (y) \u003d [-1; jedan].

3. Funkcija y= cosx- parno, jer po definiciji kosinusa trigonometrijskog kuta cos (-a) = x/R = cosa na trigonometrijskoj kružnici (riža)

4. T \u003d 2p - najmanji pozitivni period. Stvarno,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Sječne točke s koordinatnim osima:

s osi Ox: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nOZ;

s osi y: ako je x = 0, tada je y = 1.

6. Intervali konstantnosti predznaka:

cos > 0, ako je xO (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nOZ;

cosx< 0 , ako je xO (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nOZ.

To je dokazano na trigonometrijskom krugu (sl.). Predznaci kosinusa u četvrtinama:

x > 0 za kutove a prvog i četvrtog kvadranta.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Intervali monotonosti:

y= cosx raste na svakom od intervala [-p + 2pn; 2pn],

nnz i opada na svakom od intervala , nnz.

Svojstva funkcije y= tgx i njegova parcela: nekretnine -

1. D (y) = (xOR, x ¹ p/2 + pn, nOZ).

3. Funkcija y = tgx - neparna

tgx > 0

tgx< 0 za xn (-p/2 + pn; pn), nnZ.

Pogledajte sliku za predznake tangente u četvrtinama.

6. Intervali monotonosti:

y= tgx povećava u svakom intervalu

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Ekstremne točke i ekstremne točke funkcije:

8. x = p/2 + pn, nnz - vertikalne asimptote

Svojstva funkcije y= ctgx i njen raspored:

Svojstva:

1. D (y) = (xOR, x ¹ pn, nOZ). 2. E(y)=R.

3. Funkcija y= ctgx- neparan.

4. T \u003d p - najmanji pozitivni period.

5. Intervali konstantnosti predznaka:

ctgx > 0 za xO (pn; p/2 + pn;), nOZ;

ctgx< 0 za xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Kotangensi za četvrtine, vidi sliku.

6. Funkcija na= ctgx raste na svakom od intervala (pn; p + pn), nOZ.

7. Točke ekstrema i ekstremumi funkcije y= ctgx Ne.

8. Grafikon funkcije y= ctgx je tangentoid, dobiven pomakom parcele y=tgx duž osi Ox ulijevo za p/2 i množenjem s (-1) (Slika)

Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi

Inverzne trigonometrijske funkcije (kružne funkcije , lučne funkcije) su matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama. Inverzne trigonometrijske funkcije obično uključuju šest funkcija: arcsinus , arc kosinus , arc tangenta ,arccotanges. Naziv inverzne trigonometrijske funkcije formira se od naziva odgovarajuće trigonometrijske funkcije dodavanjem prefiksa "luk-" (od lat. luk- luk). To je zbog činjenice da se geometrijski vrijednost inverzne trigonometrijske funkcije može povezati s duljinom luka jedinične kružnice (ili kutom koji spaja taj luk) koji odgovara jednom ili drugom segmentu. Povremeno se u stranoj literaturi koriste oznake kao sin −1 za arcsin itd.; ovo se ne smatra sasvim točnim, budući da je moguća zabuna s dizanjem funkcije na potenciju −1. Osnovni omjer

Funkcija y=arcsinX, njena svojstva i grafovi.

arcsinus brojevima m taj se kut naziva x za kojuFunkciju g= grijeh x g= arcsin x je u strogom porastu. (funkcija je neparna).

Funkcija y=arccosX, njena svojstva i grafovi.

Arkus kosinus brojevima m taj se kut naziva x, za koji

Funkcija g= cos x kontinuirana i ograničena duž cijele svoje brojevne crte. Funkcija g= arccos x strogo opada. cos (arccos x) = x na arccos (cos g) = g na D(arccos x) = [− 1; 1], (domena), E(arccos x) = . (raspon vrijednosti). Svojstva funkcije arccos (funkcija je centralno simetrična u odnosu na točku

Funkcija y=arctgX, njena svojstva i grafovi.

Arktangens brojevima m Kut α naziva se takav da je funkcija kontinuirana i ograničena na cijeloj svojoj pravoj liniji. Funkcija se strogo povećava.

na

svojstva funkcije arctg

,

.

Funkcija y=arcctg, njena svojstva i grafovi.

Arkus tangenta brojevima m taj se kut naziva x, za koji

Funkcija je kontinuirana i ograničena na cijelom svom realnom pravcu.

Funkcija je strogo opadajuća. u 0< g < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки za bilo koji x .

.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

Definicija. wada jednadžbe sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, gdje x

Posebni slučajevi trigonometrijskih jednadžbi

Definicija. wada jednadžbe sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, gdje x- varijabla, aR, se pozivaju jednostavne trigonometrijske jednadžbe.

Trigonometrijske jednadžbe

Aksiomi stereometrije i posljedice iz njih

Osnovne figure u prostoru: točke, pravci i ravnine. Glavna svojstva točaka, pravaca i ravnina, koja se tiču njihovog međusobnog rasporeda, izražena su aksiomima.

A1. Kroz bilo koje tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji prolazi ravnina, i to samo jedna. A2. Ako dvije točke pravca leže u ravnini, tada sve točke pravca leže u toj ravnini.

Komentar. Ako pravac i ravnina imaju samo jednu zajedničku točku, kaže se da se sijeku.

A3. Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda imaju i zajednički pravac na kojem leže sve zajedničke točke tih ravnina.

A i sijeku se duž pravca a.

Posljedica 1. Kroz pravac i točku koja na njemu ne leži prolazi ravnina, i to samo jedna. Posljedica 2. Ravnina prolazi kroz dvije ravne crte koje se sijeku, i štoviše, kroz samo jednu.

Međusobni raspored dviju linija u prostoru

Dvije ravne crte zadane jednadžbama

sijeku se u točki.

Paralelnost pravca i ravnine.

Definicija 2.3 Pravac i ravnina nazivaju se paralelnima ako nemaju zajedničkih točaka. Ako je pravac a paralelan s ravninom α, upišite || a. Teorem 2.4 Znak paralelnosti pravca i ravnine. Ako je pravac izvan ravnine paralelan s pravcem u ravnini, tada je i taj pravac paralelan sa samom ravninom. Dokaz Neka je b α, a || b i a α (crtež 2.2.1). Dokazat ćemo kontradikcijom. Neka a nije paralelan s α, tada pravac a siječe ravninu α u nekoj točki A. Štoviše, A b, budući da je a || b. Prema kriteriju zakošenosti, pravci a i b su zakošeni. Došli smo do kontradikcije. Teorem 2.5 Ako ravnina β prolazi pravcem a paralelnim s ravninom α i siječe tu ravninu po pravcu b, tada je b || a. Dokaz Doista, pravci a i b nisu kosi jer leže u ravnini β. Štoviše, ove linije nemaju zajedničkih točaka, jer je || a. Definicija 2.4 Pravac b se ponekad naziva i trag ravnine β na ravnini α.

Križanje ravnih linija. Znak linija koje se sijeku

Pravci se nazivaju sijekućima ako je ispunjen sljedeći uvjet: Ako zamislimo da jedan od pravaca pripada proizvoljnoj ravnini, tada će drugi pravac sijeći tu ravninu u točki koja ne pripada prvom pravcu. Drugim riječima, dva se pravca u trodimenzionalnom euklidskom prostoru sijeku ako ne postoji ravnina koja ih sadrži. Jednostavnije rečeno, dvije linije u prostoru koje nemaju zajedničkih točaka, ali nisu ni paralelne.

Teorem (1): Ako jedan od dva pravca leži u određenoj ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne leži na prvom pravcu, tada su ti pravci kosi.

Teorem (2): Kroz svaki od dva pravca koji se sijeku prolazi ravnina paralelna s drugim pravcem, i to samo jedna.

Teorem (3): Ako su stranice dvaju kutova međusobno usmjerene, tada su ti kutovi jednaki.

Paralelnost pravaca. Svojstva paralelnih ravnina.

Paralelne (ponekad - jednakokračne) ravne linije nazivaju se pravci koji leže u istoj ravnini i podudaraju se ili se ne sijeku. U nekim školskim definicijama pravci koji se podudaraju ne smatraju se paralelnima; takva se definicija ovdje ne razmatra. Svojstva Paralelizam je binarni odnos ekvivalencije, dakle, dijeli cijeli skup linija u klase linija koje su međusobno paralelne. Kroz bilo koju zadanu točku može proći točno jedan pravac paralelan s zadanom. Ovo je posebno svojstvo euklidske geometrije, u drugim geometrijama broj 1 zamijenjen je drugim (u geometriji Lobačevskog postoje najmanje dvije takve linije) 2 paralelne linije u prostoru leže u istoj ravnini. b U sjecištu 2 paralelne crte s trećim tzv sječna: Sekanta nužno siječe oba pravca. Prilikom križanja nastaje 8 uglova od kojih neki karakteristični parovi imaju posebna imena i svojstva: Križ leži kutovi su jednaki. Dotični kutovi su jednaki. Jednostrano kutovi zbroje do 180°.

Okomitost pravca i ravnine.

Pravac koji siječe ravninu naziva se okomito ovu ravninu ako je okomita na svaki pravac koji leži u zadanoj ravnini i prolazi kroz točku presjeka.

OZNAKA OKOMITOSTI PRAVCA I RAVNINE.

Ako je pravac koji siječe ravninu okomit na dva pravca u toj ravnini koji prolaze kroz točku presjeka zadanog pravca i ravnine, onda je okomit na ravninu.

1. SVOJSTVO OKIMITIH PRAVACA I RAVNINA .

Ako je ravnina okomita na jedan od dva paralelna pravca, onda je okomita i na drugi.

2. SVOJSTVO OKIMITIH PRAVACA I RAVNINA .

Dva pravca okomita na istu ravninu su paralelna.

Teorem o tri okomice

Neka AB- okomito na ravninu α, AC- koso i c- pravac u ravnini α koja prolazi točkom C i okomita projekcija PRIJE KRISTA. Povucimo ravnu liniju CK paralelno s ravnom linijom AB. Ravno CK okomita na ravninu α (jer je paralelna s AB), a time i bilo koji pravac ove ravnine, dakle, CK okomito na liniju c AB i CK ravnina β (paralelni pravci određuju ravninu i to samo jednu). Ravno c je okomita na dva pravca koji se sijeku i leže u ravnini β, ovo PRIJE KRISTA po stanju i CK po konstrukciji, što znači da je okomit na bilo koji pravac koji pripada ovoj ravnini, što znači da je okomit i na pravac AC .

Suprotno teoremu o tri okomice

Ako je pravac povučen u ravnini kroz podnožje pognutog pravca okomit na pognuti pravac, onda je okomit i na njegovu projekciju.

Neka AB- okomito na ravninu a , AC- koso i S- pravac u ravnini a prolazeći kroz podnožje padine IZ. Povucimo ravnu liniju SC, paralelno s linijom AB. Ravno SC okomito na ravninu a(prema ovom teoremu, budući da je paralelan AB), a time i bilo koji pravac ove ravnine, dakle, SC okomito na liniju S. Crtajte kroz paralelne linije AB i SC avion b(paralelni pravci određuju ravninu i to samo jednu). Ravno S okomito na dvije prave koje leže u ravnini b, ovo je AC po stanju i SC po konstrukciji, to znači da je okomit na bilo koji pravac koji pripada ovoj ravnini, što znači da je također okomit na pravac Sunce. Drugim riječima, projekcija Sunce okomito na liniju S ležeći u avionu a .

Okomito i koso.

Okomito, spušten s dane točke na danu ravninu, naziva se segment koji povezuje danu točku s točkom u ravnini i leži na ravnoj liniji okomitoj na ravninu. Kraj ovog segmenta, koji leži u ravnini, zove se osnovica okomice .

kosi, povučen iz dane točke na danu ravninu, svaki je segment koji povezuje danu točku s točkom u ravnini koja nije okomita na ravninu. Kraj segmenta koji leži u ravnini zove se baza nagnutog. Segment koji povezuje osnovice okomice nagnute crte, povučene iz iste točke, naziva se kosa projekcija .

Definicija 1. Okomica na zadani pravac je odsječak okomit na zadani pravac čiji je jedan kraj u točki sjecišta. Kraj odsječka koji leži na danom pravcu naziva se osnovica okomice.

Definicija 2. Kosi pravac povučen od dane točke do danog pravca je segment koji povezuje dana točka s bilo kojom točkom pravca koja nije osnovica okomice spuštene iz iste točke na dani pravac. AB - okomita na ravninu α.

AC - kosa, CB - projekcija.

C - baza nagnute, B - baza okomice.

Kut između pravca i ravnine.

Kut između pravca i ravnine Svaki kut između ravne linije i njezine projekcije na tu ravninu naziva se.

Diedralni kut.

Diedralni kut- prostorni geometrijski lik, koju čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne ravne linije, kao i dio prostora omeđen tim poluravninama. Zovu se poluravni lica diedralni kut, i njihov zajednički pravac - rub. Diedarski kutovi mjere se linearnim kutom, odnosno kutom koji nastaje presjekom diedralnog kuta s ravninom okomitom na njegov rub. Svaki poliedar, pravilan ili nepravilan, konveksan ili konkavan, ima diedralni kut na svakom rubu.

Okomitost dviju ravnina.

ZNAK RAVNINSKE OKOMITOSTI.

Ako ravnina prolazi pravcem okomitim na drugu ravninu, tada su te ravnine okomite.

1.1 Iracionalne jednadžbe

Iracionalne jednadžbe često se nalaze na prijemni ispiti u matematici, budući da je uz njihovu pomoć lako dijagnosticirati poznavanje takvih koncepata kao što su ekvivalentne transformacije, domena definicije i drugi. Metode rješavanja iracionalnih jednadžbi u pravilu se temelje na mogućnosti zamjene (uz pomoć nekih transformacija) iracionalne jednadžbe racionalnom, koja je ili ekvivalentna izvornoj iracionalnoj jednadžbi ili je njezina posljedica. Najčešće se obje strane jednadžbe dižu na istu potenciju. Ekvivalencija nije narušena kada su oba dijela podignuta na neparnu potenciju. U suprotnom, potrebno je provjeriti pronađena rješenja ili procijeniti predznak oba dijela jednadžbe. Ali postoje i drugi trikovi koji mogu biti učinkovitiji u rješavanju iracionalnih jednadžbi. Na primjer, metoda trigonometrijske supstitucije.

Primjer 1: Riješite jednadžbu

Od tad . Stoga se može staviti . Jednadžba će poprimiti oblik

Onda stavimo gdje

.

.

Odgovor: .
Algebarsko rješenje
Od tad . Sredstva, , tako da možete proširiti modul

.

Odgovor: .

Rješavanje jednadžbe na algebarski način zahtijeva dobru vještinu u izvođenju identičnih transformacija i kompetentno rukovanje ekvivalentnim prijelazima. Ali općenito, oba su pristupa jednaka.

Primjer 2: Riješite jednadžbu

.

Rješenje pomoću trigonometrijske supstitucije

Domena jednadžbe dana je nejednadžbom koja je ekvivalentna uvjetu, dakle. Stoga, možemo staviti . Jednadžba će poprimiti oblik

Od tad . Otvorimo interni modul

Stavimo , onda

.

Uvjet zadovoljavaju dvije vrijednosti i .

.

.

Odgovor: .

Algebarsko rješenje

.

Kvadriramo jednadžbu prvog skupa sustava, dobivamo

Neka, dakle. Jednadžba će se prepisati u obliku

Provjerom ustanovimo da je to korijen, zatim dijeljenjem polinoma binomom dobijemo rastavljanje desne strane jednadžbe na faktore

Idemo od varijable do varijable, dobivamo

.

stanje zadovoljavaju dvije vrijednosti

.

Zamjenom ovih vrijednosti u izvornu jednadžbu, dobivamo da je to korijen.

Rješavajući na sličan način jednadžbu drugog sustava izvorne populacije, nalazimo da je i on korijen.

Odgovor: .

Ako su u prethodnom primjeru algebarsko rješenje i rješenje koje koristi trigonometrijsku supstituciju bili ekvivalentni, tada u ovaj slučaj supstitucijsko rješenje je isplativije. Kod rješavanja jednadžbe pomoću algebre potrebno je riješiti skup od dvije jednadžbe, odnosno dva puta kvadrirati. Nakon ove neekvivalentne transformacije dobiju se dvije jednadžbe četvrtog stupnja s iracionalnim koeficijentima, kojih se zamjenom pomaže riješiti. Druga poteškoća je provjera pronađenih rješenja supstitucijom u izvornu jednadžbu.

Primjer 3. Riješite jednadžbu

.

Rješenje pomoću trigonometrijske supstitucije

Od tad . Imajte na umu da negativna vrijednost nepoznanice ne može biti rješenje problema. Doista, izvornu jednadžbu transformiramo u oblik

.

Faktor u zagradama na lijevoj strani jednadžbe je pozitivan, desna strana jednadžbe je također pozitivna, tako da faktor na lijevoj strani jednadžbe ne može biti negativan. Zato, dakle, zato možete staviti Izvorna jednadžba bit će prepisana u obliku

Od , zatim i . Jednadžba će poprimiti oblik

Neka . Prijeđimo s jednadžbe na ekvivalentni sustav

.

Brojevi i su korijeni kvadratne jednadžbe

.

Algebarsko rješenje Kvadratirajmo obje strane jednadžbe
Predstavljamo zamjenu , tada će jednadžba biti zapisana u obliku

Drugi korijen je suvišan, pa razmotrite jednadžbu

.

Od tad .

U ovom slučaju, algebarsko rješenje je tehnički jednostavnije, ali je potrebno gornje rješenje razmotriti pomoću trigonometrijske supstitucije. To je, prije svega, zbog nestandardne prirode same zamjene, koja uništava stereotip da je upotreba trigonometrijske zamjene moguća samo kada . Ispada da ako trigonometrijska supstitucija također nađe primjenu. Drugo, postoji određena poteškoća u rješavanju trigonometrijske jednadžbe , koji se smanjuje uvođenjem promjene u sustav jednadžbi. U određenom smislu, ova se zamjena također može smatrati nestandardnom, a poznavanje nje omogućuje obogaćivanje arsenala trikova i metoda za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi.

Primjer 4. Riješite jednadžbu

.

Rješenje pomoću trigonometrijske supstitucije

Budući da varijabla može poprimiti bilo koju stvarnu vrijednost, stavljamo . Zatim

,

jer .

Izvorna jednadžba, uzimajući u obzir provedene transformacije, poprimit će oblik

Budući da , obje strane jednadžbe podijelimo s , dobivamo

Neka , onda . Jednadžba će poprimiti oblik

.

S obzirom na zamjenu , dobivamo skup od dvije jednadžbe

.

Riješimo svaku jednadžbu skupa zasebno.

.

Ne može biti sinusna vrijednost, kao ni za sve vrijednosti argumenta.

.

Jer a desna strana izvorne jednadžbe je pozitivna, tada je . Iz čega proizlazi da .

Ova jednadžba nema korijena, jer .
Dakle, izvorna jednadžba ima jedan korijen
.

Algebarsko rješenje

Ova se jednadžba može lako "pretvoriti" u racionalnu jednadžbu osmog stupnja kvadriranjem oba dijela izvorne jednadžbe. Potraga za korijenima rezultirajuće racionalne jednadžbe je teška, a potrebno ju je imati visok stupanj snalažljivost da se obavi posao. Stoga je preporučljivo poznavati drugačiji način rješavanja, manje tradicionalan. Na primjer, zamjena koju je predložio I. F. Sharygin.

Stavimo , onda

Transformirajmo desnu stranu jednadžbe :

Uzimajući u obzir transformacije, jednadžba poprimit će oblik

.

Onda uvodimo zamjenu

.

Drugi korijen je suvišan, dakle, i .

Ako ideja rješavanja jednadžbe nije unaprijed poznata , onda je problematično rješavati na standardni način kvadriranjem oba dijela jednadžbe, budući da je rezultat jednadžba osmog stupnja, čije je korijene izuzetno teško pronaći. Rješenje koje koristi trigonometrijsku zamjenu izgleda glomazno. Možda će biti teško pronaći korijene jednadžbe ako ne primijetite da se ponavlja. Riješenje navedena jednadžba nastaje pomoću aparata algebre, pa možemo reći da je predloženo rješenje kombinirano. U njemu informacije iz algebre i trigonometrije rade zajedno za jedan cilj - dobiti rješenje. Također, rješenje ove jednadžbe zahtijeva pažljivo razmatranje dva slučaja. Rješenje supstitucije je tehnički jednostavnije i ljepše od korištenja trigonometrijske supstitucije. Poželjno je da učenici poznaju ovu metodu zamjene i primjenjuju je pri rješavanju zadataka.
Naglašavamo da korištenje trigonometrijske supstitucije za rješavanje problema treba biti svjesno i opravdano. Preporučljivo je koristiti zamjenu u slučajevima kada je rješenje na drugi način teže ili čak nemoguće. Navedimo još jedan primjer koji se, za razliku od prethodnog, lakše i brže rješava na standardni način.