Bắt đầu trong khoa học. Các cách giải phương trình

Phương trình biểu diễn tam thức vuông, thường được gọi là phương trình bậc hai. Theo quan điểm của đại số, nó được mô tả bằng công thức a * x ^ 2 + b * x + c = 0. Trong công thức này, x là ẩn số cần tìm (nó được gọi là biến tự do); a, b và c là các hệ số bằng số. Liên quan đến các thành phần của điều này, có một số hạn chế: ví dụ, hệ số a không được bằng 0.

Giải phương trình: khái niệm phân biệt

Giá trị của x chưa biết, tại đó phương trình bậc hai chuyển thành đẳng thức thực, được gọi là nghiệm nguyên của phương trình đó. Để giải một phương trình bậc hai, trước tiên bạn phải tìm giá trị của một hệ số đặc biệt - hệ số phân biệt, hệ số này sẽ hiển thị số nghiệm của đẳng thức được coi là. Số phân biệt được tính theo công thức D = b ^ 2-4ac. Kết quả của phép tính có thể dương, âm hoặc bằng không.

Trong trường hợp này, cần lưu ý rằng khái niệm yêu cầu chỉ có hệ số a hoàn toàn khác 0. Do đó, hệ số b có thể bằng 0 và bản thân phương trình trong trường hợp này là a * x ^ 2 + c = 0. Trong tình huống như vậy, giá trị hệ số bằng 0 nên được sử dụng trong công thức tính phân biệt và nghiệm thức. Vì vậy, số phân biệt trong trường hợp này sẽ được tính là D = -4ac.

Nghiệm của phương trình có phân biệt dương

Nếu phân biệt của phương trình bậc hai là dương, từ đó chúng ta có thể kết luận rằng đẳng thức này có hai nghiệm. Các gốc này có thể được tính theo công thức sau: x = (- b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a = (- b ± √D) / 2a. Do đó, để tính giá trị của nghiệm nguyên của phương trình bậc hai cho giá trị dương phân biệt đối xử được sử dụng giá trị đã biết hệ số có sẵn trong. Nhờ việc sử dụng tổng và hiệu trong công thức tính căn, kết quả của các phép tính sẽ là hai giá trị biến đẳng thức trong câu hỏi thành đúng.

Nghiệm của phương trình với số không và phân biệt âm

Nếu số phân biệt của phương trình bậc hai bằng 0, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình đã nói có một gốc. Nói một cách chính xác, trong tình huống này, phương trình vẫn có hai nghiệm nguyên, nhưng do không có phân biệt nên chúng sẽ bằng nhau. Trong trường hợp này x = -b / 2a. Nếu trong quá trình tính toán, giá trị của số phân biệt là âm thì nên kết luận rằng phương trình bậc hai đã xét không có nghiệm nguyên, nghĩa là các giá trị của x tại đó biến thành một đẳng thức thực sự.

Một phương trình là một biểu thức toán học là một phương trình có chứa một ẩn số. Nếu đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị nào có thể chấp nhận được của các ẩn số có trong nó, thì nó được gọi là đồng nhất; ví dụ: một quan hệ như (x - 1) 2 = (x - 1) (x - 1) giữ cho mọi giá trị của x.

Nếu một phương trình liên quan đến một x chưa biết chỉ chứa các giá trị nhất định của x chứ không phải cho tất cả các giá trị của x, như trong trường hợp đồng nhất, thì có thể hữu ích khi xác định các giá trị đó của x mà phương trình là hợp lệ. Các giá trị như vậy của x được gọi là nghiệm của phương trình. Ví dụ, số 5 là căn của phương trình 2x + 7 = 17.

Trong nhánh toán học được gọi là lý thuyết về phương trình, chủ đề chính của nghiên cứu là các phương pháp giải phương trình. TẠI khóa học ở trường phương trình đại số được chú ý rất nhiều.

Lịch sử của việc nghiên cứu các phương trình đã có từ nhiều thế kỷ trước. Các nhà toán học nổi tiếng nhất đã đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết phương trình là:

Archimedes (khoảng năm 287-212 trước Công nguyên) - Nhà khoa học, toán học và thợ cơ khí Hy Lạp cổ đại. Trong quá trình nghiên cứu một bài toán, được rút gọn thành một phương trình bậc ba, Archimedes đã tìm ra vai trò của đặc trưng, ​​sau này được gọi là phân biệt.

François Việt sống ở thế kỷ 16. Anh ấy đã đóng góp rất nhiều cho nghiên cứu các vấn đề khác nhau toán học. Đặc biệt, ông đã giới thiệu ký hiệu chữ cho các hệ số của một phương trình và thiết lập mối liên hệ giữa các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - nhà toán học, cơ học, vật lý học và thiên văn học. Tác giả của St. 800 bài báo về phân tích toán học, phương trình vi phân, hình học, lý thuyết số, tính toán gần đúng, cơ học thiên thể, toán học, quang học, đạn đạo học, đóng tàu, lý thuyết âm nhạc, vv Ông đã có tác động đáng kể đến sự phát triển của khoa học. Anh ấy suy ra các công thức (công thức Euler) thể hiện hàm lượng giác biến x thông qua một hàm số mũ.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), Nhà toán học Pháp và thợ máy. Ông sở hữu nhiều nghiên cứu xuất sắc, trong số đó có nghiên cứu về đại số (hàm đối xứng của nghiệm nguyên của phương trình, về phương trình vi phân (lý thuyết quyết định đặc biệt, phương pháp biến thiên của hằng số).

J. Lagrange và A. Vandermonde - các nhà toán học người Pháp. Năm 1771, lần đầu tiên phương pháp giải hệ phương trình (phương pháp thay thế) được sử dụng.

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - Nhà toán học người Đức. Đã viết một cuốn sách trình bày lý thuyết về phương trình phân chia vòng tròn (tức là, phương trình xn - 1 = 0), về nhiều mặt là nguyên mẫu của lý thuyết Galois. Ngoại trừ phương pháp phổ biến giải các phương trình này, thiết lập mối liên hệ giữa chúng và việc xây dựng các đa giác đều. Lần đầu tiên sau các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại, ông đã đạt được một bước tiến quan trọng trong vấn đề này, đó là: ông đã tìm thấy tất cả các giá trị của n mà n-gon thường xuyên có thể được xây dựng bằng la bàn và thước kẻ. Đã học cách thêm. Ông kết luận rằng các hệ phương trình có thể được cộng, chia và nhân với nhau.

O. I. Somov - đã làm phong phú thêm các phần khác nhau của toán học với rất nhiều công trình quan trọng, trong số đó có lý thuyết về một số phương trình đại số độ cao hơn.

Galois Evariste (1811-1832), nhà toán học người Pháp. Công lao chính của ông là việc hình thành một tập hợp các ý tưởng, mà ông có liên quan đến việc tiếp tục nghiên cứu về khả năng giải của các phương trình đại số, bắt đầu bởi J. Lagrange, N. Abel và những người khác, đã tạo ra lý thuyết về phương trình đại số cao hơn. độ với một chưa biết.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - Trong tác phẩm của mình, phương pháp hình học gắn liền với Phương pháp phân tích lý thuyết về phương trình vi phân với đạo hàm riêng. Các công trình của ông cũng có tác động đáng kể đến lý thuyết về phương trình vi phân phi tuyến tính.

P. Ruffini - nhà toán học người Ý. Ông đã cống hiến một số công trình để chứng minh tính không thể giải được của phương trình bậc 5, sử dụng một cách có hệ thống tính đóng của tập các phép thay thế.

Mặc dù thực tế là các nhà khoa học đã nghiên cứu các phương trình trong một thời gian dài, nhưng khoa học không biết làm thế nào và khi nào mọi người có nhu cầu sử dụng phương trình. Người ta chỉ biết rằng những bài toán dẫn đến nghiệm của những phương trình đơn giản nhất đã được người ta giải từ khi còn là người. 3 - 4 nghìn năm nữa trước Công nguyên. e. người Ai Cập và người Babylon đã biết cách giải các phương trình. Quy tắc giải các phương trình này trùng với quy tắc hiện đại, nhưng không biết bằng cách nào mà chúng có được đến thời điểm này.

TẠI Ai Cập cổ đại và Babylon, phương pháp vị trí giả đã được sử dụng. Phương trình bậc nhất có một ẩn số luôn có thể thu gọn về dạng ax + b = c, trong đó a, b, c là các số nguyên. Theo các quy tắc các phép tính toán học ax \ u003d c - b,

Nếu b> c thì c b là số âm. Số âm chưa được biết đến đối với người Ai Cập và nhiều dân tộc khác sau này (ngang hàng với số dương chúng bắt đầu được sử dụng trong toán học chỉ vào thế kỷ thứ mười bảy). Để giải quyết các vấn đề mà bây giờ chúng ta giải quyết bằng các phương trình bậc nhất, phương pháp vị trí sai đã được phát minh. Trong tờ giấy cói của Ahmes, 15 vấn đề được giải quyết bằng phương pháp này. Người Ai Cập có một dấu hiệu đặc biệt cho một số chưa biết, mà cho đến gần đây người ta vẫn đọc là "how" và được dịch bởi từ "heap" ("đống" hoặc "số đơn vị không xác định"). Bây giờ họ đọc ít chính xác hơn một chút: "aha." Phương pháp giải được sử dụng bởi Ahmes được gọi là phương pháp một vị trí sai. Sử dụng phương pháp này, các phương trình dạng ax = b được giải. Phương pháp này bao gồm việc chia mỗi vế của phương trình cho a. Nó đã được sử dụng bởi cả người Ai Cập và người Babylon. Tại các dân tộc khác nhau phương pháp của hai vị trí sai đã được sử dụng. Người Ả Rập đã cơ giới hóa phương pháp này và đưa nó vào sách giáo khoa của các dân tộc châu Âu, bao gồm cả Số học của Magnitsky. Magnitsky gọi phương pháp giải là "quy tắc sai" và viết trong phần của cuốn sách của mình để giải thích phương pháp này:

Zelo bo cunning là phần này, giống như bạn có thể đặt mọi thứ với nó. Không chỉ những gì thuộc về quyền công dân, Mà còn các khoa học cao hơn trong không gian, Ngay cả được liệt kê trong lãnh vực của trời, Giống như người khôn ngoan có nhu cầu.

Nội dung các bài thơ của Magnitsky có thể tóm tắt như sau: phần số học này rất lắt léo. Với sự trợ giúp của nó, bạn không chỉ có thể tính toán những gì cần thiết trong thực hành hàng ngày, mà còn giải quyết các câu hỏi “cao hơn” mà “người khôn ngoan” phải đối mặt. Magnitsky sử dụng một "quy tắc sai" theo hình thức mà người Ả Rập đặt cho nó, gọi nó là "số học của hai lỗi" hoặc "phương pháp trọng số." Các nhà toán học Ấn Độ thường đưa ra các bài toán trong câu. Thử thách hoa sen:

Phía trên mặt hồ yên tĩnh, cách mặt nước nửa thước, màu Hoa sen hiện ra. Anh ấy lớn lên một mình, và gió trong sóng đã bẻ cong anh ấy sang một bên, và không còn

Hoa ở trên mặt nước. Tìm thấy mắt người đánh cá của mình Hai thước đo từ nơi anh ta lớn lên. Nước ở đây sâu bao nhiêu hồ? Tôi sẽ cung cấp cho bạn một câu hỏi.

Các loại phương trình

Các phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính là phương trình có dạng: ax + b = 0, trong đó a và b là một số hằng số. Nếu a không bằng 0 thì phương trình có một căn duy nhất: x \ u003d - b: a (ax + b; ax \ u003d - b; x \ u003d - b: a.).

Ví dụ: giải quyết phương trình đường thẳng: 4x + 12 = 0.

Lời giải: T. thành a \ u003d 4 và b \ u003d 12, sau đó x \ u003d - 12: 4; x = - 3.

Kiểm tra: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Vì k 0 = 0 nên -3 là nghiệm của phương trình ban đầu.

Trả lời. x = -3

Nếu a bằng 0 và b bằng 0 thì nghiệm nguyên của phương trình ax + b = 0 là một số bất kỳ.

Ví dụ:

0 = 0. Vì 0 là 0 nên nghiệm nguyên 0x + 0 = 0 là một số bất kỳ.

Nếu a bằng 0 và b không bằng 0 thì phương trình ax + b = 0 không có nghiệm nguyên.

Ví dụ:

0 \ u003d 6. Vì 0 không bằng 6 nên 0x - 6 \ u003d 0 không có nghiệm nguyên.

Hệ phương trình tuyến tính.

Một hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống trong đó tất cả các phương trình là tuyến tính.

Để giải quyết một hệ thống có nghĩa là tìm tất cả các giải pháp của nó.

Trước khi giải một hệ phương trình tuyến tính, bạn có thể xác định số nghiệm của nó.

Cho hệ phương trình đã cho: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

Nếu a1 chia cho a2 không bằng b1 chia cho b2 thì hệ có một nghiệm duy nhất.

Nếu a1 chia cho a2 được bằng b1 chia cho b2 mà bằng c1 chia cho c2 thì hệ không có nghiệm.

Nếu a1 chia cho a2 bằng b1 chia cho b2 và bằng c1 chia cho c2 thì hệ có vô số nghiệm.

Hệ phương trình có ít nhất một nghiệm được gọi là nhất quán.

Một hệ thống liên kết được gọi là xác định nếu nó có số giới hạn giải pháp và không xác định nếu tập hợp các giải pháp của nó là vô hạn.

Một hệ thống không có một giải pháp duy nhất được gọi là không nhất quán hoặc không nhất quán.

Các cách giải hệ phương trình tuyến tính

Có một số cách để giải phương trình tuyến tính:

1) Phương pháp tuyển chọn. Cái này là nhất cách đơn giản nhất. Nó bao gồm thực tế là họ chọn tất cả giá trị cho phép không xác định bằng cách liệt kê.

Ví dụ:

Giải phương trình.

Cho x = 1. Khi đó

4 = 6. Vì 4 không bằng 6 nên giả thiết x = 1 của chúng ta là không chính xác.

Cho x = 2.

6 = 6. Vì 6 bằng 6 nên giả thiết x = 2 của chúng ta là đúng.

Đáp số: x = 2.

2) Cách đơn giản hóa

Phương pháp này nằm ở chỗ tất cả các phần tử chứa cái chưa biết được chuyển sang bên trái và được biết ở bên phải với dấu hiệu ngược lại, đưa ra những cái tương tự, và chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của ẩn số.

Ví dụ:

Giải phương trình.

5x - 4 \ u003d 11 + 2x;

5x - 2x \ u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Trả lời. x = 5.

3) Cách đồ thị.

Nó bao gồm thực tế là một đồ thị của các hàm được xây dựng phương trình đã cho. Bởi vì trong phương trình tuyến tính y \ u003d 0, khi đó đồ thị sẽ song song với trục y. Giao điểm của đồ thị với trục x sẽ là nghiệm của phương trình này.

Ví dụ:

Giải phương trình.

Cho y = 7. Khi đó y = 2x + 3.

Hãy xây dựng đồ thị của hàm số của cả hai phương trình:

Các cách giải hệ phương trình tuyến tính

Ở lớp bảy, ba cách giải hệ phương trình được học:

1) Phương pháp thay thế.

Phương pháp này bao gồm thực tế là trong một trong các phương trình, một ẩn số được biểu diễn dưới dạng một ẩn số khác. Biểu thức kết quả được thay thế vào một phương trình khác, sau đó biến thành một phương trình với một ẩn số, sau đó nó được giải. Giá trị kết quả của ẩn số này được thay thế vào bất kỳ phương trình nào của hệ ban đầu và giá trị của ẩn số thứ hai được tìm thấy.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y \ u003d 4 - 3x.

Thay biểu thức kết quả thành một phương trình khác:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \ u003d 1;

5x - 8 + 6x \ u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Thay giá trị kết quả vào phương trình 3x + y \ u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \ u003d 4 - 3; y = 1.

Kiểm tra.

/ 3 1 + 1 = 4,

\ 5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Đáp số: x = 1; y = 1.

2) Phương pháp cộng.

Phương pháp này là nếu hệ thống này bao gồm các phương trình mà khi thêm số hạng theo số hạng, tạo thành một phương trình với một ẩn số, sau đó bằng cách giải phương trình này, chúng ta sẽ nhận được giá trị của một trong các ẩn số. Giá trị kết quả của ẩn số này được thay thế vào bất kỳ phương trình nào của hệ ban đầu và giá trị của ẩn số thứ hai được tìm thấy.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình.

/ 3 năm - 2x \ u003d 5,

\ 5x - 3 năm \ u003d 4.

Hãy giải phương trình kết quả.

3x = 9; : (3) x = 3.

Hãy thay giá trị thu được vào phương trình 3y - 2x = 5.

3y - 2 3 = 5;

3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Vậy x = 3; y = 3 2/3.

Kiểm tra.

11/3 - 2 3 = 5,

\ 5 3 - 3 11/3 = 4;

Trả lời. x = 3; y = 3 2/3

3) Cách đồ thị.

Phương pháp này dựa trên thực tế là các đồ thị của phương trình được vẽ trong một hệ tọa độ. Nếu các đồ thị của phương trình cắt nhau thì tọa độ của giao điểm là nghiệm của hệ này. Nếu đồ thị của phương trình là những đường thẳng song song thì hệ đã cho không có nghiệm. Nếu đồ thị của phương trình hợp thành một đường thẳng thì hệ có vô số nghiệm.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y \ u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y \ u003d 5 - 2x; 3y \ u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Ta dựng đồ thị của các hàm số y \ u003d 2x - 5 và y \ u003d 3 - 6x trên cùng một hệ trục tọa độ.

Đồ thị của các hàm số y \ u003d 2x - 5 và y \ u003d 3 - 6x cắt nhau tại điểm A (1; -3).

Do đó, nghiệm của hệ phương trình này sẽ là x = 1 và y = -3.

Kiểm tra.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Trả lời. x = 1; y = -3.

Sự kết luận

Dựa trên tất cả những điều trên, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình là cần thiết trong thế giới hiện đại không chỉ để giải quyết các vấn đề thực tiễn, mà còn là một công cụ khoa học. Vì vậy, đã có rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu về vấn đề này và tiếp tục nghiên cứu.

Bộ tổng hợp và giáo dục nghề nghiệp RF

Cơ sở giáo dục thành phố

Nhà thi đấu số 12

viết

về chủ đề: Phương trình và cách giải

Đã hoàn thành: học sinh lớp 10 "A"

Krutko Evgeny

Kiểm tra: giáo viên toán học Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Kế hoạch................................................. ... ............................... một

Giới thiệu: ................................................... ...................................................... ....................... 2

Phần chính................................................ ... .............. 3

Sự kết luận................................................. ... ................ 25

Ruột thừa................................................. ... ............... 26

Danh sách tài liệu tham khảo ... ...................................................... ... 29

Kế hoạch.

Giới thiệu.

Tài liệu tham khảo lịch sử.

Các phương trình. Phương trình đại số.

a) Các định nghĩa cơ bản.

b) Phương trình tuyến tính và cách giải.

c) Phương trình bậc hai và phương pháp giải nó.

d) Phương trình hai số hạng, cách giải.

e) Phương trình khối và cách giải quyết.

e) Phương trình bậc hai và làm thế nào để giải quyết nó.

g) Phương trình bậc 4 và phương pháp giải.

g) Phương trình hoành độ và phương trình từ giải.

h) Phương trình đại số hữu tỉ và phương pháp của nó

và) Phương trình vô tỉ và cách giải quyết.

j) Phương trình chứa ẩn dưới dấu.

giá trị tuyệt đối và cách giải quyết nó.

Phương trình siêu nghiệm.

một) phương trình mũ và làm thế nào để giải quyết chúng.

b) Phương trình lôgarit và làm thế nào để giải quyết chúng.

Giới thiệu

Giáo dục toán học nhận được trong trường giáo dục phổ thông, là một thành phần thiết yếu giáo dục phổ thông và văn hóa chung người đàn ông hiện đại. Hầu hết mọi thứ xung quanh một người hiện đại đều được kết nối theo cách này hay cách khác với toán học. NHƯNG thành tích gần đây trong vật lý, công nghệ và công nghệ thông tin không để lại nghi ngờ rằng mọi thứ sẽ vẫn như vậy trong tương lai. Do đó, giải pháp của nhiều vấn đề thực tế được giảm xuống để giải quyết các loại phương trình để học cách giải.

Công trình này là một nỗ lực nhằm khái quát hóa và hệ thống hóa các tài liệu đã nghiên cứu về chủ đề trên. Tôi đã sắp xếp tài liệu theo mức độ phức tạp của nó, bắt đầu từ cái đơn giản nhất. Nó bao gồm cả các loại phương trình mà chúng ta đã biết từ khóa học đại số ở trường, và tài liệu bổ sung. Đồng thời, tôi cố gắng chỉ ra những dạng phương trình không được học trong chương trình học ở trường, nhưng những kiến ​​thức có thể cần thiết khi bước vào bậc học cao hơn. cơ sở giáo dục. Trong công việc của mình, khi giải phương trình, tôi không chỉ giới hạn ở một nghiệm thực mà còn chỉ ra một nghiệm phức, vì tôi tin rằng nếu không thì phương trình đơn giản là không giải được. Xét cho cùng, nếu không có nghiệm nguyên trong phương trình, thì điều này không có nghĩa là nó không có nghiệm. Rất tiếc, do không có thời gian nên tôi không thể trình bày hết những tài liệu tôi có, nhưng ngay cả với những tài liệu được trình bày ở đây, nhiều câu hỏi có thể nảy sinh. Tôi hy vọng rằng kiến ​​thức của tôi là đủ để trả lời hầu hết các câu hỏi. Vì vậy, tôi sẽ trình bày tài liệu.

Toán học ... tiết lộ trật tự

đối xứng và chắc chắn,

và đây là loài quan trọng nhất xinh đẹp.

Aristotle.

Tài liệu tham khảo lịch sử

Vào thời xa xôi đó, khi các nhà thông thái lần đầu tiên bắt đầu nghĩ về những vật bằng nhau chứa những số lượng chưa biết, có lẽ vẫn chưa có tiền xu hay ví tiền. Nhưng mặt khác, có những đống, cũng như chậu, giỏ, những thứ hoàn hảo cho vai trò của kho lưu trữ chứa một số lượng không xác định các mặt hàng. "Chúng tôi đang tìm kiếm một đống, cùng với 2/3 trong số đó, một nửa rưỡi, là 37 ...", - ông dạy vào thiên niên kỷ II trước Công nguyên. kỷ nguyên mới Người ghi chép Ai Cập Ahmes. Thời cổ đại vấn đề toán học Lưỡng Hà, Ấn Độ, Trung Quốc, Hy Lạp, số lượng chưa biết thể hiện số lượng chim công trong vườn, số lượng bò đực trong đàn, tổng số những thứ được tính đến khi phân chia tài sản. Những người ghi chép, các quan chức và các thầy tế lễ bắt đầu vào kiến ​​thức bí mật, được đào tạo tốt về khoa học đếm, đối phó với các nhiệm vụ đó khá thành công.

Các nguồn cung cấp cho chúng tôi chỉ ra rằng các nhà khoa học cổ đại sở hữu một số phương pháp chung để giải các bài toán với số lượng chưa biết. Tuy nhiên, không một tờ giấy cói nào, không một viên đất sét nào đưa ra mô tả về những kỹ thuật này. Các tác giả chỉ thỉnh thoảng cung cấp các phép tính số của họ với những bình luận ác ý như: "Nhìn kìa!", "Làm đi!", "Bạn thấy nó đúng." Theo nghĩa này, ngoại lệ là "Số học" của nhà toán học Hy Lạp Diophantus ở Alexandria (thế kỷ III) - một bộ sưu tập các bài toán biên soạn phương trình với cách trình bày có hệ thống các nghiệm của chúng.

Tuy nhiên, công trình của học giả Baghdad vào thế kỷ thứ 9 đã trở thành cẩm nang giải các bài toán đầu tiên được biết đến rộng rãi. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Từ "al-jabr" từ tiêu đề tiếng Ả Rập của luận thuyết này - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Cuốn sách của sự phục hồi và tương phản") - theo thời gian đã biến thành từ "đại số", được mọi người biết đến, và bản thân công việc của al-Khwarizmi đã đóng vai trò là điểm khởi đầu trong sự phát triển của khoa học giải phương trình.

các phương trình. Phương trình đại số

Định nghĩa cơ bản

Trong đại số, người ta coi hai loại bằng nhau - đồng dạng và phương trình.

Xác thực là một bình đẳng giữ cho tất cả các giá trị (có thể chấp nhận được) của các chữ cái). Viết danh tính cùng với dấu hiệu

dấu hiệu cũng được sử dụng.

Phương trình- đây là một đẳng thức chỉ được thỏa mãn đối với một số giá trị của các chữ cái có trong nó. Các chữ cái có trong phương trình, theo điều kiện của bài toán, có thể không bằng nhau: một số có thể nhận tất cả các giá trị cho phép của chúng (chúng được gọi là thông số hoặc hệ số phương trình và thường được ký hiệu bằng các chữ cái đầu tiên Bảng chữ cái Latinh:

,, ... - hoặc các chữ cái giống nhau, được cung cấp với các chỉ số:,, ... hoặc, ...); những người khác có giá trị cần tìm được gọi là không xác định(chúng thường được ký hiệu bằng các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái Latinh:,,, ... - hoặc bằng các chữ cái giống nhau, được cung cấp với các chỉ số:,, ... hoặc, ...).

Nói chung, phương trình có thể được viết như sau:

(, , ..., ).

Tùy thuộc vào số ẩn số, phương trình được gọi là phương trình có một, hai, v.v. ẩn số.

Thông thường, phương trình xuất hiện trong các bài toán trong đó nó được yêu cầu để tìm một giá trị nhất định. Phương trình cho phép chúng ta hình thành vấn đề bằng ngôn ngữ đại số. Bằng cách giải phương trình, chúng ta nhận được giá trị của đại lượng mong muốn, đại lượng này được gọi là ẩn số. “Andrey có một vài rúp trong ví của anh ấy. Nếu bạn nhân số này với 2 rồi trừ đi 5, bạn được 10. Andrey có bao nhiêu tiền? ” Hãy ký hiệu số tiền chưa biết là x và viết phương trình: 2x-5 = 10.

Nói về cách giải phương trình, trước tiên bạn cần xác định các khái niệm cơ bản và làm quen với ký hiệu được chấp nhận chung. Vì các loại khác nhau có nhiều thuật toán khác nhau để giải chúng. Phương trình bậc nhất có một ẩn số là phương trình dễ giải nhất. Nhiều bạn từ trường đã quen thuộc với công thức giải phương trình bậc hai. thủ thuật toán học cao hơn giúp giải quyết các phương trình bậc cao. Tập hợp các số mà một phương trình được xác định có liên quan chặt chẽ với các nghiệm của nó. Mối quan hệ giữa phương trình và đồ thị hàm số cũng rất thú vị, vì biểu diễn của phương trình trong dạng đồ họa giúp đỡ họ rất nhiều.

Sự miêu tả. Phương trình là một phương trình toán học có một hoặc nhiều ẩn số, chẳng hạn như 2x + 3y = 0.

Các biểu thức ở hai bên của dấu bằng được gọi là vế trái và vế phải của phương trình. Các chữ cái trong bảng chữ cái Latinh biểu thị những ẩn số. Mặc dù có thể có bất kỳ số ẩn số nào, nhưng sau đây chúng ta sẽ chỉ nói về phương trình với một ẩn số, mà chúng ta sẽ ký hiệu là x.

Bằng phương trình là công suất lớn nhất mà ẩn số được nâng lên. Ví dụ,
$ 3x ^ 4 + 6x-1 = 0 $ là phương trình bậc 4, $ x-4x ^ 2 + 6x = 8 $ là phương trình bậc hai.

Các số mà ẩn số được nhân được gọi là hệ số. Trong ví dụ trước, ẩn số của lũy thừa thứ tư có hệ số là 3. Nếu, khi x được thay bằng số này, bình đẳng đưa ra, thì chúng ta nói rằng con số này thỏa mãn phương trình. Nó được gọi là nghiệm của phương trình, hoặc gốc của nó. Ví dụ, 3 là nghiệm của phương trình 2x + 8 = 14, vì 2 * 3 + 8 = 6 + 8 = 14.

Giải phương trình. Giả sử chúng ta muốn giải phương trình 2x + 5 = 11.

Bạn có thể thay thế bất kỳ giá trị x nào vào nó, ví dụ: x = 2. Thay x bằng 2 ta được: 2 * 2 + 5 = 4 + 5 = 9.

Có điều gì đó không ổn ở đây, bởi vì ở vế phải của phương trình, chúng ta nên có 11. Hãy thử x = 3: 2 * 3 + 5 = 6 + 5 = 11.

Câu trả lời là chính xác. Nó chỉ ra rằng nếu ẩn số nhận giá trị 3, thì bình đẳng giữ. Do đó, chúng tôi đã chỉ ra rằng số 3 là nghiệm của phương trình.

Cách chúng tôi sử dụng để giải phương trình này được gọi là phương pháp lựa chọn. Rõ ràng, nó là bất tiện khi sử dụng. Hơn nữa, nó thậm chí không thể được gọi là một phương pháp. Để xác minh điều này, chỉ cần thử áp dụng nó vào một phương trình có dạng $ x ^ 4-5x ^ 2 + 16 = 2365 $ là đủ.

Phương pháp giải pháp. Khi có cái gọi là "quy tắc của trò chơi", sẽ rất hữu ích để bạn làm quen với nó. Mục tiêu của chúng ta là xác định giá trị của ẩn số thỏa mãn phương trình. Vì vậy, cần phải cách ly cái chưa biết bằng một cách nào đó. Để làm được điều này, cần phải chuyển các số hạng của phương trình từ phần này sang phần khác. Quy tắc đầu tiên để giải phương trình là ...

1. Khi chuyển một số hạng của phương trình từ phần này sang phần khác, dấu của nó chuyển thành ngược lại: cộng chuyển thành trừ và ngược lại. Hãy xem xét phương trình 2x + 5 = 11 làm ví dụ. Di chuyển 5 từ trái sang phải: 2x = 11-5. Phương trình sẽ có dạng 2x = 6.

Hãy chuyển sang quy tắc thứ hai.
2. Cả hai vế của phương trình đều có thể nhân và chia cho một số khác không. Hãy áp dụng quy tắc này cho phương trình của chúng ta: $ x = \ frac62 = 3 $. Ở vế trái của đẳng thức, chỉ còn lại x chưa biết, do đó, chúng ta tìm giá trị của nó và giải phương trình.

Chúng tôi vừa mới xem xét vấn đề đơn giản nhất - phương trình tuyến tính với một ẩn số. Các phương trình dạng này luôn có nghiệm, hơn nữa, chúng luôn có thể được giải bằng các phép toán đơn giản nhất: cộng, trừ, nhân và chia. Than ôi, không phải tất cả các phương trình đều đơn giản. Hơn nữa, mức độ phức tạp của chúng tăng lên rất nhanh. Ví dụ, bất kỳ học sinh nào cũng có thể dễ dàng giải được các phương trình ở bậc hai Trung học phổ thông, nhưng các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính hoặc hệ phương trình bậc cao chỉ được nghiên cứu ở trường phổ thông.

Và như vậy, thật hợp lý khi làm quen với các phương trình dạng khác. Tiếp theo trong hàng là Các phương trình tuyến tính, nghiên cứu có mục đích bắt đầu từ các bài học đại số ở lớp 7.

Rõ ràng là trước tiên bạn cần giải thích phương trình tuyến tính là gì, đưa ra định nghĩa về phương trình tuyến tính, các hệ số của nó, chỉ ra hình thức chung. Sau đó, bạn có thể tìm ra bao nhiêu nghiệm của một phương trình tuyến tính tùy thuộc vào giá trị của các hệ số và cách tìm nghiệm của nghiệm. Điều này sẽ cho phép bạn chuyển sang giải các ví dụ, và do đó củng cố lý thuyết đã học. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ làm điều này: chúng tôi sẽ đi sâu vào chi tiết tất cả các điểm lý thuyết và thực tế liên quan đến phương trình tuyến tính và nghiệm của chúng.

Hãy nói ngay rằng ở đây chúng ta sẽ chỉ xét phương trình tuyến tính với một biến, và trong một bài viết riêng, chúng ta sẽ nghiên cứu các nguyên tắc giải phương trình tuyến tính trong hai biến.

Điều hướng trang.

Một phương trình tuyến tính là gì?

Định nghĩa của một phương trình tuyến tính được đưa ra dưới dạng ký hiệu của nó. Hơn nữa, trong các sách giáo khoa toán và đại số khác nhau, việc xây dựng các định nghĩa của hệ phương trình tuyến tính có một số khác biệt nhưng không ảnh hưởng đến bản chất của vấn đề.

Ví dụ, trong sách giáo khoa đại số lớp 7 của Yu N. Makarycheva và những người khác, một phương trình tuyến tính được định nghĩa như sau:

Sự định nghĩa.

Loại phương trình ax = b, trong đó x là một biến, a và b là một số số, được gọi là phương trình tuyến tính với một biến.

Hãy để chúng tôi đưa ra các ví dụ về phương trình tuyến tính tương ứng với định nghĩa vô thanh. Ví dụ, 5 x = 10 là một phương trình tuyến tính với một biến x, ở đây hệ số a là 5 và số b là 10. Một ví dụ khác: −2.3 y = 0 cũng là một phương trình tuyến tính, nhưng với biến y, trong đó a = −2.3 và b = 0. Và trong các phương trình tuyến tính x = −2 và −x = 3,33 a không có mặt rõ ràng và tương ứng bằng 1 và −1, trong khi ở phương trình thứ nhất b = −2 và ở phương trình thứ hai - b = 3,33.

Và một năm trước đó, trong sách giáo khoa toán học của N. Ya. Vilenkin, phương trình tuyến tính với một ẩn số, ngoài phương trình có dạng a x = b, cũng được coi là phương trình có thể rút gọn về dạng này bằng cách chuyển các số hạng từ một một phần của phương trình thành một phần khác có dấu ngược lại, cũng như với sự trợ giúp của phép ép kiểu các điều khoản tương tự. Theo định nghĩa này, phương trình có dạng 5 x = 2 x + 6, v.v. cũng là tuyến tính.

Lần lượt, định nghĩa sau đây được đưa ra trong sách giáo khoa đại số 7 lớp của A. G. Mordkovich:

Sự định nghĩa.

Phương trình tuyến tính với một biến x là một phương trình có dạng a x + b = 0, trong đó a và b là một số số, được gọi là các hệ số của phương trình tuyến tính.

Ví dụ, phương trình tuyến tính loại này là 2 x − 12 = 0, ở đây hệ số a bằng 2, và b bằng −12, và 0,2 y + 4,6 = 0 với các hệ số a = 0,2 và b = 4,6. Nhưng đồng thời, có những ví dụ về phương trình tuyến tính có dạng không phải là a x + b = 0, mà là a x = b, ví dụ, 3 x = 12.

Hãy để chúng ta không có bất kỳ sự khác biệt nào trong tương lai, dưới một phương trình tuyến tính với một biến x và các hệ số a và b, chúng ta sẽ hiểu một phương trình có dạng a x + b = 0. Loại phương trình tuyến tính này dường như là hợp lý nhất, vì phương trình tuyến tính là phương trình đại số mức độ đầu tiên. Và tất cả các phương trình khác ở trên, cũng như các phương trình sử dụng phép biến đổi tương đươngđược rút gọn về dạng a x + b = 0, chúng ta sẽ gọi phương trình giảm thành phương trình tuyến tính. Với cách tiếp cận này, phương trình 2 x + 6 = 0 là một phương trình tuyến tính và 2 x = −6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12, v.v. là các phương trình tuyến tính.

Làm thế nào để giải quyết các phương trình tuyến tính?

Bây giờ đã đến lúc tìm ra cách giải phương trình tuyến tính a x + b = 0. Nói cách khác, đã đến lúc tìm xem phương trình tuyến tính có nghiệm nguyên hay không, và nếu có thì có bao nhiêu nghiệm và cách tìm chúng.

Sự hiện diện của nghiệm nguyên của một phương trình tuyến tính phụ thuộc vào giá trị của các hệ số a và b. Trong trường hợp này, phương trình tuyến tính a x + b = 0 có

• căn duy nhất tại a ≠ 0,
• không có căn nào cho a = 0 và b ≠ 0,
• có vô số nghiệm nguyên đối với a = 0 và b = 0, trong trường hợp này bất kỳ số nào cũng là nghiệm nguyên của một phương trình tuyến tính.

Hãy để chúng tôi giải thích cách thu được những kết quả này.

Chúng ta biết rằng để giải phương trình, có thể chuyển từ phương trình ban đầu sang phương trình tương đương, nghĩa là phương trình có cùng nghiệm nguyên hoặc giống phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:

• chuyển một số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình với dấu ngược lại,
• và cũng nhân hoặc chia cả hai vế của phương trình với cùng một số khác không.

Vì vậy, trong một phương trình tuyến tính với một loại biến a x + b = 0 chúng ta có thể chuyển số hạng b từ vế trái sang bên phải với dấu hiệu ngược lại. Trong trường hợp này, phương trình sẽ có dạng a x = −b.

Và sau đó phép chia cả hai phần của phương trình cho số a tự nó gợi ý. Nhưng có một điều: số a có thể bằng không, trong trường hợp đó, một phép chia như vậy là không thể. Để giải quyết vấn đề này, trước tiên chúng ta sẽ giả định rằng số a khác 0, và xem xét trường hợp số 0 một cách riêng biệt sau đó một chút.

Vì vậy, khi a không bằng 0, thì chúng ta có thể chia cả hai phần của phương trình a x = −b cho a, sau đó nó được chuyển thành dạng x = (- b): a, kết quả này có thể được viết bằng cách sử dụng a đường liền nét như.

Do đó, với a ≠ 0, phương trình tuyến tính a · x + b = 0 tương đương với phương trình mà từ đó có thể nhìn thấy nghiệm gốc của nó.

Dễ dàng chứng tỏ rằng căn này là duy nhất, tức là phương trình tuyến tính không có căn nào khác. Điều này cho phép bạn làm theo phương pháp ngược lại.

Hãy biểu thị gốc là x 1. Giả sử rằng có một nghiệm nguyên khác của phương trình tuyến tính, mà chúng ta ký hiệu là x 2 và x 2 ≠ x 1, do định nghĩa số lượng bằng nhau thông qua sự khác biệt tương đương với điều kiện x 1 - x 2 ≠ 0. Vì x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình tuyến tính a x + b = 0 nên các số a x 1 + b = 0 và a x 2 + b = 0 xảy ra. Chúng ta có thể trừ các phần tương ứng của các giá trị bằng nhau này, điều mà các tính chất của các bình đẳng số cho phép chúng ta thực hiện, chúng ta có a x 1 + b− (a x 2 + b) = 0−0, khi đó a (x 1 −x 2) + ( b − b) = 0 và khi đó a (x 1 - x 2) = 0. Và đẳng thức này là không thể, vì cả a ≠ 0 và x 1 - x 2 ≠ 0. Vì vậy, chúng ta đã đi đến một mâu thuẫn, chứng minh tính duy nhất của nghiệm nguyên của phương trình tuyến tính a · x + b = 0 với a ≠ 0.

Như vậy ta đã giải được phương trình tuyến tính a x + b = 0 với a ≠ 0. Kết quả đầu tiên được đưa ra ở phần đầu của tiểu mục này là chính đáng. Có hai nữa thỏa mãn điều kiện a = 0.

Với a = 0, phương trình tuyến tính a · x + b = 0 trở thành 0 · x + b = 0. Từ phương trình này và tính chất của phép nhân các số với không, ta thấy rằng bất kể chúng ta lấy x là số nào, khi chúng ta thay nó vào phương trình 0 x + b = 0, chúng ta nhận được đẳng thức số b = 0. Đẳng thức này đúng khi b = 0, và trong các trường hợp khác khi b ≠ 0 đẳng thức này sai.

Do đó, với a = 0 và b = 0, một số bất kỳ là căn của phương trình tuyến tính a x + b = 0, vì trong các điều kiện này, thay một số bất kỳ thay cho x sẽ cho đúng đẳng thức số 0 = 0. Và đối với a = 0 và b ≠ 0, phương trình tuyến tính a x + b = 0 không có nghiệm nguyên, vì trong các điều kiện này, việc thay một số bất kỳ thay cho x sẽ dẫn đến một đẳng thức số không chính xác b = 0.

Các lý giải trên giúp ta có thể hình thành một chuỗi các hành động cho phép giải bất kỳ phương trình tuyến tính nào. Cho nên, thuật toán giải một phương trình tuyến tính Là:

• Đầu tiên, bằng cách viết một phương trình tuyến tính, chúng ta tìm giá trị của các hệ số a và b.
• Nếu a = 0 và b = 0, thì phương trình này có vô số nghiệm, cụ thể là một số bất kỳ là một nghiệm của phương trình tuyến tính này.
• Nếu a khác 0, thì
• hệ số b được chuyển sang vế phải trái dấu, trong khi phương trình tuyến tính được biến đổi về dạng a x = −b,
• sau đó cả hai phần của phương trình kết quả được chia cho một số khác không a, số này cho nghiệm nguyên mong muốn của phương trình tuyến tính ban đầu.

Thuật toán được viết là một câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi làm thế nào để giải các phương trình tuyến tính.

Trong phần kết luận của đoạn này, điều đáng nói là một thuật toán tương tự được sử dụng để giải các phương trình dạng a x = b. Sự khác biệt của nó nằm ở chỗ khi a ≠ 0, cả hai phần của phương trình ngay lập tức được chia cho số này, ở đây b đã nằm trong phần mong muốn của phương trình và nó không cần phải chuyển.

Để giải phương trình dạng a x = b, thuật toán sau được sử dụng:

• Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm là hợp số bất kỳ.
• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình ban đầu vô nghiệm.
• Nếu a khác không, thì cả hai vế của phương trình được chia cho một số khác không a, từ đó căn duy nhất của phương trình bằng b / a được tìm thấy.

Ví dụ về giải phương trình tuyến tính

Hãy chuyển sang thực hành. Hãy cùng chúng tôi phân tích cách áp dụng thuật toán giải phương trình tuyến tính. Hãy để chúng tôi trình bày các giải pháp của các ví dụ điển hình tương ứng với những nghĩa khác nhau hệ số của phương trình tuyến tính.

Ví dụ.

Giải phương trình tuyến tính 0 x − 0 = 0.

Quyết định.

Trong phương trình tuyến tính này, a = 0 và b = −0, giống với b = 0. Do đó, phương trình này có vô số nghiệm, một số bất kỳ là nghiệm của phương trình này.

Trả lời:

x là số bất kỳ.

Ví dụ.

Phương trình tuyến tính 0 x + 2.7 = 0 có nghiệm không?

Quyết định.

TẠI trường hợp này hệ số a bằng 0 và hệ số b của phương trình tuyến tính này bằng 2,7, nghĩa là nó khác 0. Do đó, phương trình tuyến tính không có nghiệm nguyên.