Ebatraditsiooniliste meetoditega lahendatud irratsionaalsete, trigonomeetriliste, logaritmiliste ja muude võrrandite lahendamise näited. Funktsiooni peamised omadused

Avaldamise kuupäev: 2016-03-23

Lühike kirjeldus: ...

NÄITED VÕRRANDITE LAHENDAMISEKS MÕNE ORIGINAALTEHNIKA KASUTAMISE KOHTA.

1
. Otsus irratsionaalsed võrrandid.

1.1.1 Lahenda võrrand .

Pange tähele, et x-i märgid radikaali all on erinevad. Tutvustame tähistust

, .

Siis

Teostame võrrandi mõlema osa terminikaupa liitmise.

Ja meil on võrrandisüsteem

Sest a + b = 4, siis

Z on järgmine: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Vastus: x \u003d 1.

1.1.2. Lahenda võrrand .

Tutvustame tähistust: , ; , .

Tähendab:

Lisades termini haaval võrrandite vasaku ja parema külje, saame .

Ja meil on võrrandisüsteem

a + b = 2, , , ,

Tuleme tagasi võrrandisüsteemi juurde:

, .

Olles lahendanud võrrandi (ab) jaoks, saame ab = 9, ab = -1 (-1 kõrvaline juur, sest , .).

See süsteem ei ole lahendusi, seega pole ka algsel võrrandil lahendust.

Vastus: lahendusi pole.

Tutvustame tähistust , kus . Siis,.

, ,

Mõelge kolmele juhtumile:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [ 0; 1). [ üks ; 2). a = 2.

Lahendus: [ 1 ; 2].

Kui a , siis , , .

Vastus: .

1.2. Vasaku ja parema osa hindamise meetod (majormeetod).

Peamine meetod on funktsiooni piirituse leidmise meetod.

Majoriseerimine – funktsiooni piirangupunktide leidmine. M on majorant.

Kui meil on f(x) = g(x) ja ODZ on teada ja kui

, , siis

ODZ: .

Kaaluge parem pool võrrandid.

Tutvustame funktsiooni . Graafik on parabool tipuga A(3 ; 2).

Funktsiooni y(3) = 2 väikseim väärtus, s.o.

Vaatleme võrrandi vasakut külge.

Tutvustame funktsiooni . Tuletist kasutades on lihtne leida x  (2 ; 4) diferentseeruva funktsiooni maksimum.

Kell ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Meil on .

Selle tulemusena , siis

Koostame ülaltoodud tingimuste alusel võrrandisüsteemi:

Lahendades süsteemi esimese võrrandi, saame x = 3. Asendades selle väärtuse teise võrrandiga, veendume, et x = 3 on süsteemi lahendus.

Vastus: x = 3.

1.3. Funktsiooni monotoonsuse rakendamine.

1.3.1. Lahenda võrrand:

DZ kohta: , sest  .

On teada, et suurenevate funktsioonide summa on kasvav funktsioon.

Vasak pool on kasvav funktsioon. Parem pool on lineaarfunktsioon (k=0). Graafiline tõlgendus viitab sellele, et juur on ainulaadne. Leiame selle valiku teel, meil on x = 1.

Tõestus:

Oletame, et juur x 1 on suurem kui 1, siis

Sest x 1 > 1,

.Me järeldame, et ühest suuremaid juuri pole olemas.

Samamoodi saab tõestada, et pole ühtegi juurt vähem kui üks.

Seega on x=1 ainus juur.

Vastus: x = 1.

1.3.2. Lahenda võrrand:

Umbes DZ: [ 0,5 ; + ), sest need. .

Teisendame võrrandi,

Vasak pool on kasvav funktsioon (kasvavate funktsioonide korrutis), parem pool on lineaarfunktsioon (k = 0). Geomeetriline tõlgendus näitab, et algsel võrrandil peab olema üks juur, mille saab leida sobitamise teel, x = 7.

Eksam:

Saab tõestada, et muid juuri pole (vt ülaltoodud näidet).

Vastus: x = 7.

2. Logaritmvõrrandid.

2.1.1. Lahenda võrrand: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Hindame võrrandi vasakut poolt.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Seejärel logi 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Hindame võrrandi paremat külge.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

Algsel võrrandil saab olla lahendus ainult siis, kui mõlemad pooled on võrdsed neljaga.

Tähendab

Vastus: x = 1.

Sest iseseisev töö.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Vastus: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Vastus: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Vastus: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Vastus: x \u003d 3.

2.2. Funktsiooni monotoonsust kasutades juurte valik.

2.2.1. Lahenda võrrand: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Teeme muudatuse 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Siis x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, siis

log 2 t = 20 - t .

Funktsioon y = log 2 t kasvab ja funktsioon y = 20 - t kahaneb. Geomeetriline tõlgendus annab meile mõista, et algsel võrrandil on üks juur, mida ei ole raske leida, valides t = 16.

Lahendades võrrandi 2x - x 2 + 15 = 16, leiame, et x = 1.

Kontrollitakse, kas valitud väärtus on õige.

Vastus: x = 1.

2.3. Mõned "huvitavad" logaritmilised võrrandid.

2.3.1. Lahenda võrrand .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Liigume edasi võrrandi juurde

, , ,

Liigume edasi samaväärse võrrandi juurde

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0 või cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 või cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Kontrollime leitud väärtusi, asendades need ODZ-ga.

1) kui x = 15, siis (15–15) cos 15 > 0,

0 > 0 on vale.

x = 15 – ei ole võrrandi juur.

2) kui x = 2  k, k Z, siis (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, pange tähele, et 15  5 . Meil on

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5, ….

3) kui x =  + 2 l, l Z, siis ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2  l< 15,

2 l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Meil on: l< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

Vastus: x = 2  k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1,0, -1, - 2, ...).

3. Trigonomeetrilised võrrandid.

3.1. Meetod võrrandi vasaku ja parema osa hindamiseks.

4.1.1. Lahendage võrrand cos3x cos2x = -1.

Esimene viis..

0,5 (maks x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Sest cos x - 1, cos 5 x - 1, järeldame, et cos x+ cos 5 x> -2, seega

järgib võrrandisüsteemi

c os x = -1,

cos 5 x = - 1.

Võrrandi cos lahendamine x= -1, saame X=  + 2 k, kus k Z.

Need väärtused X on ka lahendused cos võrrandid 5x= -1, sest

cos 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Seega X=  + 2 k, kus k Z , on kõik süsteemi lahendid ja seega ka algvõrrand.

Vastus: X=  (2k + 1), k Z.

Teine viis.

Võib näidata, et süsteemide hulk tuleneb algsest võrrandist

cos 2 x = - 1,

cos 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

cos 3 x = - 1.

Lahendades iga võrrandisüsteemi, leiame juurte liidu.

Vastus: x = (2  kuni + 1), k Z.

Iseseisvaks tööks.

Lahendage võrrandid:

3.1.2. 2 kui 3x + 4 sin x/2 = 7. Vastus: lahendusi pole.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Vastus: lahendusi pole.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Vastus: x = 2 to, k Z.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Vastus: x = /2 +  to, k Z.

3.1.6. cos 8 x + patt 7 x = 1. Vastus: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Z.

Munitsipaalharidusasutus

"Kudinskaja 2. keskkool"

Irratsionaalsete võrrandite lahendamise viisid

Lõpetanud: Egorova Olga,

Juhendaja:

Õpetaja

matemaatika,

kõrgem kvalifikatsioon

Sissejuhatus....……………………………………………………………………………………… 3

Jaotis 1. Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid…………………………………6

1.1 C osa irratsionaalvõrrandite lahendamine……….….….……………………21

2. jagu. Individuaalsed ülesanded…………………………………………….....………...24

Vastused………………………………………………………………………………………….25

Bibliograafia…….…………………………………………………………………….26

Sissejuhatus

aastal omandatud matemaatikaharidus üldhariduskool, on an oluline komponent Üldharidus ja ühine kultuur kaasaegne inimene. Peaaegu kõik, mis tänapäeva inimest ümbritseb, on kõik ühel või teisel viisil seotud matemaatikaga. AGA hiljutised saavutused füüsikas, inseneriteaduses ja infotehnoloogias ei jäta kahtlustki, et tulevikus jääb asjade seis samaks. Seetõttu taandub paljude praktiliste probleemide lahendamine lahendamisele mitmesugused võrrandid, et õppida, kuidas neid lahendada. Üks neist tüüpidest on irratsionaalvõrrandid.

Irratsionaalsed võrrandid

Võrrand, mis sisaldab tundmatut (või ratsionaalset algebraline avaldis tundmatust) radikaali märgi all, nimetatakse irratsionaalne võrrand. Elementaarmatemaatikas otsitakse irratsionaalsetele võrranditele lahendusi reaalarvude hulgast.

Iga irratsionaalse võrrandi saab algebraliste elementaartehte (korrutamine, jagamine, mõlema võrrandiosa tõstmine täisarvuni) abil taandada ratsionaalseks algebraliseks võrrandiks. Sel juhul tuleb meeles pidada, et saadud ratsionaalne algebraline võrrand võib osutuda mitteekvivalentseks algse irratsionaalse võrrandiga, nimelt võib see sisaldada "lisa" juuri, mis ei ole algse ir-i juured. ratsionaalne võrrand. Seetõttu tuleb pärast saadud ratsionaalse algebralise võrrandi juurte leidmist kontrollida, kas kõik ratsionaalvõrrandi juured on irratsionaalvõrrandi juured.

Üldiselt on raske ühtegi täpsustada üldine meetod mis tahes irratsionaalse võrrandi lahendus, kuna on soovitav, et algse irratsionaalse võrrandi teisenduste tulemusena ei saadaks lihtsalt mingisugune ratsionaalne algebraline võrrand, mille juurte hulgas on selle irratsionaalse võrrandi juured, vaid ratsionaalne algebraline võrrand, mis on moodustatud väikseima võimaliku astme polünoomidest. Soov saada võimalikult väikese astme polünoomidest moodustatud ratsionaalne algebraline võrrand on üsna loomulik, kuna ratsionaalse algebralise võrrandi kõigi juurte leidmine võib iseenesest olla üsna keeruline ülesanne, mida suudame täielikult lahendada vaid väga piiratud arvul. juhtumitest.

Irratsionaalvõrrandite tüübid

Paarisastmega irratsionaalsete võrrandite lahendamine põhjustab alati rohkem probleeme kui paaritu astme irratsionaalvõrrandite lahendus. Paaritu astmega irratsionaalsete võrrandite lahendamisel ODZ ei muutu. Seetõttu käsitleme allpool irratsionaalseid võrrandeid, mille aste on paaris. Irratsionaalseid võrrandeid on kahte tüüpi:

2..

Vaatleme neist esimest.

odz võrrand: f(x)≥ 0. ODZ-s on võrrandi vasak pool alati mittenegatiivne, seega saab lahendus eksisteerida ainult siis, kui g(x)≥ 0. Sel juhul on võrrandi mõlemad pooled mittenegatiivsed ja astendamine 2 n annab ekvivalentne võrrand. Me saame sellest aru

Pöörame tähelepanu asjaolule, et samas ODZ tehakse automaatselt ja te ei saa seda kirjutada, vaid tingimustg(x) ≥ 0 tuleb kontrollida.

Märge: See on väga oluline tingimus samaväärsust. Esiteks vabastab see õpilase uurimise vajadusest ja pärast lahenduste leidmist kontrollige tingimust f(x) ≥ 0 - juuravaldise mittenegatiivsust. Teiseks keskendub see seisukorra kontrollimiseleg(x) ≥ 0 on parema poole mittenegatiivsused. Peale ruudustamist on võrrand ju lahendatud st lahendatakse kaks võrrandit korraga (kuid arvtelje erinevatel intervallidel!):

1. - kus g(x)≥ 0 ja

2. - kus g(x) ≤ 0.

Samal ajal teevad paljud vastavalt kooli harjumusele leida ODZ-d selliste võrrandite lahendamisel täpselt vastupidist:

a) kontrolli pärast lahenduste leidmist tingimust f(x) ≥ 0 (mis on automaatselt täidetud), tee aritmeetilisi vigu ja saad vale tulemuse;

b) ignoreerida tingimustg(x) ≥ 0 – ja jällegi võib vastus olla vale.

Märge: Lahendamisel on eriti kasulik ekvivalenttingimus trigonomeetrilised võrrandid, milles ODZ leidmine otsusega seotud trigonomeetrilised ebavõrdsused, mis on palju keerulisem kui trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. Trigonomeetriliste võrrandite paaristingimuste kontrollimine g(x)≥ 0 ei ole alati lihtne teha.

Mõelge teist tüüpi irratsionaalsetele võrranditele.

. Olgu võrrand . Tema ODZ:

ODZ-s on mõlemad küljed mittenegatiivsed ja ruudustamisel saadakse samaväärne võrrand f(x) =g(x). Seetõttu ODZ-is või

Selle lahendusmeetodi puhul piisab, kui kontrollida ühe funktsiooni mittenegatiivsust - saate valida lihtsama.

Jaotis 1. Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid

1 meetod. Vabanemine radikaalidest, tõstes võrrandi mõlemad pooled järjestikku vastavaks loomulik aste

Kõige sagedamini kasutatav meetod irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks on radikaalidest vabastamise meetod, tõstes võrrandi mõlemad osad järjestikku vastavale naturaalastmele. Sel juhul tuleb meeles pidada, et kui võrrandi mõlemad osad on tõstetud ühtlane aste saadud võrrand on samaväärne algse võrrandiga ja kui võrrandi mõlemad osad tõstetakse paarisastmeni, ei ole saadud võrrand üldiselt algse võrrandiga samaväärne. Seda saab hõlpsasti kontrollida, tõstes võrrandi mõlemad pooled mis tahes ühtlase astmeni. Selle toimingu tulemuseks on võrrand , mille lahenduste hulk on lahendushulkade liit: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Kuid vaatamata Selle puuduse tõttu on protseduur võrrandi mõlema osa tõstmiseks mõne (sageli isegi) astmeni, mis on kõige tavalisem protseduur irratsionaalvõrrandi taandamiseks ratsionaalseks võrrandiks.

Lahenda võrrand:

Kus on mõned polünoomid. Reaalarvude hulgast juure eraldamise toimingu määratluse kohaselt on tundmatute lubatud väärtused https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Kuna 1. võrrandi mõlemad osad olid ruudus, siis võib selguda, et kõik 2. võrrandi juured ei ole algvõrrandi lahendid, on vaja juured üle kontrollida.

Lahenda võrrand:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Tõstades võrrandi mõlemad pooled kuubiks, saame

Arvestades, et https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(viimasel võrrandil võivad olla juured, mis üldiselt ei ole võrrand ).

Tõstame selle võrrandi mõlemad pooled kuubiks: . Kirjutame võrrandi ümber kujul x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Kontrollides teeme kindlaks, et x1 = 0 on võrrandi (-2 ≠ 1) kõrvaljuur ja x2 = 1 rahuldab algne võrrand.

Vastus: x = 1.

2 meetod. Kõrvaloleva tingimuste süsteemi asendamine

Paarisjärku radikaale sisaldavate irratsionaalsete võrrandite lahendamisel võivad vastused ilmneda kõrvalised juured mida pole alati lihtne tuvastada. Kõrvaliste juurte tuvastamise ja kõrvaldamise hõlbustamiseks asendatakse see irratsionaalsete võrrandite lahendamise käigus koheselt külgneva tingimuste süsteemiga. Täiendavad ebavõrdsused süsteemis võtavad tegelikult arvesse lahendatava võrrandi ODZ-d. ODZ leiate eraldi ja saate seda hiljem arvesse võtta, kuid eelistatav on kasutada segatud tingimuste süsteeme: väiksem on oht midagi unustada, võrrandi lahendamisel mitte arvestada. Seetõttu on mõnel juhul ratsionaalsem kasutada segasüsteemidele ülemineku meetodit.

Lahenda võrrand:

Vastus: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

See võrrand on võrdne süsteemiga

Vastus: võrrandil pole lahendeid.

3 meetod. N-nda juure omaduste kasutamine

Irratsionaalvõrrandite lahendamisel kasutatakse n-nda astme juure omadusi. aritmeetiline juur n- th kraadi hulgast a helistada mittenegatiivsele numbrile, n- i mille aste on võrdne a. Kui a n- isegi( 2n), siis a ≥ 0, vastasel juhul juur puudub. Kui a n- kummaline( 2 n+1), siis a on suvaline ja = - ..gif" width="45" height="19"> Seejärel:

Neid valemeid formaalselt (ilma näidatud piiranguid arvesse võtmata) rakendades tuleb meeles pidada, et nende vasaku ja parema osa ODZ võib olla erinev. Näiteks on avaldis defineeritud f ≥ 0 ja g ≥ 0, ja väljend on nagu f ≥ 0 ja g ≥ 0, sama hästi kui f ≤ 0 ja g ≤ 0.

Iga valemi 1–5 puhul (ilma näidatud piiranguid arvesse võtmata) võib selle parempoolse osa ODZ olla laiem kui vasaku ODZ. Sellest järeldub, et võrrandi teisendused valemite 1–5 formaalse kasutamisega "vasakult paremale" (nagu need on kirjutatud) viivad võrrandini, mis on algse võrrandi tagajärg. Sel juhul võivad ilmneda algse võrrandi kõrvalised juured, seega on kontrollimine algse võrrandi lahendamisel kohustuslik samm.

Võrrandite teisendamine valemite 1–5 formaalse kasutamisega "paremalt vasakule" on vastuvõetamatu, kuna on võimalik hinnata algse võrrandi ODZ-d ja seega ka juurte kadumist.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

mis on originaali tagajärg. Selle võrrandi lahendus taandatakse võrrandite hulga lahendamiseks .

Selle hulga esimesest võrrandist leiame https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27">, kust leiame . Seega juured see võrrand võib olla ainult numbrid ( -1) ja (-2) Kontrollimine näitab, et mõlemad leitud juured vastavad sellele võrrandile.

Vastus: -1,-2.

Lahenda võrrand:.

Lahendus: identiteetide põhjal asendage esimene termin sõnaga . Pange tähele, et kahe mittenegatiivse arvu summana vasakul küljel. "Eemaldage" moodul ja pärast sarnaste terminite toomist lahendage võrrand. Kuna , saame võrrandi . Alates ja , seejärel https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Vastus: x = 4,25.

4 meetod. Uute muutujate kasutuselevõtt

Teine näide irratsionaalvõrrandi lahendamisest on viis, kuidas sisestatakse uusi muutujaid, mille suhtes saadakse kas lihtsam irratsionaalvõrrand või ratsionaalvõrrand.

Irratsionaalsete võrrandite lahendamise, asendades võrrandi selle tagajärjega (koos järgneva juurte kontrollimisega), saab läbi viia järgmiselt:

1. Leidke algse võrrandi ODZ.

2. Liikuge võrrandilt selle järelduseni.

3. Leia saadud võrrandi juured.

4. Kontrolli, kas leitud juured on algvõrrandi juured.

Kontroll on järgmine:

A) kontrollitakse iga leitud ODZ juure kuulumist algsesse võrrandisse. Need juured, mis ei kuulu ODZ-i, on algse võrrandi jaoks kõrvalised.

B) iga algvõrrandi ODZ-s sisalduva juure puhul kontrollitakse, kas neil on identsed märgid iga võrrandi vasak ja parem osa, mis tekivad algvõrrandi lahendamise käigus ja tõstetakse ühtlase astmeni. Need juured, mille jaoks on võrdseks astmeks tõstetud võrrandi osad erinevad märgid, on algse võrrandi jaoks kõrvalised.

C) otsese asendamise teel kontrollitakse ainult neid juuri, mis kuuluvad algvõrrandi ODZ-sse ja mille mõlemal algvõrrandi lahendamise käigus tekkinud ja paarisastmele tõstetud võrrandi osadel on samad märgid. algne võrrand.

Selline lahendusmeetod koos näidatud kontrollimeetodiga võimaldab vältida tülikaid arvutusi juhul, kui viimase võrrandi iga leitud juur asendatakse otse algse juurtega.

Lahendage irratsionaalne võrrand:

Selle võrrandi lubatud väärtuste kogum:

Seadistamisel saame pärast asendamist võrrandi

või sellega samaväärne võrrand

mida võib vaadelda ruutvõrrandina . Selle võrrandi lahendamisel saame

Seetõttu on algse irratsionaalvõrrandi lahendushulk kahe järgmise võrrandi lahendushulkade liit:

, .

Kuubige mõlema võrrandi mõlemad pooled ja saame kaks ratsionaalset algebralist võrrandit:

, .

Neid võrrandeid lahendades leiame, et sellel irratsionaalsel võrrandil on üks juur x = 2 (kontrollida pole vaja, kuna kõik teisendused on samaväärsed).

Vastus: x = 2.

Lahendage irratsionaalne võrrand:

Tähistage 2x2 + 5x - 2 = t. Seejärel võtab esialgne võrrand kuju . Saadud võrrandi mõlemad osad ruudustades ja sarnased liikmed tuues saame võrrandi , mis on eelmise tagajärg. Sellest leiame t = 16.

Tulles tagasi tundmatu x juurde, saame võrrandi 2x2 + 5x - 2 = 16, mis on algse tagajärg. Kontrollides veendume, et selle juured x1 \u003d 2 ja x2 \u003d - 9/2 on algse võrrandi juured.

Vastus: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 meetod. Identiteedi võrrandi teisendus

Irratsionaalvõrrandi lahendamisel ei tohiks alustada võrrandi lahendamist mõlema võrrandi osa loomulikule astmele tõstmisest, püüdes taandada irratsionaalvõrrandi lahendit ratsionaalse algebralise võrrandi lahendamisele. Esiteks on vaja näha, kas võrrandist on võimalik teha mingi identne teisendus, mis võib selle lahendamist oluliselt lihtsustada.

Lahenda võrrand:

Selle võrrandi kehtivate väärtuste komplekt: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Jagage see võrrand .

Saame:

Kui a = 0, ei ole võrrandil lahendeid; jaoks , võrrandi saab kirjutada kujul

sest sellel võrrandil pole lahendusi, kuna ühegi jaoks X, mis kuulub võrrandi lubatud väärtuste hulka, on võrrandi vasakpoolsel küljel olev avaldis positiivne;

kui võrrandil on lahendus

Võttes arvesse, et võrrandi lubatavate lahendite hulk määratakse tingimusega , saame lõpuks:

Selle irratsionaalse võrrandi lahendamisel on https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> võrrandi lahendus . Kõigi muude väärtuste puhul X võrrandil pole lahendeid.

NÄIDE 10:

Lahendage irratsionaalne võrrand: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Otsus ruutvõrrand Süsteem annab kaks juurt: x1 = 1 ja x2 = 4. Saadud juurtest esimene ei rahulda süsteemi ebavõrdsust, seega x = 4.

Märkmed.

1) Pidamine identsed teisendused võimaldab teil seda teha ilma kontrollimata.

2) Võrratus x - 3 ≥0 viitab identsetele teisendustele, mitte võrrandi valdkonnale.

3) Võrrandi vasakul küljel on kahanev funktsioon ja selle võrrandi paremal küljel kasvav funktsioon. Vähenevate ja suurenevate funktsioonide graafikutel nende definitsioonivaldkondade ristumiskohas võib olla ainult üks ühine punkt. Ilmselgelt on meie puhul x = 4 graafikute lõikepunkti abstsiss.

Vastus: x = 4.

6 meetod. Funktsioonide määratlemise valdkonna kasutamine võrrandite lahendamisel

See meetod on kõige tõhusam võrrandite lahendamisel, mis sisaldavad funktsioone https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> ja selle ala määratlusi (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, siis peate kontrollima, kas võrrand on intervalli lõpus tõene, pealegi kui< 0, а b >0, siis on vaja kontrollida intervalle (a;0) ja . E(y) väikseim täisarv on 3.

Vastus: x = 3.

8 meetod. Tuletise rakendamine irratsionaalvõrrandite lahendamisel

Kõige sagedamini kasutatakse võrrandite lahendamisel tuletismeetodil hinnangumeetodit.

NÄIDE 15:

Lahendage võrrand: (1)

Lahendus: alates https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> või (2). Mõelge funktsioonile ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> üldse ja seetõttu suureneb. Seetõttu võrrand on samaväärne võrrandiga, mille juur on algvõrrandi juur.

Vastus:

NÄIDE 16:

Lahendage irratsionaalne võrrand:

Funktsiooni määratluspiirkond on segment. Leia suurim ja väikseim väärtus selle funktsiooni väärtused intervallil . Selleks leiame funktsiooni tuletise f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Leiame funktsiooni väärtused f(x) segmendi otstes ja punktis : nii, aga ja seetõttu on võrdsus võimalik ainult tingimusel https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Kontrollimine näitab, et arv 3 on selle võrrandi juur.

Vastus: x = 3.

9 meetod. Funktsionaalne

Eksamitel pakuvad nad mõnikord ka võrrandite lahendamist, mille saab kirjutada kujul , kus on teatud funktsioon.

Näiteks mõned võrrandid: 1) 2) . Tõepoolest, esimesel juhul , teisel juhul . Seetõttu lahendage irratsionaalvõrrandid järgmise väitega: kui funktsioon on hulgal rangelt kasvav X ja mis tahes , siis võrrandid jne on hulgal samaväärsed X .

Lahendage irratsionaalne võrrand: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> suureneb komplektis rangelt R, ja https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > millel on kordumatu juur Seetõttu on ka ekvivalentvõrrandil (1) unikaalne juur

Vastus: x = 3.

NÄIDE 18:

Lahendage irratsionaalne võrrand: (1)

Definitsiooni järgi ruutjuur saame, et kui võrrandil (1) on juured, siis kuuluvad need hulka https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Kaaluge funktsiooni https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> selle komplekti rangelt suurenemist mis tahes ..gif" width="100" korral kõrgus ="41">, millel on üks juur Seetõttu ja samaväärne sellega komplektis X võrrandil (1) on üks juur

Vastus: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Lahendus: see võrrand on võrdne segasüsteem

Reaalarvud. Reaalarvude lähendamine lõplike kümnendmurdudega.

Reaal- ehk reaalarv on matemaatiline abstraktsioon, mis tekkis vajadusest mõõta geomeetrilisi ja füüsikalised kogusedümbritsevat maailma, aga ka selliseid toiminguid nagu juure eraldamine, logaritmide arvutamine, lahendamine algebralised võrrandid. Kui a täisarvud tekkis loendamise käigus, ratsionaalne - vajadusest opereerida terviku osadega, siis on mõõtmiseks mõeldud reaalarvud pidevad kogused. Seega on vaadeldava arvuvaru laiendamine kaasa toonud reaalarvude hulga, mis sisaldab lisaks ratsionaalarvudele ka teisi elemente nn. irratsionaalsed arvud .

Absoluutne viga ja selle piir.

Olgu seal mingi arvväärtus ja arvväärtus, mis on sellele määratud, peetakse täpseks, siis all ligikaudse väärtuse viga arvväärtus (viga) aru saada arvväärtuse täpse ja ligikaudse väärtuse erinevusest: . Viga võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Väärtust nimetatakse teadaolev lähendus arvväärtuse täpse väärtuseni – mis tahes arv, mida kasutatakse täpse väärtuse asemel. Algloomad kvantitatiivne mõõt viga on absoluutne viga. Absoluutne viga ligikaudset väärtust nimetatakse väärtuseks, mille kohta on teada, et: Suhteline viga ja selle piir.

Lähenduse kvaliteet sõltub sisuliselt aktsepteeritud mõõtühikutest ja suuruste skaaladest, seetõttu on soovitatav korreleerida suuruse viga ja selle väärtus, mille puhul võetakse kasutusele suhtelise vea mõiste. Suhteline viga Ligikaudset väärtust nimetatakse väärtuseks, mille kohta on teada, et: . Suhtelist viga väljendatakse sageli protsentides. Kasutamine suhtelised vead mugav eelkõige seetõttu, et need ei sõltu suuruste ja mõõtühikute skaaladest.

Irratsionaalsed võrrandid

Võrrandit, milles muutuja sisaldub juuremärgi all, nimetatakse irratsionaalseks. Irratsionaalvõrrandite lahendamisel vajavad saadud lahendid kontrollimist, sest näiteks vale võrrand ruudustamisel võib anda õige võrrandi. Tõepoolest, vale võrdsus ruudus annab õige võrdsuse 1 2 = (-1) 2 , 1 = 1. Mõnikord on mugavam lahendada irratsionaalseid võrrandeid samaväärsete üleminekute abil.

Paneme selle võrrandi mõlemad pooled ruutu ruutu; Pärast teisendusi jõuame ruutvõrrandini; ja paneme selga.

Keerulised numbrid. Kompleksarvude toimingud.

Kompleksarvud – reaalarvude hulga laiendus, mida tavaliselt tähistatakse. Iga kompleksarvu saab esitada formaalse summana x + iy, kus x ja y- reaalarvud, i- imaginaarühik Kompleksarvud moodustavad algebraliselt suletud välja - see tähendab, et astme polünoom n komplekssete koefitsientidega on täpselt n keerulised juured, st algebra põhiteoreem on tõene. See on üks peamisi laialdase kasutamise põhjuseid kompleksarvud sisse matemaatilised uuringud. Lisaks võimaldab kompleksarvude kasutamine paljusid mugavalt ja kompaktselt sõnastada matemaatilised mudelid sisse rakendatud matemaatiline füüsika ja sisse loodusteadused- elektrotehnika, hüdrodünaamika, kartograafia, kvantmehaanika, võnketeooria ja paljud teised.

Võrdlus a + bi = c + di tähendab seda a = c ja b = d(kaks kompleksarvu on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende reaal- ja mõtteline osa on võrdsed).

Lisa ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

Lahutamine ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .

Korrutamine

Numbriline funktsioon. Funktsiooni seadistamise viisid

Matemaatikas numbriline funktsioon on funktsioon, mille domeenid ja väärtused on alamhulgad numbrikomplektid- tavaliselt reaalarvude või kompleksarvude komplektid.

Verbaalne: Kasutades loomulik keel Y on võrdne terve osa alates x. Analüütiline: analüütilise valemi kasutamine f (x) = x !

Graafiline Via graafik Funktsioonigraafiku fragment.

Tabelikujuline: väärtuste tabeli kasutamine

Funktsiooni peamised omadused

1) Funktsiooni ulatus ja funktsioonide ulatus . Funktsiooni ulatus x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y=f(x) määratletud.

Funktsioonide vahemik y et funktsioon aktsepteerib. Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.2 ) Funktsioon null) Funktsiooni monotoonsus . Funktsiooni suurendamine Vähenev funktsioon . Ühtlane funktsioon X f(-x) = f(x). paaritu funktsioon- funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X f(-x) = -f(x. Funktsiooni kutsutakse piiratud piiramatu .7) Funktsiooni perioodilisus. Funktsioon f(x) - perioodiline funktsiooni periood

Funktsioonigraafikud. Graafikute lihtsaimad teisendused funktsiooniga

Funktsioonigraafik- punktide kogum, mille abstsissid on kehtivad väärtused argument x, ja ordinaadid on funktsiooni vastavad väärtused y .

Sirgjoon- ajakava lineaarne funktsioon y=kirves+b. Funktsioon y suureneb monotoonselt a > 0 korral ja väheneb a korral< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabool- funktsioonigraafik ruudukujuline kolmik y \u003d ax 2 + bx + c. Sellel on vertikaalne telg sümmeetria. Kui a > 0, on minimaalne, kui a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0

Hüperbool- funktsioonigraafik. Kui a > O asub I ja III kvartalis, kui a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) või y - x (a< 0).

Logaritmiline funktsioon y = log a x(a > 0)

trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide koostamisel kasutame radiaan nurkade mõõt. Siis funktsioon y= patt x kujutatud graafikuga (joonis 19). Seda kõverat nimetatakse sinusoid .

Funktsioonigraafik y= cos x näidatud joonisel fig. 20; see on ka siinuslaine, mis tuleneb graafiku liigutamisest y= patt x piki telge X lahkus /2.

Põhiomadused funktsioonid. Funktsioonide monotoonsus, ühtlus, veidrus, perioodilisus.

Funktsiooni ulatus ja funktsioonide vahemik . Funktsiooni ulatus on argumendi kõigi kehtivate kehtivate väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y=f(x) määratletud.

Funktsioonide vahemik on kõigi tegelike väärtuste kogum y et funktsioon aktsepteerib.

Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.2 ) Funktsioon null- on argumendi väärtus, mille juures funktsiooni väärtus võrdub nulliga.3 ) Funktsiooni püsivuse intervallid- need argumentide väärtuste komplektid, mille funktsiooni väärtused on ainult positiivsed või ainult negatiivsed.4 ) Funktsiooni monotoonsus .

Funktsiooni suurendamine(mingis intervallis) - funktsioon, mille jaoks suurem väärtus selle intervalli argument vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Vähenev funktsioon(mingis intervallis) - funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.5 ) Paaris (paaritud) funktsioonid . Ühtlane funktsioon- funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = f(x). Ajakava ühtlane funktsioon sümmeetriline y-telje suhtes. paaritu funktsioon- funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = -f(x). Ajakava paaritu funktsioon sümmeetriline päritolu suhtes.6 ) Piiratud ja piiramatud funktsioonid. Funktsiooni kutsutakse piiratud, kui on selline positiivne arv M, et |f (x) | ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist numbrit pole, siis funktsioon on piiramatu .7) Funktsiooni perioodilisus. Funktsioon f(x) - perioodiline, kui on olemas selline nullist erinev arv T, et funktsiooni domeeni mis tahes x korral kehtib järgmine: f (x+T) = f (x). Sellised väikseim number helistas funktsiooni periood. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).

Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni põhiperioodi leidmise reeglid.

Perioodiline funktsioon on funktsioon, mis kordab oma väärtusi pärast mõnda nullist erinevat perioodi, st ei muuda oma väärtust, kui argumendile lisatakse fikseeritud nullist erinev arv (punkt). Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. On valed avaldused summa kohta perioodilised funktsioonid: 2 funktsiooni summa võrreldavate (isegi põhi) perioodidega T 1 ja T 2 on funktsioon perioodiga LCM ( T 1 ,T 2). Summa 2 pidevad funktsioonid võrreldamatute (isegi põhi) perioodidega on mitteperioodiline funktsioon. Perioodilisi funktsioone pole võrdne konstandiga, mille perioodid on võrreldamatud arvud.

Võimsusfunktsioonide joonistamine.

Toitefunktsioon. See on funktsioon: y = ax n, kus a,n- püsiv. Kell n= 1 saame otsene proportsionaalsus : y =kirves; juures n = 2 - ruudu parabool; juures n = 1 - pöördvõrdelisus või hüperbool. Seega on need funktsioonid võimsusfunktsiooni erijuhud. Teame, et mis tahes muu arvu nullaste kui null on võrdne 1-ga, seega millal n = 0 toitefunktsioon muutub püsiv väärtus: y =a, st. selle graafik on teljega paralleelne sirgjoon X, välja arvatud koordinaatide päritolu (palun selgitage, miks?). Kõik need juhtumid (koos a= 1) on näidatud joonisel 13 ( n 0) ja joonis 14 ( n < 0). Отрицательные значения x siin ei arvestata, sest siis on mõned funktsioonid:

Pöördfunktsioon

Pöördfunktsioon- funktsioon, mis muudab selle funktsiooniga väljendatud sõltuvuse ümber. Funktsioon on funktsiooniga pöördvõrdeline, kui kehtivad järgmised identiteedid: kõigile kõigi jaoks

Funktsiooni piirväärtus punktis. Piiri põhiomadused.

N-nda astme juur ja selle omadused.

Arvu a n-s juur on arv, mille n-s aste on võrdne a-ga.

Definitsioon: Arvu a n-nda astme aritmeetiline juur on mittenegatiivne arv, mille n-s aste on võrdne a-ga.

Juurte peamised omadused:

Kraad suvalisega tegelik näitaja ja selle omadused.

Olgu antud positiivne arv ja suvaline reaalarv. Arvu nimetatakse astmeks, arv on astme alus, arv on astendaja.

Definitsiooni järgi eeldatakse:

Kui - positiivsed numbrid, ja - mis tahes reaalarvud, siis järgmised omadused:

.

.

Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafikud

Toitefunktsioon kompleksne muutuja f (z) = z n täisarvulise astendajaga määratakse reaalse argumendi sarnase funktsiooni analüütilise jätku abil. Selleks kasutatakse kompleksarvude kirjutamise eksponentsiaalset vormi. Täisarvulise astendajaga astmefunktsioon on korrutisena analüütiline kogu komplekstasandil lõplik arv identiteedi kaardistamise eksemplarid f (z) = z. Unikaalsusteoreemi kohaselt on need kaks kriteeriumi piisavad saadud analüütilise jätku kordumatuse jaoks. Seda määratlust kasutades võime kohe järeldada, et kompleksmuutuja võimsusfunktsioonil on olulisi erinevusi selle tegelikust vastest.

See on vormi funktsioon . Arvesse võetakse järgmisi juhtumeid:

a). Kui siis . Siis , ; kui arv on paaris, siis on funktsioon paaris (st. kõigi jaoks ); kui arv on paaritu, siis funktsioon on paaritu (st kõigi jaoks).

Eksponentfunktsioon, selle omadused ja graafikud

Eksponentfunktsioon- matemaatiline funktsioon.

Tegelikul juhul on kraadi alus mõni mittenegatiivne tegelik arv, ja funktsiooni argument on reaalne astendaja.

Teoorias keerukad funktsioonid kaalus rohkem üldine juhtum, kui argument ja astendaja võivad olla suvalised kompleksarvud.

Väga üldine vaade - u v, mille tutvustas Leibniz 1695. aastal.

Eriti esile tõstetud on juhtum, kui arv e toimib astme alusena. Sellist funktsiooni nimetatakse eksponendiks (reaal- või kompleksfunktsiooniks).

Omadused ; ; .

eksponentsiaalvõrrandid.

Liigume otse eksponentsiaalvõrrandi juurde. Selleks, et otsustada eksponentsiaalvõrrand on vaja kasutada järgmist teoreemi: Kui astmed on võrdsed ja alused on võrdsed, positiivsed ja ühest erinevad, siis on ka nende eksponendid võrdsed. Tõestame seda teoreemi: Olgu a>1 ja a x =a y .

Tõestame, et antud juhul x=y. Eeldame vastupidist sellele, mida on vaja tõestada, s.t. oletame, et x>y või see x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х jah . Mõlemad tulemused on vastuolus teoreemi hüpoteesiga. Seega x=y, mida oli vaja tõestada.

Teoreem on tõestatud ka juhul, kui 0 0 ja a≠1.

eksponentsiaalne ebavõrdsus

Vormi ebavõrdsused (või vähem) jaoks a(x) >0 ja on lahendatud eksponentsiaalfunktsiooni omaduste põhjal: for 0 < а (х) < 1 kui võrrelda f(x) ja g(x) ebavõrdsuse märk muutub ja millal a(x) > 1- on salvestatud. Kõige keerulisem juhtum a(x)< 0 . Siin saame anda ainult üldise vihje: määrata, millistel väärtustel X näitajad f(x) ja g(x) olema täisarvud ja valige nende hulgast need, mis vastavad tingimusele. Lõpuks, kui algne ebavõrdsus kehtib a(x) = 0 või a(x) = 1(näiteks kui ebavõrdsus ei ole range), siis tuleb ka neid juhtumeid arvesse võtta.

Logaritmid ja nende omadused

Arvu logaritm b põhjusega a (kreeka keelest λόγος - "sõna", "seos" ja ἀριθμός - "arv") on defineeritud kui näitaja, milleni tuleb alust tõsta. a numbri saamiseks b. Määramine: . Definitsioonist tuleneb, et kanded ja on samaväärsed. Näide: kuna. Omadused

Põhilogaritmiline identiteet:

Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafikud.

Logaritmiline funktsioon on vormi funktsioon f (x) = log a x, määratletud aadressil

Domeen:

Väärtusvahemik:

Mis tahes logaritmilise funktsiooni graafik läbib punkti (1; 0)

Logaritmifunktsiooni tuletis on:

Logaritmvõrrandid

Võrrandit, mis sisaldab muutujat logaritmi märgi all, nimetatakse logaritmiliseks võrrandiks. Logaritmilise võrrandi lihtsaim näide on võrrand logi a x \u003d b (kus a > 0 ja 1). Tema otsus x = a b .

Logaritmi definitsiooni alusel võrrandite lahendamine, näiteks võrrand logi a x \u003d b (a\u003e 0, kuid 1) on lahendus x = a b .

potentseerimise meetod. Potentsiatsiooni all mõeldakse üleminekut logaritme sisaldavalt võrduselt võrdsusele, mis neid ei sisalda:

kui log a f (x) = log a g (x), siis f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,a > 0 , a 1 .

Meetod logaritmilise võrrandi ruutvõrrandiks taandamiseks.

Võrrandi mõlema osa logaritmi võtmise meetod.

Meetod logaritmide taandamiseks samale alusele.

Logaritmilised võrratused.

Ebavõrdsust, mis sisaldab muutujat ainult logaritmi märgi all, nimetatakse logaritmiliseks: log a f (x) > log a g (x).

Logaritmiliste võrratuste lahendamisel tuleks arvesse võtta võrratuste üldisi omadusi, logaritmifunktsiooni monotoonsuse omadust ja selle defineerimisala. Ebavõrdsus log a f (x) > log a g (x) on võrdne süsteemiga f (x) > g (x) > 0, kui a > 1 ja süsteem 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Nurkade ja kaare radiaani mõõtmine. Siinus, koosinus, puutuja, kotangens.

kraadi mõõt. Siin on mõõtühik kraad ( nimetus ) - on tala pöörlemine 1/360 võrra ühest täispöördest. Seega on tala täispööre 360. Üks kraad koosneb 60-st minutit ( nende tähistus "); üks minut - vastavalt 60-st sekundit ( märgitud ").

radiaani mõõt. Nagu me planimeetriast teame (vt lõiku "Kaare pikkus" jaotises "Punktide asukoht. Ring ja ring"), on kaare pikkus l, raadius r ja vastav kesknurk on seotud: = l / r.

See valem on nurkade radiaani mõõtmise definitsiooni aluseks. Nii et kui l = r, siis = 1 ja me ütleme, et nurk  võrdub 1 radiaaniga, mida tähistatakse: = 1 rõõmus. Seega on meil järgmine radiaanimõõdu määratlus:

Radiaan on kesknurk, mille kaare pikkus ja raadius on võrdsed(A m B = AO, joonis 1). Niisiis, nurga radiaanmõõt on suvalise raadiusega tõmmatud ja selle nurga külgede vahele jääva kaare pikkuse ja kaare raadiuse suhe.

Teravnurkade trigonomeetrilisi funktsioone saab defineerida täisnurkse kolmnurga külgede pikkuste suhtena.

Siinus:

Koosinus:

Tangent:

Kootangens:

Arvulise argumendi trigonomeetrilised funktsioonid

Definitsioon .

Siinus x on arv, mis võrdub nurga siinusega x radiaanides. Arvu x koosinus on arv, mis on võrdne nurga koosinusega x radiaanides .

Arvulise argumendi teised trigonomeetrilised funktsioonid on defineeritud sarnaselt X .

Kummitusvormelid.

Lisamise valemid. Topelt- ja poolargumendi valemid.

Kahekordne.

( ; .

Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende graafikud. Trigonomeetriliste funktsioonide põhiomadused.

Trigonomeetrilised funktsioonid- omamoodi elementaarsed funktsioonid. Tavaliselt viidatakse neile sinus (sin x), koosinus (cos x), puutuja (tg x), kotangent (ctg x), Trigonomeetrilised funktsioonid on tavaliselt defineeritud geomeetriliselt, kuid neid saab defineerida analüütiliselt jadasummadena või teatud diferentsiaalvõrrandite lahendustena, mis võimaldab laiendada nende funktsioonide määratluspiirkonda kompleksarvudele.

Funktsioon y sinx selle omadused ja graafik

Omadused:

2. E (y) \u003d [-1; üks].

3. Funktsioon y \u003d sinx on paaritu, kuna definitsiooni järgi on trigonomeetrilise nurga siinus patt (- x)= - y/R = - sinx, kus R on ringi raadius, y on punkti ordinaat (joonis).

4. T \u003d 2n - väikseim positiivne periood. Tõesti,

sin(x+p) = sinx.

koos härja teljega: sinx= 0; x = pn, nОZ;

y-teljega: kui x = 0, siis y = 0,6. Püsivuse intervallid:

sinx > 0, kui xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , kui xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Siinusmärgid neljandikku

y > 0 esimese ja teise kvartali nurkade a korral.

juures< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Monotoonsuse intervallid:

y= sinx suureneb igal intervallil [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nнz ja väheneb igal intervallil , nнz.

8. Funktsiooni äärmuslikud ja äärmuslikud punktid:

xmax= p/2 + 2pn, nнz; y max = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nнz; ymin = - 1.

Funktsiooni omadused y= cosx ja tema ajakava:

Omadused:

2. E (y) \u003d [-1; üks].

3. Funktsioon y= cosx- ühtlane, sest trigonomeetrilise nurga koosinuse definitsiooni järgi cos (-a) = x/R = cosa trigonomeetrilisel ringil (riis)

4. T \u003d 2p - väikseim positiivne periood. Tõesti,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Lõikepunktid koordinaattelgedega:

Ox teljega: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

y-teljega: kui x = 0, siis y = 1.

6. Märgi püsivuse intervallid:

cos > 0, kui xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , kui xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Seda tõestatakse trigonomeetrilisel ringil (joonis). Koosinusmärgid neljandikku:

x > 0 esimese ja neljanda kvadrandi nurkade a korral.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Monotoonsuse intervallid:

y= cosx suureneb igal intervallil [-p + 2pn; 2pn],

nнz ja väheneb igal intervallil , nнz.

Funktsiooni omadused y= tgx ja selle krunt: omadused -

1. D (y) = (xОR, x ¹ p/2 + pn, nОZ).

3. Funktsioon y = tgx - paaritu

tgx > 0

tgx< 0 xн jaoks (-p/2 + pn; pn), nнZ.

Vt jooniselt puutuja märke neljandikku.

6. Monotoonsuse intervallid:

y= tgx suureneb iga intervalliga

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Funktsiooni äärmuslikud ja äärmuslikud punktid:

8. x = p/2 + pn, nнz - vertikaalsed asümptoodid

Funktsiooni omadused y= ctgx ja tema ajakava:

Omadused:

1. D (y) = (xОR, x ¹ pn, nОZ). 2. E(y)=R.

3. Funktsioon y= ctgx- kummaline.

4. T \u003d p - väikseim positiivne periood.

5. Märgi püsivuse intervallid:

ctgx > 0 xО jaoks (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 xÎ jaoks (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Kvartalite kotangensmärgid, vt joonist.

6. Funktsioon juures= ctgx suureneb igal intervallil (pn; p + pn), nОZ.

7. Funktsiooni ekstreemumipunktid ja ekstreemumid y= ctgx ei.

8. Funktsioonigraafik y= ctgx on an tangentoid, mis on saadud graafiku nihkega y=tgx piki Ox telge vasakule p/2-ga ja korrutades (-1) (joonis)

Pöördtrigonomeetrilised funktsioonid, nende omadused ja graafikud

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid (ringikujulised funktsioonid , kaarefunktsioonid) on matemaatilised funktsioonid, mis on pöördfunktsioonid trigonomeetrilistele funktsioonidele. Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid sisaldavad tavaliselt kuut funktsiooni: arcsine , kaarkoosinus , kaare puutuja ,arccotanges. Trigonomeetrilise pöördfunktsiooni nimi moodustatakse vastava trigonomeetrilise funktsiooni nimest, lisades eesliide "ark-" (alates lat. kaar- kaar). See on tingitud asjaolust, et geomeetriliselt saab pöördtrigonomeetrilise funktsiooni väärtust seostada ühele või teisele lõigule vastava ühikulise ringi kaare pikkusega (või seda kaare alluva nurgaga). Vahetevahel kasutatakse väliskirjanduses arsiinuse jaoks selliseid tähiseid nagu sin −1 jne; seda ei peeta täiesti õigeks, kuna on võimalik segi ajada funktsiooni tõstmisega astmeni −1. Põhisuhe

Funktsioon y=arcsinX, selle omadused ja graafikud.

arcsine numbrid m seda nurka nimetatakse x mille funktsiooni jaoks y= patt x y= arcsin x kasvab rangelt. (funktsioon on paaritu).

Funktsioon y=arccosX, selle omadused ja graafikud.

Kaarkoosinus numbrid m seda nurka nimetatakse x, milleks

Funktsioon y= cos x pidev ja piiratud piki kogu oma arvjoont. Funktsioon y= arccos x väheneb rangelt. cos (arccos x) = x juures arccos (cos y) = y juures D(arccos x) = [− 1; 1], (domeen), E(arccos x) = . (väärtuste vahemik). Arccose funktsiooni omadused (funktsioon on punkti suhtes tsentraalselt sümmeetriline

Funktsioon y=arctgX, selle omadused ja graafikud.

Arktangent numbrid m Nurka α nimetatakse selliseks, et funktsioon on pidev ja piiratud kogu oma reaaljoonega. Funktsioon suureneb rangelt.

juures

arctg funktsiooni omadused

,

.

Funktsioon y=arcctg, selle omadused ja graafikud.

Kaare puutuja numbrid m seda nurka nimetatakse x, milleks

Funktsioon on pidev ja piiratud kogu oma reaaljoonega.

Funktsioon väheneb rangelt. kell 0< y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки iga x .

.

Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid.

Definitsioon. wada võrrandid sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, kus x

Trigonomeetriliste võrrandite erijuhud

Definitsioon. wada võrrandid sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, kus x- kutsutakse muutujat aR lihtsad trigonomeetrilised võrrandid.

Trigonomeetrilised võrrandid

Stereomeetria aksioomid ja nende tagajärjed

Põhifiguurid ruumis: punktid, sirged ja tasapinnad. Punktide, sirgete ja tasandite põhiomadused, mis puudutavad nende omavahelist paigutust, on väljendatud aksioomides.

A1. Läbi mis tahes kolme punkti, mis ei asu samal sirgel, läbib tasapind ja pealegi ainult üks. A2. Kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal.

kommenteerida. Kui sirgel ja tasapinnal on ainult üks ühine punkt, siis öeldakse, et need ristuvad.

A3. Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine joon, millel asuvad nende tasandite kõik ühised punktid.

A ja ristuvad piki joont a.

Tagajärg 1. Läbi sirge ja punkti, mis sellel ei asu, möödub tasapind ja pealegi ainult üks. Tagajärg 2. Tasapind läbib kahte ristuvat sirget ja pealegi ainult ühte.

Kahe joone vastastikune paigutus ruumis

Kaks võrranditega antud sirget

ristuvad punktis.

Sirge ja tasapinna paralleelsus.

Definitsioon 2.3 Sirget ja tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte. Kui sirge a on paralleelne tasapinnaga α, siis kirjutage a || a. Teoreem 2.4 Sirge ja tasandi paralleelsuse märk. Kui tasapinnast väljapoole jääv sirge on paralleelne tasapinna sirgega, siis on see sirge paralleelne ka tasapinna endaga. Tõestus Olgu b α, a || b ja a α (joonis 2.2.1). Tõestame vastuoluga. Olgu a mitte paralleelne α-ga, siis sirge a lõikub tasapinnaga α mingis punktis A. Veelgi enam, A b, kuna a || b. Viltuse joonte kriteeriumi järgi on sirged a ja b viltu. Oleme jõudnud vastuoluni. Teoreem 2.5 Kui tasand β läbib tasapinnaga α paralleelset sirget a ja lõikub selle tasandiga piki sirget b, siis b || a. Tõestus Tõepoolest, sirged a ja b ei ole viltu, kuna nad asuvad tasapinnal β. Pealegi pole neil ridadel ühiseid punkte, kuna a || a. Definitsioon 2.4 Sirget b nimetatakse mõnikord tasandi β jäljeks tasapinnal α.

Sirgete ületamine. Ristuvate joonte märk

Sirgeid nimetatakse ristuvateks, kui on täidetud järgmine tingimus: Kui kujutame ette, et üks sirgetest kuulub suvalisele tasapinnale, siis teine sirge lõikub selle tasandiga punktis, mis ei kuulu esimesele sirgele. Teisisõnu ristuvad kaks sirget kolmemõõtmelises Eukleidilises ruumis, kui neid sisaldav tasapind puudub. Lihtsamalt öeldes kaks sirget ruumis, millel ei ole ühiseid punkte, kuid mis ei ole paralleelsed.

Teoreem (1): kui üks kahest sirgest asub teatud tasapinnal ja teine sirge lõikub selle tasandiga punktis, mis ei asu esimesel sirgel, on need sirged viltu.

Teoreem (2): läbi mõlema ristuva sirge läbib teise sirgega paralleelne tasapind ja pealegi ainult üks.

Teoreem (3): Kui kahe nurga küljed on vastavalt suunatud, siis on need nurgad võrdsed.

Joonte paralleelsus. Paralleeltasandite omadused.

Paralleelsed (mõnikord - võrdhaarsed) sirged nimetatakse sirgeks, mis asetsevad samas tasapinnas ja kas langevad kokku või ei ristu. Mõnes koolimääratluses ei loeta kattuvaid jooni paralleelseks, siin sellist määratlust ei käsitleta. Omadused Paralleelsus on binaarne ekvivalentsuhe, mistõttu jagab kogu ridade komplekti üksteisega paralleelsete joonte klassideks. Iga punkti kaudu võib antud punktiga paralleelselt olla täpselt üks sirge. See on eukleidilise geomeetria eristav omadus, teistes geomeetriates asendatakse number 1 teistega (Lobatševski geomeetrias on selliseid sirgeid vähemalt kaks) 2 paralleelset joont ruumis asuvad samal tasapinnal. b 2 paralleelse sirge ristumiskohas kolmandikuga, nimetatakse sekant: Sekant lõikub tingimata mõlemat sirget. Ületamisel moodustub 8 nurka, millest mõnel iseloomulikul paaril on erilised nimed ja omadused: Risti valetamine nurgad on võrdsed. Vastav nurgad on võrdsed. Ühepoolne nurgad on kokku 180°.

Sirge ja tasandi risti.

Tasapinnaga lõikuvat sirget nimetatakse risti see tasapind, kui see on risti iga sirgega, mis asub antud tasapinnal ja läbib lõikepunkti.

SIRG JA TASANDI PERpendikulaarsuse MÄRK.

Kui tasapinda lõikuva sirge on risti kahe sirgega sellel tasapinnal, mis läbivad antud sirge ja tasandi lõikepunkti, siis on see tasandiga risti.

1. RISTIJOONTE JA TASANDIDE OMADUS .

Kui tasapind on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on see risti ka teisega.

2. RISTIJOONTE JA TASANDIDE OMADUS .

Kaks sama tasapinnaga risti olevat sirget on paralleelsed.

Kolme risti teoreem

Las olla AB- risti tasapinnaga α, AC- kaldus ja c- sirge punkti läbival tasapinnal α C ja risti projektsioon eKr. Tõmbame sirge CK paralleelselt sirgjoonega AB. Otse CK risti tasapinnaga α (kuna see on paralleelne AB) ja seega selle tasandi mis tahes joon, seega CK joonega risti c AB ja CK tasapind β (paralleelsed sirged määravad tasapinna ja ainult üks). Otse c on risti kahe ristuva sirgega, mis asuvad tasapinnal β, see eKr tingimuse järgi ja CK konstruktsiooni järgi, mis tähendab, et see on risti mis tahes sellesse tasapinda kuuluva sirgega, mis tähendab, et see on ka risti joonega AC .

Kolme risti pöörde teoreem

Kui tasapinnal läbi kaldjoone aluse tõmmatud sirge on kaldjoonega risti, siis on see risti ka selle projektsiooniga.

Las olla AB- tasapinnaga risti a , AC- kaldus ja koos- tasapinna sirgjoon a läbides nõlva aluse Koos. Tõmbame sirge SC, paralleelselt joonega AB. Otse SC tasapinnaga risti a(selle teoreemi järgi, kuna see on paralleelne AB) ja seega selle tasandi mis tahes joon, seega SC joonega risti koos. Joonista paralleelsed jooned AB ja SC lennuk b(paralleelsed jooned määratlevad tasapinna ja ainult ühe). Otse koos risti kahe tasapinnas paikneva sirgega b, See AC tingimuse järgi ja SC konstruktsiooni järgi tähendab see, et see on risti mis tahes sellele tasapinnale kuuluva sirgega, mis tähendab, et see on ka risti joonega päike. Teisisõnu, projektsioon päike joonega risti koos lennukis lamades a .

Risti ja kaldu.

Perpendikulaarne, mis on langetatud antud punktist antud tasapinnale, nimetatakse lõiguks, mis ühendab antud punkti tasapinna punktiga ja asub tasapinnaga risti asetseval sirgel. Selle segmendi lõppu, mis asub tasapinnal, nimetatakse risti alus .

kaldus, mis on tõmmatud antud punktist antud tasapinnale, on mis tahes segment, mis ühendab antud punkti tasandi punktiga, mis ei ole tasapinnaga risti. Tasapinnal asuva segmendi lõppu nimetatakse kalde alus. Samast punktist tõmmatud kaldjoone risti aluseid ühendavat lõiku nimetatakse nn. kaldus projektsioon .

Definitsioon 1. Antud sirgega risti on antud sirgega risti olev lõik, mille üks otstest on nende lõikepunktis. Lõigu lõppu, mis asub antud sirgel, nimetatakse risti aluseks.

2. definitsioon. Antud punktist antud sirgele tõmmatud kaldjoon on ühendav segment antud punkt mis tahes punktiga sirgel, mis ei ole ristu alus, mis langeb samast punktist antud sirgele. AB - risti tasapinnaga α.

AC - kaldus, CB - projektsioon.

C - kalde alus, B - risti alus.

Nurk sirge ja tasapinna vahel.

Nurk sirge ja tasapinna vahel Nimetatakse mis tahes nurka sirgjoone ja selle sellele tasapinnale projektsiooni vahel.

Dihedraalne nurk.

Dihedraalne nurk- ruumiline geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühelt sirgelt väljuvat pooltasapinda, samuti osa ruumist, mida need pooltasandid piiravad. Poollennukeid nimetatakse näod kahetahuline nurk ja nende ühine sirgjoon - serv. Dihedraalnurki mõõdetakse lineaarnurgaga, st nurgaga, mille moodustab kahetahulise nurga ja selle servaga risti oleva tasapinna ristumiskoht. Igal polüeedril, olgu siis korrapärasel või ebakorrapärasel, kumeral või nõgusal, on kahetahuline nurk igal serval.

Kahe tasandi perpendikulaarsus.

TASAKANDI PERpendiikulaarsuse MÄRK.

Kui tasapind läbib teise tasapinnaga risti olevat sirget, siis on need tasapinnad risti.

1.1 Irratsionaalvõrrandid

Sageli leitakse irratsionaalseid võrrandeid sisseastumiskatsed matemaatikas, kuna nende abiga on lihtne diagnoosida teadmisi sellistest mõistetest nagu ekvivalentteisendused, määratluspiirkond ja muud. Irratsionaalvõrrandi lahendamise meetodid põhinevad reeglina võimalusel asendada (mõne teisenduse abil) irratsionaalne võrrand ratsionaalsega, mis on kas ekvivalentne algse irratsionaalvõrrandiga või on selle tagajärg. Kõige sagedamini tõstetakse võrrandi mõlemad pooled samale astmele. Samaväärsust ei rikuta, kui mõlemad osad on tõstetud paaritu astmeni. Vastasel juhul on vaja kontrollida leitud lahendusi või hinnata võrrandi mõlema osa märki. Kuid on ka teisi nippe, mis võivad irratsionaalsete võrrandite lahendamisel olla tõhusamad. Näiteks trigonomeetriline asendusmeetod.

Näide 1: lahendage võrrand

Sellest ajast . Seetõttu võib panna . Võrrand saab kuju

Paneme siis kuhu

.

.

Vastus: .
Algebraline lahendus
Sellest ajast . Tähendab, , et saaksite moodulit laiendada

.

Vastus: .

Võrrandi algebraline lahendamine eeldab head identsete teisenduste sooritamise oskust ja samaväärsete üleminekute asjatundlikku käsitlemist. Kuid üldiselt on mõlemad lähenemisviisid samaväärsed.

Näide 2: lahendage võrrand

.

Lahendus trigonomeetrilise asendusega

Võrrandi valdkonna annab võrratus , mis on samaväärne tingimusega , siis . Seetõttu võime panna . Võrrand saab kuju

Sellest ajast . Avame sisemooduli

Paneme , siis

.

Tingimus on täidetud kahe väärtusega ja .

.

.

Vastus: .

Algebraline lahendus

.

Võrdleme esimese hulga süsteemi võrrandi, saame

Lase siis. Võrrand kirjutatakse kujul ümber

Kontrollides teeme kindlaks, et see on juur, jagades polünoomi binoomiga, saame võrrandi parema poole lagunemise teguriteks

Liigume muutujalt muutujale , saame

.

tingimus rahuldada kahte väärtust

.

Asendades need väärtused algsesse võrrandisse, saame selle juureks.

Lahendades sarnasel viisil algkogumi teise süsteemi võrrandit, leiame, et see on ka juur.

Vastus: .

Kui eelmises näites olid algebraline lahendus ja trigonomeetrilist asendust kasutav lahendus samaväärsed, siis in sel juhul asenduslahendus on tulusam. Võrrandi lahendamisel algebra abil tuleb lahendada kahest võrrandist koosnev hulk, st kaks korda ruut. Pärast seda mitteekvivalentset teisendust saadakse kaks neljanda astme võrrandit irratsionaalsete koefitsientidega, millest asendamine aitab vabaneda. Teine raskus on leitud lahenduste kontrollimine algvõrrandiga asendamise teel.

Näide 3. Lahenda võrrand

.

Lahendus trigonomeetrilise asendusega

Sellest ajast . Pange tähele, et tundmatu negatiivne väärtus ei saa olla probleemi lahendus. Tõepoolest, me teisendame algse võrrandi vormiks

.

Võrrandi vasakpoolses servas sulgudes olev tegur on positiivne, võrrandi parem pool samuti positiivne, seega ei saa võrrandi vasakpoolne tegur olla negatiivne. Sellepärast võite siis panna Algne võrrand kirjutatakse kujul ümber

Alates , siis ja . Võrrand saab kuju

Las olla . Liigume võrrandi juurest punktini samaväärne süsteem

.

Arvud ja on ruutvõrrandi juured

.

Algebraline lahendus Paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu
Tutvustame asendust , siis kirjutatakse võrrand kujul

Teine juur on üleliigne, seega kaaluge võrrandit

.

Sellest ajast .

Sel juhul on algebraline lahendus tehniliselt lihtsam, kuid ülaltoodud lahendust tuleb arvestada trigonomeetrilise asendusega. Selle põhjuseks on esiteks asendus enda ebastandardne olemus, mis hävitab stereotüübi, mille kohaselt on trigonomeetrilise asendamise kasutamine võimalik ainult siis, kui . Selgub, et kui ka trigonomeetriline asendus leiab rakendust. Teiseks on trigonomeetrilise võrrandi lahendamisel teatud raskusi , mida vähendatakse võrrandisüsteemi muudatuse sisseviimisega. Teatud mõttes võib seda asendust pidada ka mittestandardseks ning selle tundmine võimaldab rikastada trigonomeetriliste võrrandite lahendamise trikkide ja meetodite arsenali.

Näide 4. Lahenda võrrand

.

Lahendus trigonomeetrilise asendusega

Kuna muutuja võib võtta mis tahes tegeliku väärtuse, paneme . Siis

,

Nagu .

Esialgne võrrand, võttes arvesse tehtud teisendusi, võtab kuju

Kuna , jagame võrrandi mõlemad pooled , saame

Las olla , siis . Võrrand saab kuju

.

Arvestades asendust , saame kahe võrrandi komplekti

.

Lahendame iga komplekti võrrandi eraldi.

.

Ei saa olla siinusväärtus, nagu argumendi mis tahes väärtuse puhul.

.

Nagu ja algse võrrandi parem pool on positiivne, siis . Millest järeldub, et .

Sellel võrrandil pole juuri, kuna .
Seega on algsel võrrandil üks juur
.

Algebraline lahendus

Seda võrrandit saab hõlpsasti "muuta" kaheksanda astme ratsionaalseks võrrandiks, ruudustades algse võrrandi mõlemad osad. Saadud ratsionaalse võrrandi juurte otsimine on keeruline ja see on vajalik kõrge kraad leidlikkus töö tegemiseks. Seetõttu on soovitav teada teistsugust, vähem traditsioonilist lahendusviisi. Näiteks I. F. Sharygini pakutud asendus.

Paneme , siis

Teisendame võrrandi parema külje :

Võttes arvesse teisendusi, võrrand võtab vormi

.

Seejärel tutvustame asendust

.

Teine juur on seega üleliigne ja .

Kui võrrandi lahendamise idee pole ette teada , siis on standardsel viisil lahendamine võrrandi mõlema osa ruudustamisel problemaatiline, kuna tulemuseks on kaheksanda astme võrrand, mille juuri on äärmiselt raske leida. Trigonomeetrilist asendust kasutav lahendus tundub tülikas. Võrrandi juurte leidmine võib olla keeruline, kui te ei märka, et see kordub. Otsus määratud võrrandit toimub algebra aparaadi abil, seega võime öelda, et pakutud lahendus on kombineeritud. Selles töötab algebra ja trigonomeetria teave koos ühe eesmärgi nimel – lahenduse saamiseks. Samuti nõuab selle võrrandi lahendamine kahe juhtumi hoolikat kaalumist. Asenduslahendus on tehniliselt lihtsam ja ilusam, kui kasutada trigonomeetrilist asendust. Soovitav on, et õpilased teaksid seda asendusmeetodit ja rakendaksid seda ülesannete lahendamisel.
Rõhutame, et trigonomeetrilise asendamise kasutamine ülesannete lahendamisel peaks olema teadlik ja põhjendatud. Asendust on soovitav kasutada juhtudel, kui muul viisil lahendus on keerulisem või isegi võimatu. Toome veel ühe näite, mida on erinevalt eelmisest lihtsam ja kiirem standardsel viisil lahendada.