Selle peatüki esimest lõiku võib pidada kooli geomeetria kursuse jätkuks. Tuletame meelde peamisi vektori mõistega seotud määratlusi.

Punktide paari nimetatakse korrastatud, kui saab nende kohta öelda, milline neist on esimene, milline teine. Määratleb järjestatud punktide paar suunatud segment.

Definitsioon 1. Kutsutakse välja suunatud segment vektor. Järjestatud paari esimest punkti kutsutakse alustada vektor ja teine ​​- selle lõpp.

Vektori tähistamiseks kasutatakse tähistust: , kus AGA– vektori rakenduspunkt (vektori algus), punkt AT on vektori lõpp; või ; või a .

Nimetatakse vektorit, mille algus ja lõpp on samad null vektor ja tähistatud 0 .

Vektori alguse ja lõpu vahelist kaugust nimetatakse vektoriks pikk(sama hästi kui moodul või absoluutväärtus). Vektori pikkust tähistatakse | |, või | a |, või |
|.

Definitsioon 2. Vektoreid nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel, st. on joon, millega nad on paralleelsed. Vektoreid nimetatakse koplanaarne kui on olemas tasapind, millega nad on paralleelsed.

Definitsioon 3. Kutsutakse kahte vektorit võrdne kui need on kollineaarsed, on sama suuna ja sama pikkusega.

H Joonisel 1 on kujutatud vektoreid, mille puhul üht võrdsuse tingimust on rikutud: vektorid on mittekollineaarsed (joonis 1 a), on vektorid suunatud erinevad küljed(Joonis 1 b), on vektorid erineva pikkusega (joonis 1 sisse).

Pange tähele vektorite vahelise võrdsuse seose järgmisi omadusi:

1.
(refleksiivsus).

2. Kui
, siis
(sümmeetria).

3. Kui
ja
, siis
(transitiivsus).

4. Kui
, siis
.

5. Mis tahes punktide eest A, B, C on ainult üks punkt D selline, et
.

Esimesed kolm omadust saab asendada järgmise sõnastusega: võrdsuse seos on ekvivalentsuhe.

Pange tähele, et vektorite võrdsuse mõiste erineb oluliselt näiteks arvude võrdsuse mõistest. Iga arv on võrdne ainult iseendaga, teisisõnu võib kahte võrdset arvu igal juhul pidada üheks ja samaks arvuks. Vektoritega on olukord erinev: definitsiooni järgi on olemas erinevad, kuid võrdsed vektorid. Antud vektoriga võrdset vektorit saame edasi lükata mis tahes punktist.

Võtke mõni vektor
ja loe kõigi vektorite hulk vektoriga võrdseks
. Seda komplekti nimetatakse ekvivalentsusklass vektori poolt genereeritud
. Vektor
on ekvivalentsusklassi esindaja.

4. definitsioon. vaba vektor a nimetame kõigi vektorite hulka, mis on võrdne vektoriga a , st. kogu ekvivalentsusklass.

Kooli geomeetria kursusest on teada, et vektorit võib käsitleda paralleeltõlkena. Seda definitsiooni võib pidada ka vaba vektori definitsiooniks.

Vaba vektori, nagu ka arvude puhul, tähendab võrdsus vastet: kaks vektorit on võrdsed siis ja ainult siis, kui nad on sama vektor. Edaspidi mõistame vektori mõiste all vaba vektorit.

Vaatleme lineaarseid tehteid vektoritega. Lineaartehted on vektorite liitmine ja vektori korrutamine arvuga.

O

a B
C

b

definitsioon 5. Olgu antud kaks vektorit a ja b . Ehitame nendega võrdsed vektorid
ja
(st liigutage lõppu a ja alusta b meelevaldsesse punkti AT). Siis vektor
helistas summa vektorid ja tähistatud a + b (Joonis 2).

FROM vektori liitmise operatsiooni omadused:

Mis tahes vektorite jaoks a ja b summa a + b ka vektor (sulgemine).

Mis tahes vektorite jaoks a ja b sooritatud a + b = b + a (kommutatiivsus).

Mis tahes vektorite jaoks a , b ja Koos sooritatud a + (b + Koos ) = (a + b ) + Koos (assotsiatiivsus).

Vektorite hulgal on nullvektor 0 , millel on omadus: 0 + a = a mis tahes vektori jaoks a . Kommutatiivsust arvesse võttes saame kirjutada 0 + a = 0 + a = a (nullvektori olemasolu).

Iga vektori jaoks a seal on vektor - a , selline, et

a + (–a ) = (–a ) + a = 0

(vastandvektori olemasolu).

Definitsioon 6. Vektortoodea reaalarvul α nimetatakse mis tahes vektoriks b , mis vastab järgmistele tingimustele:

a) | b | = |α| ∙ | a |;

b) vektor b vektori suhtes kollineaarne a ;

c) vektorid a ja b on suunatud samal viisil, kui α > 0 ja vastupidi, kui α< 0.

Vektortoode a arv α on tähistatud tähega α a .

Lineaaralgebra käigust on teada vektorruumide lihtsamad omadused, mis loomulikult kehtivad tasapinnal ja ruumis olevate vektorite puhul. Näiteks nullelemendi ainulaadsus, vastupidise elemendi ainulaadsus, võrdsus - a = (–1)a ja teised.

Vektori arvuga korrutamise omadused:

1. Mis tahes arvude α ja β ning mis tahes vektori jaoks a tõeline võrdsus

(α β) a = α (β a ).

2. Vektori korrutamine ühega ei muuda seda vektorit 1 ∙ a = a .

3. Iga vektori jaoks a töötab 0 ∙ a = 0 .

4. Mis tahes arvu α, α ∙ korral 0 = 0 .

Atribuudid, mis seovad arvuga liitmise ja korrutamise toiminguid:

1. Mis tahes arvude α, β ja mis tahes vektori jaoks a sooritatud

(α + β) a = α a + β a

(jaotus arvude liitmise suhtes).

2. Mis tahes vektorite jaoks a ja b ja mis tahes arv α,

α ( a + b ) = α a + α b

(jaotus vektori liitmise suhtes).

Definitsioon 7. erinevus kaks vektorit a ja b nimetatakse vektori summaks a ja vastupidine vektor b , st. a – b = a + (–b ).

Defineerides vektorite lahutamise liitmise kaudu, ei käsitle me lahutamist eraldiseisvana. Samuti pole mõtet käsitleda vektori arvuga jagamise operatsiooni, mida saab defineerida kui vektori korrutamist antud arvu pöördarvuga.

Vektor on eukleidilise ruumi sirge suunatud lõik, mille üht otsa (punkti A) nimetatakse vektori alguseks ja teist otsa (punkti B) vektori lõpuks (joonis 1). . Vektorid on tähistatud:

Kui vektori algus ja lõpp on samad, siis kutsutakse vektorit nullvektor ja tähistatud 0 .

Näide. Olgu vektori alguses kahemõõtmelises ruumis koordinaadid A(12,6) , ja vektori lõpp on koordinaadid B(12.6). Siis on vektor nullvektor.

Lõika pikkus AB helistas moodul (pikk, norm) vektor ja seda tähistatakse | a|. Nimetatakse vektorit, mille pikkus on võrdne ühega ühikvektor. Lisaks moodulile iseloomustab vektorit suund: vektoril on suund alates A juurde B. Vektorit nimetatakse vektoriks, vastupidine vektor .

Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Joonisel fig. 3 punast vektorit on kollineaarsed alates nad asuvad samal sirgel ja sinised vektorid on kollineaarsed, sest nad asuvad paralleelsetel joontel. Kaks kollineaarsed vektorid helistas võrdselt suunatud kui nende otsad asuvad samal pool nende algust ühendavat joont. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit vastassuunas kui nende otsad asuvad nende algust ühendava joone vastaskülgedel. Kui kaks kollineaarset vektorit asuvad samal sirgel, siis nimetatakse neid võrdselt suunatud, kui üks ühe vektori moodustatud kiirtest sisaldab täielikult teise vektori moodustatud kiirt. Vastasel juhul nimetatakse vektoreid vastassuunalisteks. Joonisel 3 on sinised vektorid samas suunas ja punased vastupidises suunas.

Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui neil on võrdsed moodulid ja need on võrdselt suunatud. Joonisel 2 on vektorid võrdsed, sest nende moodulid on võrdsed ja sama suunaga.

Vektoreid nimetatakse koplanaarne kui need asuvad samal tasapinnal või paralleelsetel tasapindadel.

AT n Dimensioonilises vektorruumis vaatleme kõigi vektorite hulka, mille alguspunkt kattub lähtepunktiga. Seejärel saab vektori kirjutada järgmisel kujul:

(1)

kus x 1 , x 2 , ..., x n vektori lõpp-punkti koordinaadid x.

Kujul (1) kirjutatud vektorit kutsutakse rea vektor, ja vektor, mis on kirjutatud kujul

(2)

helistas veeru vektor.

Number n helistas dimensioon (korras) vektor. Kui a siis kutsutakse vektorit nullvektor(sest vektori alguspunkt ). Kaks vektorit x ja y on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad elemendid on võrdsed.

Esimene tase

Koordinaadid ja vektorid. Põhjalik juhend (2019)

Selles artiklis alustame teiega arutelu ühe "võlukepi" üle, mis võimaldab teil taandada paljud geomeetriaprobleemid lihtsaks aritmeetikaks. See võlukepp võib teie elu oluliselt lihtsamaks teha, eriti kui tunnete end ebakindlalt ruumikujude, lõikude jms ehitamisel. Kõik see nõuab teatud kujutlusvõimet ja praktilisi oskusi. Meetod, mida me siin käsitlema hakkame, võimaldab teil peaaegu täielikult abstraheerida kõikvõimalikest geomeetrilistest konstruktsioonidest ja arutluskäikudest. Meetodit nimetatakse "koordinaatide meetod". Selles artiklis käsitleme järgmisi küsimusi:

1. Koordinaatide tasapind
2. Punktid ja vektorid tasapinnal
3. Vektori ehitamine kahest punktist
4. Vektori pikkus (kahe punkti vaheline kaugus).
5. Keskpunkti koordinaadid
6. Vektorite punktkorrutis
7. Nurk kahe vektori vahel

Arvan, et sa juba arvasid, miks koordinaatmeetodit nii nimetatakse? On tõsi, et see sai sellise nime, kuna see ei tööta mitte geomeetriliste objektidega, vaid nendega numbrilised omadused(koordinaadid). Ja teisendus ise, mis võimaldab liikuda geomeetriast algebrasse, seisneb koordinaatsüsteemi sisseviimises. Kui esialgne kujund oli tasane, siis on koordinaadid kahemõõtmelised ja kui kujund on kolmemõõtmeline, siis on koordinaadid kolmemõõtmelised. Selles artiklis käsitleme ainult kahemõõtmelist juhtumit. Ja artikli põhieesmärk on õpetada teile, kuidas kasutada mõnda koordinaatmeetodi põhitehnikat (need osutuvad mõnikord kasulikuks ühtse riigieksami B-osa planimeetria ülesannete lahendamisel). Kaks järgmist selleteemalist osa on pühendatud probleemide C2 (stereomeetria probleem) lahendamise meetodite käsitlemisele.

Kust oleks loogiline alustada arutelu koordinaatmeetodi üle? Ilmselt koordinaatsüsteemi mõistega. Pidage meeles, kui teda esimest korda kohtasite. Mulle tundub, et 7. klassis, kui olemasolust teada said lineaarne funktsioon, näiteks. Tuletan teile meelde, et ehitasite selle punkt-punktilt üles. Kas sa mäletad? Valisite suvalise arvu, asendasite selle valemiga ja arvutasite sel viisil. Näiteks kui, siis, kui, siis jne. Mida sa selle tulemusel said? Ja saite punkte koordinaatidega: ja. Järgmiseks joonistasite "risti" (koordinaatsüsteem), valisite sellele skaala (mitu lahtrit teil on ühe segmendina) ja märkisite sellele saadud punktid, mille seejärel sirgjoonega ühendasite. joon on funktsiooni graafik.

On mõned asjad, mida tuleb teile veidi üksikasjalikumalt selgitada:

1. Valite mugavuse huvides ühe segmendi, et kõik mahuks kenasti ja kompaktselt pildile

2. Eeldatakse, et telg läheb vasakult paremale ja telg läheb alt üles

3. Nad lõikuvad täisnurga all ja nende ristumispunkti nimetatakse alguspunktiks. See on tähistatud tähega.

4. Näiteks punkti koordinaadi kirjes on vasakul sulgudes punkti koordinaat piki telge ja paremal piki telge. Eelkõige tähendab lihtsalt, et punkt

5. Mis tahes punkti sisselülitamiseks koordinaatide telg, peate määrama selle koordinaadid (2 numbrit)

6. Iga teljel paikneva punkti puhul

7. Iga teljel paikneva punkti puhul

8. Telge nimetatakse x-teljeks

9. Telge nimetatakse y-teljeks

Nüüd astume teiega järgmise sammu: märkige kaks punkti. Ühendage need kaks punkti joonega. Ja paneme noole nii, nagu joonistaksime lõiku punktist punkti: see tähendab, et me muudame oma lõigu suunatud!

Pea meeles, mis on suunatud segmendi teine ​​nimi? Täpselt nii, seda nimetatakse vektoriks!

Seega, kui ühendame punkti punktiga, ja algus on punkt A ja lõpp on punkt B, siis saame vektori. Sa tegid seda ehitust ka 8. klassis, mäletad?

Selgub, et vektoreid, nagu ka punkte, saab tähistada kahe numbriga: neid arve nimetatakse vektori koordinaatideks. Küsimus: kas teie arvates piisab, kui me teame vektori alguse ja lõpu koordinaate, et leida selle koordinaadid? Tuleb välja, et jah! Ja seda on väga lihtne teha:

Seega, kuna vektoris on punkt algus ja lõpp, on vektoril järgmised koordinaadid:

Näiteks kui, siis vektori koordinaadid

Nüüd teeme vastupidi, leiame vektori koordinaadid. Mida me selleks muutma peame? Jah, peate algust ja lõppu vahetama: nüüd on vektori algus punktis ja lõpp punktis. Seejärel:

Vaadake tähelepanelikult, mis vahe on vektorite ja? Nende ainus erinevus on koordinaatides olevad märgid. Nad on vastandlikud. See fakt on kirjutatud järgmiselt:

Mõnikord, kui pole konkreetselt öeldud, milline punkt on vektori algus ja milline lõpp, siis ei tähistata vektoreid kahega. suured tähed, aga üks väiketäht, näiteks: , jne.

Nüüd natuke harjutada ja leidke järgmiste vektorite koordinaadid:

Eksam:

Nüüd lahendage probleem veidi keerulisemalt:

Vektortorus, mille punktis on on-cha-jääk, on co-or-di-on-you. Leia-di-te abs-cis-su punktid.

Kõik sama on üsna proosaline: Olgu punkti koordinaadid. Siis

Kompileerisin süsteemi, määrates kindlaks, millised on vektori koordinaadid. Siis on punktil koordinaadid. Oleme huvitatud abstsissist. Siis

Vastus:

Mida saab veel vektoritega teha? Jah, peaaegu kõik on sama, mis tavaliste numbritega (välja arvatud see, et te ei saa jagada, kuid saate korrutada kahel viisil, millest ühte räägime siin veidi hiljem)

1. Vektoreid saab üksteisega virnastada
2. Vektoreid saab üksteisest lahutada
3. Vektoreid saab korrutada (või jagada) suvalise nullist erineva arvuga
4. Vektoreid saab omavahel korrutada

Kõik need toimingud on üsna visuaalsed geomeetriline esitus. Näiteks kolmnurga (või rööpküliku) reegel liitmiseks ja lahutamiseks:

Vektor venib, kahaneb või muudab suunda, kui seda arvuga korrutada või jagada:

Siinkohal huvitab meid aga küsimus, mis juhtub koordinaatidega.

1. Kahe vektori liitmisel (lahutamisel) liidame (lahutame) nende koordinaadid elemendi haaval. See on:

2. Vektori arvuga korrutamisel (jagamisel) korrutatakse (jagatakse) selle arvuga kõik selle koordinaadid:

Näiteks:

· Leia-di-ko-or-di-nat sajandist-ra summa.

Leiame esmalt iga vektori koordinaadid. Mõlemal on sama päritolu – lähtepunkt. Nende otsad on erinevad. Siis,. Nüüd arvutame vektori koordinaadid Siis on saadud vektori koordinaatide summa võrdne.

Vastus:

Nüüd lahendage järgmine probleem ise:

· Leidke vektori koordinaatide summa

Kontrollime:

Vaatleme nüüd järgmist probleemi: meil on kaks punkti koordinaattasand. Kuidas nende vahelist kaugust leida? Olgu esimene punkt ja teine. Tähistame nendevahelist kaugust kui . Selguse huvides teeme järgmise joonise:

Mis ma teinud olen? Esiteks ühendasin punktid ja tõmbasin punktist teljega paralleelse sirge ja punktist teljega paralleelse sirge. Kas need lõikuvad ühes punktis, moodustades imelise kuju? Miks ta on imeline? Jah, sina ja mina teame peaaegu kõike täisnurkne kolmnurk. Noh, Pythagorase teoreem, kindlasti. Soovitud segment on selle kolmnurga hüpotenuus ja segmendid on jalad. Mis on punkti koordinaadid? Jah, neid on pildilt lihtne leida: Kuna lõigud on paralleelsed telgedega ja vastavalt, on nende pikkused kergesti leitavad: kui tähistame lõikude pikkused vastavalt läbi, siis

Nüüd kasutame Pythagorase teoreemi. Me teame jalgade pikkust, leiame hüpotenuusi:

Seega on kahe punkti vaheline kaugus koordinaatidest saadud erinevuste ruudu summa. Või - ​​kahe punkti vaheline kaugus on neid ühendava lõigu pikkus. On hästi näha, et punktide vaheline kaugus ei sõltu suunast. Seejärel:

Sellest teeme kolm järeldust:

Harjutame veidi kahe punkti vahelise kauguse arvutamist:

Näiteks kui, siis kaugus ja vahel on

Või lähme teisiti: leiame vektori koordinaadid

Ja leidke vektori pikkus:

Nagu näete, on see sama!

Nüüd harjutage natuke omaette:

Ülesanne: leidke antud punktide vaheline kaugus:

Kontrollime:

Siin on sama valemi jaoks veel paar probleemi, kuigi need kõlavad veidi erinevalt:

1. Leia-di-te silmalau-ra pikkuse ruut.

2. Nai-di-te ruut silmalau pikkusest-ra

Ma arvan, et saate nendega hõlpsalt hakkama? Kontrollime:

1. Ja see on tähelepanelikkuseks) Oleme vektorite koordinaadid juba varem leidnud: . Siis on vektoril koordinaadid. Selle pikkuse ruut on:

2. Leia vektori koordinaadid

Siis on selle pikkuse ruut

Pole midagi keerulist, eks? Lihtne aritmeetika, ei midagi muud.

Järgnevaid puslesid ei saa üheselt liigitada, need on pigem üldise eruditsiooni ja lihtsate piltide joonistamise oskuse jaoks.

1. Leidke need siinuse nurgal-klo-on-lõikest, ühendage üks n-s punkt abstsissteljega.

ja

Kuidas me seda siin tegema hakkame? Peate leidma siinuse nurga ja telje vahel. Ja kust siinust otsida? See on õige, täisnurkses kolmnurgas. Mida me siis tegema peame? Ehitage see kolmnurk!

Kuna punkti koordinaadid ja, siis lõik on võrdne ja lõik. Peame leidma nurga siinuse. Tuletan teile meelde, et siinus on siis vastasjala ja hüpotenuusi suhe

Mis meil teha jääb? Leidke hüpotenuus. Seda saab teha kahel viisil: kasutades Pythagorase teoreemi (jalad on teada!) või kasutades kahe punkti vahelise kauguse valemit (tegelikult sama, mis esimene meetod!). Ma lähen teist teed:

Vastus:

Järgmine ülesanne tundub teile veelgi lihtsam. Ta - punkti koordinaatidel.

2. ülesanne. Punktist langetatakse per-pen-di-ku-lar abs-cissi teljele. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Teeme joonise:

Perpendikulaari alus on punkt, kus see lõikub x-teljega (teljega), minu jaoks on see punkt. Joonis näitab, et sellel on koordinaadid: . Oleme huvitatud abstsissist - see tähendab "X" komponendist. Ta on võrdne.

Vastus: .

3. ülesanne. Eelmise ülesande tingimustes leidke punktist koordinaatide telgede kauguste summa.

Ülesanne on üldiselt elementaarne, kui tead, milline on kaugus punktist telgedeni. Sa tead? Loodan, aga tuletan siiski meelde:

Nii et oma joonisel, mis asub veidi kõrgemal, olen ma juba kujutanud ühte sellist risti? Mis telg see on? teljele. Ja mis selle pikkus siis on? Ta on võrdne. Nüüd joonistage ise teljega risti ja leidke selle pikkus. See saab olema võrdne, eks? Siis on nende summa võrdne.

Vastus: .

4. ülesanne.Ülesande 2 tingimustes leidke punkti ordinaat, mis on sümmeetriline punktiga x-telje ümber.

Ma arvan, et saate intuitiivselt aru, mis on sümmeetria? Väga paljudel objektidel on see olemas: palju hooneid, laudu, lennukeid, palju geomeetrilised kujundid: pall, silinder, ruut, romb jne. Jämedalt võib sümmeetriat mõista järgmiselt: kujund koosneb kahest (või enamast) identsest poolest. Seda sümmeetriat nimetatakse aksiaalseks. Mis on siis telg? See on täpselt see joon, mida mööda saab figuuri suhteliselt identseteks pooleks lõigata (sellel pildil on sümmeetriatelg sirge):

Nüüd pöördume tagasi oma ülesande juurde. Teame, et otsime punkti, mis on telje suhtes sümmeetriline. Siis on see telg sümmeetriatelg. Niisiis, peame märkima punkti, nii et telg lõikab segmendi kaheks võrdseks osaks. Proovige ise selline punkt ära märkida. Võrrelge nüüd minu lahendusega:

Kas sa tegid sama? Hea! Leitud punktis oleme huvitatud ordinaatidest. Ta on võrdne

Vastus:

Nüüd öelge mulle pärast sekundilist mõtlemist, milline on punkti A suhtes sümmeetrilise punkti abstsiss y-telje suhtes? Mis on teie vastus? Õige vastus:.

AT üldine juhtum Reegli saab kirjutada nii:

Punktil, mis on sümmeetriline punktiga x-telje ümber, on koordinaadid:

Y-telje suhtes sümmeetrilisel punktil on koordinaadid:

No nüüd on päris hirmus. ülesanne: otsige punktiga sümmeetrilise punkti koordinaadid lähtepunkti suhtes. Kõigepealt mõtle ise ja siis vaata minu joonistust!

Vastus:

Nüüd rööpküliku probleem:

Ülesanne 5: punktid on ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsi-dee-te või-dee-on-tu punkte.

Saate selle probleemi lahendada kahel viisil: loogika ja koordinaatide meetod. Kõigepealt rakendan koordinaatide meetodit ja siis räägin teile, kuidas saate teisiti otsustada.

On täiesti selge, et punkti abstsiss on võrdne. (see asub punktist x-teljele tõmmatud ristil). Peame leidma ordinaat. Kasutame ära asjaolu, et meie kujund on rööpkülik, mis tähendab seda. Leidke lõigu pikkus kahe punkti vahelise kauguse valemi abil:

Langetame punkti, mis ühendab punkti teljega. Lõikepunkt on tähistatud tähega.

Segmendi pikkus on võrdne. (leidke probleem ise, kus me seda hetke arutasime), siis leiame Pythagorase teoreemi abil segmendi pikkuse:

Lõigu pikkus on täpselt sama kui selle ordinaadi pikkus.

Vastus: .

Teine lahendus (ma annan lihtsalt pildi, mis seda illustreerib)

Lahenduse edenemine:

1. Kuluta

2. Leia punkti koordinaadid ja pikkus

3. Tõesta seda.

Veel üks lõike pikkuse probleem:

Punktid on-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Leidke tema keskjoone pikkus, par-ral-lel-noy.

Kas mäletate, mis see on keskmine joon kolmnurk? Siis on see ülesanne teie jaoks elementaarne. Kui te ei mäleta, tuletan teile meelde: kolmnurga keskjoon on joon, mis ühendab vastaskülgede keskpunkte. See on alusega paralleelne ja võrdne poolega sellest.

Alus on segment. Selle pikkust pidime varem otsima, see on võrdne. Siis on keskjoone pikkus poole pikem ja võrdne.

Vastus: .

Kommentaar: Seda probleemi saab lahendada ka muul viisil, mille juurde pöördume veidi hiljem.

Seniks aga paar ülesannet, harjuta nende kallal, need on üsna lihtsad, aga aitavad koordinaatmeetodil “kätt täita”!

1. Punktid ilmuvad-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Leidke selle keskjoone pikkus.

2. Punktid ja yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsi-dee-te või-dee-on-tu punkte.

3. Leidke lõikest pikkus, ühendage teine ​​punkt ja

4. Leidke ko-or-di-nat-noy tasapinnal ala-the-red-shen-noy fi-gu-ry.

5. Ringjoon, mille keskpunkt on na-cha-le ko-or-di-nat, läbib punkti. Otsige üles tema vuntsid.

6. Nai-di-te ra-di-us ring-no-sti, kirjelda-san-noy täisnurga-no-ka lähedal, millegi-ro-go tops-shi-ny on co-or - di-na-sina kaas-vastus-aga

Lahendused:

1. On teada, et trapetsi keskjoon on võrdne poolega selle aluste summast. Alus on võrdne, kuid alus. Siis

Vastus:

2. Lihtsaim viis selle probleemi lahendamiseks on seda märgata (parallelogrammi reegel). Arvutage vektorite koordinaadid ja see pole keeruline: . Vektorite lisamisel liidetakse koordinaadid. Siis on koordinaadid. Punktil on samad koordinaadid, kuna vektori algus on koordinaatidega punkt. Oleme huvitatud ordinaatidest. Ta on võrdne.

Vastus:

3. Toimime kohe kahe punkti vahelise kauguse valemi järgi:

Vastus:

4. Vaata pilti ja ütle, millise kahe kujundi vahele on varjutatud ala “pigistatud”? See asetseb kahe ruudu vahele. Seejärel võrdub soovitud kujundi pindala suure ruudu pindalaga, millest on lahutatud väikese ruudu pindala. Külg väike ruut on sirglõik, mis ühendab punkte ja selle pikkus on

Siis on väikese ruudu pindala

Teeme sama suure ruuduga: selle külg on punkte ühendav segment ja pikkus on võrdne

Siis on suure ruudu pindala

Soovitud kujundi pindala leitakse järgmise valemi abil:

Vastus:

5. Kui ringi keskpunkt on alguspunkt ja see läbib punkti, siis on selle raadius täpselt sama pikkusega võrdne segment (koostage joonis ja saate aru, miks see on ilmne). Leidke selle lõigu pikkus:

Vastus:

6. On teada, et ristküliku ümber piiratud ringi raadius on võrdne poolega selle diagonaalist. Leiame ükskõik millise kahe diagonaali pikkuse (ristkülikus on need ju võrdsed!)

Vastus:

Kas sa said kõigega hakkama? Ei olnudki nii raske aru saada, eks? Siin on ainult üks reegel - visuaalse pildi tegemine ja sellest kõik andmed lihtsalt “lugemine”.

Meil on jäänud väga vähe. Sõna otseses mõttes on veel kaks punkti, mida tahaksin arutada.

Proovime seda lihtsat probleemi lahendada. Olgu kaks punkti ja antakse. Leidke lõigu keskkoha koordinaadid. Selle ülesande lahendus on järgmine: olgu punkt soovitud keskpunkt, siis on sellel koordinaadid:

See on: lõigu keskkoha koordinaadid = lõigu otste vastavate koordinaatide aritmeetiline keskmine.

See reegel on väga lihtne ega tekita õpilastele tavaliselt raskusi. Vaatame, millistes probleemides ja kuidas seda kasutatakse:

1. Otsi-di-te või-di-na-tu se-re-di-us alates-lõigatud, ühenda-nya-yu-th-punkt ja

2. Punktid on yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Leia-di-te või-di-na-tu punktid re-re-se-che-niya tema dia-go-on-lei.

3. Otsi-di-te abs-cis-su ringi keskpunktist, kirjelda-san-noy ristküliku-no-ka lähedal, tops-shi-meil on midagi-ro-go co-or-di- na-sa kaas- alates-vet-stvenno-aga.

Lahendused:

1. Esimene ülesanne on lihtsalt klassikaline. Tegutseme kohe, määrates lõigu keskpunkti. Tal on koordinaadid. Ordinaat on võrdne.

Vastus:

2. On hästi näha, et antud nelinurk on rööpkülik (isegi romb!). Saate seda ise tõestada, kui arvutate külgede pikkused ja võrdlete neid omavahel. Mida ma tean rööpküliku kohta? Selle diagonaalid poolitatakse ristumispunktiga! Ahaa! Mis on diagonaalide lõikepunkt? See on ükskõik millise diagonaali keskpunkt! Eelkõige valin diagonaali. Siis on punktil koordinaadid.Punkti ordinaat on võrdne.

Vastus:

3. Mis on ristküliku ümber piiritletud ringi keskpunkt? See langeb kokku selle diagonaalide lõikepunktiga. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta? Need on võrdsed ja lõikepunkt jagatakse pooleks. Ülesanne on taandatud eelmisele. Võtke näiteks diagonaal. Siis kui on piiritletud ringi keskpunkt, siis on keskpunkt. Otsin koordinaate: Abstsiss on võrdne.

Vastus:

Harjutage nüüd natuke omaette, igale probleemile annan ainult vastused, et saaksite ennast kontrollida.

1. Nai-di-te ra-di-us ring-no-sti, kirjelda-san-noy kolmnurga-no-ka lähedal, kellegi-ro-go tippudel on ko-or-di -no misters

2. Otsi-di-te või-di-na-tu ringi keskpunkt, kirjelda san-noy kolmnurga lähedal-no-ka, tops-shi-meil on midagi-ro-go koordinaadid

3. Milline ra-di-y-sa peaks olema ring, mille keskpunkt on ühes punktis nii, et see puudutab abs-cissi telge?

4. Leia-di-te või-di-selles punktis, kus telje uuesti otsitakse ja lõigatakse, ühendatakse-nya-yu-th-punkt ja

Vastused:

Kas kõik õnnestus? Ma väga loodan seda! Nüüd – viimane tõuge. Ole nüüd eriti ettevaatlik. Materjal, mida ma nüüd selgitan, on otseselt seotud mitte ainult lihtsaid ülesandeid koordinaatmeetodile osast B, kuid esineb ka kõikjal ülesandes C2.

Milliseid lubadusi ma pole veel täitnud? Kas mäletate, milliseid vektorite tehteid lubasin kasutusele võtta ja millised lõpuks kasutusele võtsin? Kas ma olen kindel, et ma pole midagi unustanud? Unustasin! Unustasin selgitada, mida tähendab vektorite korrutamine.

Vektori korrutamiseks vektoriga on kaks võimalust. Sõltuvalt valitud meetodist saame erineva iseloomuga objekte:

Vektorprodukt on üsna keeruline. Kuidas seda teha ja miks seda vaja on, arutame teiega järgmises artiklis. Ja selles keskendume skalaarkorrutisele.

Selle arvutamiseks on juba kaks võimalust:

Nagu arvasite, peaks tulemus olema sama! Nii et vaatame kõigepealt esimest viisi:

Punkttoode koordinaatide kaudu

Leidke: - punkttoote tavaline tähistus

Arvutamise valem on järgmine:

See on skalaarkorrutis= vektori koordinaatide korrutiste summa!

Näide:

Leia-dee-te

Lahendus:

Leidke iga vektori koordinaadid:

Arvutame skalaarkorrutise valemiga:

Vastus:

Näete, absoluutselt mitte midagi keerulist!

Noh, proovige nüüd ise:

Find-di-te skalaar-noe pro-from-ve-de-nie sajandist-kraavini ja

Kas said hakkama? Võib-olla märkas ta väikest nippi? Kontrollime:

Vektorkoordinaadid, nagu eelmises ülesandes! Vastus:.

Lisaks koordinaadile on skalaarkorrutise arvutamiseks veel üks viis, nimelt vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse kaudu:

Tähistab nurka vektorite ja vahel.

See tähendab, et skalaarkorrutis on võrdne vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

Milleks meile seda teist valemit vaja, kui meil on esimene, mis on palju lihtsam, selles pole vähemalt koosinusi. Ja me vajame seda selleks, et esimesest ja teisest valemist saaksime järeldada, kuidas leida vektorite vahelist nurka!

Olgu siis meeles vektori pikkuse valem!

Kui ühendan need andmed punkttoote valemiga, saan:

Aga teiselt poolt:

Mis meil siis on? Meil on nüüd valem kahe vektori vahelise nurga arvutamiseks! Mõnikord on see lühiduse mõttes kirjutatud ka järgmiselt:

See tähendab, et vektorite vahelise nurga arvutamise algoritm on järgmine:

1. Arvutame skalaarkorrutise koordinaatide kaudu
2. Leidke vektorite pikkused ja korrutage need
3. Jagage punkti 1 tulemus punkti 2 tulemusega

Harjutame näidetega:

1. Leia nurk silmalaugude-ra-mi ja. Esitage oma vastus kraadides.

2. Eelmise ülesande tingimustes leia koosinus vektorite vahel

Teeme nii: aitan teil esimese probleemi lahendada ja proovige teist ise teha! Ma nõustun? Alustame siis!

1. Need vektorid on meie vanad sõbrad. Oleme nende skalaarkorrutist juba arvestanud ja see oli võrdne. Nende koordinaadid on: , . Seejärel leiame nende pikkused:

Seejärel otsime vektorite vahel koosinust:

Mis on nurga koosinus? See on nurk.

Vastus:

Noh, nüüd lahendage teine ​​probleem ise ja seejärel võrrelge! Ma annan väga lühikese lahenduse:

2. omab koordinaate, omab koordinaate.

Laskma olema nurk vektorite ja, siis

Vastus:

Tuleb märkida, et ülesanded otse vektoritel ja koordinaatide meetodil B osas eksamitööüsna haruldane. Valdav enamus C2 ülesandeid on aga kergesti lahendatavad koordinaatsüsteemi kasutuselevõtuga. Nii et võite seda artiklit pidada vundamendiks, mille põhjal teeme üsna keerulisi konstruktsioone, mida peame lahendama väljakutseid pakkuvad ülesanded.

KOORDINAADID JA VEKTORID. KESKTASEMEL

Teie ja mina jätkame koordinaatide meetodi uurimist. Viimases osas järeldasime sarja olulised valemid, mis võimaldavad:

1. Otsige vektori koordinaadid
2. Leidke vektori pikkus (alternatiiv: kaugus kahe punkti vahel)
3. Lisage, lahutage vektoreid. korrutage need arvuga tegelik arv
4. Leidke lõigu keskpunkt
5. Arvutage vektorite punktkorrutis
6. Leidke vektorite vaheline nurk

Loomulikult ei mahu kogu koordinaatide meetod nende 6 punkti sisse. See on aluseks sellisele teadusele nagu analüütiline geomeetria, millega tutvute ülikoolis. Ma tahan lihtsalt luua vundamendi, mis võimaldab teil probleeme ühes riigis lahendada. eksam. Selgitasime välja B-osa ülesanded jaotises Nüüd on aeg liikuda edasi kvaliteedi poole uus tase! See artikkel on pühendatud meetodile nende C2 probleemide lahendamiseks, mille puhul oleks mõistlik üle minna koordinaatmeetodile. Selle mõistlikkuse määrab see, mida probleemist tuleb leida ja milline arv on antud. Seega kasutaksin koordinaatide meetodit, kui küsimused on järgmised:

1. Leia kahe tasapinna vaheline nurk
2. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel
3. Leidke kahe joone vaheline nurk
4. Leia kaugus punktist tasapinnani
5. Leidke kaugus punktist jooneni
6. Otsige sirge ja tasapinna kaugust
7. Leidke kahe joone vaheline kaugus

Kui ülesande tingimuses antud arv on pöördekeha (kuul, silinder, koonus ...)

Koordinaatide meetodi jaoks sobivad arvud on:

1. risttahukas
2. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne, kuusnurkne)

Ka minu kogemuse järgi jaoks on kohatu kasutada koordinaatmeetodit:

1. Sektsioonide pindalade leidmine
2. Kehade mahtude arvutused

Siiski tuleb kohe märkida, et kolm koordinaatmeetodi jaoks "ebasoodsat" olukorda on praktikas üsna haruldased. Enamiku ülesannete puhul võib see saada teie päästjaks, eriti kui te pole kolmemõõtmelistes konstruktsioonides (mis on mõnikord üsna keerukas) väga tugev.

Mis on kõik ülaltoodud arvud? Need ei ole enam lamedad, näiteks ruut, kolmnurk, ring, vaid mahukad! Sellest lähtuvalt peame arvestama mitte kahemõõtmelise, vaid kolmemõõtmelise koordinaatsüsteemiga. See on ehitatud üsna lihtsalt: lisaks abstsissile ja ordinaatidele tutvustame veel üht telge, rakendustelge. Joonisel on skemaatiliselt näidatud nende suhteline asukoht:

Kõik need on üksteisega risti, ristuvad ühes punktis, mida me nimetame lähtepunktiks. Nagu varemgi, tähistatakse abstsisstelge, ordinaattelge - ja kasutusele võetud rakendustelge - .

Kui varem iseloomustati tasapinna iga punkti kahe numbriga - abstsiss ja ordinaat, siis iga ruumipunkti kirjeldatakse juba kolme numbriga - abstsiss, ordinaat, aplikaat. Näiteks:

Sellest lähtuvalt on punkti abstsiss võrdne, ordinaat on Ja rakendus on .

Mõnikord nimetatakse punkti abstsissi ka punkti projektsiooniks abstsissteljele, ordinaat on punkti projektsioon ordinaatteljel ja aplikaat on punkti projektsioon rakendusteljel. Seega, kui punkt on antud, siis punkt koordinaatidega:

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

Tekib loomulik küsimus: kas kõik kahemõõtmelise juhtumi jaoks tuletatud valemid kehtivad ruumis? Vastus on jah, need on õiglased ja neil on sama välimus. Väikese detaili jaoks. Ma arvan, et sa juba arvasid, milline. Kõikides valemites peame lisama veel ühe termini, mis vastutab rakendustelje eest. Nimelt.

1. Kui antakse kaks punkti: , siis:

• Vektori koordinaadid:
• Kahe punkti vaheline kaugus (või vektori pikkus)
• Lõigu keskel on koordinaadid

2. Kui on antud kaks vektorit: ja, siis:

• Nende täpptoode on:
• Vektorite vahelise nurga koosinus on:

Kuid ruum pole nii lihtne. Nagu te mõistate, toob ühe koordinaadi lisamine selles ruumis "elavate" kujundite spektris märkimisväärse mitmekesisuse. Ja edasiseks jutustamiseks pean ma sisse juhatama mõningase jämedalt öeldes sirgjoone "üldistuse". See "üldistus" saab olema lennuk. Mida sa lennukist tead? Proovige vastata küsimusele, mis on lennuk? Seda on väga raske öelda. Kuid me kõik kujutame intuitiivselt ette, kuidas see välja näeb:

Jämedalt öeldes on see omamoodi lõputu kosmosesse surutud "leht". "Lõpmatust" tuleks mõista nii, et tasapind ulatub igas suunas, see tähendab, et selle pindala on võrdne lõpmatusega. See "näppude peal" seletus ei anna aga lennuki ehitusest vähimatki aimu. Ja me tunneme selle vastu huvi.

Meenutagem üht geomeetria põhiaksioomi:

• Sirge läbib tasapinna kahte erinevat punkti, pealegi ainult ühte:

Või selle analoog ruumis:

Muidugi mäletate, kuidas kahest antud punktist sirge võrrandit tuletada, see pole sugugi keeruline: kui esimesel punktil on koordinaadid: ja teisel, siis on sirge võrrand järgmine:

Sa tegid selle läbi 7. klassis. Ruumis näeb sirge võrrand välja selline: olgu meil kaks koordinaatidega punkti: , siis on neid läbiva sirge võrrand järgmine:

Näiteks joon läbib punkte:

Kuidas seda tuleks mõista? Seda tuleks mõista järgmiselt: punkt asub sirgel, kui selle koordinaadid vastavad järgmisele süsteemile:

Meid ei huvita väga sirgjoone võrrand, kuid peame tähelepanu pöörama väga olulisele sirge suunava vektori kontseptsioonile. - mis tahes nullist erinev vektor, mis asub antud sirgel või sellega paralleelselt.

Näiteks mõlemad vektorid on sirge suunavektorid. Laskma olla punkt, mis asub sirgel, ja olla selle suunav vektor. Siis saab sirgjoone võrrandi kirjutada järgmisel kujul:

Jällegi, mind ei huvita sirgjoone võrrand, kuid mul on tõesti vaja, et te mäletaksite, mis on suunavektor! Veelkord: see on MIS tahes nullist erinev vektor, mis asub sirgel või sellega paralleelselt.

Tõmba tagasi tasapinna kolmepunktiline võrrand ei ole enam nii triviaalne ja tavaliselt seda küsimust kursusel ei käsitleta Keskkool. Aga asjata! See tehnika on ülioluline, kui kasutame keeruliste probleemide lahendamiseks koordinaatide meetodit. Samas eeldan, et oled täis soovi midagi uut õppida? Pealegi saad ülikoolis oma õppejõule muljet avaldada, kui selgub, et oskad juba kasutada tehnikat, mida tavaliselt analüütilise geomeetria käigus õpitakse. Nii et alustame.

Tasapinna võrrand ei erine liiga palju tasapinna sirgjoone võrrandist, nimelt on sellel järgmine vorm:

mõned arvud (kõik ei võrdu nulliga), vaid muutujad, näiteks: jne. Nagu näha, ei erine tasapinna võrrand kuigivõrd sirgjoone võrrandist (lineaarfunktsioon). Kuid mäletate, mida me teiega vaidlesime? Ütlesime, et kui meil on kolm punkti, mis ei asu ühel sirgel, siis tasandi võrrand taastatakse neist üheselt. Aga kuidas? Püüan teile selgitada.

Kuna tasapinna võrrand on:

Ja punktid kuuluvad sellele tasapinnale, siis iga punkti koordinaadid tasapinna võrrandisse asendades peaksime saama õige identiteedi:

Seega on vaja lahendada kolm võrrandit juba tundmatutega! Dilemma! Siiski võime seda alati eeldada (selleks peame jagama). Seega saame kolm võrrandit kolme tundmatuga:

Kuid me ei lahenda sellist süsteemi, vaid kirjutame välja sellest tuleneva krüptilise avaldise:

Kolme etteantud punkti läbiva tasapinna võrrand

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiivi)) \right| = 0\]

Lõpeta! Mis see veel on? Väga ebatavaline moodul! Objektil, mida näete enda ees, pole aga mooduliga midagi pistmist. Seda objekti nimetatakse kolmandat järku determinandiks. Nüüdsest, kui tegelete lennukis koordinaatide meetodiga, puutute sageli kokku just nende determinantidega. Mis on kolmandat järku determinant? Kummalisel kombel on see vaid number. Jääb üle mõista, millist konkreetset arvu me determinandiga võrdleme.

Kirjutame esmalt kolmandat järku determinandi rohkem üldine vaade:

Kus on mõned numbrid. Veelgi enam, esimese indeksi all peame silmas rea numbrit ja indeksi all - veeru numbrit. Näiteks tähendab see, et antud arv on teise rea ja kolmanda veeru ristumiskohas. Paneme järgmine küsimus: kuidas me sellist determinanti täpselt arvutame? See tähendab, millise konkreetse numbriga me seda võrdleme? Täpselt kolmanda järgu determinandi jaoks on olemas heuristiline (visuaalne) kolmnurga reegel, see näeb välja järgmine:

1. Põhidiagonaali elementide korrutis (ülevalt vasakult alla paremale) elementide korrutis, mis moodustavad põhidiagonaaliga "risti" esimese kolmnurga, nende elementide korrutis, mis moodustavad teise kolmnurga põhidiagonaaliga "risti" diagonaal
2. Sekundaarse diagonaali elementide korrutis (paremast ülanurgast vasakpoolsesse alanurka) sekundaarse diagonaali esimese kolmnurga "risti" moodustavate elementide korrutis, teise kolmnurga "risti" moodustavate elementide korrutis sekundaarsest diagonaalist
3. Siis on determinant võrdne etapil ja saadud väärtuste vahega

Kui kirjutame selle kõik numbritega, saame järgmise avaldise:

Sellel kujul pole aga vaja arvutusmeetodit pähe õppida, piisab, kui hoida peas kolmnurgad ja idee, mida millele lisatakse ja millest siis lahutatakse).

Illustreerime kolmnurga meetodit näitega:

1. Arvutage determinant:

Mõelgem välja, mida lisame ja mida lahutame:

Tingimused, millel on "pluss":

See on peamine diagonaal: elementide korrutis on

Esimene kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on

Teine kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on

Lisame kolm numbrit:

Tingimused, millel on "miinus"

See on külgdiagonaal: elementide korrutis on

Esimene kolmnurk, "risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on

Teine kolmnurk, "risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on

Lisame kolm numbrit:

Jääb üle vaid plussliikmete summast lahutada miinusliikmete summa:

Sellel viisil,

Nagu näete, pole kolmandat järku determinantide arvutamisel midagi keerulist ja üleloomulikku. Kolmnurkade puhul on lihtsalt oluline meeles pidada ja mitte teha aritmeetilisi vigu. Proovige nüüd ise arvutada:

Kontrollime:

1. Esimene kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
2. Teine kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
3. Plusstingimuste summa:
4. Esimene kolmnurk, mis on risti külgdiagonaaliga:
5. Teine kolmnurk, mis on risti külgdiagonaaliga:
6. Tingimuste summa miinusega:
7. Plusstingimuste summa miinus miinustingimuste summa:

Siin on teile veel paar määrajat, arvutage ise nende väärtused ja võrrelge vastustega:

Vastused:

No kas kõik klappis? Suurepärane, siis võite edasi minna! Kui on raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: Internetis on hunnik programme determinandi võrgus arvutamiseks. Kõik, mida vajate, on välja mõelda oma determinant, see ise arvutada ja seejärel võrrelda seda programmi arvutatuga. Ja nii edasi, kuni tulemused hakkavad ühtima. Olen kindel, et seda hetke ei lähe kaua oodata!

Tuleme nüüd tagasi determinandi juurde, mille ma välja kirjutasin, kui rääkisin võrrandist, mis läbib kolme antud punktid:

Kõik, mida pead tegema, on arvutada selle väärtus otse (kasutades kolmnurga meetodit) ja määrata tulemuseks null. Loomulikult, kuna need on muutujad, saate neist sõltuva avaldise. Just see avaldis on võrrand tasapinnaga, mis läbib kolme antud punkti, mis ei asu ühel sirgel!

Illustreerime seda lihtsa näitega:

1. Koostage punkte läbiva tasandi võrrand

Koostame nende kolme punkti jaoks determinandi:

Lihtsustamine:

Nüüd arvutame selle otse kolmnurkade reegli järgi:

\[(\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiivi)) \ parem| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Seega on punkte läbiva tasandi võrrand:

Proovige nüüd üks probleem ise lahendada ja siis arutame seda:

2. Leidke punkte läbiva tasandi võrrand

Noh, arutame nüüd lahendust:

Teeme määraja:

Ja arvutage selle väärtus:

Siis on tasapinna võrrandil järgmine kuju:

Või vähendades võrra, saame:

Nüüd kaks enesekontrolli ülesannet:

1. Koostage kolme punkti läbiva tasandi võrrand:

Vastused:

Kas kõik klappis? Jällegi, kui on teatud raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: võtke peast kolm punkti (suure tõenäosusega ei asu need ühel sirgel), ehitage neile tasapind. Ja siis kontrollige ennast Internetis. Näiteks saidil:

Kuid determinantide abil konstrueerime mitte ainult tasandi võrrandi. Pidage meeles, ma ütlesin teile, et vektorite puhul pole määratletud ainult punktkorrutis. Samuti on olemas vektor, samuti segaprodukt. Ja kui kahe vektori skalaarkorrutis on arv, siis on kahe vektori vektorkorrutis vektor ja see vektor on risti antud vektoritega:

Ja selle moodul saab olema võrdne pindalaga vektoritele ehitatud rööpkülik ja. See vektor peame arvutama kauguse punktist sirgeni. Kuidas arvutada vektorite ristkorrutist ja kas on antud nende koordinaadid? Kolmanda korra määraja tuleb jälle meile appi. Enne aga ristkorrutise arvutamise algoritmi juurde asumist pean aga tegema väikese lüürilise kõrvalepõike.

See kõrvalekalle puudutab baasvektoreid.

Skemaatiliselt on need näidatud joonisel:

Miks sa arvad, et neid nimetatakse põhilisteks? Fakt on see, et:

Või pildil:

Selle valemi kehtivus on ilmne, sest:

vektorprodukt

Nüüd võin alustada risttoote tutvustamist:

Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mis arvutatakse järgmise reegli järgi:

Toome nüüd mõned näited ristkorrutise arvutamise kohta:

Näide 1: leidke vektorite ristkorrutis:

Lahendus: teen determinandi:

Ja ma arvutan selle välja:

Nüüd, alustades baasvektorite kaudu kirjutamisest, pöördun tagasi tavapärase vektorite tähistuse juurde:

Sellel viisil:

Nüüd proovige.

Valmis? Kontrollime:

Ja traditsiooniliselt kaks kontrollitavad ülesanded:

1. Leidke järgmiste vektorite ristkorrutis:
2. Leidke järgmiste vektorite ristkorrutis:

Vastused:

Kolme vektori segakorrutis

Viimane konstruktsioon, mida ma vajan, on kolme vektori segakorrutis. See, nagu skalaar, on arv. Selle arvutamiseks on kaks võimalust. - determinandi kaudu, - segatoote kaudu.

Nimelt oletame, et meil on kolm vektorit:

Seejärel saab kolme vektori segakorrutise, mida tähistatakse, arvutada järgmiselt:

1. - see tähendab, et segakorrutis on vektori skalaarkorrutis ja kahe teise vektori vektorkorrutis

Näiteks kolme vektori segakorrutis on:

Proovige see vektorkorrutise abil ise välja arvutada ja veenduge, et tulemused ühtivad!

Jällegi kaks näidet sõltumatu otsus:

Vastused:

Koordinaadisüsteemi valik

Noh, nüüd on meil kõik vajalikud teadmised geomeetria keeruliste stereomeetriliste probleemide lahendamiseks. Enne otse näidete ja nende lahendamise algoritmide juurde asumist usun aga, et on kasulik peatuda järgmisel küsimusel: kuidas täpselt vali konkreetse joonise jaoks koordinaatsüsteem. Lõppude lõpuks on see valik suhteline positsioon Koordinaatide süsteemid ja arvud ruumis määravad lõpuks, kui kohmakad arvutused on.

Tuletan teile meelde, et selles jaotises käsitleme järgmisi arve:

1. risttahukas
2. Sirge prisma (kolmnurkne, kuusnurkne…)
3. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne)
4. Tetraeeder (sama mis kolmnurkne püramiid)

Ruumi või kuubi jaoks soovitan järgmist konstruktsiooni:

See tähendab, et panen figuuri "nurka". Kuubik ja karp on väga head kujundid. Nende jaoks saate alati hõlpsasti leida selle tippude koordinaadid. Näiteks kui (nagu on näidatud pildil)

siis tipukoordinaadid on:

Loomulikult ei pea te seda meeles pidama, kuid pidage meeles, kuidas kuubi või kuubi kõige paremini paigutada risttahukas- soovitav.

sirge prisma

Prisma on kahjulikum kuju. Saate seda ruumis paigutada erineval viisil. Siiski arvan, et järgmine variant on parim:

Kolmnurkne prisma:

See tähendab, et asetame kolmnurga ühe külje täielikult teljele ja üks tippudest langeb kokku lähtepunktiga.

Kuusnurkne prisma:

See tähendab, et üks tippudest langeb kokku lähtepunktiga ja üks külgedest asub teljel.

Nelinurkne ja kuusnurkne püramiid:

Kuubikuga sarnane olukord: ühendame aluse kaks külge koordinaattelgedega, ühe tipu ühendame alguspunktiga. Ainus väike raskus on punkti koordinaatide arvutamine.

Kuusnurkse püramiidi puhul – sama, mis kuusnurkse prisma puhul. Peamine ülesanne on jällegi tipu koordinaatide leidmine.

Tetraeeder (kolmnurkne püramiid)

Olukord on väga sarnane sellele, mille andsin kolmnurkprisma puhul: üks tipp langeb kokku lähtepunktiga, üks külg asub koordinaatteljel.

Noh, nüüd oleme teiega lõpuks lähedal probleemide lahendamisele. Sellest, mida ma artikli alguses ütlesin, võite teha järgmise järelduse: enamik C2 probleeme jaguneb kahte kategooriasse: nurga probleemid ja kauguse probleemid. Esiteks käsitleme nurga leidmise probleeme. Need jagunevad omakorda järgmistesse kategooriatesse (keerukuse kasvades):

Probleemid nurkade leidmisel

1. Kahe sirge vahelise nurga leidmine
2. Kahe tasandi vahelise nurga leidmine

Vaatleme neid probleeme järjestikku: alustame kahe sirge vahelise nurga leidmisega. Tule, pea meeles, kas sina ja mina ei otsustanud sarnased näited enne? Mäletate, sest meil oli juba midagi sarnast... Otsisime nurka kahe vektori vahel. Tuletan teile meelde, kui on antud kaks vektorit: ja, siis nendevaheline nurk leitakse seosest:

Nüüd on meil eesmärk – leida kahe sirge vaheline nurk. Pöördume "lameda pildi" poole:

Mitu nurka saame, kui kaks sirget ristuvad? Juba asjad. Tõsi, ainult kaks neist ei ole võrdsed, samas kui teised on nende suhtes vertikaalsed (ja seetõttu langevad nendega kokku). Millise nurga all peaksime arvestama kahe sirge vahelise nurga all: või? Siin kehtib reegel: kahe sirge vaheline nurk ei ole alati suurem kui kraadi. See tähendab, et kahe nurga alt valime alati väikseima nurga kraadi mõõt. See tähendab, et sellel pildil on kahe joone vaheline nurk võrdne. Et mitte iga kord kahest nurgast kõige väiksema leidmisega vaeva näha, soovitasid kavalad matemaatikud moodulit kasutada. Seega määratakse kahe sirge vaheline nurk valemiga:

Teil kui tähelepanelikul lugejal oleks pidanud tekkima küsimus: kust me õigupoolest võtame need arvud, mida on vaja nurga koosinuse arvutamiseks? Vastus: võtame need joonte suunavektoritest! Seega on kahe joone vahelise nurga leidmise algoritm järgmine:

1. Rakendame valemit 1.

Või täpsemalt:

1. Otsime esimese sirge suunavektori koordinaate
2. Otsime teise rea suunavektori koordinaate
3. Arvutage nende skalaarkorrutise moodul
4. Otsime esimese vektori pikkust
5. Otsime teise vektori pikkust
6. Korrutage punkti 4 tulemused punkti 5 tulemustega
7. Jagame punkti 3 tulemuse punkti 6 tulemusega. Saame sirgetevahelise nurga koosinuse
8. Kui a antud tulemus võimaldab täpselt arvutada nurka, me otsime seda
9. Vastasel juhul kirjutame läbi arkosiini

Noh, nüüd on aeg liikuda ülesannete juurde: ma demonstreerin üksikasjalikult kahe esimese lahendust, ühe teise lahenduse esitan lühidalt ja annan vastused ainult kahele viimasele ülesandele, peate tehke kõik arvutused nende jaoks ise.

Ülesanded:

1. Paremal tet-ra-ed-re leidke-di-te nurk you-se-t tet-ra-ed-ra ja me-di-a-noy bo-ko-how külje vahel.

2. Parempoolses kuus-söe-pi-ra-mi-de-s on saja-ro-na-os-no-va-niya kuidagi võrdsed ja külgmised ribid on võrdsed, leidke sirge vaheline nurk. read ja.

3. Paremakäelise four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused on üksteisega võrdsed. Leidke sirgjoonte vaheline nurk ja kui from-re-zok - you-so-et antud pi-ra-mi-dy, punkt on se-re-di-on tema bo-ko- th ribi

4. Kuubi serval minust-che-punktini nii, et Find-di-te sirgjoonte vaheline nurk ja

5. Punkt - se-re-di-kuubi servadel Nai-di-te sirgjoonte vaheline nurk ja.

Pole juhus, et panin ülesanded sellisesse järjekorda. Kui teil pole veel olnud aega koordinaatide meetodil navigeerimiseks, analüüsin ise kõige "probleemsemaid" kujundeid ja jätan teile tegelema kõige lihtsama kuubikuga! Tasapisi tuleb õppida kõigi figuuridega töötamist, tõstan ülesannete keerukust teemalt teemale.

Alustame probleemide lahendamist:

1. Joonistage tetraeeder, asetage see koordinaatsüsteemi, nagu ma varem soovitasin. Kuna tetraeeder on korrapärane, on kõik selle tahud (kaasa arvatud alus) korrapärased kolmnurgad. Kuna meile ei ole antud külje pikkust, võin selle võrdseks võtta. Arvan, et saate aru, et nurk ei sõltu tegelikult sellest, kui palju meie tetraeedrit "venitatakse"?. Samuti joonistan tetraeedris kõrguse ja mediaani. Teepeal joonistan selle aluse (see tuleb ka meile kasuks).

Pean leidma nurga ja vahel. Mida me teame? Me teame ainult punkti koordinaate. Seega peame leidma rohkem punktide koordinaate. Nüüd mõtleme: punkt on kolmnurga kõrguste (või poolitajate või mediaanide) lõikepunkt. Punkt on kõrgendatud punkt. Punkt on lõigu keskpunkt. Siis lõpuks peame leidma: punktide koordinaadid: .

Alustame kõige lihtsamast: punkti koordinaadid. Vaata joonist: On selge, et punkti rakendus on võrdne nulliga (punkt asub tasapinnal). Selle ordinaat on võrdne (kuna see on mediaan). Selle abstsissi on raskem leida. Seda on aga lihtne teha Pythagorase teoreemi alusel: Vaatleme kolmnurka. Selle hüpotenuus on võrdne ja üks jalg on võrdne Siis:

Lõpuks on meil:

Nüüd leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle rakendus on jälle võrdne nulliga ja selle ordinaat on sama, mis punktil, see tähendab. Leiame selle abstsissi. Seda tehakse üsna triviaalselt, kui seda meeles pidada kõrgused Võrdkülgne kolmnurk ristumispunkt jagatakse proportsionaalselt lugedes ülevalt. Alates: , siis punkti soovitud abstsiss, võrdne pikkusega segment on võrdne: . Seega on punkti koordinaadid:

Leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Ja aplikatsioon on võrdne segmendi pikkusega. - see on kolmnurga üks jalgadest. Kolmnurga hüpotenuus on segment - jalg. Seda otsitakse põhjustel, mille esile tõin paksus kirjas:

Punkt on lõigu keskpunkt. Seejärel peame meeles pidama segmendi keskpunkti koordinaatide valemit:

See on kõik, nüüd saame otsida suunavektorite koordinaate:

Noh, kõik on valmis: asendame kõik andmed valemiga:

Sellel viisil,

Vastus:

Te ei tohiks karta selliseid "kohutavaid" vastuseid: probleemide C2 puhul on see tavaline praktika. Pigem oleksin selles osas üllatunud "ilusa" vastuse üle. Samuti, nagu märkisite, ei kasutanud ma praktiliselt midagi muud peale Pythagorase teoreemi ja võrdkülgse kolmnurga kõrguste omaduse. See tähendab, et stereomeetrilise probleemi lahendamiseks kasutasin stereomeetriat minimaalselt. Selle kasu on osaliselt "kustutatud" üsna tülikate arvutustega. Kuid need on üsna algoritmilised!

2. Joonistage korrapärane kuusnurkne püramiid koos koordinaatide süsteemiga ja selle alus:

Peame leidma nurga joonte ja vahel. Seega taandub meie ülesanne punktide koordinaatide leidmisele: . Viimase kolme koordinaadid leiame väikeselt jooniselt ja tipu koordinaadi leiame punkti koordinaadi kaudu. Tööd on palju, aga tuleb alustada!

a) Koordinaat: on selge, et selle rakendus ja ordinaat on null. Leiame abstsissi. Selleks kaaluge täisnurkset kolmnurka. Kahjuks teame selles ainult hüpotenuusi, mis on võrdne. Proovime jalga leida (sest on selge, et jala kahekordne pikkus annab meile punkti abstsissi). Kuidas me saame seda otsida? Meenutagem, milline kujund on meil püramiidi põhjas? See on tavaline kuusnurk. Mida see tähendab? See tähendab, et kõik küljed ja nurgad on võrdsed. Peame leidma ühe sellise nurga. Ideid? Ideid on palju, kuid valem on olemas:

Tavalise n-nurga nurkade summa on .

Seega on korrapärase kuusnurga nurkade summa kraadid. Siis on kõik nurgad võrdsed:

Vaatame uuesti pilti. On selge, et segment on nurga poolitaja. Siis on nurk kraadi. Seejärel:

Siis kuhu.

Nii et sellel on koordinaadid

b) Nüüd saame hõlpsalt leida punkti koordinaadi: .

c) Leidke punkti koordinaadid. Kuna selle abstsiss langeb kokku segmendi pikkusega, on see võrdne. Ordinaadi leidmine pole samuti väga keeruline: kui ühendame punktid ja ja tähistame sirge lõikepunkti, ütleme for. (tee ise lihtne ehitus). Siis Seega on punkti B ordinaat võrdne lõikude pikkuste summaga. Vaatame uuesti kolmnurka. Siis

Siis alates Siis punktil on koordinaadid

d) Nüüd leidke punkti koordinaadid. Vaatleme ristkülikut ja tõestame, et punkti koordinaadid on järgmised:

e) Jääb üle leida tipu koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Leiame rakenduse. Sellest ajast. Mõelge täisnurksele kolmnurgale. Probleemi seisundi järgi külgserv. See on minu kolmnurga hüpotenuus. Siis on püramiidi kõrgus jalg.

Siis on punktil koordinaadid:

See on kõik, mul on kõigi huvipakkuvate punktide koordinaadid. Otsin sirgete suunavektorite koordinaate:

Otsime nende vektorite vahelist nurka:

Vastus:

Jällegi, selle ülesande lahendamisel ei kasutanud ma mingeid keerulisi nippe, välja arvatud tavalise n-nurga nurkade summa valem, samuti täisnurkse kolmnurga koosinuse ja siinuse definitsioon.

3. Kuna meile jällegi püramiidi servade pikkusi ei anta, siis loen need kokku võrdne ühega. Seega, kuna KÕIK servad, mitte ainult külgmised, on üksteisega võrdsed, siis asub püramiidi ja mina põhjas ruut ja külgmised näod on täisnurksed kolmnurgad. Kujutagem sellist püramiidi ja selle alust tasapinnal, märkides kõik ülesande tekstis toodud andmed:

Otsime nurka ja vahel. Punktide koordinaate otsides teen väga lühikesed arvutused. Peate need "dekrüpteerima":

b) - segmendi keskosa. Tema koordinaadid:

c) Leian kolmnurga lõigu pikkuse Pythagorase teoreemi abil. Ma leian Pythagorase teoreemi järgi kolmnurgas.

Koordinaadid:

d) - segmendi keskosa. Selle koordinaadid on

e) Vektori koordinaadid

f) Vektori koordinaadid

g) nurga otsimine:

Kuubik on kõige lihtsam kuju. Olen kindel, et saate selle ise välja mõelda. Vastused ülesannetele 4 ja 5 on järgmised:

Sirge ja tasapinna vahelise nurga leidmine

Noh, lihtsate mõistatuste aeg on möödas! Nüüd on näited veelgi raskemad. Sirge ja tasapinna vahelise nurga leidmiseks toimime järgmiselt.

1. Kolme punkti abil koostame tasandi võrrandi
   ,
   kasutades kolmandat järku determinanti.
2. Kahe punkti järgi otsime sirge suuna vektori koordinaate:
3. Sirge ja tasapinna vahelise nurga arvutamiseks kasutame valemit:

Nagu näete, on see valem väga sarnane sellele, mida kasutasime kahe joone vaheliste nurkade leidmiseks. Parema külje struktuur on täpselt sama ja vasakult otsime nüüd siinust, mitte koosinust, nagu varem. Noh, üks vastik tegevus lisandus - lennuki võrrandi otsimine.

Ärme pane riiulisse lahendamise näited:

1. Os-no-va-ni-em straight-minu auhind-me oleme-la-et-xia võrdsed-kuid-vaesed-ren-ny kolmnurga-nick you-with-selle auhinna-me oleme võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel

2. Ristkülikukujulises pa-ral-le-le-pi-pe-de läänest Nai-di-te nurk sirge ja tasapinna vahel

3. Parempoolses kuuesöeprismas on kõik servad võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel.

4. Parempoolses kolmnurkses pi-ra-mi-de koos os-but-va-ni-em ribi läänest Nai-di-te nurgast, ob-ra-zo-van -ny tasapinnaga os. -no-va-niya ja sirge-my, läbides ribide se-re-di-na ja

5. Parempoolse nelinurkse pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused ülaosaga on üksteisega võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasandi vahel, kui punkt on se-re-di-pi-ra-mi-dy bo-ko-in-th serval.

Jällegi lahendan kaks esimest ülesannet üksikasjalikult, kolmanda - lühidalt ja kaks viimast jätan teie enda lahendada. Lisaks tuli juba tegeleda kolmnurkse ja nelinurksed püramiidid, aga prismadega – veel mitte.

Lahendused:

1. Joonistage prisma, samuti selle alus. Kombineerime selle koordinaatsüsteemiga ja märgime kõik ülesande avalduses toodud andmed:

Vabandan proportsioonide mittejärgimise pärast, kuid probleemi lahendamiseks pole see tegelikult nii oluline. Lennuk on lihtsalt minu prisma "tagasein". Piisab, kui lihtsalt arvata, et sellise tasandi võrrandil on vorm:

Seda saab aga näidata ka otse:

Valime sellel tasapinnal suvalised kolm punkti: näiteks .

Koostame tasapinna võrrandi:

Harjutus teile: arvutage see determinant ise. Kas õnnestus? Siis on tasapinna võrrandil järgmine kuju:

Või lihtsalt

Sellel viisil,

Näite lahendamiseks pean leidma sirge suunava vektori koordinaadid. Kuna punkt langes alguspunktiga kokku, siis kattuvad vektori koordinaadid lihtsalt punkti koordinaatidega, selleks leiame esmalt punkti koordinaadid.

Selleks kaaluge kolmnurka. Joonistame kõrguse (see on ka mediaan ja poolitaja) tipust. Kuna, siis on punkti ordinaat võrdne. Selle punkti abstsissi leidmiseks peame arvutama segmendi pikkuse. Pythagorase teoreemi järgi on meil:

Siis on punktil koordinaadid:

Punkt on punktile "tõstetud":

Siis vektori koordinaadid:

Vastus:

Nagu näete, pole selliste probleemide lahendamisel midagi põhimõtteliselt rasket. Tegelikult lihtsustab sellise figuuri, nagu prisma, "sirgesus" protsessi veidi rohkem. Liigume nüüd järgmise näite juurde:

2. Joonistame rööptahuka, tõmbame sellesse tasapinna ja sirge ning joonistame eraldi ka selle alumise aluse:

Esiteks leiame tasapinna võrrandi: selles asuva kolme punkti koordinaadid:

(esimesed kaks koordinaati saadakse ilmselgelt ja viimase koordinaadi leiate lihtsalt punktist pildilt). Seejärel koostame tasandi võrrandi:

Arvutame:

Otsime suunavektori koordinaate: On selge, et selle koordinaadid langevad kokku punkti koordinaatidega, kas pole? Kuidas leida koordinaate? Need on punkti koordinaadid, mis on piki rakendustelge ühe võrra tõstetud! . Seejärel otsime soovitud nurka:

Vastus:

3. Joonistage korrapärane kuusnurkne püramiid ning seejärel tõmmake sellesse tasapind ja sirgjoon.

Siin on isegi problemaatiline tasapinna joonistamine, rääkimata selle ülesande lahendusest, aga koordinaatmeetodil pole vahet! Selle peamine eelis seisneb selle mitmekülgsuses!

Tasapind läbib kolme punkti: . Otsime nende koordinaate:

üks) . Kuvage ise kahe viimase punkti koordinaadid. Selleks peate lahendama ülesande kuusnurkse püramiidiga!

2) Koostame tasapinna võrrandi:

Otsime vektori koordinaate: . (Vaata kolmnurkse püramiidi probleemi uuesti!)

3) Otsime nurka:

Vastus:

Nagu näha, pole neis ülesannetes midagi üleloomulikult rasket. Sa pead lihtsalt olema juurtega väga ettevaatlik. Kahele viimasele probleemile annan ainult vastused:

Nagu näete, on ülesannete lahendamise tehnika igal pool sama: peamine ülesanne on leida tippude koordinaadid ja asendada need mõne valemiga. Meil jääb üle kaaluda veel ühte nurkade arvutamise probleemide klassi, nimelt:

Nurkade arvutamine kahe tasandi vahel

Lahenduse algoritm on järgmine:

1. Kolme punkti jaoks otsime esimese tasandi võrrandit:
2. Ülejäänud kolme punkti jaoks otsime teise tasandi võrrandit:
3. Rakendame valemit:

Nagu näha, on valem väga sarnane kahele eelnevale, mille abil otsisime nurki sirgete ning sirge ja tasandi vahel. Nii et selle meeldejätmine ei ole teile keeruline. Hüppame kohe probleemi juurde:

1. Parempoolse kolmnurkse prisma alusel on sada-ro-võrdne ja külgpinna dia-go-nal on võrdne. Leia nurk tasapinna ja auhinna aluse tasapinna vahel.

2. Parempoolses neli-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de-s on kellegi kõik servad võrdsed, leidke tasandi ja tasandi Ko-Stu vahelise nurga siinus, mis läbib punkt per-pen-di-ku-lyar-but straight-my.

3. Tavalises neljasöeprismas on os-no-va-nia küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Äärel alates-mina-che-punktini nii et. Leia tasapindade vaheline nurk ja

4. Parempoolses nelinurkses prismas on aluste küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Äärel alates-mina-che-punktini nii, et Leia tasapindade vaheline nurk ja.

5. Leia kuubist tasapindade ja vahelise nurga kaas-sinus

Probleemi lahendused:

1. Joonistan õige (alusel on võrdkülgne kolmnurk) kolmnurkne prisma ja märgin sellele tasapinnad, mis ilmnevad probleemi olukorras:

Peame leidma kahe tasandi võrrandid: Alusvõrrand saadakse triviaalselt: kolmele punktile saab teha vastava determinandi, aga ma teen võrrandi kohe:

Nüüd leiame võrrandi Punktil on koordinaadid Punkt – Kuna – kolmnurga mediaan ja kõrgus, on seda lihtne leida kolmnurgas Pythagorase teoreemi abil. Siis on punktil koordinaadid: Leia punkti rakendus Selleks vaadeldakse täisnurkset kolmnurka

Siis saame järgmised koordinaadid: Koostame tasandi võrrandi.

Arvutame tasapindade vahelise nurga:

Vastus:

2. Joonise tegemine:

Kõige keerulisem on aru saada, missuguse salapärase tasapinnaga on tegu, mis läbib punkti risti. Noh, peamine on see, mis see on? Peaasi on tähelepanelikkus! Tõepoolest, joon on risti. Sirg on ka risti. Siis on neid kahte sirget läbiv tasapind joonega risti ja, muide, läbib punkti. See tasapind läbib ka püramiidi tippu. Siis soovitud lennuk - Ja lennuk on meile juba antud. Otsime punktide koordinaate.

Punkti kaudu leiame punkti koordinaadi. Väikese joonise põhjal on lihtne järeldada, et punkti koordinaadid saavad olema järgmised: Mida on nüüd vaja leida, et leida püramiidi tipu koordinaadid? Selle kõrgus tuleb ikkagi arvutada. Seda tehakse sama Pythagorase teoreemi abil: esmalt tõestage see (triviaalselt väikestest kolmnurkadest, mis moodustavad aluses ruudu). Kuna tingimusel on meil:

Nüüd on kõik valmis: tipu koordinaadid:

Koostame tasandi võrrandi:

Olete juba determinantide arvutamise ekspert. Lihtsalt saate:

Või teisiti (kui me korrutame mõlemad osad kahe juurega)

Nüüd leiame tasapinna võrrandi:

(Sa ei unustanud, kuidas me saame tasapinna võrrandi, eks? Kui te ei saa aru, kust see miinus üks tuli, siis minge tagasi tasapinna võrrandi definitsiooni juurde! Lihtsalt alati tuli välja, et minu lennuk kuulus päritolule!)

Arvutame determinandi:

(Võite märgata, et tasandi võrrand langes kokku punkte läbiva sirge võrrandiga ja! Mõelge, miks!)

Nüüd arvutame nurga:

Peame leidma siinuse:

Vastus:

3. Keeruline küsimus: mis on ristkülikukujuline prisma, mida arvate? See on teile lihtsalt tuntud rööptahukas! Kohe joonistama! Alust ei saa isegi eraldi kujutada, sellest on siin vähe kasu:

Tasand, nagu me varem märkisime, on kirjutatud võrrandina:

Nüüd teeme lennuki

Koostame kohe tasandi võrrandi:

Otsib nurka

Nüüd vastused kahele viimasele probleemile:

Noh, nüüd on aeg puhata, sest sina ja mina oleme suurepärased ja oleme teinud suurepärast tööd!

Koordinaadid ja vektorid. Edasijõudnute tase

Selles artiklis käsitleme teiega teist klassi probleeme, mida saab lahendada koordinaatmeetodi abil: kaugusprobleemid. Nimelt käsitleme järgmisi juhtumeid:

1. Kaldjoonte vahelise kauguse arvutamine.

Olen tellinud etteantud ülesanded nende keerukuse kasvades. Kõige lihtsam on leida punkti ja tasapinna kaugus ja kõige raskem on leida ristuvate joonte vaheline kaugus. Kuigi loomulikult pole miski võimatu! Ärgem viivitagem ja jätkakem kohe esimese probleemide klassiga:

Punkti ja tasapinna kauguse arvutamine

Mida me vajame selle probleemi lahendamiseks?

1. Punkti koordinaadid

Nii et niipea, kui saame kõik vajalikud andmed, rakendame valemit:

Te peaksite juba teadma, kuidas me koostame tasandi võrrandi eelmistest probleemidest, mida analüüsisin viimases osas. Asume kohe asja kallale. Skeem on järgmine: 1, 2 - aitan teil otsustada ja üksikasjalikult, 3, 4 - ainult vastus, otsustate ise ja võrdlete. Algas!

Ülesanded:

1. Antud kuubik. Kuubi serva pikkus on Find-di-te vahemaa se-re-di-ny lõikest tasapinnani

2. Arvestades paremale-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe serva saja-ro-on os-no-va-nia on võrdne. Leia-di-need kaugused punktist tasapinnani, kus - se-re-di-servadel.

3. Parempoolses kolmnurgas pi-ra-mi-de koos os-but-va-ni-emiga on teine ​​serv võrdne ja saja-ro-on os-no-vaniya on võrdne. Otsige üles need vahemaad tipust tasapinnani.

4. Parempoolses kuuesöeprismas on kõik servad võrdsed. Leia need kaugused punktist tasapinnani.

Lahendused:

1. Joonistage üksikute servadega kuup, koostage lõik ja tasapind, tähistage lõigu keskosa tähega

.

Kõigepealt alustame lihtsast: leidke punkti koordinaadid. Sellest ajast peale (pidage meeles lõigu keskkoha koordinaate!)

Nüüd koostame tasandi võrrandi kolme punkti peale

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiivi)) \right| = 0\]

Nüüd saan hakata kaugust leidma:

2. Alustame uuesti joonisega, millele märgime kõik andmed!

Püramiidi puhul oleks kasulik selle alus eraldi joonistada.

Isegi see, et ma joonistan nagu kanakäpp, ei takista meil seda probleemi lihtsalt lahendamast!

Nüüd on lihtne leida punkti koordinaate

Kuna punkti koordinaadid

2. Kuna punkti a koordinaadid on lõigu keskpunkt, siis

Leiame lihtsalt tasapinnal veel kahe punkti koordinaadid Koostame tasapinna võrrandi ja lihtsustame seda:

\[\left| (\left| (\begin(massiiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiivi)) \right|) \right| = 0\]

Kuna punktil on koordinaadid: , siis arvutame kauguse:

Vastus (väga harv!):

No kas sa said aru? Mulle tundub, et siin on kõik sama tehniline kui näidetes, mida me teiega eelmises osas käsitlesime. Seega olen kindel, et kui olete selle materjali omandanud, ei ole teil raske ülejäänud kahte probleemi lahendada. Ma annan teile lihtsalt vastused:

Vahemaa arvutamine sirgest tasapinnani

Tegelikult pole siin midagi uut. Kuidas saavad joon ja tasapind üksteise suhtes paikneda? Neil on kõik võimalused: ristuda või sirge on tasapinnaga paralleelne. Kui suur on teie arvates kaugus sirgest tasapinnani, millega antud sirge lõikub? Mulle tundub, et on selge, et selline vahemaa võrdub nulliga. Ebahuvitav juhtum.

Teine juhtum on keerulisem: siin on vahemaa juba nullist erinev. Kuna joon on aga tasapinnaga paralleelne, on sirge iga punkt sellest tasapinnast võrdsel kaugusel:

Sellel viisil:

Ja see tähendab, et minu ülesanne on taandatud eelmisele: otsime joone mis tahes punkti koordinaate, otsime tasandi võrrandit, arvutame kauguse punktist tasapinnani. Tegelikult on sellised ülesanded eksamil äärmiselt haruldased. Mul õnnestus leida ainult üks probleem ja selles olid andmed sellised, et koordinaatide meetod ei olnud selle jaoks eriti rakendatav!

Liigume nüüd teise, palju olulisema probleemide klassi juurde:

Punkti ja sirge kauguse arvutamine

Mida me vajame?

1. Punkti koordinaadid, millest kaugust otsime:

2. Mis tahes punkti koordinaadid, mis asuvad sirgel

3. Sirge suunavektori koordinaadid

Millist valemit me kasutame?

Mida selle murru nimetaja teile tähendab ja seega peaks olema selge: see on sirge suunava vektori pikkus. Siin on väga keeruline lugeja! Avaldis tähendab vektorite vektorkorrutise moodulit (pikkust) ja Kuidas arvutada vektorkorrutist, uurisime töö eelmises osas. Värskendage oma teadmisi, need on meile nüüd väga kasulikud!

Seega on probleemide lahendamise algoritm järgmine:

1. Otsime selle punkti koordinaate, millest kaugust otsime:

2. Otsime joone mis tahes punkti koordinaate, milleni kaugust otsime:

3. Vektori ehitamine

4. Ehitame sirge suuna vektori

5. Arvutage ristkorrutis

6. Otsime saadud vektori pikkust:

7. Arvutage kaugus:

Meil on palju tööd ja näited on üsna keerulised! Nii et nüüd koondage kogu oma tähelepanu!

1. Dana on paremakäeline kolmnurkne pi-ra-mi-da tipuga. Saja-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy on võrdne, you-so-ta on võrdne. Leidke need vahemaad bo-ko-nda serva se-re-di-ny-st sirgjooneni, kus punktid ja on ribide ja kaas- veti se-re-di-ny. -stven-aga.

2. Ribide ja täisnurga-no-para-ral-le-le-pi-pe-da pikkused on vastavalt võrdsed ning Find-di-te kaugus top-shi-ny-st sirge-my-ni.

3. Parempoolses kuuesöeprismas on sülemi kõik servad võrdsed, leidke see kaugus punktist sirgjooneni

Lahendused:

1. Teeme korraliku joonise, millele märgime kõik andmed:

Meil on teile palju tööd! Tahaksin kõigepealt sõnadega kirjeldada, mida me otsime ja millises järjekorras:

1. Punktide koordinaadid ja

2. Punktide koordinaadid

3. Punktide koordinaadid ja

4. Vektorite koordinaadid ja

5. Nende ristprodukt

6. Vektori pikkus

7. Vektorkorrutise pikkus

8. Kaugus alates kuni

Noh, meil on palju tööd teha! Käärime käised üles!

1. Püramiidi kõrguse koordinaatide leidmiseks peame teadma punkti koordinaate, mille rakendus on null ja ordinaat on võrdne selle abstsissiga. Lõpuks saime koordinaadid:

Punktide koordinaadid

2. - segmendi keskosa

3. - segmendi keskosa

keskpunkt

4.Koordinaadid

Vektori koordinaadid

5. Arvutage vektorkorrutis:

6. Vektori pikkus: Lihtsaim viis on asendada see segment, et see on kolmnurga keskjoon, mis tähendab, et see on võrdne poole alusega. Nii et.

7. Arvestame vektorkorrutise pikkusega:

8. Lõpuks leidke kaugus:

Pheh, see on kõik! Ma ütlen teile ausalt: lahendus sellele probleemile traditsioonilised meetodid(ehitamise kaudu) oleks palju kiirem. Kuid siin taandasin kõik valmis algoritmile! Arvan, et lahendusalgoritm on teile selge? Seetõttu palun teil ülejäänud kaks probleemi iseseisvalt lahendada. Võrdle vastuseid?

Kordan veel kord: neid probleeme on lihtsam (kiirem) lahendada konstruktsioonide kaudu, mitte pöörduda koordinaatide meetod. Olen seda lahendust demonstreerinud ainult selleks, et teile näidata universaalne meetod, mis lubab "midagi lõpetada".

Lõpuks kaaluge viimane klassülesanded:

Kaldjoonte vahelise kauguse arvutamine

Siin on ülesannete lahendamise algoritm sarnane eelmisele. Mis meil on:

3. Mis tahes vektor, mis ühendab esimese ja teise rea punkte:

Kuidas leiame joonte vahelise kauguse?

Valem on:

Lugeja on segakorrutise moodul (tutvustasime seda eelmises osas) ja nimetaja on sama, mis eelmises valemis (joonte suunavate vektorite vektorkorrutise moodul, mille vaheline kaugus on otsivad).

Tuletan teile seda meelde

siis kauguse valemi saab ümber kirjutada kujul:

Jaga see determinant determinandiga! Kuigi ausalt öeldes pole mul siin naljategemise tuju! See valem, on tegelikult väga tülikas ja viib üsna keerukate arvutusteni. Kui ma oleksin teie, kasutaksin seda ainult viimase abinõuna!

Proovime ülaltoodud meetodi abil mõnda probleemi lahendada:

1. Parempoolses kolmnurkprismas on kõik servad kuidagi võrdsed, leia sirgete vaheline kaugus ja.

2. Arvestades parempoolse esikujulise kolmnurkse prisma, on kellegi os-no-va-niya kõik servad võrdsed Se-che-tioniga, läbides teist ribi ja se-re-di-nu ribid on yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie sirge-we-mi ja vahel

Mina otsustan esimese ja selle põhjal otsustate sina teise!

1. Joonistan prisma ja märgin jooned ja

Punkti C koordinaadid: siis

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Vektori koordinaadid

\[\left((B,\overright nool (A(A_1)) \overright nool (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(massiivi)(*(20)(l))(\begin(massiivi)(*(20)(c))0&1&0\end(massiivi))\\(\begin(massiivi)(*(20) (c))0&0&1\end(massiiv))\\(\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiivi))\end(massiivi)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vaatleme vektorite ja ristkorrutist

\[\üleparemnool (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(massiivi)(l)\begin(massiivi)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiivi)\\\begin(massiivi )(*(20)(c))0&0&1\end(massiivi)\\\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiivi)\end(massiivi) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nüüd kaalume selle pikkust:

Vastus:

Nüüd proovige teine ​​ülesanne hoolikalt täita. Vastus sellele saab olema:.

Koordinaadid ja vektorid. Lühikirjeldus ja põhivalemid

Vektor on suunatud segment. - vektori algus, - vektori lõpp.
Vektorit tähistatakse või.

Absoluutne väärtus vektor – vektorit esindava segmendi pikkus. Määratud kui.

Vektori koordinaadid:

,
kus on vektori \displaystyle a otsad.

Vektorite summa: .

Vektorite korrutis:

Vektorite punktkorrutis:

Lõpuks sain käed laiaulatuslikule ja kauaoodatud teemale analüütiline geomeetria. Kõigepealt natuke sellest see jaotis kõrgem matemaatika…. Kindlasti meenus teile nüüd kooli geomeetriakursus koos arvukate teoreemide, nende tõestuste, jooniste jms. Mis seal salata, olulise osa õpilaste jaoks armastamatu ja sageli hämar teema. Kummalisel kombel võib analüütiline geomeetria tunduda huvitavam ja ligipääsetavam. Mida tähendab omadussõna "analüütiline"? Kohe meenuvad kaks tembeldatud matemaatilist fraasi: "graafiline lahendusmeetod" ja " analüütiline meetod lahendused". Graafiline meetod, on muidugi seotud graafikute, jooniste konstrueerimisega. Analüütiline sama meetod hõlmab probleemide lahendamist valdavalt algebraliste operatsioonide kaudu. Sellega seoses on peaaegu kõigi analüütilise geomeetria probleemide lahendamise algoritm lihtne ja läbipaistev, selle rakendamine on sageli üsna täpne. vajalikud valemid- ja vastus on valmis! Ei, loomulikult ei saa see ilma joonisteta üldse läbi, pealegi parem arusaamine materjali, püüan neid anda üle vajaduse.

Geomeetria tundide avatud kursus ei pretendeeri teoreetilisele terviklikkusele, see on keskendunud praktiliste ülesannete lahendamisele. Kaasan oma loengutesse ainult seda, mis minu seisukohast on praktilises mõttes oluline. Kui vajate mõne alajao kohta täielikumat viidet, soovitan järgmist üsna juurdepääsetavat kirjandust:

1) Asi, mis pole nali, on tuttav mitmele põlvkonnale: Geomeetria kooliõpik, autorid - L.S. Atanasyan ja ettevõte. See kooli riietusruumi riidepuu on vastu pidanud juba 20 (!) kordusväljaannet, mis muidugi pole piir.

2) Geomeetria 2 köites. Autorid L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. See on mõeldud kirjandus Keskkool, sa vajad esimene köide. Harva esinevad ülesanded võivad minu vaateväljast välja kukkuda ja õpetus on hindamatuks abiks.

Mõlemad raamatud on Internetist tasuta allalaaditavad. Lisaks saad kasutada minu arhiivi koos valmislahendustega, mille leiab lehelt Laadige alla kõrgema matemaatika näited.

Alates tööriistad Pakun taas enda arengut - tarkvarapakett analüütilise geomeetria kohta, mis lihtsustab oluliselt elu ja säästab palju aega.

Eeldatakse, et lugeja tunneb põhilisi geomeetrilisi mõisteid ja kujundeid: punkt, sirge, tasapind, kolmnurk, rööpkülik, rööptahukas, kuup jne. Soovitav on meeles pidada mõnda teoreemi, vähemalt Pythagorase teoreemi, tere kordajad)

Ja nüüd käsitleme järjestikku: vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate. Lisaks soovitan lugeda kõige olulisem artikkel Vektorite punktkorrutis, sama hästi kui Vektor ja vektorite segakorrutis. Kohalik ülesanne ei ole üleliigne - Segmendi jagamine selles osas. Ülaltoodud teabe põhjal saate tasapinna sirgjoone võrrand Koos lihtsamaid näiteid lahendustest, mis võimaldab õppida lahendama geomeetria ülesandeid. Abiks on ka järgmised artiklid: Tasapinna võrrand ruumis, Ruumi sirgjoone võrrandid, Põhiülesanded sirgel ja tasapinnal , muud analüütilise geomeetria lõigud. Loomulikult arvestatakse ka tavaülesannetega.

Vektori mõiste. vaba vektor

Kõigepealt kordame vektori koolimääratlust. Vektor helistas suunatud segment, mille algus ja lõpp on märgitud:

AT sel juhul segmendi algus on punkt, segmendi lõpp on punkt. Vektorit ennast tähistatakse . Suund on oluline, kui paigutate noole ümber segmendi teise otsa, saate vektori ja see on juba täiesti erinev vektor. Vektori mõistet on mugav identifitseerida liikumisega füüsiline keha: nõus, instituudi ustest sisse astuda või instituudi ustest lahkuda on täiesti erinevad asjad.

Tasapinna üksikuid punkte on mugav käsitleda, ruumi nn nullvektor. Sellisel vektoril on sama lõpp ja algus.

!!! Märge: Siin ja allpool võib eeldada, et vektorid asuvad samal tasapinnal või võib eeldada, et need asuvad ruumis – esitatava materjali olemus kehtib nii tasapinna kui ruumi kohta.

Nimetused: Paljud juhtisid kohe tähelepanu pulgale, mille tähistuses ei olnud noolt, ja ütlesid, et nad panid ka noole otsa! Täpselt nii, noolega võib kirjutada: , aga lubatav ja salvestus, mida kasutan hiljem. Miks? Ilmselt on selline harjumus välja kujunenud praktilistest kaalutlustest, minu tulistajad koolis ja ülikoolis osutusid liiga mitmekülgseteks ja karvalisteks. AT õppekirjandus mõnikord ei tegele nad kiilkirjaga üldse, vaid toovad esile paksus kirjas tähed: , andes sellega mõista, et tegemist on vektoriga.

See oli stiil ja nüüd vektorite kirjutamise viisidest:

1) Vektoreid saab kirjutada kahe suure ladina tähega:
ja nii edasi. Kuigi esimene täht tingimata tähistab vektori alguspunkti ja teine ​​täht tähistab vektori lõpp-punkti.

2) Vektorid kirjutatakse ka väikeste ladina tähtedega:
Eelkõige saab meie vektorit lühiduse huvides ümber tähistada väikesega Ladina täht.

Pikkus või moodul nullist erinevat vektorit nimetatakse lõigu pikkuseks. Nullvektori pikkus on null. Loogiliselt.

Vektori pikkust tähistatakse mooduli märgiga: ,

Kuidas vektori pikkust leida, õpime (või kordame, kellele kuidas) veidi hiljem.

See oli elementaarne teave vektori kohta, mis oli kõigile koolilastele tuttav. Analüütilises geomeetrias nn vaba vektor.

Kui see on üsna lihtne - vektorit saab tõmmata mis tahes punktist:

Oleme harjunud nimetama selliseid vektoreid võrdseteks (võrdsete vektorite määratlus antakse allpool), kuid puhtalt matemaatiline punkt nägemus on SAMA VEKTOR või vaba vektor. Miks tasuta? Sest ülesannete lahendamise käigus saab ühe või teise vektori “kinnitada” IGASLE vajalikule tasapinna või ruumi punktile. See on väga lahe kinnisvara! Kujutage ette suvalise pikkuse ja suunaga vektorit – seda saab "kloonida" lõpmatu arv kordi ja suvalises ruumipunktis, tegelikult on see KÕIKJAL olemas. On selline üliõpilase vanasõna: Iga lektor f ** u vektoris. Lõppude lõpuks, mitte ainult vaimukas riim, kõik on matemaatiliselt õige - sinna saab ka vektori kinnitada. Kuid ärge kiirustage rõõmustama, õpilased ise kannatavad sagedamini =)

Niisiis, vaba vektor- see on palju identsed suunalised segmendid. Lõigu alguses antud vektori koolimääratlus: "Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks ..." tähendab spetsiifiline alates võetud suunalõik antud komplekt, mis on seotud tasapinna või ruumi konkreetse punktiga.

Tuleb märkida, et füüsika seisukohalt on vaba vektori mõiste üldiselt vale ja vektori rakenduspunkt on oluline. Tõepoolest, minu rumala näite arendamiseks piisab sama jõu otsesest löögist nina või otsaesisele, ja sellel on erinevad tagajärjed. Kuid, mitte vaba vektoreid leidub ka vyshmati käigus (ära mine sinna :)).

Tegevused vektoritega. Vektorite kollineaarsus

AT koolikursus geomeetria arvestab vektoritega mitmeid toiminguid ja reegleid: liitmine kolmnurga reegli järgi, liitmine rööpkülikureegli järgi, vektorite erinevuse reegel, vektori korrutamine arvuga, vektorite skalaarkorrutis jne. Seemnena kordame kahte reeglit, mis on eriti olulised analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel.

Vektorite liitmise reegel kolmnurkade reegli järgi

Vaatleme kahte suvalist nullist erinevat vektorit ja :

On vaja leida nende vektorite summa. Tulenevalt asjaolust, et kõiki vektoreid peetakse vabaks, lükkame vektori edasi lõpp vektor:

Vektorite summa on vektor . Reegli paremaks mõistmiseks on soovitatav sellesse investeerida füüsiline tähendus: lase mõnel kehal teha tee mööda vektorit ja seejärel mööda vektorit. Siis vektorite summa on saadud tee vektor, mis algab lähtepunktist ja lõpeb saabumispunktis. Sarnane reegel on sõnastatud suvalise arvu vektorite summa kohta. Nagu öeldakse, võib keha minna oma teed tugevalt siksakiliselt või võib-olla autopiloodil - mööda saadud summavektorit.

Muide, kui vektor lükatakse edasi alustada vektor , siis saame ekvivalendi rööpküliku reegel vektorite liitmine.

Esiteks vektorite kollineaarsuse kohta. Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Jämedalt öeldes on paralleelsed vektorid. Kuid nendega seoses kasutatakse alati omadussõna "kollineaarne".

Kujutage ette kahte kollineaarset vektorit. Kui nende vektorite nooled on suunatud samas suunas, siis nimetatakse selliseid vektoreid kaassuunaline. Kui nooled vaatavad eri suundades, siis vektorid on vastupidiselt suunatud.

Nimetused: vektorite kollineaarsus kirjutatakse tavalise paralleelsuse ikooniga: , samas kui detailimine on võimalik: (vektorid on kaassuunatud) või (vektorid on suunatud vastupidi).

tööd nullist erineva vektori arvu järgi on vektor, mille pikkus on võrdne , ja vektorid ja on kaassuunatud ja vastupidiselt suunatud .

Vektori arvuga korrutamise reeglit on pildiga lihtsam mõista:

Mõistame üksikasjalikumalt:

1) Suund. Kui kordaja on negatiivne, siis vektor muudab suunda vastupidisele.

2) Pikkus. Kui tegur sisaldub või , siis vektori pikkus väheneb. Seega on vektori pikkus kaks korda väiksem kui vektori pikkus. Kui mooduli kordaja on suurem kui üks, siis vektori pikkus suurenebõigel ajal.

3) Pange tähele kõik vektorid on kollineaarsed, samas kui ühte vektorit väljendatakse teise kaudu, näiteks . Tõsi on ka vastupidine: kui ühte vektorit saab väljendada teisega, siis on sellised vektorid tingimata kollineaarsed. Sellel viisil: kui korrutame vektori arvuga, saame kollineaarseks(originaal suhtes) vektor.

4) Vektorid on kaassuunalised. Vektorid ja on samuti kaassuunalised. Iga esimese rühma vektor on vastupidine teise rühma mis tahes vektorile.

Millised vektorid on võrdsed?

Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on kaassuunalised ja omavad sama pikkusega . Pange tähele, et kaassuund tähendab, et vektorid on kollineaarsed. Määratlus on ebatäpne (ülearune), kui ütlete: "Kaks vektorit on võrdsed, kui need on kollineaarsed, kaassuunatud ja sama pikkusega."

Vaba vektori kontseptsiooni seisukohalt võrdsed vektorid on sama vektor, mida käsitleti eelmises lõigus.

Vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis

Esimene punkt on vaadelda vektoreid tasapinnal. Kujutame Descartes'i ristkülikukujuline süsteem koordinaadid ja lähtepunktist, mille me kõrvale panime vallaline vektorid ja:

Vektorid ja ortogonaalne. Ortogonaalne = risti. Soovitan terminitega aeglaselt harjuda: paralleelsuse ja perpendikulaarsuse asemel kasutame vastavalt sõnu kollineaarsus ja ortogonaalsus.

Määramine: vektorite ortogonaalsus kirjutatakse tavalise ristimärgiga, näiteks: .

Vaadeldavaid vektoreid nimetatakse koordinaatvektorid või orts. Need vektorid moodustuvad alus pinnal. Mis on aluseks, on minu meelest paljudele, enamatele, intuitiivselt selge detailne info leiate artiklist Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus.Lihtsamalt öeldes määratlevad koordinaatide alus ja päritolu kogu süsteemi – see on omamoodi vundament, millel keeb täisväärtuslik ja rikkalik geomeetriline elu.

Mõnikord nimetatakse konstrueeritud alust ortonormaalne tasandi alus: "orto" - kuna koordinaatvektorid on ortogonaalsed, tähendab omadussõna "normaliseeritud" ühikut, s.o. baasvektorite pikkused on võrdsed ühega.

Määramine: sulgudes kirjutatakse tavaliselt alus, mille sees ranges järjekorras alusvektorid on loetletud, näiteks: . Koordinaatide vektorid see on keelatud vahetage kohad.

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis väljendatud järgmiselt:
, kus - numbrid, mida nimetatakse vektori koordinaadid sellel alusel. Aga väljend ise helistas vektori laguneminealus .

Serveeritud õhtusöök:

Alustame tähestiku esimesest tähest: . Jooniselt on selgelt näha, et vektori aluse osas lagundamisel kasutatakse just vaadeldud:
1) vektori arvuga korrutamise reegel: ja ;
2) vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi: .

Nüüd lükake vektor vaimselt kõrvale igast teisest tasapinna punktist. On üsna ilmne, et tema korruptsioon "järeldab teda halastamatult". Siin see on, vektori vabadus – vektor "kannab kõike endaga kaasas". See omadus kehtib loomulikult iga vektori kohta. Naljakas, et baas(vabad) vektorid ise ei pea olema alguspunktist kõrvale jätnud, ühe saab joonistada näiteks all vasakule, teise aga üleval paremal ja sellest ei muutu midagi! Tõsi, te ei pea seda tegema, sest õpetaja näitab ka originaalsust ja tõmbab teile ootamatus kohas "passi".

Vektorid , illustreerivad täpselt vektori arvuga korrutamise reeglit, vektor on suunatud koos baasvektoriga , vektor on suunatud baasvektorile vastassuunas. Nende vektorite puhul on üks koordinaatidest võrdne nulliga, selle saab täpselt kirjutada järgmiselt:


Ja baasvektorid, muide, on sellised: (tegelikult väljenduvad nad iseenda kaudu).

Ja lõpuks: , . Muide, mis on vektorlahutamine ja miks ma ei rääkinud teile lahutamise reeglist? Kuskil lineaaralgebras ma ei mäleta, kus, märkisin, et lahutamine on erijuhtum lisamine. Niisiis, vektorite "de" ja "e" laiendused on rahulikult kirjutatud summana: . Järjesta terminid kohati ümber ja järgi joonist, kui selgelt vana hea vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi nendes olukordades töötab.

Arvestatud vormi lagunemine mida mõnikord nimetatakse vektori lagunemiseks süsteemis ort(ehk ühikvektorite süsteemis). Kuid see pole ainus viis vektori kirjutamiseks, tavaline on järgmine valik:

Või võrdusmärgiga:

Alusvektorid ise on kirjutatud järgmiselt: ja

See tähendab, et vektori koordinaadid on näidatud sulgudes. Praktilistes ülesannetes kasutatakse kõiki kolme salvestusvõimalust.

Kahtlesin, kas rääkida, aga ütlen siiski: vektori koordinaate ei saa ümber korraldada. Rangelt esikohal kirjutage üles vastav koordinaat ühikvektor , rangelt teisel kohal pane kirja ühikvektorile vastav koordinaat . Tõepoolest, ja on kaks erinevat vektorit.

Leidsime lennuki koordinaadid. Nüüd kaaluge vektoreid kolmemõõtmelises ruumis, siin on kõik peaaegu sama! Lisatakse veel ainult üks koordinaat. Kolmemõõtmelisi jooniseid on raske teostada, seetõttu piirdun ühe vektoriga, mille lihtsuse huvides lükkan lähtepunktist edasi:

Ükskõik milline vektor kolmemõõtmeline ruum saab ainus viis laiendada ortonormaalselt:
, kus on antud baasis vektori (arvu) koordinaadid.

Näide pildilt: . Vaatame, kuidas vektortoimingu reeglid siin töötavad. Esiteks, vektori korrutamine arvuga: (punane nool), (roheline nool) ja (magenta nool). Teiseks on siin näide mitme lisamise kohta kolme puhul, vektorid: . Summavektor algab lähtepunktist (vektori algusest) ja jõuab lõpp-punkti (vektori lõppu).

Kõik kolmemõõtmelise ruumi vektorid on loomulikult ka vabad, proovige vektorit mõtteliselt edasi lükata mis tahes muust punktist ja saate aru, et selle laienemine "jääb sellega".

Samamoodi lame korpus, lisaks kirjutamisele laialdaselt kasutatakse sulgudega versioone: kas .

Kui laienduses puudub üks (või kaks) koordinaatvektorit, siis pannakse selle asemele nullid. Näited:
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles .

Alusvektorid kirjutatakse järgmiselt:

Siin on võib-olla kõik miinimum teoreetilised teadmised vajalik analüütilise geomeetria ülesannete lahendamiseks. Võib-olla on termineid ja määratlusi liiga palju, seega soovitan mannekeenidel uuesti läbi lugeda ja aru saada see informatsioon uuesti. Ja see on kasulik igal lugejal aeg-ajalt viidata põhitund materjali paremaks mõistmiseks. Kollineaarsus, ortogonaalsus, ortonormaalne alus, vektori lagunemine – neid ja teisi mõisteid kasutatakse edaspidi sageli. Märgin, et saidi materjalidest ei piisa teoreetilise testi, geomeetria kollokviumi läbimiseks, kuna ma krüpteerin hoolikalt kõik teoreemid (ja ilma tõenditeta) - selle kahjuks teaduslik stiil esitlus, kuid see on pluss teie arusaamisele teemast. Üksikasjaliku teoreetilise teabe saamiseks palun kummardada professor Atanasyani ees.

Liigume nüüd praktilise osa juurde:

Analüütilise geomeetria lihtsamad ülesanded.
Tegevused vektoritega koordinaatides

Ülesandeid, mida kaalutakse, on väga soovitav õppida, kuidas neid täielikult automaatselt lahendada, ja valemeid meelde jätta, ära mäleta seda isegi meelega, nad mäletavad seda ise =) See on väga oluline, sest kõige lihtsamal elementaarsed näited põhinevad muud analüütilise geomeetria probleemid ja oleks tüütu kulutada lisaaega etturite söömisele. Särgil pole vaja ülemisi nööpe kinnitada, paljud asjad on sulle koolist tuttavad.

Materjali esitlus kulgeb paralleelselt – nii tasapinna kui ruumi osas. Sel põhjusel, et kõik valemid ... näete ise.

Kuidas leida vektorit, millel on kaks punkti?

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

See on, vektori lõpu koordinaatidest peate lahutama vastavad koordinaadid vektori algus.

Harjutus: Samade punktide jaoks kirjuta üles valemid vektori koordinaatide leidmiseks. Valemid tunni lõpus.

Näide 1

Arvestades kaks punkti lennukis ja . Otsige vektori koordinaadid

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Teise võimalusena võib kasutada järgmist tähistust:

Esteetid otsustavad järgmiselt:

Isiklikult olen harjunud plaadi esimese versiooniga.

Vastus:

Tingimuse kohaselt ei olnud vaja joonist ehitada (mis on tüüpiline analüütilise geomeetria ülesannete jaoks), kuid selleks, et mannekeenidele mõnda punkti selgitada, ei ole ma liiga laisk:

Tuleb aru saada erinevus punktikoordinaatide ja vektorkoordinaatide vahel:

Punktide koordinaadid on tavalised koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Ma arvan, et kõik teavad, kuidas punkte koordinaattasandil joonistada alates 5.-6. Igal punktil on lennukis range koht ja neid ei saa kuhugi teisaldada.

Sama vektori koordinaadid on selle laiendamine aluse suhtes , antud juhul . Iga vektor on vaba, seetõttu saame seda vajadusel hõlpsalt mõnest teisest tasandi punktist edasi lükata. Huvitav on see, et vektorite jaoks ei saa te üldse ehitada telgi, ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, vajate ainult alust, antud juhul tasapinna ortonormaalset alust.

Punktide koordinaatide ja vektorkoordinaatide kirjed tunduvad olevat sarnased: , ja koordinaatide tunnetamine absoluutselt erinev, ja peaksite sellest erinevusest hästi teadlik olema. See erinevus kehtib loomulikult ka ruumi kohta.

Daamid ja härrad, me täidame oma käed:

Näide 2

a) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
b) Punkte antakse ja . Leia vektorid ja .
c) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
d) Punkte antakse. Otsige vektoreid .

Võib-olla piisab. Need on näited iseseisvaks otsuseks, proovige neid mitte tähelepanuta jätta, see tasub end ära ;-). Jooniseid ei nõuta. Lahendused ja vastused tunni lõpus.

Mis on oluline analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel? Oluline on olla ERITI ETTEVAATLIK, et vältida meisterlikku “kaks pluss kaks võrdub null” viga. Vabandan juba ette, kui eksisin =)

Kuidas leida lõigu pikkust?

Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Märge: Valemid jäävad õigeks, kui vahetada vastavad koordinaadid: ja , kuid esimene variant on standardsem

Näide 3

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Selguse huvides teen joonise

Joonelõik – see ei ole vektor, ja te ei saa seda muidugi kuhugi liigutada. Lisaks, kui täidate joonise mõõtkavas: 1 ühik. \u003d 1 cm (kaks tetradilahtrit), siis saab vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes otseselt segmendi pikkust.

Jah, lahendus on lühike, kuid sellel on veel paar olulised punktid Tahaksin selgitada:

Esiteks määrame vastuses mõõtme: "ühikud". Seisundis pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu on üldine sõnastus matemaatiliselt pädev lahendus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".

Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult käsitletava probleemi jaoks:

pööra tähelepanu oluline tehnikat – kordaja juure alt välja võtmine. Arvutuste tulemusena saime tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab kordaja juure alt välja võtmist (kui võimalik). Protsess näeb üksikasjalikumalt välja järgmine: . Muidugi ei tee vastuse vormile jätmine viga – aga kindlasti on see viga ja kaalukas argument õpetaja nipet-näpet.

Siin on muud levinud juhtumid:

Sageli juure all selgub piisavalt suur number, näiteks . Kuidas sellistel juhtudel olla? Kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub 4-ga:. Jah, jagage täielikult, nii: . Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Sellel viisil: . Arvu viimane number on paaritu, seega pole kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt võimalik. Üheksaga jagada: . Tulemusena:
Valmis.

Järeldus: kui juure alla saame täiesti mitteeraldatava arvu, siis proovime teguri juure alt välja võtta - kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49, jne.

Erinevate ülesannete lahendamise käigus leitakse sageli juured, proovige alati juure alt faktoreid välja tõmmata, et vältida väiksemat punktisummat ja tarbetuid sekeldusi oma lahenduste viimistlemisel vastavalt õpetaja märkusele.

Kordame samaaegselt juurte ja muude jõudude ruudustamist:

Üldkujul kraadidega toimingute reeglid leiate algebra kooliõpikust, kuid arvan, et kõik või peaaegu kõik on juba toodud näidetest selge.

Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:

Näide 4

Antud punktid ja . Leidke lõigu pikkus.

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Kuidas leida vektori pikkust?

Kui on antud tasapinnaline vektor, siis arvutatakse selle pikkus valemiga.

Kui ruumivektor on antud, arvutatakse selle pikkus valemiga .