Soorten vergelijkingen en methoden voor hun oplossing. lineaire vergelijkingen

Ministerie van generaal en beroepsonderwijs RF

Gemeentelijke onderwijsinstelling

Gymnasium nr. 12

schrijven

over het onderwerp: Vergelijkingen en manieren om ze op te lossen

Voltooid: leerling 10 "A" klas

Krutko Evgeny

Gecontroleerd: wiskundeleraar Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Plan................................................. ................................................. . ............................... een

Inleiding ................................................. . ................................................. .. ....................... 2

Grootste deel................................................ ................................................. . .............. 3

Conclusie................................................. ................................................. . ................ 25

Bijlage................................................. ................................................. . ............... 26

Lijst van referenties ............................................... ............................... ................... ... 29

Plan.

Invoering.

Geschiedenis referentie.

vergelijkingen. Algebraïsche vergelijkingen.

a) Basisdefinities.

b) Lineaire vergelijking en hoe deze op te lossen.

c) Kwadratische vergelijkingen en methoden om deze op te lossen.

d) Tweetermvergelijkingen, een manier om ze op te lossen.

e) Kubieke vergelijkingen en methoden voor de oplossing ervan.

e) bikwadratische vergelijking en hoe dit op te lossen.

g) Vergelijkingen van de vierde graad en methoden om deze op te lossen.

g) Vergelijkingen van hoge graden en methoden uit de oplossing.

h) Rationele algebraïsche vergelijking en zijn methode

en) Irrationele vergelijkingen en manieren om het op te lossen.

j) Vergelijkingen met het onbekende onder het teken.

absolute waarde en hoe deze op te lossen.

Transcendentale vergelijkingen.

a) exponentiële vergelijkingen en hoe deze op te lossen.

b) Logaritmische vergelijkingen en hoe deze op te lossen.

Invoering

Wiskundeonderwijs ontvangen in school voor algemeen onderwijs, is een essentieel onderdeel algemene educatie en gemeenschappelijke cultuur moderne man. Bijna alles dat een moderne persoon omringt, is allemaal op de een of andere manier verbonden met wiskunde. MAAR recente prestaties in natuurkunde, technologie en informatie Technologie laat er geen twijfel over bestaan dat de dingen in de toekomst hetzelfde zullen blijven. Daarom wordt de oplossing van veel praktische problemen teruggebracht tot het oplossen van verschillende soorten vergelijkingen om te leren oplossen.

Dit werk is een poging om het bestudeerde materiaal over het bovenstaande onderwerp te generaliseren en te systematiseren. Ik heb het materiaal gerangschikt naar de mate van complexiteit, te beginnen met de eenvoudigste. Het omvat zowel de soorten vergelijkingen die we kennen uit de schoolcursus algebra, en aanvullend materiaal. Tegelijkertijd heb ik geprobeerd de soorten vergelijkingen te laten zien die niet worden bestudeerd in schoolcursus, maar waarvan de kennis nodig kan zijn bij het betreden van een hoger onderwijsinstelling. In mijn werk, bij het oplossen van vergelijkingen, heb ik mezelf niet beperkt tot alleen een echte oplossing, maar gaf ik ook een complexe oplossing aan, omdat ik geloof dat de vergelijking anders gewoon niet wordt opgelost. Immers, als er geen echte wortels in de vergelijking zijn, betekent dit niet dat er geen oplossingen zijn. Helaas was ik door tijdgebrek niet in staat om al het materiaal dat ik heb te presenteren, maar zelfs met het materiaal dat hier wordt gepresenteerd, kunnen er veel vragen rijzen. Ik hoop dat mijn kennis voldoende is om de meeste vragen te beantwoorden. Dus ik ga het materiaal presenteren.

Wiskunde... onthult orde

symmetrie en zekerheid,

en dit is de belangrijkste soort mooi.

Aristoteles.

Geschiedenis referentie

In die verre tijden, toen de wijzen voor het eerst begonnen na te denken over gelijkheden met onbekende hoeveelheden, waren er waarschijnlijk nog geen munten of portemonnees. Maar aan de andere kant waren er hopen, evenals potten, manden, die perfect waren voor de rol van caches-stores met een onbekend aantal items. "We zijn op zoek naar een hoop, die, samen met twee derde ervan, een half en een zevende, 37 is ...", - leerde hij in het II millennium voor Christus nieuw tijdperk Egyptische schrijver Ahmes. in het oude wiskundige problemen Mesopotamië, India, China, Griekenland, onbekende hoeveelheden drukten het aantal pauwen in de tuin uit, het aantal stieren in de kudde, het geheel van dingen waarmee rekening werd gehouden bij het verdelen van eigendom. Schriftgeleerden, functionarissen en priesters die ingewijd waren in geheime kennis, goed opgeleid in de wetenschap van het tellen, konden dergelijke taken met succes aan.

Bronnen die tot ons zijn overgegaan, geven aan dat oude wetenschappers enkele algemene methoden bezaten om problemen met onbekende hoeveelheden op te lossen. Geen enkele papyrus, geen enkele kleitablet geeft echter een beschrijving van deze technieken. De auteurs voorzagen hun numerieke berekeningen slechts af en toe van gemene opmerkingen als: "Kijk!", "Doe het!", "Je hebt het goed gevonden." In die zin is de uitzondering de "Rekenkunde" van de Griekse wiskundige Diophantus van Alexandrië (III eeuw) - een verzameling problemen voor het samenstellen van vergelijkingen met een systematische presentatie van hun oplossingen.

Het werk van de Bagdadgeleerde uit de 9e eeuw werd echter de eerste handleiding voor het oplossen van problemen die algemeen bekend werd. Mohammed bin Musa al-Khwarizmi. Het woord "al-jabr" uit de Arabische titel van deze verhandeling - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Het boek van herstel en contrast") - veranderde in de loop van de tijd in het woord "algebra", dat bij iedereen bekend is, en het werk van al-Khwarizmi zelf diende als uitgangspunt bij de ontwikkeling van de wetenschap van het oplossen van vergelijkingen.

vergelijkingen. algebraïsche vergelijkingen

Basisdefinities

In de algebra worden twee soorten gelijkheden beschouwd: identiteiten en vergelijkingen.

Identiteit is een gelijkheid die geldt voor alle (toegestane) waarden van de letters). Om de identiteit samen met het teken te schrijven

het teken wordt ook gebruikt.

De vergelijking- dit is een gelijkheid waaraan alleen wordt voldaan voor sommige waarden van de letters die erin zijn opgenomen. De letters die in de vergelijking zijn opgenomen, kunnen, afhankelijk van de toestand van het probleem, ongelijk zijn: sommige kunnen al hun toegestane waarden(ze worden genoemd parameters of coëfficiënten vergelijkingen en worden meestal aangeduid met de eerste letters Latijns alfabet:

, , ... – of dezelfde letters, voorzien van indexen: , , ... of , , ...); anderen waarvan de waarden te vinden zijn, worden genoemd onbekend(ze worden meestal aangeduid met de laatste letters van het Latijnse alfabet: , , , ... - of met dezelfde letters, voorzien van indexen: , , ... of , , ...).

BIJ algemeen beeld de vergelijking kan als volgt worden geschreven:

(, , ..., ).

Afhankelijk van het nummer onbekende vergelijking een vergelijking genoemd met een, twee, enz. onbekenden.

Een vergelijking is een wiskundige uitdrukking die een vergelijking is die een onbekende bevat. Als de gelijkheid waar is voor alle toelaatbare waarden van de onbekenden die erin zijn opgenomen, wordt dit een identiteit genoemd; bijvoorbeeld: een relatie als (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) geldt voor alle waarden van x.

Als een vergelijking met een onbekende x alleen geldt voor bepaalde waarden van x, en niet voor alle waarden van x, zoals in het geval van een identiteit, dan kan het nuttig zijn om die waarden van x te bepalen waarvoor de vergelijking is geldig. Dergelijke waarden van x worden wortels of oplossingen van de vergelijking genoemd. Het getal 5 is bijvoorbeeld de wortel van de vergelijking 2x + 7= 17.

In de tak van de wiskunde die de theorie van vergelijkingen wordt genoemd, is het belangrijkste onderwerp van studie de methoden voor het oplossen van vergelijkingen. In de schoolalgebracursus wordt veel aandacht besteed aan vergelijkingen.

De geschiedenis van de studie van vergelijkingen gaat vele eeuwen terug. De beroemdste wiskundigen die hebben bijgedragen aan de ontwikkeling van de theorie van vergelijkingen waren:

Archimedes (circa 287-212 v.Chr.) - Oude Griekse wetenschapper, wiskundige en monteur. In de studie van één probleem, dat is teruggebracht tot een derdegraadsvergelijking, ontdekte Archimedes de rol van het kenmerk, dat later bekend werd als de discriminant.

François Viet leefde in de 16e eeuw. Hij heeft een geweldige bijdrage geleverd aan de studie verschillende problemen wiskunde. In het bijzonder introduceerde hij de letterlijke notatie voor de coëfficiënten van een vergelijking en legde hij een verband tussen de wortels van een kwadratische vergelijking.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - wiskundige, monteur, natuurkundige en astronoom. De auteur van St. 800 artikelen over wiskundige analyse, differentiaalvergelijkingen, meetkunde, getaltheorie, benaderende berekeningen, hemelmechanica, wiskunde, optica, ballistiek, scheepsbouw, muziektheorie, enz. Hij had een aanzienlijke invloed op de ontwikkeling van de wetenschap. Hij leidde formules (Euler-formules) af die uitdrukken: trigonometrische functies variabele x via een exponentiële functie.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), Franse wiskundige en monteur. Hij bezit uitmuntend onderzoek, waaronder onderzoek naar algebra (de symmetrische functie van de wortels van een vergelijking, naar differentiaalvergelijkingen (de theorie van singuliere oplossingen, de methode van variatie van constanten).

J. Lagrange en A. Vandermonde - Franse wiskundigen. In 1771 werd voor het eerst de methode voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen (de substitutiemethode) gebruikt.

Gauss Karl Friedrich (1777-1855) - Duitse wiskundige. Schreef een boek dat de theorie van cirkeldelingsvergelijkingen schetst (d.w.z. vergelijkingen xn - 1 = 0), dat in veel opzichten een prototype was van de Galois-theorie. Losstaand van veelgebruikte methoden het oplossen van deze vergelijkingen, legde een verband tussen hen en de constructie van regelmatige veelhoeken. Hij maakte, voor het eerst na de oude Griekse wetenschappers, een belangrijke stap voorwaarts in deze kwestie, namelijk: hij vond al die waarden van n waarvoor regelmatige n-gon kan worden gebouwd met een kompas en een liniaal. Heb geleerd hoe je moet toevoegen. Hij concludeerde dat stelsels van vergelijkingen onderling kunnen worden opgeteld, gedeeld en vermenigvuldigd.

O. I. Somov - verrijkte verschillende delen van de wiskunde met belangrijke en talrijke werken, waaronder de theorie van bepaalde algebraïsche vergelijkingen hogere graden.

Galois Evariste (1811-1832), Franse wiskundige. Zijn belangrijkste verdienste is de formulering van een reeks ideeën, waartoe hij kwam in verband met de voortzetting van het onderzoek naar de oplosbaarheid van algebraïsche vergelijkingen, begonnen door J. Lagrange, N. Abel en anderen, en creëerde de theorie van algebraïsche vergelijkingen van hogere graden met een onbekende.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - In zijn werk worden geometrische methoden geassocieerd met analytische methodes theorie van differentiaalvergelijkingen met partiële afgeleiden. Zijn werk had ook een belangrijke invloed op de theorie van niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.

P. Ruffini - Italiaanse wiskundige. Hij wijdde een aantal werken aan het bewijs van de onoplosbaarheid van de vergelijking van de 5e graad, maakt systematisch gebruik van de geslotenheid van de reeks substituties.

Ondanks het feit dat wetenschappers al heel lang vergelijkingen bestuderen, weet de wetenschap niet hoe en wanneer mensen de behoefte kregen om vergelijkingen te gebruiken. Het is alleen bekend dat problemen die leiden tot de oplossing van de eenvoudigste vergelijkingen door mensen zijn opgelost sinds de tijd dat ze mensen werden. Nog 3 - 4 duizend jaar voor Christus. e. de Egyptenaren en Babyloniërs wisten hoe ze vergelijkingen moesten oplossen. De regel voor het oplossen van deze vergelijkingen valt samen met de moderne, maar het is niet bekend hoe ze op dit punt zijn gekomen.

BIJ Het oude Egypte en Babylon, werd de valse-positiemethode gebruikt. Een vergelijking van de eerste graad met één onbekende is altijd te herleiden tot de vorm ax + b = c, waarin a, b, c gehele getallen zijn. Volgens de regels rekenkundige bewerkingen bijl \u003d c - b,

Als b > c, dan is c b een negatief getal. Negatieve getallen waren onbekend bij de Egyptenaren en vele andere latere volkeren (op gelijke voet met positieve getallen ze werden pas in de zeventiende eeuw in de wiskunde gebruikt). Om de problemen op te lossen die we nu oplossen met vergelijkingen van de eerste graad, werd de valse-positiemethode uitgevonden. In de papyrus van Ahmes worden met deze methode 15 problemen opgelost. De Egyptenaren hadden een speciaal teken voor een onbekend getal, dat tot voor kort werd gelezen als "hoe" en vertaald met het woord "hoop" ("hoop" of "onbekend aantal" eenheden). Nu lezen ze iets minder onnauwkeurig: "aha." De oplossingsmethode die door Ahmes wordt gebruikt, wordt de methode van één valse positie genoemd. Met deze methode worden vergelijkingen van de vorm ax = b opgelost. Deze methode bestaat uit het delen van elke zijde van de vergelijking door a. Het werd gebruikt door zowel de Egyptenaren als de Babyloniërs. Bij verschillende volkeren de methode van twee valse posities werd gebruikt. De Arabieren hebben deze methode gemechaniseerd en de vorm verkregen waarin deze in de leerboeken van Europese volkeren terechtkwam, waaronder Magnitsky's Rekenkunde. Magnitsky noemt de methode om de "valse regel" op te lossen en schrijft in het deel van zijn boek dat deze methode uiteenzet:

Zelo bo sluw is dit deel, alsof je er alles mee kunt doen. Niet alleen wat in burgerschap is, Maar ook de hogere wetenschappen in de ruimte, Zelfs in de sfeer van de hemel worden vermeld, Zoals de wijzen is er behoefte.

De inhoud van Magnitsky's gedichten kan als volgt worden samengevat: dit deel van rekenen is erg lastig. Met zijn hulp kun je niet alleen berekenen wat nodig is in de dagelijkse praktijk, maar het lost ook de "hogere" vragen op waarmee de "wijzen" worden geconfronteerd. Magnitsky gebruikt een 'valse regel' in de vorm die de Arabieren eraan hebben gegeven, en noemde het de 'rekenkunde van twee fouten' of de 'methode van gewichten'. Indiase wiskundigen gaven vaak problemen in verzen. Lotus-uitdaging:

Boven het stille meer, een halve maat boven het water, was de lotuskleur zichtbaar. Hij groeide alleen op, en de wind in een golf dreef hem opzij, en niet langer

Bloemen boven het water. Vond zijn vissersoog Twee maten van waar hij opgroeide. Hoeveel meren is het water hier diep? Ik zal je een vraag stellen.

Soorten vergelijkingen

lineaire vergelijkingen

Lineaire vergelijkingen zijn vergelijkingen van de vorm: ax + b = 0, waarbij a en b enkele constanten zijn. Als a niet gelijk is aan nul, heeft de vergelijking één enkele wortel: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).

Bijvoorbeeld: los een lineaire vergelijking op: 4x + 12 = 0.

Oplossing: T. naar a \u003d 4, en b \u003d 12, dan x \u003d - 12: 4; x = - 3.

Controle: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Aangezien k 0 = 0, dan is -3 de wortel van de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord. x = -3

Als a nul is en b nul, dan is de wortel van de vergelijking ax + b = 0 een willekeurig getal.

Bijvoorbeeld:

0 = 0. Aangezien 0 0 is, is de wortel van de vergelijking 0x + 0 = 0 een willekeurig getal.

Als a nul is en b niet nul, dan heeft de vergelijking ax + b = 0 geen wortels.

Bijvoorbeeld:

0 \u003d 6. Aangezien 0 niet gelijk is aan 6, heeft 0x - 6 \u003d 0 geen wortels.

Stelsels lineaire vergelijkingen.

Een stelsel lineaire vergelijkingen is een stelsel waarin alle vergelijkingen lineair zijn.

Een systeem oplossen betekent al zijn oplossingen vinden.

Voordat u een stelsel lineaire vergelijkingen oplost, kunt u het aantal oplossingen bepalen.

Laat het stelsel vergelijkingen worden gegeven: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

Als a1 gedeeld door a2 niet gelijk is aan b1 gedeeld door b2, dan heeft het systeem één unieke oplossing.

Als a1 gedeeld door a2 gelijk is aan b1 gedeeld door b2, maar gelijk aan c1 gedeeld door c2, dan heeft het systeem geen oplossingen.

Als a1 gedeeld door a2 gelijk is aan b1 gedeeld door b2 en gelijk is aan c1 gedeeld door c2, dan heeft het systeem oneindig veel oplossingen.

Een stelsel vergelijkingen dat ten minste één oplossing heeft, wordt compatibel genoemd.

Een gezamenlijk systeem wordt definitief genoemd als het: eindig getal oplossingen, en onbepaald als de verzameling van zijn oplossingen oneindig is.

Een systeem dat geen enkele oplossing heeft, wordt inconsistent of inconsistent genoemd.

Manieren om lineaire vergelijkingen op te lossen

Er zijn verschillende manieren om lineaire vergelijkingen op te lossen:

1) Selectiemethode. Dit is het meeste eenvoudigste manier. Het ligt in het feit dat alle geldige waarden van het onbekende worden geselecteerd door middel van opsomming.

Bijvoorbeeld:

Los De vergelijking op.

Laat x = 1. Dan

4 = 6. Aangezien 4 niet gelijk is aan 6, was onze aanname dat x = 1 onjuist.

Laat x = 2.

6 = 6. Aangezien 6 gelijk is aan 6, was onze aanname dat x = 2 correct.

Antwoord: x = 2.

2) Manier om te vereenvoudigen

Deze methode ligt in het feit dat alle leden die het onbekende bevatten, naar de linkerkant worden overgebracht en naar de rechterkant bekend worden met tegengesteld teken, geef soortgelijke en deel beide zijden van de vergelijking door de coëfficiënt van de onbekende.

Bijvoorbeeld:

Los De vergelijking op.

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Antwoord. x = 5.

3) Grafische manier.

Het bestaat uit het feit dat er een grafiek van functies wordt gebouwd gegeven vergelijking. Omdat in de lineaire vergelijking y \u003d 0 de grafiek evenwijdig is aan de y-as. Het snijpunt van de grafiek met de x-as is de oplossing van deze vergelijking.

Bijvoorbeeld:

Los De vergelijking op.

Zij y = 7. Dan is y = 2x + 3.

Laten we een grafiek maken van de functies van beide vergelijkingen:

Manieren om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen

In de zevende klas worden drie manieren bestudeerd om stelsels van vergelijkingen op te lossen:

1) Vervangingsmethode.

Deze methode bestaat uit het feit dat in een van de vergelijkingen de ene onbekende wordt uitgedrukt in termen van een andere. De resulterende uitdrukking wordt gesubstitueerd in een andere vergelijking, die vervolgens verandert in een vergelijking met één onbekende, en vervolgens wordt deze opgelost. De resulterende waarde van deze onbekende wordt gesubstitueerd in een vergelijking van het oorspronkelijke systeem en de waarde van de tweede onbekende wordt gevonden.

Bijvoorbeeld.

Los het stelsel vergelijkingen op.

5x - 2j - 2 = 1.

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

Vervang de resulterende uitdrukking in een andere vergelijking:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Vervang de resulterende waarde in de vergelijking 3x + y \u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.

Inspectie.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Antwoord: x = 1; y = 1.

2) Methode van toevoeging.

Deze methode is dat als dit systeem bestaat uit vergelijkingen die, wanneer ze term voor term worden toegevoegd, een vergelijking vormen met één onbekende, en door deze vergelijking op te lossen, krijgen we de waarde van een van de onbekenden. De resulterende waarde van deze onbekende wordt gesubstitueerd in een vergelijking van het oorspronkelijke systeem en de waarde van de tweede onbekende wordt gevonden.

Bijvoorbeeld:

Los het stelsel vergelijkingen op.

/ 3j - 2x \u003d 5,

\5x - 3j \u003d 4.

Laten we de resulterende vergelijking oplossen.

3x = 9; : (3) x = 3.

Laten we de verkregen waarde vervangen door de vergelijking 3y - 2x = 5.

3j - 2 3 = 5;

3j = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Dus x = 3; y = 3 2/3.

Inspectie.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

Antwoord. x = 3; y = 3 2/3

3) Grafische manier.

Deze methode is gebaseerd op het feit dat grafieken van vergelijkingen in één coördinatensysteem worden uitgezet. Als de grafieken van de vergelijking elkaar snijden, dan zijn de coördinaten van het snijpunt de oplossing van dit systeem. Als de grafieken van een vergelijking evenwijdige lijnen zijn, dan heeft het gegeven systeem geen oplossingen. Als de grafieken van de vergelijkingen samenvloeien tot één rechte lijn, dan heeft het systeem oneindig veel oplossingen.

Bijvoorbeeld.

Los het stelsel vergelijkingen op.

18x + 3j - 1 = 8.

2x - y \u003d 5; 18x + 3j - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3j \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

We construeren grafieken van functies y \u003d 2x - 5 en y \u003d 3 - 6x op hetzelfde coördinatensysteem.

De grafieken van de functies y \u003d 2x - 5 en y \u003d 3 - 6x snijden elkaar in punt A (1; -3).

Daarom is de oplossing van dit stelsel van vergelijkingen x = 1 en y = -3.

Inspectie.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Antwoord. x = 1; j = -3.

Conclusie

Op basis van al het bovenstaande kunnen we concluderen dat vergelijkingen nodig zijn in moderne wereld niet alleen voor het oplossen van praktische problemen, maar ook als wetenschappelijk hulpmiddel. Daarom hebben zoveel wetenschappers dit probleem bestudeerd en blijven ze studeren.

De tekst van het werk is geplaatst zonder afbeeldingen en formules.
Volledige versie werk is beschikbaar in het tabblad "Bestanden van werk" in PDF-formaat

INVOERING

"De vergelijking is de gouden sleutel die alle wiskundige sesam ontsluit"

S. Koval

Wiskundeonderwijs op school is erg grootste deel leven van de moderne mens. Bijna alles om ons heen is op de een of andere manier verbonden met wiskunde. De oplossing van veel praktische problemen wordt gereduceerd tot het oplossen van verschillende soorten vergelijkingen.

Vergelijkingen zijn het meest omvangrijke onderwerp van de hele algebracursus. In het verleden academiejaar in algebralessen maakten we kennis met kwadratische vergelijkingen. Kwadratische vergelijkingen worden veel gebruikt bij het oplossen van verschillende problemen, zowel op het gebied van wiskunde als op het gebied van natuurkunde en scheikunde.

In de schoolcursus wiskunde, de basis oplossingen kwadratische vergelijkingen. Er zijn echter andere methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen, waarvan u sommige snel en rationeel kunt oplossen.

We hebben een enquête gehouden onder 84 studenten in de groepen 8-9 over twee vragen:

Welke methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen ken je?

Welke gebruik je het meest?

Op basis van de resultaten van het onderzoek zijn de volgende resultaten verkregen:

Na analyse van de resultaten kwamen we tot de conclusie dat de meeste studenten de wortelformules gebruiken bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen met behulp van de discriminant en niet voldoende op de hoogte zijn van het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

Het onderwerp dat we hebben gekozen is dus relevant.

We stellen onszelf voor doel: ontdekken onconventionele manieren kwadratische vergelijkingen oplossen, om leerlingen in groep 8 en 9 kennis te laten maken met verschillende manieren oplossingen, het vermogen ontwikkelen om een rationele manier te kiezen om een kwadratische vergelijking op te lossen.

Om dit doel te bereiken, moet u het volgende oplossen: taken:

informatie verzamelen over verschillende manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen,

om de gevonden oplossingen onder de knie te krijgen,

een programma schrijven voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen met behulp van de formules van de wortels van een kwadratische vergelijking in Excel,

ontwikkelen didactisch materiaal voor een les of buitenschoolse activiteiten voor niet-standaard methoden kwadratische vergelijkingen oplossen,

geef een les "Ongebruikelijke manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen" met studenten in de klassen 8-9.

Onderzoeksobject: kwadratische vergelijkingen.

Onderwerp van onderzoek: verschillende manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen.

wij geloven dat praktische betekenis werk bestaat uit de mogelijkheid om een reeks technieken en methoden te gebruiken voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen in de wiskunde en buitenschoolse activiteiten, evenals om studenten in de rangen 8-9 vertrouwd te maken met dit materiaal.

HOOFDSTUK 1. ONGEBRUIKELIJKE METHODEN VOOR HET OPLOSSEN VAN KWADRAATISCHE VERGELIJKINGEN

1. EIGENSCHAPPEN VAN COFFICINTEN (a,b,c)

De methode is gebaseerd op de eigenschappen van de coëfficiënten abc:

Als een a+b+c=0, dan = 1, =

Voorbeeld:

-6x 2 + 2x +4=0, dan = 1, = = .

Als een a-b+c=0, dan = -1, = -

Voorbeeld:

2017x 2 + 2001x +16 = 0, dan = -1, -.

1. AFHANKELIJKHEDEN VAN COFFICINTEN (a,b,c)

De volgende afhankelijkheden van de coëfficiënten zijn geldig abc:

Als b=a 2+1, c=a, dan is x 1 =-a; x 2 \u003d -.

Als b=-(a 2+1), a=c, dan is x 1 =a; x2 =.

Als b=a 2 -1, c=-a, dan is x 1 =-a; x2 = .

Als b=-(a 2 -1), -a=c, dan is x 1 =a; x 2 \u003d -.

Laten we de volgende vergelijkingen oplossen:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. "OMKEER" VAN DE HOOFDCOFFICINT

Coëfficiënt a wordt vermenigvuldigd met de vrije term, alsof het "overgedragen" is, daarom wordt het de "overdracht" -methode genoemd. Verder worden de wortels gevonden door de stelling van Vieta. De gevonden wortels worden gedeeld door de eerder overgedragen coëfficiënt, waardoor we de wortels van de vergelijking vinden.

Voorbeeld:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

Laten we de coëfficiënt 2 "overdragen" naar de vrije term, als resultaat krijgen we de vergelijking

Bij 2 - 3j + 2 = 0.

Volgens de stelling van Vieta

Bij 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,

Bij 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

Antwoord: 0,5; een.

1. METHODE GRAFISCHE OPLOSSING

Als in vergelijking a x 2 + bx + c= 0 verplaats de tweede en derde term naar rechter zijde, dan krijgen we een x 2 = -bx-c .

Laten we afhankelijkheidsgrafieken maken Bij= bijl 2 en Bij= -bx-c in één coördinatenstelsel.

De grafiek van de eerste afhankelijkheid is een parabool die door de oorsprong gaat. De grafiek van de tweede afhankelijkheid is een rechte lijn.

De volgende gevallen zijn mogelijk:

een rechte lijn en een parabool kunnen elkaar in twee punten snijden, de abscis van de snijpunten zijn de wortels van een kwadratische vergelijking;

lijn en parabool kunnen elkaar raken (slechts één gemeenschappelijk punt), d.w.z. de vergelijking heeft één oplossing;

rechte lijn en parabool hebben geen gemeenschappelijke punten, d.w.z. een kwadratische vergelijking heeft geen wortels.

Laten we de volgende vergelijkingen oplossen:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 \u003d - 2x + 3

In één coördinatensysteem construeren we een grafiek van de functie y \u003d x 2 en een grafiek van de functie y \u003d - 2x + 3. Door de abscis van de snijpunten aan te duiden, krijgen we het antwoord.

Antwoord: x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 \u003d - 6x - 9

In één coördinatensysteem construeren we een grafiek van de functie y \u003d x 2 en een grafiek van de functie y \u003d -6x - 9. Door de abscis van het aanraakpunt aan te duiden, krijgen we het antwoord.

Antwoord: x = - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

In één coördinatensysteem construeren we een grafiek van de functie y \u003d 2x 2 en een grafiek van de functie

De parabool y \u003d 2x 2 en de rechte lijn y \u003d - 4x - 7 hebben geen gemeenschappelijke punten, daarom heeft de vergelijking geen wortels.

Antwoord: geen wortels.

1. KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN OPLOSSEN MET DE HULP VAN HET KOMPAS EN DE HEERSER

We lossen de vergelijking ax 2 + bx + c \u003d 0 op:

Laten we de punten S(-b:2a,(a+c):2a) - het middelpunt van de cirkel en het punt A(0,1) construeren.

Teken een cirkel met straal SA.

De abscis van de snijpunten met de Ox-as zijn de wortels van de oorspronkelijke vergelijking.

In dit geval zijn er drie gevallen mogelijk:

1) De straal van de cirkel is groter dan de ordinaat van het middelpunt ( AS>SK, of R>), snijdt de cirkel de as Oh op twee punten..B( X 1 ; 0) en D(x 2 ;0), waar X 1 en X 2 - wortels van de kwadratische vergelijking Oh 2 + bx + c = 0.

2) De straal van de cirkel is gelijk aan de ordinaat van het middelpunt ( AS = SВ, of R=), de cirkel raakt de as Oh op punt B( X 1 ; 0), waar X 1 is de wortel van de kwadratische vergelijking.

3) De straal van de cirkel is kleiner dan de ordinaat van het middelpunt ( ALS< SВ , of R< ), heeft de cirkel geen gemeenschappelijke punten met de x-as, in welk geval de vergelijking geen oplossing heeft.

a) AS > SВ of R >, b) AS = SВ of R= in) ALS< SВ, of R< .

Twee oplossingen X 1 en X 2 . Een oplossing X 1.. Heeft geen oplossing.

Voorbeeld 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

Beslissing:

Laten we een cirkel met straal tekenen ZA, waar MAAR (0;1).

Antwoord: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3.

Voorbeeld 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Beslissing: Zoek de coördinaten S: x=3, y=5.

Antwoord: x=3.

Voorbeeld 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Beslissing: Cirkelcentrumcoördinaten: x= - 2 en y = 3.

Antwoord: geen wortels

1. NOMOGRAM-OPLOSSING

Nomogram (van het Griekse "nomos" - wet en gram), grafische weergave functies van verschillende variabelen, waardoor het gebruik van eenvoudige geometrische bewerkingen(bijvoorbeeld het toepassen van een liniaal) verken functionele afhankelijkheden zonder berekeningen. Los bijvoorbeeld een kwadratische vergelijking op zonder formules te gebruiken.

Het is oud en nu vergeten manier oplossing van kwadratische vergelijkingen, geplaatst op pagina 83 van de collectie: Bradis V.M. "Vierdimensionale wiskundige tabellen". - M., "DROFA", 2000. Tabel XXII. Nomogram voor het oplossen van vergelijkingen z 2 + pz + q = 0(zie bijlage 1).

Dit nomogram maakt het mogelijk om, zonder de kwadratische vergelijking op te lossen, de wortels van de vergelijking te bepalen aan de hand van zijn coëfficiënten.

De kromlijnige schaal van het nomogram is opgebouwd volgens de formules: OV= , AB =

Ervan uitgaand OS = p, ED = q, OE = a(alles in cm), van gelijkaardige driehoeken SAN en CDF we krijgen de verhouding waaruit, na substituties en vereenvoudigingen, de vergelijking z 2 + pz + q = 0 volgt, en de letter z betekent het label van een willekeurig punt op de kromlijnige schaal.

voorbeeld 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

Op de p-schaal vinden we het merkteken -9, en op de q-schaal het merkteken 8. We trekken een rechte lijn door deze merktekens die de kromme van de nomogramschaal snijdt bij merktekens 1 en 8. Daarom zijn de wortels van de vergelijking 1 en 8.

Antwoord 1; acht.

Het is deze vergelijking die wordt opgelost in de Bradys-tabel op pagina 83 (zie Bijlage 1).

Voorbeeld 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

We delen de coëfficiënten van deze vergelijking door 2, we krijgen de vergelijking:

z 2 - 4,5z + 1 = 0. Nomogram geeft wortels z 1 = 4 en z 2 = 0,5.

Antwoord: 4; 0,5.

Voorbeeld 3:x 2 - 25x + 66 = 0

Coëfficiënten p en q zijn buiten schaal. Laten we de vervanging uitvoeren x=5z, krijgen we de vergelijking:

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

die wordt opgelost door middel van een nomogram.

Krijg z 1 = 0,6 en z 2 = 4,4,

waar x 1 = 5z 1 = 3,0 en x 2 = 5z 2 = 22,0.

Antwoord: 3; 22.

Voorbeeld 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , a negatieve wortel vinden door af te trekken positieve wortel uit -p , die. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Antwoord 1; -6.

Voorbeeld 5: z 2 - 2z - 8 = 0, het nomogram geeft een positieve wortel van z 1 =4, en negatief is z 2 =-p-4=

= 2 - 4= -2.

Antwoord: 4; -2.

HOOFDSTUK 2

We besloten een programma te schrijven voor het oplossen van een kwadratische vergelijking met met behulp van Excel- het is wijdverbreid computerprogramma. Het is nodig voor het uitvoeren van berekeningen, het samenstellen van tabellen en diagrammen, het berekenen van eenvoudige en complexe functies. Het maakt deel uit van de Microsoft Office-suite.

Laken Excel-programma's, waar de formules worden weergegeven:

Excel-blad weergegeven: specifiek voorbeeld een kwadratische vergelijking oplossen x 2 - 14x - 15 = 0:

HOOFDSTUK 3


Formule van de wortels van een kwadratische vergelijking met de discriminant D en D1	Veelzijdigheid, omdat kan worden gebruikt om absoluut alle kwadratische vergelijkingen op te lossen	Omslachtige discriminant niet opgenomen in de tabel met vierkanten
Stelling van Vieta	Snelle oplossing in bepaalde gevallen en tijdwinst	Als de discriminant niet het perfecte kwadraat van een geheel getal is. Niet-gehele coëfficiënten b en c.
Selectie vol plein	Met de juiste transformatie naar het kwadraat van de binomiaal verkrijgen we een onvolledige kwadratische vergelijking en daarom worden de wortels sneller gevonden	De moeilijkheid om een volledig vierkant te selecteren wanneer fractionele kansen vergelijkingen
Groeperingsmethode:	Kan worden opgelost zonder de formules te kennen	Het is niet altijd mogelijk om de middenterm op te splitsen in geschikte termen om te groeperen
Grafische manier	Geen formules nodig. U kunt snel het aantal wortels van een vergelijking achterhalen	Benadering van de oplossing
Eigenschappen coëfficiënten a,b,c	Snelheid van beslissen. Voor vergelijkingen met grote coëfficiënten	Alleen geschikt voor sommige vergelijkingen
"Herrollen" van de hoofdcoëfficiënt	Oplossingssnelheid als de wortels integer zijn	Hetzelfde als het gebruik van de stelling van Vieta
nomogram	zichtbaarheid Het enige dat nodig is om op te lossen, is een nomogram	Je hebt niet altijd een nomogram bij je. Oplossing onnauwkeurigheid
Wortels vinden met een kompas en liniaal	zichtbaarheid	Als de coördinaten van het centrum niet-gehele getallen zijn. De wortels vinden van vergelijkingen met grote coëfficiënten

CONCLUSIE

“Het is vaak nuttiger voor een student algebra om hetzelfde probleem op drie verschillende manieren op te lossen dan om drie of vier verschillende problemen op te lossen. Eén probleem oplossen verschillende methoden, kunt u door vergelijking zien welke korter en efficiënter is. Zo wordt ervaring opgedaan."

Walter Warwick Sawyer

Tijdens het werk hebben we materiaal verzameld en methoden bestudeerd voor het oplossen (vinden van wortels) van kwadratische vergelijkingen. De oplossing van vergelijkingen op verschillende manieren wordt gepresenteerd in bijlage 2.

aan het studeren verschillende manieren kwadratische vergelijkingen op te lossen, kwamen we tot de conclusie dat je voor elke vergelijking de meest efficiënte en rationele manier kunt kiezen om de wortels te vinden. Elk van de oplossingen is in bepaalde gevallen uniek en handig. Sommige oplossingsmethoden besparen tijd, wat belangrijk is bij het oplossen van taken voor de OGE, andere helpen om de vergelijking op te lossen met zeer grote coëfficiënten. We hebben geprobeerd verschillende oplossingen met elkaar te vergelijken door een tabel samen te stellen die de voor- en nadelen van elk van de methoden weergeeft.

We hebben ontwikkeld Hand-out. In bijlage 3 kunt u kennis maken met de takenbank over het onderwerp.

Gebruik makend van Microsoft Excel, we hebben samengesteld spreadsheet, waarmee u automatisch de wortels van een kwadratische vergelijking kunt berekenen met behulp van de wortelformules.

We hebben les gehad over ongebruikelijke manieren het oplossen van kwadratische vergelijkingen, voor studenten in de rangen 9. De studenten waren erg enthousiast over de methoden, ze merkten op dat de opgedane kennis nuttig voor hen zou zijn bij het vervolgopleiding. Het resultaat van de les was het werk van de leerlingen waarin ze presenteerden verschillende opties oplossen van kwadratische vergelijkingen (zie bijlage 4).

Het materiaal van het werk kan worden gebruikt door liefhebbers van wiskunde en degenen die meer willen weten over wiskunde.

LITERATUUR

Bradis V. M. "Viercijferige wiskundige tabellen voor" middelbare school”, M.: Trap, 2000.

Vilenkin N.Ya. "Algebra voor groep 8", M.: Onderwijs, 2000.

Galitsky M.L. "Verzameling van taken in algebra", M.: Onderwijs 2002.

Glazer GI "Geschiedenis van de wiskunde op school", M.: Onderwijs, 1982.

Zvavich LI "Algebra Grade 8", Moskou: Mnemosyne, 2002.

Makarychev Yu.N. "Algebra Grade 8", Moskou: Onderwijs, 2015.

Pluzhnikov I. "10 manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen" // Wiskunde op school. - 2000.- Nr. 40.

Presman AA "Oplossing van een kwadratische vergelijking met behulp van een kompas en liniaal"//M., Kvant, No. 4/72, p.34.

Savin AP " encyclopedisch woordenboek jonge wiskundige,

Moskou: Pedagogiek, 1989.

Internetbronnen:

http://revolution.allbest.ru/

BIJLAGE 1

"COLLECTIE VAN BRADIS V.M."

BIJLAGE 2

"DE VERGELIJKING OP ALLE MANIEREN OPLOSSEN"

Eerste vergelijking:4x 2 +3x -1 = 0.

1. Formule van de wortels van een kwadratische vergelijking met de discriminant D

4x 2 +3x -1 = 0

D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => de vergelijking heeft twee wortels

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. Stelling van Vieta

4x 2 +3x -1 = 0, deel de vergelijking door 4 om hem kleiner te maken

X 2 +x -=0

X 1 = -1

X 2 =

3. Volledige vierkante selectiemethode

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2x *+)-1=0

(2x+) 2 -=0

(2x + -) (2x + +) = 0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

X 1 = x 2 = -1

4. Groeperingsmethode:

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0, product = 0 wanneer een van de factoren = 0

(4x-1)=0 (x+1)=0

X 1 = x 2 = -1

5. Eigenschappen van coëfficiënten

4x 2 +3x -1 = 0

Als a - b+c=0, dan = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. De methode van "overdracht" van de hoofdcoëfficiënt

4x 2 +3x -1 = 0

ja 2 +3j - 4 = 0

Stelling van Vieta:

ja 1 = -4

ja 2 = 1

We delen de gevonden wortels door de hoofdcoëfficiënt en krijgen de wortels van onze vergelijking:

X 1 = -1

X 2 =

7. Een methode om kwadratische vergelijkingen op te lossen met een passer en liniaal

4x 2 +3x -1 = 0

Bepaal de coördinaten van het middelpunt van de cirkel met de formules:

X 1 = -1

X 2 =

8. Grafische oplossing

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

In één coördinatensysteem construeren we een grafiek van de functie y = 4x 2 en de grafiek van de functie

y \u003d - 3x + 1. Door de abscis van de snijpunten aan te duiden, krijgen we het antwoord:

X 1 = -1

9. Een nomogram gebruiken

4x 2 +3x -1 = 0, we delen de coëfficiënten van de vergelijking 1/door 4, we krijgen de vergelijking

X 2 +x -= 0.

Het nomogram geeft een positieve wortel = ,

en de negatieve wortel wordt gevonden door de positieve wortel af te trekken van - p , die.

x 2 = - p -=- -= -1.

10. Oplossing van deze vergelijking in EXCEL

BIJLAGE 3

"DIDACTISCH MATERIAAL VOOR HET THEMA"

“OPLOSSING VAN KWADRATIEVE VERGELIJKINGEN” »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0.8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1.5

55x 2 -44x -11= 0 1 -0,2

6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1.5

4x 2 -17x-15 = 0 -0,75,5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2,5, 3

4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1,5, 0,5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

BIJLAGE 4

STUDENT WERKT

Ik weet school wiskunde, hoort het kind voor het eerst de term "vergelijking". Wat is het, laten we het samen proberen uit te zoeken. In dit artikel zullen we de soorten en methoden van oplossen bekijken.

Wiskunde. vergelijkingen

Om te beginnen stellen we voor om het concept zelf aan te pakken, wat is het? Zoals veel wiskundeboeken zeggen, is een vergelijking een aantal uitdrukkingen waartussen altijd een gelijkteken staat. Deze uitdrukkingen bevatten letters, de zogenaamde variabelen, waarvan de waarde moet worden gevonden.

Dit is een systeemkenmerk waarvan de waarde verandert. goed voorbeeld variabelen zijn:

luchttemperatuur;
lengte van het kind;
gewicht enzovoort.

In de wiskunde worden ze aangegeven met letters, bijvoorbeeld x, a, b, c ... Gewoonlijk is de taak in de wiskunde als volgt: vind de waarde van de vergelijking. Dit betekent dat u de waarde van deze variabelen moet vinden.

Rassen

De vergelijking (wat het is, hebben we in de vorige paragraaf besproken) kan de volgende vorm hebben:

lineair;
plein;
kubiek;
algebraïsch;
transcendent.

Voor een meer gedetailleerde kennismaking met alle typen, zullen we ze elk afzonderlijk bekijken.

Lineaire vergelijking

Dit is het eerste type waarmee studenten kennis maken. Ze worden vrij snel en eenvoudig opgelost. Dus, wat is een lineaire vergelijking? Dit is een uitdrukking van de vorm: ax=s. Het is niet erg duidelijk, dus laten we een paar voorbeelden geven: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.

Laten we eens kijken naar voorbeelden van vergelijkingen. Om dit te doen, moeten we enerzijds alle bekende gegevens en anderzijds onbekende gegevens verzamelen: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Hier gebruikt: elementaire regels wiskunde: a*c=e, hiervandaan c=e/a; a=e/s. Om de oplossing van de vergelijking te voltooien, voeren we één actie uit (in ons geval deling) x=13; x=8; x=5. Dit waren voorbeelden van vermenigvuldiging, laten we nu eens kijken naar aftrekken en optellen: x + 3 = 9; 10x-5=15. We dragen de bekende gegevens in één richting over: x=9-3; x=20/10. We voeren de laatste actie uit: x=6; x=2.

Varianten van lineaire vergelijkingen zijn ook mogelijk, waarbij meer dan één variabele wordt gebruikt: 2x-2y=4. Om op te lossen, is het noodzakelijk om 2y aan elk deel toe te voegen, we krijgen 2x-2y + 2y \u003d 4-2y, zoals we hebben opgemerkt, aan de linkerkant van het gelijkteken zijn -2y en +2y verminderd, terwijl we hebben: 2x \u003d 4 -2u. De laatste stap is om elk deel door twee te delen, we krijgen het antwoord: x is gelijk aan twee min y.

Zelfs op de papyri van Ahmes worden problemen met vergelijkingen gevonden. Hier is een van de problemen: het getal en het vierde deel ervan tellen op tot 15. Om het op te lossen, schrijven we de volgende vergelijking: x plus een kwart van x is vijftien. We zien nog een voorbeeld als resultaat van de oplossing, we krijgen het antwoord: x=12. Maar dit probleem kan op een andere manier worden opgelost, namelijk de Egyptische of, zoals het op een andere manier wordt genoemd, de methode van aanname. Gebruikt in papyrus volgende oplossing:: neem vier en het vierde deel ervan, dat wil zeggen één. In totaal geven ze vijf, nu moeten we vijftien delen door de som, we krijgen drie, met de laatste actie vermenigvuldigen we drie met vier. We krijgen het antwoord: 12. Waarom delen we vijftien door vijf in de oplossing? Dus we zoeken uit hoeveel keer vijftien, dat wil zeggen, het resultaat dat we moeten krijgen is minder dan vijf. In de Middeleeuwen werden problemen op deze manier opgelost, het werd bekend als de valse positie methode.

kwadratische vergelijkingen

Naast de eerder besproken voorbeelden zijn er nog andere. Wat precies? Wat is een kwadratische vergelijking? Ze zien eruit als bijl 2 +bx+c=0. Om ze op te lossen, moet u vertrouwd raken met enkele concepten en regels.

Eerst moet je de discriminant vinden met behulp van de formule: b 2 -4ac. Er zijn drie mogelijke oplossingen:

discriminerend Boven nul;
minder dan nul;
gelijk is aan nul.

In de eerste optie kunnen we een antwoord krijgen van twee wortels, die worden gevonden door de formule: -b + - de wortel van de discriminant gedeeld door de verdubbelde eerste coëfficiënt, dat wil zeggen 2a.

In het tweede geval heeft de vergelijking geen wortels. In het derde geval wordt de wortel gevonden met de formule: -b / 2a.

Overweeg een voorbeeld van een kwadratische vergelijking voor een meer gedetailleerde kennis: drie x kwadraat minus veertien x minus vijf is gelijk aan nul. Om te beginnen, zoals eerder geschreven, zoeken we naar de discriminant, in ons geval is het 256. Merk op dat het resulterende getal groter is dan nul, daarom zouden we een antwoord moeten krijgen dat uit twee wortels bestaat. We vervangen de resulterende discriminant in de formule voor het vinden van de wortels. Als resultaat hebben we: x is gelijk aan vijf en min een derde.

Speciale gevallen in kwadratische vergelijkingen

Dit zijn voorbeelden waarbij sommige waarden nul zijn (a, b of c), en mogelijk meer dan één.

Laten we bijvoorbeeld de volgende vergelijking nemen, die kwadratisch is: twee x kwadraat is nul, hier zien we dat b en c nul zijn. Laten we proberen het op te lossen, hiervoor delen we beide delen van de vergelijking door twee, we hebben: x 2 \u003d 0. Als resultaat krijgen we x=0.

Een ander geval is 16x 2 -9=0. Hier alleen b=0. We lossen de vergelijking op, brengen de vrije coëfficiënt over naar de rechterkant: 16x 2 \u003d 9, nu delen we elk deel door zestien: x 2 \u003d negen zestienden. Omdat we x in het kwadraat hebben, kan de wortel van 9/16 zowel negatief als positief zijn. We schrijven het antwoord als volgt: x is gelijk aan plus/min driekwart.

Een dergelijk antwoord is ook mogelijk, omdat de vergelijking helemaal geen wortels heeft. Laten we naar dit voorbeeld kijken: 5x 2 +80=0, hier b=0. Om het gratis lid op te lossen, gooi het naar de rechterkant, na deze acties krijgen we: 5x 2 \u003d -80, nu delen we elk deel door vijf: x 2 \u003d minus zestien. Als een getal in het kwadraat is, dan negatieve betekenis we zullen niet krijgen. Daarom klinkt ons antwoord als volgt: de vergelijking heeft geen wortels.

Trinomiale expansie

De opdracht voor kwadratische vergelijkingen kan op een andere manier klinken: ontbinden vierkante trinominaal voor vermenigvuldigers. Dit kan met de volgende formule: a (x-x 1) (x-x 2). Hiervoor is het, net als in een andere versie van de taak, noodzakelijk om de discriminant te vinden.

Beschouw het volgende voorbeeld: 3x 2 -14x-5, ontbind de trinominaal. We vinden de discriminant, met behulp van de formule die ons al bekend is, het blijkt 256 te zijn. We merken meteen op dat 256 groter is dan nul, daarom zal de vergelijking twee wortels hebben. We vinden ze, zoals in de vorige paragraaf, we hebben: x \u003d vijf en min een derde. Laten we de formule gebruiken om de trinominaal in factoren te ontbinden: 3(x-5)(x+1/3). In de tweede haak kregen we een gelijkteken, omdat de formule een minteken bevat en de wortel ook negatief is, met elementaire kennis van wiskunde, in de som hebben we een plusteken. Ter vereenvoudiging vermenigvuldigen we de eerste en derde term van de vergelijking om de breuk te verwijderen: (x-5) (x + 1).

Kwadratische vergelijkingen

BIJ deze paragraaf leer meer op te lossen complexe vergelijkingen. Laten we meteen beginnen met een voorbeeld:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. We kunnen de herhalende elementen opmerken: (x 2 - 2x), het is handig voor ons om deze te vervangen door een andere variabele voor de oplossing, en los dan de gebruikelijke kwadratische vergelijking op, we merken meteen op dat we in zo'n taak vier wortels zullen krijgen, dit zou je niet moeten afschrikken. We duiden de herhaling van de variabele a aan. We krijgen: een 2 -2a-3=0. Onze volgende stap is om de discriminant van de nieuwe vergelijking te vinden. Als we 16 krijgen, vinden we twee wortels: min één en drie. We herinneren ons dat we de vervanging hebben gedaan, we vervangen deze waarden, als resultaat hebben we de vergelijkingen: x 2 - 2x \u003d -1; x2 - 2x=3. We lossen ze op in het eerste antwoord: x gelijk aan één, in de tweede: x is gelijk aan min één en drie. We schrijven het antwoord als volgt: plus/min één en drie. In de regel wordt het antwoord in oplopende volgorde geschreven.

Kubieke vergelijkingen

Laten we een andere overwegen mogelijke variant. Het zal zijn wat betreft kubieke vergelijkingen. Ze zien er als volgt uit: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. We zullen hieronder voorbeelden van vergelijkingen bekijken, maar eerst wat theorie. Ze kunnen drie wortels hebben, er is ook een formule om de discriminant voor een derdegraadsvergelijking te vinden.

Beschouw een voorbeeld: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Hoe het op te lossen? Hiervoor halen we x gewoon uit de haakjes: x(3x 2 +4x+2)=0. Het enige dat we nog moeten doen, is de wortels van de vergelijking tussen haakjes berekenen. De discriminant van de kwadratische vergelijking tussen haakjes is kleiner dan nul, dus de uitdrukking heeft een wortel: x=0.

Algebra. vergelijkingen

Laten we verder gaan met volgende soort. We zullen nu kort terugblikken algebraïsche vergelijkingen. Een van de taken is als volgt: factorize 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. De handigste manier is de volgende groepering: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Merk op dat we 8x2 uit de eerste uitdrukking hebben weergegeven als de som van 3x2 en 5x2. Nu nemen we van elk haakje de gemene deler 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). We zien dat we een gemeenschappelijke factor hebben: x kwadraat plus één, we halen die tussen haakjes: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). Verdere expansie is onmogelijk, aangezien beide vergelijkingen een negatieve discriminant hebben.

Transcendente vergelijkingen

We stellen voor om het volgende type te behandelen. Dit zijn vergelijkingen die transcendentale functies bevatten, namelijk logaritmisch, trigonometrisch of exponentieel. Voorbeelden: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 enzovoort. Hoe ze worden opgelost, leer je uit de cursus trigonometrie.

Functie

De laatste stap is om het concept van een vergelijking van een functie te overwegen. In tegenstelling tot eerdere opties, gegeven type is niet opgelost, maar er wordt een grafiek op gebouwd. Om dit te doen, moet de vergelijking goed worden geanalyseerd, alle benodigde punten voor de constructie vinden, de minimum- en maximumpunten berekenen.

Een vergelijking die een kwadratische trinominaal is, wordt gewoonlijk een kwadratische vergelijking genoemd. Vanuit het oogpunt van algebra wordt het beschreven door de formule a*x^2+b*x+c=0. In deze formule is x de onbekende die gevonden moet worden (dit wordt de vrije variabele genoemd); a, b en c zijn numerieke coëfficiënten. Met betrekking tot de componenten hiervan zijn er een aantal beperkingen: de coëfficiënt a mag bijvoorbeeld niet gelijk zijn aan 0.

De vergelijking oplossen: het concept van de discriminant

De waarde van de onbekende x, waarbij de kwadratische vergelijking verandert in een echte gelijkheid, wordt de wortel van zo'n vergelijking genoemd. Om een kwadratische vergelijking op te lossen, moet je eerst de waarde van een speciale coëfficiënt vinden - de discriminant, die het aantal wortels van de beschouwde gelijkheid laat zien. De discriminant wordt berekend met de formule D=b^2-4ac. In dit geval kan het resultaat van de berekening positief, negatief of gelijk aan nul zijn.

In dit geval moet er rekening mee worden gehouden dat het concept vereist dat alleen de coëfficiënt a strikt verschilt van 0. Daarom kan de coëfficiënt b gelijk zijn aan 0, en de vergelijking zelf is in dit geval a*x^2+ c=0. In een dergelijke situatie moet de coëfficiëntwaarde gelijk aan 0 worden gebruikt in de formules voor het berekenen van de discriminant en wortels. Dus de discriminant wordt in dit geval berekend als D=-4ac.

Oplossing van de vergelijking met een positieve discriminant

Als de discriminant van de kwadratische vergelijking positief blijkt te zijn, kunnen we hieruit concluderen dat deze gelijkheid twee wortels heeft. Deze wortels kunnen worden berekend met de volgende formule: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Dus, om de waarde van de wortels van de kwadratische vergelijking te berekenen voor positieve waarde discriminant gebruikt bekende waarden coëfficiënten beschikbaar in . Dankzij het gebruik van de som en het verschil in de formule voor het berekenen van de wortels, zal het resultaat van de berekeningen twee waarden zijn die de betreffende gelijkheid in de juiste veranderen.

Oplossing van de vergelijking met nul en negatieve discriminant

Als de discriminant van de kwadratische vergelijking gelijk aan 0 blijkt te zijn, kunnen we concluderen dat zei vergelijking heeft één wortel. Strikt genomen heeft de vergelijking in deze situatie nog steeds twee wortels, maar vanwege de nuldiscriminant zullen ze gelijk zijn aan elkaar. In dit geval x=-b/2a. Als in de loop van berekeningen de waarde van de discriminant negatief blijkt te zijn, moet worden geconcludeerd dat de beschouwde kwadratische vergelijking geen wortels heeft, dat wil zeggen dergelijke waarden van x waarbij deze in een echte gelijkheid verandert.