Kuidas lahendada keerulist võrrandit. Kompleksarvudega avaldised, võrrandid ja võrrandisüsteemid

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene on võrrandeid kasutanud juba iidsetest aegadest ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Selguse huvides lahendame järgmise probleemi:

Arvutage \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\], kui \

Kõigepealt pöörame tähelepanu asjaolule, et üks arv on esitatud algebralisel kujul, teine - trigonomeetrilisel kujul. Seda tuleb lihtsustada ja järgmine liik

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Avaldis \ ütleb, et kõigepealt teeme korrutamise ja tõstmise 10. astmeni vastavalt Moivre valemile. See valem koostati kompleksarvu trigonomeetrilise vormi jaoks. Saame:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Järgides kompleksarvude trigonomeetrilisel kujul korrutamise reegleid, teeme järgmist:

Meie puhul:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Muutes murru \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] õigeks, järeldame, et on võimalik "keerata" 4 pööret \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Vastus: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Seda võrrandit saab lahendada muul viisil, mille tulemuseks on 2. arvu viimine algebralisele vormile ja seejärel korrutamine algebraline vorm, tõlkige tulemus trigonomeetrilisse vormi ja rakendage De Moivre'i valemit:

Kust saab võrgus lahendada kompleksarvudega võrrandisüsteemi?

Võrrandisüsteemi saate lahendada meie veebisaidil https: // saidil. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil sekunditega lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandi. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Samuti saate vaadata videoõpetust ja õppida võrrandit lahendama meie veebisaidil. Ja kui teil on küsimusi, võite neid küsida meie Vkontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.

Rakendus

Mis tahes tüüpi võrrandite veebipõhine lahendus saidile, et õpilaste ja kooliõpilaste õpitud materjale koondada. Võrrandite lahendamine võrgus. Võrrandid Internetis. On algebralisi, parameetrilisi, transtsendentaalseid, funktsionaalseid, diferentsiaalvõrrandeid ja muud tüüpi võrrandeid.Mõnel võrrandiklassil on analüütilised lahendid, mis on mugavad selle poolest, et need ei anna mitte ainult juure täpset väärtust, vaid võimaldavad ka lahenduse kirjutada. valemi kujul, mis võib sisaldada parameetreid. Analüütilised avaldised võimaldavad mitte ainult arvutada juuri, vaid analüüsida nende olemasolu ja arvu sõltuvalt parameetrite väärtustest, mis on sageli veelgi olulisem. praktilise rakendamise kui konkreetsed juurväärtused. Võrrandite lahendamine võrgus Võrrandid võrgus. Võrrandi lahendus on ülesanne leida sellised argumentide väärtused, mille jaoks see võrdsus saavutatakse. Argumentide võimalikele väärtustele saab kehtestada lisatingimusi (täisarv, reaalne jne). Võrrandite lahendamine võrgus Võrrandid võrgus. Võrrandi saate lahendada koheselt ja koos kõrge täpsusega tulemus. Antud funktsioonide argumente (mida mõnikord nimetatakse ka "muutujateks") võrrandi puhul nimetatakse "tundmatuteks". Tundmatute väärtusi, mille puhul see võrdsus saavutatakse, nimetatakse antud võrrandi lahenditeks või juurteks. Räägitakse, et juured rahuldavad see võrrand. Võrrandi lahendamine võrgus tähendab kõigi selle lahendite (juurte) hulga leidmist või juurte puudumise tõestamist. Võrrandite lahendamine võrgus Võrrandid võrgus. Ekvivalente või ekvivalente nimetatakse võrranditeks, mille juurte hulgad langevad kokku. Samaväärseteks loetakse ka võrrandeid, millel pole juuri. Võrrandite samaväärsusel on sümmeetria omadus: kui üks võrrand on samaväärne teisega, siis teine võrrand on samaväärne esimesega. Võrrandite samaväärsusel on transitiivsuse omadus: kui üks võrrand on samaväärne teisega ja teine on samaväärne kolmandaga, siis esimene võrrand on samaväärne kolmandaga. Võrrandite ekvivalentsusomadus võimaldab teha nendega teisendusi, millel põhinevad nende lahendamise meetodid. Võrrandite lahendamine võrgus Võrrandid võrgus. Sait võimaldab teil võrrandi võrgus lahendada. Võrrandid, mille analüütilised lahendused on teada, hõlmavad algebralisi võrrandeid, mis ei ole kõrgemad kui neljas aste: lineaarvõrrand, ruutvõrrand, kuupvõrrand ja neljanda astme võrrand. Kõrgema astme algebralised võrrandid in üldine juhtum ei oma analüütilist lahendust, kuigi osa neist saab taandada võrranditeks madalamad kraadid. Transtsendentaalseid funktsioone sisaldavaid võrrandeid nimetatakse transtsendentaalseteks. Nende hulgas on mõne jaoks tuntud analüütilised lahendused trigonomeetrilised võrrandid, nullidest peale trigonomeetrilised funktsioonid hästi tuntud. Üldjuhul, kui analüütilist lahendust ei leita, kasutatakse numbrilisi meetodeid. Numbrilised meetodid ei anna täpset lahendust, vaid lubab ainult kitsendada intervalli, milles juur asub, ettemääratud väärtuseni seatud väärtus. Võrrandite lahendamine võrgus. Võrrandid võrgus. Online võrrandi asemel esitame sama avaldise moodustumise lineaarne sõltuvus ja mitte ainult piki sirget puutujat, vaid ka graafiku pöördepunktis. See meetod on aine uurimisel igal ajal asendamatu. Tihti juhtub, et võrrandite lahendus läheneb lõppväärtusele lõpmatute arvude ja kirjutusvektorite abil. On vaja kontrollida algandmeid ja see on ülesande olemus. Vastasel juhul teisendatakse kohalik tingimus valemiks. Sirge inversioon alates antud funktsioon, mille võrrandikalkulaator arvutab täitmisel ilma suurema viivituseta, toimib ruumi privileeg tasaarveldusena. See räägib õpilaste saavutustest aastal teaduskeskkond. Kuid nagu kõik ülaltoodu, aitab see meid leidmise protsessis ja kui lahendate võrrandi täielikult, salvestage saadud vastus sirgjoonelõigu otstesse. Ruumi sirged lõikuvad punktis ja seda punkti nimetatakse joontega lõikuvaks. Rea intervall on märgitud nagu varem. Avaldatakse matemaatikaõppe kõrgeim postitus. Määrake argumendi väärtus parameetriliselt antud pind ja võrgus võrrandit lahendada oskab visandada produktiivse funktsiooni kutsumise põhimõtted. Möbiuse riba või nagu seda nimetatakse lõpmatuseks, näeb välja nagu kaheksake. See on ühepoolne pind, mitte kahepoolne. Kõigile hästi tuntud põhimõtte kohaselt aktsepteerime objektiivselt lineaarvõrrandid põhinimetuse jaoks nii nagu on ja õppesuunal. Ainult kaks järjestikuste argumentide väärtust suudavad paljastada vektori suuna. Eeldada, et võrguvõrrandite erinev lahendus on palju enamat kui lihtsalt selle lahendamine, tähendab väljundis invariandi täieõigusliku versiooni saamist. Ilma integreeritud lähenemineõpilastel on raske õppida seda materjali. Nagu varemgi, on iga erijuhu puhul abiks meie mugav ja nutikas võrguvõrrandi kalkulaator raskel hetkel igaühele, sest tuleb lihtsalt täpsustada sisendparameetrid ja süsteem arvutab vastuse ise. Enne andmete sisestamise alustamist vajame sisestustööriista, mida saab teha ilma suuremate raskusteta. Iga vastuseskoori arv on ruutvõrrand, mis viib meie järeldusteni, kuid seda pole nii lihtne teha, sest vastupidist on lihtne tõestada. Teooriat selle omaduste tõttu ei toetata praktilisi teadmisi. Murrukalkulaatori nägemine vastuse avaldamise etapis ei ole matemaatikas lihtne ülesanne, kuna alternatiiv kirjutada arv komplekti suurendab funktsiooni kasvu. Õpilaste koolitamise kohta oleks aga ebakorrektne ütlemata jätta, seega väljendame igaüks nii palju, kui vaja on. Eelnevalt leitud kuupvõrrand kuulub õigusega definitsiooni valdkonda ja sisaldab ruumi arvväärtusi, samuti sümboolsed muutujad. Olles teoreemi õppinud või pähe õppinud, tõestavad meie õpilased end ainult sellega parem pool ja me oleme nende üle õnnelikud. Erinevalt väljade lõikepunktide komplektist kirjeldatakse meie võrguvõrrandeid liikumistasandiga kahe ja kolme arvulise kombineeritud joone korrutamisel. Matemaatika hulk ei ole üheselt määratletud. Parim lahendus on õpilaste hinnangul lõpuni täidetud kirjalik väljend. Nagu öeldud teaduskeel, sümboolsete väljendite abstraktsioon ei kuulu asjade seisu, kuid võrrandite lahendamine annab üheselt mõistetava tulemuse kõigil teadaolevatel juhtudel. Õpetaja sessiooni kestus lähtub käesolevas pakkumises olevatest vajadustest. Analüüs näitas, et paljudes valdkondades on vaja kõiki arvutustehnikaid ning on täiesti selge, et võrrandikalkulaator on üliõpilase andekates kätes asendamatu tööriist. Lojaalne lähenemine matemaatika õppimisele määrab eri suundade vaadete tähtsuse. Soovite määrata ühe võtmeteoreemi ja lahendada võrrandi sellisel viisil, mille vastusest olenevalt tekib vajadus selle rakendamiseks. Analüütika selles valdkonnas kogub hoogu. Alustame algusest ja tuletame valemi. Funktsiooni suurenemise tasemest läbi murdnud, viib käändepunkti puutujajoon tingimata selleni, et võrrandi võrgus lahendamine on funktsiooni argumendist sama graafiku koostamisel üks peamisi aspekte. Amatöörlikku lähenemist on õigus rakendada, kui see tingimus ei lähe vastuollu õpilaste järeldustega. Just alamülesanne seab matemaatiliste tingimuste analüüsi lineaarvõrranditena olemasolevasse objektidefinitsiooni valdkonda, mis tuuakse tagaplaanile. Nihe ortogonaalsuse suunas vähendab vastastikku üksildase eelist absoluutväärtus. Modulo, võrgus võrrandite lahendamine annab sama palju lahendusi, kui avate sulud esmalt plussmärgiga ja seejärel miinusmärgiga. Sel juhul on lahendusi kaks korda rohkem ja tulemus on täpsem. Stabiilne ja korrektne võrguvõrrandi kalkulaator on edu õpetaja seatud ülesandes seatud eesmärgi saavutamisel. Nõutav meetod tundub olevat võimalik valida suurte teadlaste seisukohtade oluliste erinevuste tõttu. Saadud ruutvõrrand kirjeldab joonte kõverat, nn parabooli, ja märk määrab selle kumeruse ruudu süsteem koordinaadid. Võrrandist saame Vieta teoreemi järgi nii diskriminandi kui ka juured ise. Avaldis tuleb esitada õige või vale murdena ja kasutada esimeses etapis murdarvutit. Sõltuvalt sellest koostatakse meie edasiste arvutuste plaan. Matemaatika kl teoreetiline lähenemine kasulik igal etapil. Tulemuse esitame kindlasti kuupvõrrandina, sest sellesse avaldisesse peidame selle juured, et ülikooli üliõpilase jaoks ülesannet lihtsustada. Kõik meetodid on head, kui need sobivad pealiskaudseks analüüsiks. Lisa aritmeetilised tehted ei too kaasa arvutusvigu. Määrake vastus etteantud täpsusega. Võrrandilahendust kasutades, olgem ausad – antud funktsioonist sõltumatu muutuja leidmine polegi nii lihtne, eriti õppeperioodil paralleelsed jooned lõpmatuses. Erandit silmas pidades on vajadus väga ilmne. Polaarsuse erinevus on üheselt mõistetav. Instituutide õpetamise kogemusest võttis meie õpetaja peamine õppetund, mille kohta võrrandeid uuriti Internetis täies matemaatilises mõttes. Siin oli jutt suurematest pingutustest ja erioskustest teooria rakendamisel. Meie järelduste kasuks ei tohiks vaadata läbi prisma. Kuni viimase ajani arvati, et suletud hulk kasvab sellisel alal kiiresti ja võrrandite lahendus vajab lihtsalt uurimist. Esimeses etapis me ei võtnud kõiki arvesse võimalikud variandid, kuid selline lähenemine on õigustatud rohkem kui kunagi varem. Sulgudega lisatoimingud õigustavad mõningaid edasiminekuid mööda ordinaat- ja abstsisstellge, mida palja silmaga ei saa kahe silma vahele jätta. Funktsiooni laia proportsionaalse suurenemise tähenduses on käändepunkt. Veel kord tõestame, kuidas vajalik tingimus rakendatakse kogu vektori ühe või teise kahaneva positsiooni kahaneva intervalli jooksul. Piiratud ruumis valime muutuja oma skripti algplokist. Põhijõumomendi puudumise eest vastutab kolme vektori baasiks ehitatud süsteem. Võrrandikalkulaator aga tuletas ja aitas leida kõik konstrueeritud võrrandi liikmed nii pinna kohal kui ka mööda paralleelseid sirgeid. Kirjeldame ringi ümber alguspunkti. Seega hakkame mööda lõikejooni üles liikuma ja puutuja kirjeldab ringi kogu selle pikkuses, mille tulemusena saame kõvera, mida nimetatakse involuudiks. Muide, räägime sellest kõverast veidi ajalugu. Fakt on see, et ajalooliselt puudus matemaatikas matemaatika enda mõiste selle puhtas tähenduses, nagu see praegu on. Varem tegelesid kõik teadlased ühega ühine põhjus st teadus. Hiljem, mitu sajandit hiljem, kui teadusmaailm kolossaalse hulga teabega täidetud inimkond tõstis siiski esile paljusid distsipliine. Need jäävad endiselt muutumatuks. Ja ometi püüavad teadlased üle maailma igal aastal tõestada, et teadus on piiritu ja te ei saa võrrandit lahendada, kui teil pole selle valdkonna teadmisi. loodusteadused. Võib-olla pole võimalik sellele lõpuks lõppu teha. Sellele mõtlemine on sama mõttetu kui õues õhu soojendamine. Leiame intervalli, mille korral argument oma positiivse väärtusega määrab väärtuse mooduli järsult kasvavas suunas. Reaktsioon aitab leida vähemalt kolm lahendust, kuid neid tuleb kontrollida. Alustame sellest, et peame võrrandi lahendama veebis, kasutades meie veebisaidi ainulaadset teenust. Sisestame etteantud võrrandi mõlemad osad, vajutame nuppu "LAHENDA" ja saame täpse vastuse vaid mõne sekundi jooksul. AT erilistel puhkudel võtame matemaatika raamatu ja kontrollime oma vastust üle, nimelt vaatame ainult vastust ja kõik saab selgeks. Sama projekt lendab välja kunstlikul üleliigsel rööptahukal. Seal on rööpkülik omaga paralleelsed küljed ja see selgitab paljusid õppimise põhimõtteid ja lähenemisviise ruumiline suheõõnesruumi kuhjumise tõusev protsess looduslikes valemites. Mitmetähenduslikud lineaarvõrrandid näitavad soovitud muutuja sõltuvust meie ühisest Sel hetkel aeg otsusega ja on vaja kuidagi tagasi tõmmata ja tuua vale murd mittetriviaalsele juhtumile. Märgime sirgele kümme punkti ja joonistame iga punkti kaudu kõvera antud suund, ja punnitage üles. Meie võrrandikalkulaator esitab ilma suuremate raskusteta avaldise sellisel kujul, et selle kontroll reeglite kehtivuse suhtes on ilmne isegi salvestuse alguses. Stabiilsuse eriesitluste süsteem matemaatikute jaoks ennekõike, kui valem ei näe ette teisiti. Sellele vastame kehade plastilise süsteemi isomorfse oleku üksikasjaliku aruandega ja võrrandite võrgulahendus kirjeldab iga materiaalse punkti liikumist selles süsteemis. Süvauuringu tasemel on vaja üksikasjalikult selgitada vähemalt ruumi alumise kihi inversioonide küsimust. Kasvavas järjekorras funktsiooni katkestuse lõigul rakendame suurepärase teadlase, muide, kaasmaalase, üldmeetodit ja räägime allpool lennuki käitumisest. Analüütiliselt antud funktsiooni tugevate omaduste tõttu kasutame veebivõrrandi kalkulaatorit ainult ettenähtud otstarbel tuletatud volituste piires. Edasi vaidledes lõpetame oma ülevaate võrrandi enda homogeensuse kohta, st selle parem pool võrdsustatakse nulliga. Veel kord kontrollime oma matemaatikaotsuse õigsust. Et vältida saamist triviaalne lahendus Teeme mõned kohandused esialgsed tingimused süsteemi tingimusliku stabiilsuse probleemist. Koostame ruutvõrrandi, mille jaoks kirjutame tuntud valemi abil välja kaks kirjet ja leiame negatiivsed juured. Kui üks juur ületab teist ja kolmandat juurt viie ühiku võrra, siis põhiargumendis muudatusi tehes moonutame sellega alamülesande algtingimusi. Midagi ebatavalist matemaatikas saab selle tuumaks alati kirjeldada sajandikute väärtuste täpsusega. positiivne arv. Murdarvukalkulaator on serveri parimal laadimishetkel sarnaste ressurssidega võrreldes mitu korda parem. Piki y-telge kasvava kiirusvektori pinnale tõmbame seitse vastassuunda painutatud joont. Määratud funktsiooni argumendi võrreldavus juhib taastamise saldo loendurit. Matemaatikas saab seda nähtust kujutada nii kujuteldavate koefitsientidega kuupvõrrandi kui ka kahanevate joonte bipolaarse edenemise kaudu. Kriitilised punktid temperatuuri erinevus mitmes selle tähenduses ja edenemises kirjeldavad kompleksi lagunemise protsessi murdosa funktsioon kordajate jaoks. Kui teil kästakse võrrand lahendada, ärge kiirustage seda tegema sellel minutil, kindlasti hinnake esmalt kogu tegevuskava ja alles siis lähenege õigesti. Kindlasti on sellest kasu. Töö kergus on ilmne ja matemaatikas on see sama. Lahendage võrrand võrgus. Kõik võrguvõrrandid on teatud liiki arvude või parameetrite sisestus ja defineeritav muutuja. Arvutage see väga muutuja, st leidke väärtuste komplekti konkreetsed väärtused või intervallid, mille identiteet on rahuldatud. Alg- ja lõpptingimused sõltuvad otseselt. AT ühine otsus võrrandid sisaldavad tavaliselt mõningaid muutujaid ja konstante, mille seadmisel saame antud ülesandepüstituse jaoks terved lahenduspered. Üldiselt õigustab see 100-sentimeetrise küljega ruumilise kuubi funktsionaalsuse suurendamise suunas tehtud jõupingutusi. Teoreemi või lemmat saate rakendada vastuse koostamise mis tahes etapis. Sait väljastab järk-järgult võrrandite kalkulaatori, kui vaja, mis tahes toodete summeerimise intervalliga väikseim väärtus. Pooltel juhtudel on selline pall õõnes, mitte sees rohkem vastab vahevastuse seadmise nõuetele. Vähemalt y-teljel vektorkujutuse kahanemise suunas on see proportsioon kahtlemata optimaalsem kui eelmine avaldis. Sel tunnil, mil lineaarsed funktsioonid on täielik punktanalüüs, siis tegelikult paneme kokku kõik meie kompleksarvud ja bipolaarsed tasapinnad. Asendades saadud avaldisesse muutuja, lahendate võrrandi etapiviisiliselt ja saate suure täpsusega kõige üksikasjalikuma vastuse. Taaskord on õpilase jaoks oma tegude kontrollimine matemaatikas hea vorm. Proportsioon murdude vahekorras fikseeris tulemuse terviklikkuse kõigi jaoks olulised valdkonnad vektori aktiivsus null. Triviaalsus kinnitatakse sooritatud toimingute lõpus. Lihtsa ülesandekomplektiga ei saa õpilastel tekkida raskusi, kui nad lahendavad võrrandi võrgus võimalikult lühikese aja jooksul, kuid ärge unustage kõikvõimalikke reegleid. Alamhulkade hulk lõikub koonduva tähise piirkonnas. AT erinevatel puhkudel toode ei ole ekslikult faktoriseeritud. Teid aidatakse võrgus võrrandit lahendada meie esimeses jaotises, mis käsitleb ülikoolide ja tehnikakoolide õpilaste oluliste lõikude matemaatiliste tehnikate põhitõdesid. Näidetele vastamine ei pane meid mitu päeva ootama, kuna vektoranalüüsi parima interaktsiooni ja järjestikuste lahenduste leidmise protsess patenteeriti eelmise sajandi alguses. Selgub, et püüdlused ümberkaudse meeskonnaga ühendust saada ei olnud asjatud, ilmselgelt hilines esmalt midagi muud. Mitu põlvkonda hiljem panid teadlased üle kogu maailma uskuma, et matemaatika on teaduste kuninganna. Olgu tegemist vasakpoolse või õige vastusega, ammendavad terminid tuleb siiski kirjutada kolmes reas, kuna meie puhul me räägime kindlasti ainult umbes vektoranalüüs maatriksi omadused. Mittelineaarsed ja lineaarsed võrrandid koos bikvadraatvõrrandid, oli meie raamatus teemal eriline positsioon parimaid tavasid liikumistrajektoori arvutamine kõigi ruumis materiaalsed punktid suletud süsteem. Aidake meil idee ellu viia lineaarne analüüs punktitoode kolm järjestikust vektorit. Iga seadistuse lõpus muudab ülesande lihtsamaks optimeeritud numbriliste erandite sisseviimine teostatavate numbriruumi ülekatete kontekstis. Teistsugune otsus ei sea vastust vastu, mis on esitatud vaba vorm kolmnurgad ringis. Kahe vektori vaheline nurk sisaldab vajalikku varu protsenti ja võrrandite lahendamine võrgus näitab sageli teatud ühine juur võrrandid erinevalt algtingimustest. Erand mängib katalüsaatori rolli kogu vältimatus positiivse lahenduse leidmise protsessis funktsioonide määratlemise valdkonnas. Kui pole öeldud, et sa ei oska arvutit kasutada, siis on online võrrandikalkulaator just sinu keeruliste ülesannete jaoks õige. Piisab, kui sisestate oma tingimuslikud andmed õiges vormingus ja meie server väljastab võimalikult lühikese aja jooksul täieõigusliku vastuse. Eksponentfunktsioon kasvab palju kiiremini kui lineaarne. Sellest annavad tunnistust targa raamatukogukirjanduse talmudid. Teeb arvutuse üldises mõttes, nagu teeks antud ruutvõrrand kolme komplekskoefitsiendiga. Pooltasandi ülaosas olev parabool iseloomustab sirgjoonelist paralleelset liikumist piki punkti telgesid. Siinkohal tasub mainida potentsiaalset erinevust keha tööruumis. Vastutasuks ebaoptimaalse tulemuse eest on meie murdarvukalkulaator tagaküljel olevate funktsionaalsete programmide ülevaate matemaatilises reitingus õigustatult esimesel kohal. Kasutusmugavus seda teenust hindavad miljonid Interneti-kasutajad. Kui te ei tea, kuidas seda kasutada, siis aitame teid hea meelega. Samuti tahame mitmete algkooliõpilaste ülesannete hulgast esile tõsta ja esile tõsta kuupvõrrandit, kui on vaja kiiresti leida selle juured ja joonistada tasapinnale funktsioonigraafik. kõrgemad kraadid paljundamine on üks raskemaid matemaatika ülesandeid instituudis ja selle õppimiseks eraldatakse piisav arv tunde. Nagu kõik lineaarvõrrandid, pole ka meie oma erand paljudest objektiivsetest reeglitest, vaadake allpool erinevad punktid nägemus ning see on lihtne ja piisav algtingimuste seadmiseks. Suurenemise intervall langeb kokku funktsiooni kumeruse intervalliga. Võrrandite lahendus Internetis. Teooriaõpe põhineb võrguvõrranditel, mis on pärit paljudest uuringu osadest põhidistsipliin. Tänu sellele lähenemisele ebakindlad ülesanded, on väga lihtne esitada võrrandite lahendus etteantud kujul ja mitte ainult teha järeldusi, vaid ka ennustada sellise positiivse lahenduse tulemust. õppida ainevaldkond aitab meil teenindada kõige rohkem parimad traditsioonid matemaatika, nagu idas kombeks. Ajaintervalli parimatel hetkedel korrutati sarnased ülesanded ühise kordajaga kümme korda. Kuna võrrandikalkulaatoris oli palju mitme muutuja korrutusi, hakkas see korrutama kvaliteedi, mitte kvantitatiivsete muutujate, näiteks massi või kehakaalu järgi. Selleks, et vältida materiaalse süsteemi tasakaalustamatust, on meile üsna ilmne kolmemõõtmelise muunduri tuletamine mitte-mandunud matemaatiliste maatriksite triviaalsel konvergentsil. Täitke ülesanne ja lahendage võrrand sisse antud koordinaadid, kuna väljund on ette teadmata, samuti pole teada kõik postruumi ajas sisalduvad muutujad. Lühikeseks ajaks lükake ühistegur sulgudest välja ja jagage suurimaga ühine jagaja mõlemad osad ette. Saadud kaetud arvude alamhulga alt väljavõte üksikasjalik viis lühikese perioodi jooksul kolmkümmend kolm punkti järjest. Kuivõrd sisse oma parimal kujul igal õpilasel on võimalik võrgus võrrandit lahendada, tulevikku vaadates ütleme üks oluline, kuid võtmetähtsusega asi, ilma milleta pole meil tulevikus kerge elada. Möödunud sajandil märkas suur teadlane matemaatika teoorias mitmeid seaduspärasusi. Praktikas ei jäänud see sündmustest päris ootuspäraseks. Põhimõtteliselt aitab just see võrrandite võrgulahendus siiski paremini mõista ja tajuda terviklikku lähenemist õppimisele ning õpilaste poolt käsitletud teoreetilise materjali praktilist kinnistamist. Õppeajal on seda palju lihtsam teha.

Föderaalne haridusagentuur

RIIKLIK HARIDUSASUTUS

KÕRGHARIDUS

"VORONEZI RIIKLIK PEDAGOOGIAÜLIKOOL"

AGLEBRA JA GEOMEETIA TOOL

Keerulised numbrid

(valitud ülesanded)

LÕPPU KVALIFIKATSIOON TÖÖ

eriala 050201.65 matemaatika

(lisaerialaga 050202.65 informaatika)

Lõpetanud: 5. kursuse üliõpilane

füüsiline ja matemaatiline

õppejõud

Teadusnõustaja:

VORONEZH – 2008

1. Sissejuhatus……………………………………………………...…………..…

2. Kompleksarvud (valitud ülesanded)

2.1. Kompleksarvud algebralisel kujul………………….….

2.2. Kompleksarvude geomeetriline tõlgendamine………………

2.3. Kompleksarvude trigonomeetriline kuju

2.4. Kompleksarvude teooria rakendamine 3. ja 4. astme võrrandite lahendamisel……………..……………………………………………………………

2.5. Kompleksarvud ja parameetrid…………………………………….

3. Järeldus…………………………………………………….................

4. Viidete loetelu…………………………………………………………

1. Sissejuhatus

Matemaatika programmis koolikursus arvuteooriat tutvustatakse naturaalarvude hulkade, täisarvude, ratsionaalse, irratsionaalse, s.o. reaalarvude hulgal, mille kujutised täidavad kogu arvurea. Kuid juba 8. klassis ei ole piisavalt reaalarvude varu, lahendades ruutvõrrandeid negatiivse diskriminandiga. Seetõttu oli vaja reaalarvude varu täiendada kompleksarvudega, mille ruutjuur negatiivne arv omab tähendust.

Lõputeemaks valides teema "Keerulised numbrid". kvalifitseeriv töö, seisneb selles, et kompleksarvu mõiste laiendab õpilaste teadmisi arvsüsteemidest, laia klassi nii algebralise kui geomeetrilise sisuga ülesannete lahendamisest, lahendamisest. algebralised võrrandid mis tahes kraadi ja parameetritega seotud probleemide lahendamise kohta.

Käesolevas lõputöös käsitletakse 82 ülesande lahendust.

Põhijaotise "Keerulised numbrid" esimene osa sisaldab lahendusi probleemidele kompleksarvud algebralises vormis on defineeritud liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise, algebralise kujuga kompleksarvude konjugatsioonitehte, imaginaarühiku aste, kompleksarvu moodul ja väljavõtmisreegel. ruutjuur kompleksarvust.

Teises osas lahendatakse ülesandeid kompleksarvude geomeetriliseks tõlgendamiseks komplekstasandi punktide või vektorite kujul.

Kolmas osa käsitleb tehteid kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul. Kasutatakse valemeid: De Moivre ja kompleksarvust juure eraldamine.

Neljas osa on pühendatud 3. ja 4. astme võrrandite lahendamisele.

Viimase osa "Kompleksarvud ja parameetrid" ülesannete lahendamisel kasutatakse ja koondatakse eelmistes osades toodud info. Peatüki ülesannete jada on pühendatud jooneperekondade määratlemisele komplekstasandil, võrranditega antud(ebavõrdsused) parameetriga. Osas harjutustest tuleb lahendada võrrandid parameetriga (üle C). On ülesandeid, kus kompleksne muutuja vastab korraga mitmele tingimusele. Selle jaotise ülesannete lahendamise tunnuseks on paljude nende taandamine teise astme võrrandite (võrratuste, süsteemide) lahendamiseks, irratsionaalne, parameetriga trigonomeetriline.

Iga osa materjali esitamise tunnuseks on esialgne sisend teoreetilised alused, ja hiljem nende praktiline rakendamine probleemide lahendamisel.

Lõpuks lõputöö esitatakse kasutatud kirjanduse loetelu. Enamik neist on üsna üksikasjalikud ja juurdepääsetavad. teoreetiline materjal, kaalutakse mõne probleemi lahendusi ja praktilisi ülesandeid jaoks sõltumatu lahendus. Erilist tähelepanu Tahaksin viidata sellistele allikatele nagu:

1. Gordienko N.A., Beljajeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Kompleksarvud ja nende rakendused: Õpik. . Materjal õppejuhend loengute ja praktiliste harjutuste vormis.

2. Shklyarsky D.O., Tšentsov N.N., Yaglom I.M. Esiletõstetud ülesanded ja elementaarmatemaatika teoreemid. Aritmeetika ja algebra. Raamat sisaldab 320 algebra, aritmeetika ja arvuteooriaga seotud ülesannet. Oma olemuselt erinevad need ülesanded oluliselt tavapärastest kooliülesannetest.

2. Kompleksarvud (valitud ülesanded)

2.1. Kompleksarvud algebralisel kujul

Paljude matemaatika ja füüsika ülesannete lahendamine taandub algebraliste võrrandite lahendamisele, s.o. vormi võrrandid

kus a0 , a1 , …, an on reaalarvud. Seetõttu on algebraliste võrrandite uurimine üks kriitilised probleemid matemaatikas. Näiteks negatiivse diskriminandiga ruutvõrrandil pole tegelikke juuri. Lihtsaim selline võrrand on võrrand

Selleks, et sellel võrrandil oleks lahendus, on vaja reaalarvude hulka laiendada, lisades sellele võrrandi juur

Tähistame selle juure kui

. Seega definitsiooni järgi , või ,

Järelikult

. nimetatakse imaginaarseks ühikuks. Tema abiga ja reaalarvude paari abil moodustatakse vormi avaldis.

Saadud avaldist nimetati kompleksarvudeks, kuna need sisaldasid nii reaal- kui ka imaginaarseid osi.

Seega nimetatakse kompleksarve vormi avaldisteks

, ja on reaalarvud ning on mõni sümbol, mis vastab tingimusele . Arvu nimetatakse kompleksarvu tegelikuks osaks ja arvu nimetatakse selle imaginaarseks osaks. Sümboleid kasutatakse nende tähistamiseks.

Vormi kompleksarvud

on reaalarvud ja järelikult sisaldab kompleksarvude hulk reaalarvude hulka.

Vormi kompleksarvud

nimetatakse puhtalt väljamõeldud. Kaht vormi ja kompleksarvu nimetatakse võrdseteks, kui nende reaal- ja mõtteline osa on võrdsed, s.t. kui võrdsused , .

Kompleksarvude algebraline tähistus võimaldab teha nendega tehteid tavapäraste algebrareeglite järgi.

Kompleksarvudega seotud probleemide lahendamiseks peate mõistma põhimääratlusi. peamine ülesanne Selle ülevaateartikli osa – selgitada, mis on kompleksarvud, ja esitada meetodid kompleksarvudega seotud põhiülesannete lahendamiseks. Seega on kompleksarv vormi arv z = a + bi, kus a, b- reaalarvud, mida nimetatakse vastavalt kompleksarvu reaal- ja imaginaarseks osaks ning tähistavad a = Re(z), b=Im(z).
i nimetatakse imaginaarseks ühikuks. i 2 \u003d -1. Eelkõige võib keerukaks pidada mis tahes reaalarvu: a = a + 0i, kus a on reaalne. Kui a = 0 ja b ≠ 0, siis nimetatakse seda arvu puhtalt imaginaarseks.

Nüüd tutvustame tehteid kompleksarvudega.
Mõelge kahele kompleksarvule z 1 = a 1 + b 1 i ja z 2 = a 2 + b 2 i.

Kaaluge z = a + bi.

Kompleksarvude hulk laiendab reaalarvude hulka, mis omakorda laiendab hulka ratsionaalsed arvud jne. Seda investeeringute ahelat on näha joonisel: N - täisarvud, Z on täisarvud, Q on ratsionaalne, R on reaalne, C on kompleks.

Kompleksarvude esitamine

Algebraline tähistus.

Mõelge kompleksarvule z = a + bi, nimetatakse seda kompleksarvu kirjutamise vormi algebraline. Oleme seda kirjutamisvormi juba eelmises osas üksikasjalikult käsitlenud. Üsna sageli kasutage järgmist illustreerivat joonist

trigonomeetriline vorm.

Jooniselt on näha, et number z = a + bi saab kirjutada erinevalt. See on ilmne a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Järelikult z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) nimetatakse kompleksarvu argumendiks. Seda kompleksarvu esitust nimetatakse trigonomeetriline vorm. Trigonomeetriline tähistusvorm on mõnikord väga mugav. Näiteks on seda mugav kasutada kompleksarvu tõstmiseks täisarvuliseks astmeks, nimelt kui z = rcos(φ) + rsin(φ)i, siis z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, nimetatakse seda valemit De Moivre'i valem.

Demonstratiivne vorm.

Kaaluge z = rcos(φ) + rsin(φ)i on kompleksarv trigonomeetrilisel kujul, kirjutame selle erineval kujul z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, viimane võrdsus tuleneb Euleri valemist, seega saame uus vorm kompleksarvu kirjed: z = re iφ, mida nimetatakse demonstratiivne. See tähistus on väga mugav ka kompleksarvu tõstmiseks astmeks: z n = r n e inφ, siin n ei pruugi olla täisarv, kuid võib olla suvaline tegelik arv. Seda kirjutamisvormi kasutatakse probleemide lahendamiseks üsna sageli.

Kõrgema algebra fundamentaalteoreem

Kujutage ette, et meil on ruutvõrrand x 2 + x + 1 = 0 . Ilmselgelt on selle võrrandi diskriminant negatiivne ja sellel pole tegelikke juuri, kuid selgub, et sellel võrrandil on kaks erinevat keerulist juurt. Niisiis, kõrgema algebra põhiteoreem väidab, et igal n-astme polünoomil on vähemalt üks kompleksjuur. Sellest järeldub, et igal n-astme polünoomil on nende paljusust arvesse võttes täpselt n kompleksjuurt. See teoreem on väga oluline tulemus matemaatikas ja seda kasutatakse laialdaselt. Selle teoreemi lihtne tagajärg on järgmine tulemus: seal on täpselt n mitmesugused juured võimud n välja ühtsusest.

Peamised ülesannete liigid

Selles jaotises käsitletakse peamisi tüüpe lihtsaid ülesandeid kompleksarvudele. Tavaliselt võib kompleksarvude ülesanded jagada järgmistesse kategooriatesse.

Lihtsate aritmeetiliste toimingute sooritamine kompleksarvudega.
Kompleksarvude polünoomide juurte leidmine.
Kompleksarvude tõstmine astmeni.
Kompleksarvudest juurte eraldamine.
Kompleksarvude rakendamine muude ülesannete lahendamiseks.

Nüüd kaaluge üldised meetodid lahendusi nendele probleemidele.

Lihtsamate aritmeetiliste toimingute sooritamine kompleksarvudega toimub vastavalt esimeses jaotises kirjeldatud reeglitele, kuid kui kompleksarvud esitatakse trigonomeetrilises või eksponentsiaalses vormis, siis sel juhul saab need teisendada algebraliseks vormiks ja teha toiminguid teadaolevate reeglite järgi.

Polünoomide juurte leidmine taandub tavaliselt ruutvõrrandi juurte leidmisele. Oletame, et meil on ruutvõrrand, kui selle diskriminant on mittenegatiivne, siis on selle juured reaalsed ja leitakse tuntud valemi järgi. Kui diskriminant on negatiivne, siis D = -1∙a 2, kus a on teatud arv, siis saame diskriminanti esitada kujul D = (ia) 2, Järelikult √D = i|a|, ja siis saate kasutada kuulus valem ruutvõrrandi juurte jaoks.

Näide. Tagasi ülaltoodu juurde ruutvõrrand x 2 + x + 1 = 0 .
Diskrimineeriv – D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Nüüd leiame juured hõlpsalt üles:

Kompleksarvude astmeks tõstmist saab teha mitmel viisil. Kui soovite tõsta algebralisel kujul kompleksarvu väikese astmeni (2 või 3), siis saate seda teha otsekorrutamisega, kuid kui aste on suurem (ülesannetes on see sageli palju suurem), siis peate kirjuta see arv trigonomeetrilises või eksponentsiaalses vormis ja kasuta juba tuntud meetodeid.

Näide. Vaatleme z = 1 + i ja tõsta kümnenda astmeni.
Kirjutame z eksponentsiaalsel kujul: z = √2 e iπ/4 .
Siis z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Pöördume tagasi algebralise vormi juurde: z 10 = -32i.

Kompleksarvudest juurte eraldamine on astendamise pöördtehing, seega tehakse seda sarnaselt. Juurte eraldamiseks kasutatakse sageli arvu eksponentsiaalset kirjutamise vormi.

Näide. Leia kõik ühtsuse 3. astme juured. Selleks leiame kõik võrrandi z 3 = 1 juured, otsime juuri eksponentsiaalsel kujul.
Asendage võrrandis: r 3 e 3iφ = 1 või r 3 e 3iφ = e 0 .
Seega: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, seega φ = 2πk/3.
Erinevad juured saadakse φ = 0, 2π/3, 4π/3 juures.
Seega 1 , e i2π/3 , e i4π/3 on juured.
Või algebralises vormis:

Viimane ülesandetüüp sisaldab suur hulk probleeme ja nende lahendamiseks puuduvad üldised meetodid. Siin on sellise ülesande lihtne näide:

Leia summa sin(x) + sin(2x) + patt(2x) + … + sin(nx).

Kuigi selle probleemi sõnastus seda ei tee kõnealune kompleksarvude kohta, kuid nende abiga saab seda lihtsalt lahendada. Selle lahendamiseks kasutatakse järgmisi esitusi:

Kui nüüd asendada see esitus summaga, siis taandatakse probleem tavalise geomeetrilise progressiooni liitmiseks.

Järeldus

Kompleksarvud on matemaatikas laialdaselt kasutusel, käesolevas ülevaateartiklis käsitleti põhitehteid kompleksarvudega, kirjeldati ja kirjeldati lühidalt mitut tüüpi standardülesandeid levinud meetodid nende lahendusi, kompleksarvude võimaluste täpsemaks uurimiseks on soovitatav kasutada erialakirjandust.