De onvolledigheidsstelling van Gödel in de psychologie. Gödels onvolledigheidsstelling voor formele rekenkunde

09sen

Elk systeem van wiskundige axioma's, beginnend met een bepaald niveau van complexiteit, is ofwel intern inconsistent of onvolledig.

In 1900 werd de Wereldconferentie van Wiskundigen gehouden in Parijs, waar: David Gilbert(David Hilbert, 1862–1943) schetste in de vorm van stellingen de 23 belangrijkste, naar zijn mening, taken die theoretici van de komende twintigste eeuw moesten oplossen. Nummer twee op zijn lijst was er zo een eenvoudige taken, waarvan het antwoord voor de hand lijkt te liggen totdat je wat dieper graaft. praten moderne taal, dat was de vraag: is wiskunde op zich voldoende? Hilberts tweede taak was beperkt tot de noodzaak om strikt te bewijzen dat het systeem van axioma's - basisuitspraken die in de wiskunde als basis zonder bewijs worden genomen - perfect en volledig is, dat wil zeggen dat het een wiskundige beschrijving mogelijk maakt van alles wat bestaat. Het was nodig om te bewijzen dat het mogelijk is om een ​​dergelijk systeem van axioma's vast te stellen dat, ten eerste, ze onderling consistent zullen zijn, en ten tweede, men daaruit een conclusie kan trekken met betrekking tot de waarheid of onwaarheid van een bewering.

Laten we een voorbeeld nemen uit schoolgeometrie. In standaard Euclidische planimetrie (geometrie op een vlak), kan onvoorwaardelijk worden bewezen dat de stelling "de som van de hoeken van een driehoek is 180°" waar is, en de stelling "de som van de hoeken van een driehoek is 137°". " is fout. In wezen gesproken, in de Euclidische meetkunde, is elke bewering onwaar of waar, en de derde wordt niet gegeven. En aan het begin van de twintigste eeuw geloofden wiskundigen naïef dat dezelfde situatie zou moeten worden waargenomen in elk logisch consistent systeem.

En toen in 1931 een of andere Weense bebrilde wiskundige Kurt Gödel- nam en publiceerde een kort artikel dat eenvoudigweg de hele wereld van de zogenaamde "mathematische logica" op zijn kop zette. Na lange en complexe wiskundige en theoretische preambules stelde hij letterlijk het volgende vast. Laten we een uitspraak nemen als: "Aanname #247 is logisch niet te bewijzen in dit systeem van axioma's" en het "uitspraak A" noemen. Gödel bewees dus eenvoudig de volgende verbazingwekkende eigenschap van elk systeem van axioma's:

"Als een bewering A kan worden bewezen, kan een niet-A-verklaring worden bewezen."

Met andere woorden, als het mogelijk is om de geldigheid van de stelling "Veronderstelling 247 is niet bewijsbaar" te bewijzen, dan is het ook mogelijk om de geldigheid van de stelling "Veronderstelling 247 is aantoonbaar" te bewijzen. Dat wil zeggen, terugkomend op de formulering van het tweede Hilbert-probleem, als het systeem van axioma's compleet is (dat wil zeggen, elke bewering erin kan worden bewezen), dan is het inconsistent.

De enige uitweg uit deze situatie is het accepteren van een onvolledig systeem van axioma's. Dat wil zeggen, men moet het feit accepteren dat in de context van een logisch systeem we blijven zitten met uitspraken van het type A waarvan bekend is dat ze waar of onwaar zijn - en we kunnen hun waarheid alleen beoordelen buiten het kader van de axiomatiek die we hebben aangenomen. Als dergelijke uitspraken niet bestaan, is onze axiomatiek tegenstrijdig, en binnen haar kader zullen er onvermijdelijk formuleringen zijn die zowel kunnen worden bewezen als weerlegd.

Dus de formulering van Gödels eerste, of zwakke, onvolledigheidsstelling is: "Elk formeel systeem van axioma's bevat onopgeloste aannames". Maar Gödel stopte daar niet met het formuleren en bewijzen van Gödels tweede of sterke onvolledigheidsstelling: “De logische volledigheid (of onvolledigheid) van een systeem van axioma's kan niet worden bewezen binnen het kader van dit systeem. Om het te bewijzen of te weerleggen, zijn aanvullende axioma's (versterking van het systeem) nodig.

Het zou veiliger zijn om te denken dat de stellingen van Godel abstract zijn en ons niet aangaan, maar alleen gebieden van sublieme wiskundige logica, maar in feite bleek dat ze direct verband houden met de structuur van het menselijk brein. Engelse wiskundige en natuurkundige Roger Penrose (b. 1931) toonden aan dat: De stellingen van Gödel kan worden gebruikt om het bestaan ​​van fundamentele verschillen tussen het menselijk brein en een computer te bewijzen. Het punt van zijn redenering is eenvoudig. De computer werkt strikt logisch en is niet in staat om te bepalen of bewering A waar of onwaar is als deze buiten het bereik van de axiomatiek valt, en dergelijke beweringen bestaan, volgens de stelling van Gödel, onvermijdelijk. Een persoon, geconfronteerd met zo'n logisch onbewijsbare en onweerlegbare bewering A, is altijd in staat om de waarheid of onwaarheid ervan te bepalen - op basis van alledaagse ervaring. In ieder geval hierin menselijke brein presteert beter dan een computer geketend met clean logische circuits. Het menselijk brein is in staat om de volledige diepte van de waarheid in de stellingen van Gödel te begrijpen, maar een computer kan dat nooit. Daarom is het menselijk brein allesbehalve een computer. Hij is in staat om beslissingen te nemen en de Turing-test zal slagen.

Het idee van het bewijs is om een ​​uitdrukking te construeren die zou getuigen van zijn

eigen onbewijsbaarheid. Deze opbouw kan in drie stappen:

De eerste fase is het tot stand brengen van een overeenkomst tussen formele rekenkunde en de verzameling gehele getallen (gedelisatie);

De tweede fase is de constructie van een speciale eigenschap waarvan niet bekend is of het een stelling van formele rekenkunde is of niet;

De derde fase is de vervanging in plaats van x van een bepaald geheel getal dat met zichzelf is geassocieerd, d.w.z. de vervanging door deze getallen van alle

Eerste etappe. Godelisering van formele rekenkunde

Formele rekenkunde kan op de volgende manier worden berekend (d.w.z. Gaedelized): aan elk van zijn stellingen wordt een bepaald nummer toegewezen. Aangezien elk getal echter ook een stelling is, kan elke stelling enerzijds worden beschouwd als een stelling van de formele rekenkunde en anderzijds als een stelling over een reeks stellingen van de formele rekenkunde, d.w.z. als een metatheorema dat overeenkomt met het bewijs van een bepaalde stelling.

We kunnen dus concluderen dat het systeem van formele rekenkunde ook zijn eigen metasysteem bevat.

We presenteren onze resultaten nu concreter en gedetailleerder.

Ten eerste kunnen we aan elk symbool en elke formele rekenkunde een speciale codenotatie koppelen, genaamd in deze zaak Gödel nummer

Ten tweede kennen we aan elke reeks tekens hetzelfde Gödel-nummer toe met behulp van een compositiefunctie.

Ten derde (en dit is essentieel), krijgt elk bewijs van de reeks axioma's en substitutieregels (of substitutieregels) een nummer toegewezen waarbij de reeks stellingen wordt gebruikt die in het bewijs worden gebruikt

Dus met elk bewijs in formele rekenkunde komt een bepaald getal overeen - het Gödel-getal. Elke redenering van formele rekenkunde wordt omgezet in berekeningen op de set natuurlijke getallen.

Dus in plaats van symbolen, stellingen en bewijzen te manipuleren, kun je

berekeningen op de verzameling gehele getallen. Elke uitdrukking zoals bijvoorbeeld de volgende: aantoonbaar in formele rekenkunde," komt nu overeen met een bepaald getal, dat we zullen aanduiden als

Laten we de volgende stelling formuleren.

Formele metaritme is vervat in de verzameling natuurlijke getallen, en het is zelf vervat in de interpretatie van formele rekenkunde.

Deze situatie met formele rekenkunde lijkt op de situatie met natuurlijke taal: niets belet ons tenslotte om het te gebruiken om er zijn basisconcepten en regels op te formuleren.

Door een juiste functiekeuze kunt u een eenduidige overgang maken van A naar, d.w.z. twee verschillende nummers-nummers toewijzen aan twee verschillende bewijzen. Men kan bijvoorbeeld de Gödel-getallen zo kiezen dat elk symbool van het alfabet van de formele rekenkunde zijn eigen priemgetal heeft, zoals bijvoorbeeld weergegeven in Tabel. 3.2.

Tabel 3.2

Elke formule (bestaande uit symbolen variërend van 1 tot beurtelings wordt gecodeerd door een reeks bestaande uit de eerste priemgetallen, d.w.z. het nummer

waar is een priemgetal.

Op zijn beurt zal het bewijs, d.w.z. de reeks formules, op een vergelijkbare manier worden gecodeerd door het nummer

En vice versa, dankzij deze methode om getallen te construeren, wordt het mogelijk, beginnend bij een bepaald getal, door het te ontbinden in priemfactoren(vanwege de uniciteit van de ontleding van natuurlijke getallen in producten van machten van priemgetallen) om in twee stappen terug te keren naar exponenten, d.w.z. naar de primitieve symbolen van de formele rekenkunde. Dit is natuurlijk vooral van theoretisch belang, aangezien de aantallen al snel te groot worden.

zodat ze gemanipuleerd kunnen worden. Er moet echter worden opgemerkt dat de fundamentele mogelijkheid van deze operatie essentieel is.

Voorbeeld. Laat het getal T worden gegeven, dat overeenkomt met enig bewijs en dat het product van priemgetallen vertegenwoordigt:

Deze ontleding betekent dat het bewijs van de stelling twee fasen bevat: de ene komt overeen met het nummer 1981027125 253 en de andere met het nummer 1981027125 211. Als we elk van deze getallen opnieuw ontbinden in priemfactoren, krijgen we

Uit de formele rekenkundige alfabetcoderingstabel (tabel 3.2) vinden we dat onze Gödel-getallen voor deze twee getallen

komt overeen met het volgende bewijs:

De formule volgt uit de formule

Dus in metaritmetiek wordt de waarde van het oorspronkelijke getal verkregen uit formele rekenkunde.

Tweede fase. Het Lemma van Gödel

Elk getal T dat bij een bewijs hoort, komt overeen met een in formele rekenkunde aantoonbare stelling. "Gaudelized" formele rekenkunde wordt rekenkundige formele rekenkunde genoemd. Aangezien elk axioma en elke regel van de gecalculeerde formele rekenkunde overeenkomt met een rekenkundige bewerking, is het mogelijk om met behulp van een gesystematiseerde test te bepalen of gegeven nummer T bewijs van enkele stelling Getallen T en vormen in dit geval een paar geconjugeerde getallen. De uitdrukking en zijn geconjugeerd” Vertegenwoordigd binnen de meest berekende formele rekenkunde. Dit betekent dat er een Gödel-nummer is dat deze verklaring digitaliseert.

We zijn bij het kritieke punt van Gödels bewijs aangekomen. Laat A een uitdrukking zijn van berekende formele rekenkunde die een vrije variabele bevat. In plaats daarvan kunt u een bepaalde term vervangen. In het bijzonder is het mogelijk om de uitdrukking A te vervangen door de uitdrukking A zelf. In dit geval vervult de getaluitdrukking A tegelijkertijd twee verschillende rollen (zie bovenstaande constructies

Cantor en Richard): het is zowel de ware uitdrukking voor de vervanging als de resulterende term. Deze speciale vervanging wordt aangeduid als Dus de formule betekent dat het getal het Gödel-getal is dat wordt verkregen door - te vervangen door de uitdrukking A:

Gödel construeert dan een uitdrukking (waarvan niet bekend is of het een stelling of een niet-stelling is) waarin hij deze substitutie introduceert. De uitdrukking ziet er als volgt uit:

Derde etappe. Laatste wissel

In berekende formele rekenkunde wordt deze uitdrukking in numerieke vorm weergegeven. Laat E het Gödelgetal zijn. Aangezien de uitdrukking een vrije variabele bevat, hebben we het recht om een ​​substitutie uit te voeren - door het getal E te vervangen en aan te duiden - ter vervanging van E:

Deze tweede uitdrukking duiden we aan met a en het Gödelgetal ervan met E. Laten we een interpretatie geven van de uitdrukking e.

Eerste interpretatie. Er is geen dergelijk paar waarvoor tegelijkertijd het volgende geldt: enerzijds is T het getal van het rekenkundig bewijs van de door zichzelf berekende stelling, en anderzijds zou er een vervanging zijn. Maar aangezien er de dezelfde transformatie als de anderen, het is representatief in termen en in hun codenotatie - Gödel-getallen en daarom bestaat zo'n getal. Dan bestaat het getal T misschien niet.

Tweede interpretatie. Er is geen rekenkundig bewijs T van de stelling dat een vervanging zou zijn voor E. Dus als er geen bewijs is, is dat omdat het geen stelling op zich is. Dit leidt tot een derde interpretatie.

Derde interpretatie. Een uitdrukking waarvoor het Gödel-getal een -substitutie van E is, is geen stelling in de rekenkundige formele rekenkunde. Maar dit is waar de tegenstrijdigheid ligt, omdat het door constructie zelf een -substitutie van E is, en het getal door constructie niets anders is dan het getal E zelf. Dit impliceert de laatste interpretatie van e.

Ik moet bekennen dat ik het hele idee heb gelezen om de kwestie van het bestaan ​​van God van deze kant te bekijken van Anatoly Alexandrovich Wasserman:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0 %BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87_%D0%92 %D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD#.D0.A0.D0.B5.D0.BB.D0.B8. D0.B3.D0.B8.D0.BE.D0.B7.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B7.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0. B4.D1.8B

Maar ik zou dit idee graag verder uitwerken en wat meer in detail beschrijven.
In religie (en ook niet in religie) is er een axiomatische constructie. Tenminste, in het ideale geval, als het niet zomaar een blinde overtuiging is, maar een bewuste en geïnformeerde keuze. Het axioma van de natuurkunde kan bijvoorbeeld worden beschouwd als "de natuur is kenbaar met behulp van rede en logisch redeneren, alle wetten van de natuurkunde zijn op alle punten in de ruimte en op elk moment hetzelfde." De uitspraak "God bestaat en is de grondoorzaak van alle dingen" kan bijvoorbeeld worden beschouwd als een axioma van religie. Met andere woorden, het lijdt geen twijfel dat alle talrijke bijzonderheden en vertakkingen kunnen worden teruggebracht tot enkele zeer belangrijke uitspraken die op geen enkele manier kunnen worden bewezen, namelijk de axioma's.

Overweeg religieuze overtuigingen vanuit deze posities. Het belangrijkste axioma van religie: "God bestaat en is de grondoorzaak van alle dingen."
Laten we ons nu een van de belangrijkste wiskundige stellingen herinneren, de stelling van Gödel.
http://elementy.ru/trefil/21142
Zwakke stelling van Gödel: "Elk formeel systeem van axioma's bevat onopgeloste veronderstellingen" of "als een systeem van axioma's compleet is, dan is het inconsistent."
Sterke stelling van Gödel: "De logische volledigheid (of onvolledigheid) van een systeem van axioma's kan niet worden bewezen binnen het kader van dit systeem. Er zijn aanvullende axioma's (versterking van het systeem) nodig om het te bewijzen of te weerleggen."

Laten we enkele definities in herinnering brengen. Een systeem van axioma's is compleet als een bewering die is geformuleerd voor een bepaald systeem van axioma's bewijsbaar is (dat wil zeggen, het is waar of onwaar). Een onopgeloste veronderstelling is een bewering waarvan noch de waarheid noch de onwaarheid ervan kan worden bewezen, dat wil zeggen dat de bewering niet logisch aantoonbaar is. Een systeem van axioma's is inconsistent als, met betrekking tot dezelfde bewering, zowel de waarheid als de onwaarheid ervan kan worden bewezen.

Uit de stelling van Godel volgt dat als het concept van God is opgenomen in een axiomatisch systeem, dit systeem niet compleet is, dat wil zeggen dat er consequenties (fenomenen) zijn die niet aantoonbaar zijn, dat wil zeggen, ze kunnen al dan niet bestaan, dit is niet aantoonbaar.
Maar dit is in tegenspraak met de volgende twee stellingen (kies wat het meest overtuigend is): de natuur bevat geen fenomenen die zowel als bestaand als niet-bestaand kunnen worden beschouwd, enig natuurlijk fenomeen bestaat of bestaat niet. De tweede bepaling zegt dat God per definitie de grondoorzaak van alles is, daarom leidt God ofwel tot het bestaan ​​van sommige dingen (uitspraken) of tot hun niet-bestaan, verwijzend naar God, je kunt elke bewering bewijzen of weerleggen. Dit is in tegenspraak met de onvolledigheid van het systeem.

Of anders. Als we het concept van God opnemen in een axiomatisch systeem en aannemen dat het compleet is (elke bewering in een complete set axioma's is bewijsbaar), dan zal volgens de stelling van Gödel een dergelijk systeem van axioma's inconsistent zijn, dat wil zeggen dat er fenomenen waarvan kan worden bewezen dat ze zowel bestaan ​​als niet bestaan.

Het heeft geen zin om God op te nemen in een tegenstrijdig systeem van axioma's, omdat het tegenstrijdig is, dat wil zeggen, het bevat verschijnselen waarvan kan worden bewezen dat ze zowel bestaan ​​als niet, wat, zoals gezegd, in tegenspraak is met de natuur en Godsbegrip.

Ten slotte, als het concept van God niet is opgenomen in het axiomatische systeem, dan kan het niet worden beschouwd als de fundamentele basis van het universum, waaruit alles volgt wat bestaat, wat in wezen in tegenspraak is met de definitie van God.

Voor rechtvaardigheid dit bewijs het is noodzakelijk om de geldigheid te erkennen van de wetten van de wiskundige logica (propositielogica + predikaatrekening), die het mogelijk maken om de wetten van de consequentie, waarheid, onwaarheid, inconsistentie, consistentie van uitspraken en andere eigenschappen en relaties tussen uitspraken vast te stellen.

Als we echter aannemen dat wiskundige logica niet van toepassing is op de studie van de vraag naar het bestaan ​​van God, dan zal de consequentie niet de mogelijkheid zijn om deze kwestie te onderzoeken met behulp van redenering, met behulp van de rede. Met andere woorden, de consistente rede komt altijd tot een negatief antwoord op de vraag naar het bestaan ​​van God.

Wat er als resultaat gebeurt ... elk, op zijn minst enigszins rationeel persoon, erkent natuurlijk de geldigheid van de wetten van de logica, wat betekent dat hij steevast tot de conclusie komt dat God in de definitie van "de oorzaak van alle dingen" bestaat niet. Een niet-rationeel persoon die beweert dat God alleen kan worden gekend met behulp van gevoelens (en niet met rede), kan dat natuurlijk zeggen, maar er is geen manier om een ​​ander hiervan te overtuigen, gevoelens kunnen niet worden overgebracht. Bovendien is het concept van God een concept dat door de rede is geformuleerd. Hoe wordt voorgesteld om het concept van de rede te vertalen in sensatie, en zelfs zodat het kan worden overgedragen aan een andere persoon, is niet duidelijk. Nogmaals, een enigszins rationeel persoon zal zeggen dat dit niet mogelijk is: het abstracte begrip rede vertalen in voelen en voelen.

Ten slotte is er nog een andere optie: "God is niet de grondoorzaak van alles." Dan ontstaan ​​zulke tegenstellingen niet, maar dit is een significante verzwakking van de positie van religie, aangezien het juist het feit is dat God alles schiep, dat God het begin van alle begin is, de basis is voor talloze uitspraken van religie en rechtvaardigingen in geschillen.

PS Het is de moeite waard om nog iets merkwaardigs op te merken, dat al nieuwsgierig is naar natuurkundigen. BIJ deze definitie god er wordt niets gezegd over zijn intelligentie. Dat wil zeggen, men zou kunnen toevoegen: "God is de redelijke oorzaak van alle dingen", maar dit is een vernauwing van de definitie, die in eerste instantie niet vereist is voor bewijs. Zonder intelligentie kan het concept van "God" gemakkelijk worden vervangen door "singulariteit en" oerknal- de oorzaak van alle dingen". En het antwoord zal hetzelfde zijn: de singulariteit en de oerknal zijn niet de grondoorzaak van alle dingen.
Na nog meer abstractie te hebben gemaakt, kunnen we zeggen dat geen enkel fenomeen of reden de grondoorzaak kan zijn van alles wat bestaat, dat wil zeggen dat de grondoorzaak in principe niet bestaat. In het kader van elke axiomatiek kan men tot de conclusie komen dat de grondoorzaak van alles niet bestaat. Om het heel simpel te zeggen, hoe diep we het universum ook kennen, er zullen altijd vragen zijn als: "waar kwam de oerknal vandaan, waar kwam de singulariteit vandaan, waar kwam het pulserende universum vandaan, waar kwam het multiversum vandaan? vandaan komen, waarom bestaat het universum altijd?" enz. De grondoorzaak van alles kan in principe niet worden gevonden, het is niet vervat in een object, fenomeen of concept. Daarom is dit voor een persoon gelijk aan zijn afwezigheid. Theoretisch is het mogelijk om het bestaan ​​van een externe waarnemer buiten ons universum aan te nemen, die een antwoord zal geven op de vraag waar alles vandaan kwam (dezelfde aanvullende axioma, een uitbreiding in de stelling van Gödel), maar dan rijst de vraag, waar kwam de externe waarnemer vandaan, zijn universum en de grondoorzaak van dit alles.

De onvolledigheidsstellingen van Kurt Gödel waren een keerpunt in de 20e-eeuwse wiskunde. En in zijn manuscripten, gepubliceerd na zijn dood, was het logische bewijs van het bestaan ​​van God bewaard gebleven. Tijdens de laatste kerstlezingen werd een interessant verslag gemaakt over dit weinig bekende erfgoed door priester Dimitri Kiryanov, universitair hoofddocent van het Tobolsk Theological Seminary, kandidaat voor de theologie. "NS" vroeg om de belangrijkste ideeën van de wetenschapper uit te leggen.

Gödels onvolledigheidsstellingen: een gat in de wiskunde

- Kun je op de een of andere manier in het algemeen de onvolledigheidsstellingen van Gödel verklaren? De kapper scheert alleen degenen die zichzelf niet scheren. Scheert de kapper zichzelf? Heeft deze beroemde paradox er iets mee te maken?

De belangrijkste stelling van het logische bewijs van het bestaan ​​van God, naar voren gebracht door Kurt Gödel: "God bestaat in het denken. Maar het bestaan ​​in de werkelijkheid is groter dan het bestaan ​​alleen in het denken. Daarom moet God bestaan." Op de foto: de auteur van de onvolledigheidsstelling Kurt Gödel met zijn vriend, de auteur van de relativiteitstheorie Albert Einstein. Preston. Amerika. 1950

— Ja, natuurlijk is dat zo. Vóór Gödel was er het probleem van de axiomatisering van de wiskunde en het probleem van zulke paradoxale zinnen die formeel in elke taal konden worden geschreven. Bijvoorbeeld: "Deze verklaring is niet waar." Wat is de waarheid van deze verklaring? Als het waar is, dan is het onwaar, als het onwaar is, dan is het waar; wat resulteert in een taalkundige paradox. Gödel onderzocht de rekenkunde en toonde in zijn stellingen aan dat de consistentie ervan niet kan worden bewezen aan de hand van de vanzelfsprekende principes: de axioma's van optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen, enzovoort. We hebben enkele aanvullende aannames nodig om dit te rechtvaardigen. Het is aan de zeer de eenvoudigste theorie, maar hoe zit het met meer complexe (natuurkundige vergelijkingen, enz.)! Om een ​​of ander redeneersysteem te rechtvaardigen, zijn we altijd genoodzaakt om onze toevlucht te nemen tot een of andere aanvullende redenering, die niet gerechtvaardigd is binnen het kader van het systeem.

Dit geeft in de eerste plaats de beperkingen aan van de aanspraken van de menselijke geest op de kennis van de werkelijkheid. Dat wil zeggen, we kunnen niet zeggen dat we een soort van alomvattende theorie van het universum zullen bouwen die alles zal verklaren - zo'n theorie kan niet wetenschappelijk zijn.

Hoe denken wiskundigen nu over de stellingen van Gödel? Niemand probeert ze te weerleggen, op de een of andere manier te omzeilen?

'Het is alsof je de stelling van Pythagoras probeert te weerleggen. De stellingen hebben een rigoureus logisch bewijs. Tegelijkertijd worden er pogingen ondernomen om beperkingen te vinden aan de toepasbaarheid van de stellingen van Gödel. Maar het grootste deel van de controverse draait om de filosofische implicaties van de stellingen van Gödel.

Hoe uitgebreid is Gödels bewijs van het bestaan ​​van God? Is het klaar?

- Het werd tot in detail uitgewerkt, hoewel de wetenschapper het tot zijn dood zelf niet durfde te publiceren. Gödel ontwikkelt een ontologische (metafysische. "NS") een argument dat voor het eerst werd voorgesteld door Anselmus van Canterbury. In beknopte vorm kan dit argument als volgt worden uitgedrukt: “God is per definitie de Ene die groter is dan wie niets kan worden bedacht. God bestaat in gedachten. Maar het bestaan ​​in de werkelijkheid is groter dan het bestaan ​​in gedachten alleen. Daarom moet God bestaan." Anselmus' argument werd later ontwikkeld door René Descartes en Gottfried Wilhelm Leibniz. Dus, volgens Descartes, te denken dat het Hoger Volmaakt Wezen, dat geen bestaan ​​heeft, betekent in een logische tegenstrijdigheid vervallen. In de context van deze ideeën ontwikkelt Gödel zijn eigen versie van het bewijs; het past letterlijk op twee pagina's. Helaas is de presentatie van zijn betoog onmogelijk zonder een zeer complexe modale logica in de fundamenten te introduceren.

Natuurlijk dwingt de logische onberispelijkheid van de conclusies van Godel een persoon niet om een ​​gelovige te worden onder de druk van de bewijskracht. We moeten niet naïef zijn en geloven dat we iedereen kunnen overtuigen met redelijke denkend persoon geloof in God door middel van ontologische argumenten of ander bewijs. Geloof wordt geboren wanneer men oog in oog komt te staan ​​met de duidelijke aanwezigheid van de allerhoogste transcendente Werkelijkheid van God. Maar er is tenminste één persoon die het ontologische argument tot religieus geloof heeft geleid, en dat is de schrijver Clive Staples Lewis, die het zelf heeft toegegeven.

De verre toekomst is het verre verleden

Hoe dachten de tijdgenoten van Gödel over hem? Was hij bevriend met een van de grote wetenschappers?

Einsteins assistent in Princeton getuigt dat de enige persoon met wie hij bevriend was afgelopen jaren leven was Kurt Gödel. Ze waren in bijna alles anders - Einstein is sociaal, opgewekt en Gödel is buitengewoon serieus, volkomen eenzaam en wantrouwend. Maar ze hadden algehele kwaliteit: beiden gingen direct en oprecht in op de centrale vragen van wetenschap en filosofie. Ondanks zijn vriendschap met Einstein had Gödel zijn eigen specifieke kijk op religie. Hij verwierp het idee van God als een onpersoonlijk wezen, zoals God dat was voor Einstein. Bij deze gelegenheid merkte Gödel op: “Einsteins religie is te abstract, zoals die van Spinoza en de Indiase filosofie. Spinoza's God is minder dan een persoon; mijn God is meer dan een persoon; omdat God de rol van een persoon kan spelen.” Er kunnen geesten zijn die geen lichaam hebben, maar met ons kunnen communiceren en de wereld kunnen beïnvloeden.”

Hoe kwam Gödel in Amerika terecht? Op de vlucht voor de nazi's?

- Ja, hij kwam in 1940 vanuit Duitsland naar Amerika, ondanks het feit dat de nazi's hem herkenden als een Arische en een groot wetenschapper, hem bevrijdend van militaire dienst. Hij en zijn vrouw Adele baanden zich een weg door Rusland langs de Trans-Siberische spoorlijn. Hij heeft geen herinneringen aan deze reis achtergelaten. Adele herinnert zich alleen constante angst's nachts, dat ze zullen stoppen en terugkeren. Na acht jaar in Amerika te hebben gewoond, werd Gödel Amerikaans staatsburger. Zoals alle aanvragers van het staatsburgerschap moest hij vragen beantwoorden over de Amerikaanse grondwet. Als nauwgezet persoon bereidde hij dit examen zeer zorgvuldig voor. Ten slotte zei hij dat hij een inconsistentie in de grondwet had gevonden: "Ik ontdekte een logisch legitieme mogelijkheid waarin de Verenigde Staten een dictatuur zouden kunnen worden." Zijn vrienden erkenden dat, ongeacht de logische verdiensten van Gödels argument, deze mogelijkheid puur hypothetisch van aard was, en waarschuwden voor lange gesprekken over dit onderwerp tijdens het examen.

Hebben Gödel en Einstein elkaars ideeën gebruikt in? wetenschappelijk werk?

— In 1949 verwoordde Gödel zijn kosmologische ideeën in een wiskundig essay, dat volgens Albert Einstein een belangrijke bijdrage leverde aan algemene theorie relativiteit. Gödel geloofde dat tijd - "die mysterieuze en tegelijkertijd tegenstrijdige entiteit die de basis vormt van de wereld en ons eigen bestaan" - uiteindelijk zou worden grootste illusie. Het zal "op een dag" ophouden te bestaan, en er zal een andere vorm van zijn komen, die de eeuwigheid kan worden genoemd. Dit idee van tijd leidde de grote logicus tot een onverwachte conclusie. Hij schreef: “Ik ben overtuigd van een hiernamaals, ongeacht de theologie. Als de wereld intelligent is geconstrueerd, moet er een hiernamaals zijn."

"Tijd is een zichzelf tegensprekende entiteit." Klinkt raar; het heeft wat fysieke betekenis?

Gödel toonde aan dat het binnen het raamwerk van de Einstein-vergelijking mogelijk is om een ​​kosmologisch model te bouwen met gesloten tijd, waarin het verre verleden en de verre toekomst samenvallen. In dit model wordt het theoretisch mogelijke reis op tijd. Het klinkt vreemd, maar het is wiskundig uit te drukken - dat is het punt. Dit model kan al dan niet experimentele implicaties hebben. Het is een theoretische constructie die al dan niet nuttig kan zijn bij het bouwen van nieuwe kosmologische modellen. De moderne theoretische fysica, in het bijzonder de kwantumkosmologie, heeft zo'n complexe wiskundige structuur dat het erg moeilijk is om deze structuren een eenduidig ​​filosofisch begrip te geven. Bovendien zijn sommige van de theoretische constructies nog steeds experimenteel niet verifieerbaar om de eenvoudige reden dat hun verificatie de detectie van zeer hoogenergetische deeltjes vereist. Weet je nog hoe mensen in paniek raakten over de lancering van de Large Hadron Collider: fondsen massa media voortdurend bang mensen met de nadering van het einde van de wereld. In feite een serieuze wetenschappelijk experiment om modellen van kwantumkosmologie en de zogenaamde "grote unificatietheorieën" te testen. Als het mogelijk zou zijn om de zogenaamde Higgs-deeltjes te detecteren, dan zou dit de volgende stap zijn in ons begrip van de meest vroege stadia het bestaan ​​van ons universum. Maar totdat er experimentele gegevens zijn, blijven concurrerende modellen van kwantumkosmologie slechts wiskundige modellen.

Geloof en intuïtie

“…Mijn God is meer dan een persoon; aangezien God de rol van een persoon kan spelen…” Is het geloof van Gödel nog ver verwijderd van de orthodoxe belijdenis?

— Zeer weinig van Gödels uitspraken over zijn geloof zijn bewaard gebleven, ze zijn stukje bij beetje verzameld. Ondanks het feit dat Gödel al in 1941, tot 1970, de eerste versies van zijn eigen versie van het betoog maakte, uit angst voor de spot van zijn collega's, sprak hij er niet over. In februari 1970, toen hij zijn dood voelde naderen, stond hij zijn assistent toe een versie van zijn bewijs te kopiëren. Na de dood van Gödel in 1978 werd in zijn papieren een iets andere versie van het ontologische argument gevonden. De vrouw van Kurt Gödel, Adele, zei twee dagen na de dood van haar man dat Gödel, "hoewel hij niet naar de kerk ging, religieus was en elke zondagochtend in bed de Bijbel las."

Als we het hebben over wetenschappers als Gödel, Einstein of, laten we zeggen, Galileo of Newton, is het belangrijk om te benadrukken dat ze geen atheïsten waren. Ze zagen dat er achter het Universum Rede is, een zekere Hoge spanning. Voor veel wetenschappers is het geloof in het bestaan Opperste intelligentie was een van de gevolgen van hun wetenschappelijke reflectie, en deze reflectie leidde niet altijd tot het ontstaan ​​van een diepe religieuze band tussen mens en God. Met betrekking tot Gödel kan men zeggen dat hij de behoefte voelde aan deze verbinding, aangezien hij benadrukte dat hij een theïst was, dat hij over God als een persoon dacht. Maar zijn geloof kan natuurlijk niet orthodox genoemd worden. Hij was, om zo te zeggen, een 'huis-Lutheraan'.

- Jij kan geven historische voorbeelden: Hoe komen verschillende wetenschappers ertoe in God te geloven? Hier is de genetica van Francis Collins, volgens zijn bekentenissen leidde de studie van de structuur van DNA tot geloof in God ...

“Op zichzelf is natuurlijke kennis van God niet voldoende voor de kennis van God. Het is niet genoeg om God te ontdekken door de natuur te bestuderen - het is belangrijk om Hem te leren kennen door de Openbaring die God aan de mens heeft gegeven. Iemands geloof, of hij nu een wetenschapper is of niet, steunt altijd op iets dat verder gaat dan louter logische of wetenschappelijke argumenten. Francis Collins schrijft dat hij op 27-jarige leeftijd tot het geloof kwam na een lang intellectueel geschil met zichzelf en onder invloed van Clive Staples Lewis. Twee mensen bevinden zich in dezelfde historische situatie, onder dezelfde beginvoorwaarden: de een wordt een gelovige, de ander een atheïst. Alleen al de studie van DNA leidt tot het geloof in het bestaan ​​van God. De andere studies komen er niet aan. Twee mensen kijken naar de foto: de een vindt hem mooi, de ander zegt: "Zo-zo, een gewone foto!" De een heeft smaak, intuïtie en de ander niet. Professor van de orthodoxe St. Tikhon humanitaire universiteit Vladimir Nikolajevitsj Katasonov, doctor in de wijsbegeerte, een wiskundige van eerste opleiding, zegt: "Geen bewijs in de wiskunde is mogelijk zonder intuïtie: een wiskundige ziet eerst een afbeelding en formuleert dan een bewijs."

De vraag of iemand tot geloof komt, is altijd een vraag die verder gaat dan alleen logisch redeneren. Hoe leg je uit wat je tot geloof heeft geleid? De man antwoordt: ik ging naar de tempel, dacht na, las dit en dat, zag de harmonie van het universum; maar het belangrijkste, het meest uitzonderlijke moment waarop een persoon zich plotseling bewust wordt dat hij de aanwezigheid van God heeft ontmoet, kan niet worden uitgedrukt. Het is altijd een geheim.

- U kunt problemen identificeren die niet kunnen worden opgelost moderne wetenschap?

— Toch is de wetenschap een voldoende zelfverzekerde, onafhankelijke en gevestigde onderneming om zich zo scherp uit te spreken. Het is een goed en zeer nuttig hulpmiddel in de handen van de mens. Sinds de tijd van Francis Bacon is kennis inderdaad een kracht geworden die de wereld heeft veranderd. De wetenschap ontwikkelt zich in overeenstemming met haar interne wetten: de wetenschapper probeert de wetten van het universum te begrijpen, en het lijdt geen twijfel dat deze zoektocht tot succes zal leiden. Maar tegelijkertijd is het noodzakelijk om je bewust te zijn van de grenzen van de wetenschap. Men moet wetenschap niet verwarren met die ideologische vragen die in verband met wetenschap kunnen worden gesteld. Belangrijkste problemen worden tegenwoordig niet zozeer geassocieerd met de wetenschappelijke methode als wel met waardeoriëntaties. Wetenschap gedurende de lange twintigste eeuw werd door mensen gezien als een absoluut goed dat bijdraagt ​​aan de vooruitgang van de mensheid; en we zien dat de twintigste eeuw de meest wrede is geworden in termen van menselijke slachtoffers. En dan is er nog de kwestie van waarden. wetenschappelijke vooruitgang, kennis in het algemeen. Ethische waarden volgen niet uit de wetenschap zelf. Een briljante wetenschapper kan een wapen uitvinden voor de vernietiging van de hele mensheid, en hier rijst de vraag naar de morele verantwoordelijkheid van een wetenschapper, die de wetenschap niet kan beantwoorden. De wetenschap kan de mens niet de betekenis en het doel van zijn bestaan ​​aangeven. De wetenschap zal nooit in staat zijn om de vraag te beantwoorden waarom zijn we hier? Waarom bestaat het universum? Deze vragen worden opgelost op een ander kennisniveau, zoals filosofie en religie.

— Is er, naast de stellingen van Gödel, enig ander bewijs dat de wetenschappelijke methode zijn grenzen heeft? Herkennen wetenschappers dit zelf?

- Al aan het begin van de 20e eeuw wezen de filosofen Bergson en Husserl op relatieve waarde wetenschappelijke kennis van de natuur. Het is nu een bijna universeel geloof geworden onder wetenschapsfilosofen dat wetenschappelijke theorieën hypothetische modellen vertegenwoordigen om verschijnselen te verklaren. Een van de makers kwantummechanica Erwin Schrödinger zei dat elementaire deeltjes zijn slechts afbeeldingen, maar we kunnen zonder hen. Volgens de filosoof en logicus Karl Popper zijn wetenschappelijke theorieën als een net waardoor we de wereld proberen te vangen, ze zijn niet als foto's. Wetenschappelijke theorieën zijn voortdurend in ontwikkeling en veranderen. De makers van de kwantummechanica, zoals Pauli, Bohr, Heisenberg spraken over de grenzen van de wetenschappelijke methode. Pauli schreef: “...Natuurkunde en psyche kunnen worden beschouwd als aanvullende aspecten dezelfde realiteit" - en gericht op de onherleidbaarheid hogere levels naar het lagere zijn. Verschillende verklaringen bestrijken telkens slechts één aspect van de materie, maar een alomvattende theorie zal nooit worden bereikt.

De schoonheid en harmonie van het universum impliceert de mogelijkheid van zijn kennis wetenschappelijke methodes. Tegelijkertijd hebben christenen altijd de onbegrijpelijkheid van het mysterie achter dit materiële universum begrepen. Het universum heeft geen fundament op zichzelf en wijst naar de volmaakte bron van bestaan ​​- God.

Ik ben al lang geïnteresseerd in wat de sensationele stelling van Gödel is. En hoe het nuttig is voor het leven. En eindelijk kon ik het uitzoeken.

De meest populaire formulering van de stelling is:
"Elk systeem van wiskundige axioma's, beginnend met een bepaald niveau van complexiteit, is ofwel intern inconsistent of onvolledig."

Ik zou het vertalen in een menselijke, niet-wiskundige taal zoals deze (een axioma is de beginpositie van een theorie, binnen het kader van deze theorie als waar aanvaard zonder bewijs en gebruikt als basis voor het bewijzen van haar andere bepalingen). In het leven is een axioma de principes die worden gevolgd door een persoon, de samenleving, wetenschappelijke richting, staten. Onder de vertegenwoordigers van religie worden axioma's dogma's genoemd. Bijgevolg wordt elk van onze principes, elk systeem van opvattingen, beginnend vanaf een bepaald niveau, intern tegenstrijdig of onvolledig. Om van de waarheid van een bepaalde stelling overtuigd te zijn, zal men voorbij het gegeven stelsel van opvattingen moeten gaan en een nieuw stelsel moeten opbouwen. Maar het zal ook onvolmaakt zijn. Dat wil zeggen, het PROCES VAN KENNIS IS ONEINDIG. De wereld kan niet volledig bekend zijn totdat we de bron hebben bereikt.

"... als we het vermogen om logisch te redeneren beschouwen als het belangrijkste kenmerk van de menselijke geest, of op zijn minst het belangrijkste hulpmiddel, dan geeft de stelling van Gödel direct de beperkte mogelijkheden van onze hersenen aan. geloof in de oneindige kracht van het denken om de stelling over de grenzen van zijn macht te aanvaarden ... Veel experts geloven dat de formeel-computationele, "aristotelische" processen die ten grondslag liggen aan logisch denken, zijn slechts een deel menselijk bewustzijn. Het andere gebied, dat fundamenteel 'niet-computationeel' is, is verantwoordelijk voor manifestaties als intuïtie, creatieve inzichten en begrip. En als de eerste helft van de geest onder de beperkingen van Gödel valt, dan is de tweede helft vrij van dergelijke beperkingen ... Natuurkundige Roger Penrose ging nog verder. Hij suggereerde het bestaan ​​van enkele kwantumeffecten van niet-computationele aard, die de realisatie van creatieve handelingen van bewustzijn verzekeren... Een van de vele consequenties van de Penrose-hypothese kan met name de conclusie zijn dat kunstmatige intelligentie op basis van moderne computerapparatuur, ook al zal de komst van kwantumcomputers leiden tot een grandioze doorbraak op het gebied van computertechnologie. Het feit is dat elke computer het werk van de formeel-logische, "computationele" activiteit van het menselijk bewustzijn alleen maar meer en nauwkeuriger kan modelleren, maar de "niet-computationele" vermogens van het intellect zijn er niet voor toegankelijk.

Een belangrijke consequentie van de stelling van Gödel is de conclusie dat men niet in uitersten kan denken. Altijd binnen bestaande theorie er is een verklaring die niet kan worden bewezen of weerlegd. Of, met andere woorden, bij een of andere verklaring is er altijd een paar dat deze weerlegt.

Volgende conclusie. Goed en kwaad zijn slechts 2 kanten van dezelfde medaille, zonder welke het niet kan bestaan. En het komt voort uit het principe dat er in het universum maar één bron van alles is: goed en kwaad, liefde en haat, leven en dood.

Elke verklaring van volledigheid van het systeem is vals. Je kunt niet vertrouwen op dogma's, want vroeg of laat zullen ze worden weerlegd.

In die zin bevinden moderne religies zich in een kritische positie: de dogma's van de kerk verzetten zich tegen de ontwikkeling van onze ideeën over de wereld. Ze proberen alles in het kader van rigide concepten te persen. Maar dit leidt ertoe dat vanuit het monotheïsme, vanuit de enige bron van alles natuurlijke processen ze gaan verder naar het heidendom, waar er krachten van het goede en van het kwade zijn, er is een god van het goede ergens ver weg in de hemel, en er is een duivel (de god van het kwaad), die al lang zijn poot heeft gelegd op alles wat is op aarde. Deze benadering leidt tot de verdeling van alle mensen in vrienden en vijanden, rechtvaardigen en zondaars, gelovigen en ketters, vrienden en vijanden.

Hier is nog een kleine tekst die in de volksmond de essentie onthult die volgt uit de stelling van Gödel:
"Het lijkt mij dat deze stelling een belangrijke filosofische betekenis. Er zijn slechts twee opties mogelijk:

a) De theorie is onvolledig, d.w.z. in termen van een theorie kan men een vraag formuleren waarop het onmogelijk is om een ​​positief of een negatief antwoord af te leiden uit de axioma's/postulaten van de theorie. Tegelijkertijd kunnen op al deze vragen antwoorden worden gegeven in het kader van een meer omvattende theorie, waarbij de oude een speciaal geval zal zijn. Maar dit nieuwe theorie zal zijn eigen "onbeantwoorde vragen" hebben enzovoort tot in het oneindige.

b) Compleet, maar tegenstrijdig. Elke vraag kan worden beantwoord, maar sommige vragen kunnen tegelijkertijd met ja en nee worden beantwoord.

Wetenschappelijke theorieën zijn van het eerste type. Ze zijn consistent, maar dat betekent dat ze niet alles beschrijven. Er kan geen "finale" zijn wetenschappelijke theorie. Elke theorie is onvolledig en beschrijft iets niet, ook al weten we nog niet wat het is. Men kan alleen maar meer en meer omvattende theorieën creëren. Voor mij persoonlijk is dit reden tot optimisme, omdat het betekent dat de vooruitgang van de wetenschap nooit zal stoppen.

"Almachtige God" behoort tot het tweede type. Almachtige God is het antwoord op elke vraag. En dit betekent automatisch dat het leidt tot logische absurditeit. Paradoxen zoals de "zware steen" kunnen in batches worden uitgevonden.

Globaal genomen, wetenschappelijke kennis is waar (consistent), maar beschrijft op een gegeven moment niet alles. Tegelijkertijd staat niets in de weg om de grenzen van het bekende tot in het oneindige te verleggen, steeds verder en vroeg of laat wordt elk onbekende bekend. Religie beweert Volledige beschrijving wereld "nu", maar het is automatisch onjuist (absurd)."

Ooit, toen ik net begon met mijn volwassen leven Ik was aan het programmeren. En er was zo'n principe: als er veel correcties in het programma worden aangebracht, moet het opnieuw worden geschreven. Dit principe komt naar mijn mening overeen met de stelling van Godel. Als het programma complexer wordt, wordt het inconsistent. En het zal niet goed werken.

Nog een voorbeeld uit het leven. We leven in een tijdperk waarin ambtenaren zeggen dat het belangrijkste bestaansbeginsel de wet moet zijn. Dat wil zeggen, het rechtssysteem. Maar zodra de wetgeving complexer wordt en de regelgeving floreert, beginnen wetten elkaar tegen te spreken. Wat we nu zien. Je kunt nooit creëren rechtssysteem, die alle aspecten van het leven zou voorschrijven. Aan de andere kant zou het eerlijk zijn voor iedereen. Omdat de beperkingen van ons begrip van de wereld altijd naar buiten zullen komen. En menselijke wetten zullen op een gegeven moment in conflict komen met de wetten van het universum. We begrijpen veel dingen intuïtief. Ook intuïtief moeten we de acties van andere mensen beoordelen. Het volstaat dat de staat een grondwet heeft. En vertrouwend op de artikelen van deze grondwet, om de verhoudingen in de samenleving te regelen. Maar vroeg of laat zal de grondwet moeten worden gewijzigd.

Het GEBRUIK is een ander voorbeeld van de misvatting van onze ideeën over menselijke vermogens. We proberen de rekencapaciteiten van de hersenen te testen in een examen. Maar intuïtieve vermogens op school zijn niet meer ontwikkeld. Maar de mens is geen biorobot. Het is onmogelijk om een ​​scoresysteem te creëren dat in staat zou zijn om alle mogelijkheden te onthullen die inherent zijn aan een persoon, in zijn bewustzijn, in zijn onderbewustzijn en in zijn psyche.

Bijna 100 jaar geleden zette Gödel een ongelooflijke stap in het begrijpen van de wetten van het universum. En we hebben dit nog steeds niet kunnen gebruiken, gezien deze stelling als zeer gespecialiseerd wiskunde probleem voor een kleine kring van mensen die in hun eigen kring met enkele abstracte onderwerpen bezig zijn. Samen met Kwantum theorie en de leer van Christus, stelt de stelling van Gödel ons in staat om te ontsnappen aan de gevangenschap van valse dogma's, om de crisis te overwinnen die nog steeds in ons wereldbeeld voortduurt. En de tijd dringt.