Động học điểm.

1. Chuyên đề cơ học lý thuyết. Những trừu tượng cơ bản.

Cơ học lý thuyếtlà một khoa học trong đó các quy luật chung được nghiên cứu chuyển động cơ học và tương tác cơ học của các cơ thể vật chất

Chuyển động cơ họcđược gọi là chuyển động của một cơ thể trong mối quan hệ với cơ thể khác, xảy ra trong không gian và thời gian.

Tương tác cơ học được gọi là tương tác như vậy của các cơ thể vật chất, làm thay đổi bản chất của chuyển động cơ học của chúng.

Tin học - Đây là ngành cơ học lý thuyết, nghiên cứu các phương pháp chuyển hệ lực thành hệ tương đương và thiết lập điều kiện cân bằng của lực tác dụng lên vật rắn.

Động học - là nhánh của cơ học lý thuyết liên quan đến chuyển động của các vật chất trong không gian với điểm hình học tầm nhìn, không phụ thuộc vào các lực tác động lên chúng.

Động lực học - Đây là ngành cơ học nghiên cứu sự chuyển động của các vật chất trong không gian, phụ thuộc vào các lực tác dụng lên chúng.

Đối tượng nghiên cứu trong cơ học lý thuyết:

điểm vật chất,

hệ thống điểm vật chất,

Cơ thể cứng nhắc tuyệt đối.

Không gian tuyệt đối và thời gian tuyệt đối độc lập với nhau. Không gian tuyệt đối - không gian Euclide ba chiều, thuần nhất, bất động. Thời gian tuyệt đối - Dòng chảy từ quá khứ đến tương lai liên tục, nó đồng nhất, giống nhau tại mọi điểm trong không gian và không phụ thuộc vào chuyển động của vật chất.

2. Phân môn động học.

Động học - là chi nhánh của cơ khí giao dịch với tính chất hình học chuyển động của các vật thể mà không tính đến quán tính của chúng (tức là khối lượng) và các lực tác dụng lên chúng

Để xác định vị trí của một vật (hoặc điểm) chuyển động với vật thể liên quan đến chuyển động của vật thể này đang được nghiên cứu, một cách cứng nhắc, một số hệ tọa độ được kết nối, hệ tọa độ này cùng với vật thể tạo thành hệ thống tài liệu tham khảo.

Nhiệm vụ chính của động học là biết quy luật chuyển động của một vật (chất điểm) nhất định, để xác định tất cả các đại lượng động học đặc trưng cho chuyển động của nó (vận tốc và gia tốc).

3. Các phương pháp xác định chuyển động của một điểm

· Cách tự nhiên

Nên biết:

Quỹ đạo chuyển động điểm;

Bắt đầu và hướng đếm;

Quy luật chuyển động của một điểm dọc theo một quỹ đạo cho trước có dạng (1.1)

· Phương pháp tọa độ

Phương trình (1.2) là phương trình chuyển động của chất điểm M.

Phương trình quỹ đạo của điểm M có thể nhận được bằng cách loại bỏ tham số thời gian « t » từ phương trình (1.2)

· Đường vectơ

(1.3) Mối quan hệ giữa phương pháp tọa độ và vectơ để xác định chuyển động của một điểm (1.4)

Kết nối giữa tọa độ và các cách tự nhiên để xác định chuyển động của một điểm

Xác định quỹ đạo của chất điểm, không kể thời gian lập các phương trình (1.2);

-- tìm quy luật chuyển động của một điểm dọc theo một quỹ đạo (sử dụng biểu thức cho vi phân cung)

Sau khi tích phân, chúng ta thu được quy luật chuyển động của một điểm dọc theo một quỹ đạo nhất định:

Mối liên hệ giữa phương pháp tọa độ và vectơ xác định chuyển động của một điểm được xác định bởi phương trình (1.4)

4. Xác định vận tốc của một điểm bằng phương pháp vectơ xác định chuyển động.

Hãy để vào lúc nàytvị trí của điểm được xác định bởi vectơ bán kính, và tại thời điểmt 1 - bán kính-vectơ, sau đó trong một khoảng thời gian điểm sẽ di chuyển.

(1.5) tốc độ trung bình, hướng của vectơ giống với hướng của vectơ

Tốc độ điểm trong khoảnh khắc này thời gian

Để có vận tốc của một điểm tại một thời điểm nhất định, cần phải vượt qua giới hạn

(1.6)

(1.7)

Vectơ tốc độ của một điểm tại một thời điểm nhất định bằng đạo hàm bậc nhất của véc tơ bán kính theo thời gian và hướng theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại một điểm cho trước.

(đơn vị¾ m / s, km / h)

Véc tơ gia tốc trung bình có cùng hướng với vectơΔ v , nghĩa là, hướng về độ hấp dẫn của quỹ đạo.

Véc tơ gia tốc của một điểm tại một thời điểm nhất định bằng đạo hàm bậc nhất của vectơ vận tốc hoặc đạo hàm bậc hai của vectơ bán kính của chất điểm theo thời gian.

(đơn vị - )

Vectơ có vị trí như thế nào trong mối quan hệ với quỹ đạo của chất điểm?

Tại chuyển động thẳng vectơ hướng dọc theo đường thẳng mà chất điểm chuyển động. Nếu quỹ đạo của chất điểm là một đường cong phẳng thì vectơ gia tốc cũng như vectơ cp, nằm trong mặt phẳng của đường cong này và hướng về trọng lực của nó. Nếu quỹ đạo không phải là đường cong phẳng thì vectơ cp sẽ hướng về trọng lực của quỹ đạo và sẽ nằm trong mặt phẳng đi qua tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểmM và một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại một điểm liền kềM 1 . TẠI giới hạn khi điểmM 1 có xu hướng M mặt phẳng này chiếm vị trí của cái gọi là mặt phẳng tiếp giáp. Do đó, trong trường hợp tổng quát, vectơ gia tốc nằm trong một mặt phẳng tiếp giáp và hướng về trọng lực của đường cong.

V. I. Doront, V. V. Dubinin, M. M. Ilyin và những người khác; Dưới tổng số ed. K. S. Kolesnikova "Khóa học Cơ học lý thuyết: Sách giáo khoa cho các trường trung học" Nhà xuất bản Đại học Kỹ thuật Nhà nước Matxcova. N. E. Bauman, 2005, 736 trang (7,17 mb. Djvu)

Sách giáo khoa có các phần như: động học, tĩnh học, động lực học chất điểm, cơ thể cường tráng và hệ thống cơ khí. Cũng như cơ học phân tích, lý thuyết dao động, lý thuyết va chạm, giới thiệu về động lực học của các vật thể có khối lượng thay đổi, cơ sở của cơ học thiên thể. Tất cả các phần đều có kèm theo các ví dụ về giải quyết vấn đề. Nội dung giáo trình được trình bày theo tiến trình bài giảng và phù hợp với chương trình do các tác giả trường Đại học Kỹ thuật Nhà nước Matxcova đọc. N. E. Bauman.

Cuốn sách có thể được sử dụng như hướng dẫn dành cho sinh viên của các trường đại học kỹ thuật và trường đại học kỹ thuật. Sẽ giúp các sinh viên tốt nghiệp và giáo viên trong việc chuẩn bị và tiến hành các bài giảng và lớp học. Cũng như các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực tĩnh học ứng dụng và động lực học của các hệ thống cơ khí, kỹ thuật cơ khí và thiết bị đo đạc.
ISBN 5-7038-1695-5 (quyển 1)
ISBN 5-7038-1371-9

Lời nói đầu.

Bộ sách là kết quả của nhiều năm hoạt động giảng dạy các tác giả tại MSTU. N. E. Bauman, tốt nghiệp các kỹ sư thiết kế và nhà nghiên cứu chuyên về lĩnh vực kỹ thuật cơ khí và thiết bị đo đạc. Nó có trước sách giáo khoa của các giáo viên đại học V. V. Dobronravov, A. L. Dvornikov, K. N. Nikitin, được tái bản nhiều lần và đóng một vai trò lớn trong việc dạy học sinh.

Quá trình chuyển đổi sang giáo dục kỹ thuật đại học yêu cầu mở rộng nội dung khóa học, giải thích vật lý đầy đủ hơn về một số vấn đề và sự phức tạp tự nhiên của việc sử dụng bộ máy toán học. Để kết thúc điều này, trong phần "Chuyển động học", chương " Trường hợp chung chuyển động của một vật cứng.

Tĩnh được nêu là phần độc lập Vì các môn học như sức bền của vật liệu, lý thuyết cơ chế và cơ học của máy, chi tiết máy, các môn học thiết kế kỹ thuật đòi hỏi sinh viên phải hiểu rõ về các cách biến đổi và truyền lực tương tác trong cơ chế máy.

Các bổ sung đáng kể đã được thực hiện trong phần "Động lực học". Tại đây các nguyên lý biến phân tích phân, các yếu tố của cơ học thiên thể được giới thiệu; lý thuyết dao động, lý thuyết va chạm và một số câu hỏi khác được giải thích đầy đủ hơn.

Một số thông tin từ lý thuyết vectơ 9
B. 1. Đại lượng vô hướng và vectơ. Vectơ đơn vị 9
TRONG 2. Các phép chiếu vectơ trên trục và mặt phẳng 11
V.Z. Tọa độ vectơ. Đặc tả phân tích của véc tơ. Bán kính vector điểm 12
TẠI 4. Phép cộng và phép trừ vectơ 14
TẠI 5. Phép nhân vectơ 16
TẠI 6. Vectơ và ma trận 24
VÀO LÚC 7 GIỜ. Mối quan hệ giữa các hình chiếu vectơ lên ​​trục của hai hệ trục tọa độ hình chữ nhật 29
LÚC 8. Vectơ hàm. Hình ảnh vector. Sự khác biệt của vectơ đối với đối số vô hướng 32

Mục 1. KINEMATICS

Chương I Động học điểm 39
1.1. Tốc độ điểm 39
1.2. Điểm tăng tốc 41
1.3. Cách vectơ để xác định chuyển động của một điểm 44
1.4. Phương pháp tọa độ bài tập chuyển động điểm 44
1.5. Cách tự nhiên bài tập chuyển động điểm 61

chương 2 Các chuyển động đơn giản nhất của một cơ thể cứng 70
2.1. Bậc tự do và định lý hình chiếu vận tốc 70
2.2. Chuyển động tịnh tiến của vật cứng 73
2.3. Chuyển động quay của một vật cứng quanh một trục cố định 73

Chương 3 Chuyển động phẳng của một vật cứng 85
3.1. Sự phân hủy chuyển động phẳng của một vật cứng thành chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay 85
3.2. Phương trình chuyển động, vận tốc góc và gia tốc góc thân cứng trong chuyển động máy bay 87
3.3. Vận tốc của các điểm của cơ thể trong quá trình chuyển động của mặt phẳng 89
3.4. Tâm tốc độ tức thì 90
3.5. Tâm quay tức thì. Trung tâm 94
3.6. Tính vận tốc góc của vật cứng trong chuyển động thẳng đều
3.7. Gia tốc của các điểm trên cơ thể trong quá trình chuyển động của máy bay 98
3.8. Trung tâm gia tốc tức thì 102
3.9. Phương pháp tính gia tốc góc của vật trong chuyển động phẳng 106

Chương 4 Xoay một vật cứng xung quanh điểm cố định 110
4.1. Số bậc tự do. Các góc Euler. Phương trình quay 110
4.2. Ma trận của cosin có hướng. Quỹ đạo điểm cơ thể 114
4.3. Trục quay tức thời. Axoids 116
4.4. Vận tốc góc tức thời và gia tốc góc 119
4.5. Vận tốc của các điểm trên cơ thể. Phương trình Euler động học 122
4.6. Gia tốc của điểm cơ thể 128
4.7. gia tốc góc của vật 130

Chương 5 Trường hợp chung của chuyển động cơ thể cứng nhắc 134
5.1. Số bậc tự do. Tọa độ tổng quát. Phương trình chuyển động 134
5.2. Quỹ đạo điểm tùy ý cơ thể 139
5.3. Tốc độ của một điểm tùy ý của cơ thể 140
5.4. Gia tốc của một điểm tùy ý của phần thân 141

Chương 6 Chuyển động điểm phức tạp 143
6.1. Chuyển động tương đối, tịnh tiến và tuyệt đối của một điểm 143
6.2. Đạo hàm tuyệt đối và tương đối của một vectơ. Công thức Boer 145
6.3. Định lý cộng vận tốc 148
6.4. Định lý về phép cộng gia tốc, hoặc định lý Coriolis động học. Coriolis tăng tốc 150
6.5. Bổ sung gia tốc trong các trường hợp cụ thể của chuyển động di động 153

Chương 7 Chuyển động phức tạp của một cơ thể cứng 162
7.1. Định lý về phép cộng vận tốc góc tại chuyển động phức tạp thân rắn 162
7.2. Bổ sung các phép quay xung quanh các trục giao nhau 164
7.3. Phép cộng các phép quay về các trục song song. Pararotation 165
7.4. Phép cộng các chuyển động tịnh tiến 168
7,5. Bổ sung phép tịnh tiến và chuyển động quay 169

Phần 2. THỐNG KÊ

Chương 8 Tiên đề và nguyên lý cơ bản của tĩnh 173
8.1. Tiên đề về tĩnh 174
8.2. Các loại liên kết chính và phản ứng của chúng 177
83. Hệ thống các lực hội tụ 181
8,4. Mômen của lực đối với một điểm và quanh trục 189
8,5. Phép cộng các lực song song. Cặp đôi quyền lực 196
8.6. Đưa hệ thống lực lượng đến hệ thống đơn giản nhất 204

Chương 9 Cân bằng cơ thể 214
9.1. Điều kiện cân bằng của hệ lực 214
9.2. Trạng thái cân bằng của một hệ thống các vật thể 222
9.3. Định nghĩa nội lực 225
9.4. Hệ thống xác định tĩnh và không xác định về mặt thống kê của các cơ quan 227
9,5. Tính toán kèo phẳng 228
9,6. Lực lượng phân tán 229

Chương 10 ma sát 236
10.1. Định luật ma sát trượt 236
10.2. Các phản ứng bề mặt thô ráp. Góc ma sát 237
10.3. Khớp nối cuộn 238
10.4. Trạng thái cân bằng của vật khi có ma sát. Hình nón ma sát 239

chương 11 Trung tâm của lực hấp dẫn 248
11.1. Tâm của hệ lực song song 248
11.2. Trọng tâm của vật cứng 251
11.3. Phương pháp xác định tọa độ trọng tâm của các vật thể 253

Chương 12 Sự cân bằng của một sợi linh hoạt và không thể kéo dài 260
12.1. Phương trình vi phân của cân bằng ren 260
12.2. Trường hợp đặc biệt các lực lượng bên ngoài 263
12.3. Dây chuyền 265

Phần 3. ĐỘNG HỌC

Chương 13 Động lực học điểm vật liệu 271
13.1. Tiên đề động lực học 271
13.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm 273
13.3. Hai nhiệm vụ chính của động lực học của một điểm vật chất 275
13.4. Chuyển động của một điểm vật chất không tự do 280
13,5. Động lực học chuyển động tương đối 288
13,6. Trạng thái cân bằng và chuyển động của một điểm vật chất so với Trái đất 293

Chương 14 Hình học khối lượng 298
14.1. Trọng tâm của hệ cơ 298
14.2. Mômen quán tính 301
14.3. Sự phụ thuộc của mômen quán tính đối với các trục song song (Định lý Huygens-Steiner) 304
14.4. Mômen quán tính của các vật đồng chất 305
14,5. Mômen quán tính của các vật thể đồng nhất của cách mạng 310
14,6. Mômen quán tính đối với một trục đi qua điểm đã cho 315
14,7. Ellipsoid quán tính. Các trục chính của quán tính 318
14,8. Tính chất của các trục quán tính chính của vật thể 321
14,9. Xác định hướng của các trục chính của quán tính 326

Chương 13 Các định lý chung về động lực học 331
13.1. hệ thống cơ khí. Bên ngoài và Nội lực 331
15.2. Phương trình vi phân chuyển động của một hệ cơ học 334
15.3. Định lý về chuyển động của khối tâm của một hệ cơ học 335
15.4. Định lý về sự thay đổi của động lượng 342
15,5. Định lý về sự thay đổi momen động lượng của một chất điểm. Định lý về sự thay đổi mômen động lượng chính của hệ cơ học 353
15,6. Thay đổi định lý động năng 382
15,7. Trường lực lượng tiềm năng 400
15,8. Ví dụ về việc sử dụng định lý chung loa 412

Chương 16 Động lực học cơ thể cứng nhắc 424
16.1. Chuyển động tịnh tiến của vật cứng. Chuyển động quay của một vật cứng quanh một trục cố định. Chuyển động phẳng của cơ thể cứng nhắc 424
16.2. Chuyển động hình cầu của một vật cứng 436
16.3. Trường hợp chung về chuyển động của vật cứng 465

Chương 17 Nguyên tắc d'Alembert. Phản ứng liên kết động 469
17.1. Nguyên tắc d'Alembert. Quán tính lực 469
17.2. Nguyên lý của d'Alembert đối với hệ thống cơ khí 471
17.3. Vectơ chính và điểm chính lực quán tính 473
17.4. Phản ứng động của các hỗ trợ 475
17,5. Cân bằng tĩnh và cân bằng động của một vật cứng quay quanh một trục cố định 482
17,6. Cân bằng rôto 487

Chương 18 Khái niệm cơ bản cơ học phân tích 493
18.1. Các khái niệm cơ bản 493
18.2. Công việc khả thi sức mạnh. Kết nối hoàn hảo 504
18.3. Lực lượng tổng quát 507
18.4. Nguyên lý vi phân của cơ học phân tích 513
18,5. Phương trình Lagrange của loại thứ hai 527
18,6. Nguyên lý biến phân tích phân của cơ học 536

Chương 19 Lý thuyết dao động 555
19.1. Tính ổn định của vị trí cân bằng của một hệ cơ 555
19.2. Phương trình vi phân của các dao động nhỏ của một hệ thống tuyến tính với một bậc tự do 559
19.3. chuyển động tự do hệ thống tuyến tính với một bậc tự do 568
19.4. Rung động cưỡng bức hệ thống tuyến tính với một bậc tự do 582
19,5. Các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết về công cụ ghi âm 607
19,6. Các nguyên tắc cơ bản về chống rung 612
19,7. Phương trình vi phân của dao động nhỏ của một hệ tuyến tính với số giới hạn bậc tự do 615
19.8. Rung động tự do hệ thống bảo toàn tuyến tính với hai bậc tự do 625
19,9. Dao động cưỡng bức của một hệ thẳng có hai bậc tự do trong điều kiện kích thích điều hòa.
Bộ giảm rung động 637
19,10. dao động hệ thống tuyến tính với số bậc tự do hữu hạn 645

Chương 20 lý thuyết tác động 653
20.1. Các khái niệm và giả định cơ bản. Mô hình tác động 653
20.2. Định lý về sự thay đổi động lượng và chuyển động của khối tâm của hệ khi va chạm 658
20.3. Định lý về sự thay đổi mômen chính của động lượng của hệ khi va chạm 660
20.4. Hệ số phục hồi 662
20,5. Định lý về sự thay đổi động năng của hệ khi va chạm. Định lý Carnot 664
20,6. Một cú đánh vào một con tep quay quanh một trục cố định. Trung tâm tác động 672
20,7. Tác động lên vật cứng có điểm cố định. Trung tâm tác động. Free Solid Strike 677
20.8.0 ràng buộc khi va chạm. Phương trình tổng quát của cơ học 679
20.9 Phương trình Lagrange của loại thứ hai khi va chạm trong một hệ thống cơ học 682
20,10. Tác động hai cơ thể chuyển động về phía trước. Hệ số năng lượng 684
20.11. Tác động của một điểm vật liệu trên bề mặt gồ ghề cố định 691
20.12. Đánh hai quả bóng. Hertz Mẫu 699

Chương 21 Giới thiệu về động lực học của các vật thể có khối lượng thay đổi 705
21.1. Các khái niệm và giả định cơ bản 705
21.2. Phương trình Meshchersky tổng quát, lực phản ứng 707
21.3. Các trường hợp cụ thể của phương trình Meshchersky 709
21.4. Một số vấn đề cổ điểnđộng lực học điểm khối lượng biến đổi 712

Chương 22 Cơ bản về Cơ học Thiên thể 717
22.1. Binet công thức 717.
22.2. Pháp luật Trọng lực. Định luật Kepler 720
22.3. Phân loại năng lượng của quỹ đạo 723
22.4. Quỹ đạo chuyển động của một điểm 725
22,5. Vấn đề hai thân 727
22.6.0 bài toán vật thể n và các bài toán khác của cơ học thiên thể 729

Tải xuống sách miễn phí 7.17 mb. djvu

Trong bất kỳ khoa Huân luyện Nghiên cứu vật lý bắt đầu với cơ học. Không phải từ lý thuyết, không từ ứng dụng và không tính toán, mà từ cơ học cổ điển tốt. Cơ học này còn được gọi là cơ học Newton. Theo truyền thuyết, nhà khoa học đang đi dạo trong vườn thì thấy một quả táo rơi xuống, và chính hiện tượng này đã thúc đẩy ông khám phá ra định luật vạn vật hấp dẫn. Tất nhiên, định luật luôn tồn tại, và Newton chỉ cho nó ở dạng dễ hiểu đối với mọi người, nhưng công lao của ông là vô giá. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ không mô tả các định luật của cơ học Newton càng chi tiết càng tốt, nhưng chúng tôi sẽ phác thảo những điều cơ bản, kiến thức cơ bản, định nghĩa và công thức luôn có thể giúp bạn.

Cơ học là một nhánh của vật lý, một ngành khoa học nghiên cứu sự chuyển động của các cơ thể vật chất và sự tương tác giữa chúng.

Bản thân từ đó có Nguồn gốc hy lạp và tạm dịch là "nghệ thuật chế tạo máy móc". Nhưng trước khi chế tạo máy, chúng ta còn cả một chặng đường dài phía trước, vì vậy chúng ta hãy theo bước chân của tổ tiên chúng ta, chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của những viên đá ném nghiêng về phía chân trời, và những quả táo rơi trúng đầu từ độ cao h.

Tại sao việc nghiên cứu vật lý lại bắt đầu bằng cơ học? Bởi vì nó là hoàn toàn tự nhiên, không phải để bắt đầu nó từ trạng thái cân bằng nhiệt động lực học?!

Cơ học là một trong những ngành khoa học lâu đời nhất, và về mặt lịch sử, nghiên cứu vật lý bắt đầu chính xác với nền tảng của cơ học. Bị đặt trong khuôn khổ của thời gian và không gian, thực ra con người không thể bắt đầu từ việc khác, dù họ muốn thế nào đi nữa. Cơ thể chuyển động là điều đầu tiên chúng ta chú ý đến.

Chuyển động là gì?

Chuyển động cơ học là sự thay đổi vị trí của các vật thể trong không gian so với nhau theo thời gian.

Chính sau định nghĩa này, chúng ta hoàn toàn tự nhiên đến với khái niệm hệ quy chiếu. Thay đổi vị trí của các vật thể trong không gian so với nhau. Từ khóa nơi đây: liên quan đến nhau . Rốt cuộc, một hành khách trên ô tô chuyển động so với người đứng bên đường với một tốc độ nhất định, và dựa vào người hàng xóm ngồi ở ghế gần đó, và chuyển động với một tốc độ khác so với hành khách trên ô tô. vượt qua chúng.

Đó là lý do tại sao, để đo thông thường các thông số của các đối tượng chuyển động và không bị nhầm lẫn, chúng ta cần hệ quy chiếu - cơ quan tham chiếu, hệ tọa độ và đồng hồ được kết nối chặt chẽ với nhau. Ví dụ, trái đất chuyển động quanh mặt trời theo hệ quy chiếu nhật tâm. Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thực hiện hầu như tất cả các phép đo của mình trong một hệ quy chiếu địa tâm liên kết với Trái đất. Trái đất là một cơ quan tham chiếu liên quan đến ô tô, máy bay, con người, động vật di chuyển.

Cơ học, với tư cách là một khoa học, có nhiệm vụ riêng của nó. Nhiệm vụ của cơ học là biết vị trí của cơ thể trong không gian tại bất kỳ thời điểm nào. Nói cách khác, cơ học xây dựng mô tả toán học chuyển động và tìm mối liên hệ giữa đại lượng vật lý mô tả đặc điểm của nó.

Để tiến xa hơn, chúng ta cần khái niệm về “ điểm vật chất ". Họ nói vật lý Khoa học chính xác, nhưng các nhà vật lý biết phải thực hiện bao nhiêu phép gần đúng và giả định để đồng ý về độ chính xác này. Không ai đã từng nhìn thấy một điểm tài liệu hoặc đánh hơi khí lý tưởng nhưng chúng! Họ chỉ dễ sống hơn nhiều.

Điểm vật chất là một cơ thể có kích thước và hình dạng có thể bị bỏ qua trong bối cảnh của vấn đề này.

Các phần của cơ học cổ điển

Cơ học bao gồm một số phần

• Động học
• Động lực học
• Tin học

Động học từ quan điểm vật lý, nghiên cứu chính xác cách cơ thể chuyển động. Nói cách khác, phần này đề cập đến đặc điểm định lượng sự chuyển động. Tìm tốc độ, đường đi - nhiệm vụ điển hìnhđộng học

Động lực học giải quyết câu hỏi tại sao nó di chuyển theo cách mà nó hoạt động. Tức là nó coi các lực tác dụng lên cơ thể.

Tin học nghiên cứu trạng thái cân bằng của các vật dưới tác dụng của các lực, tức là nó trả lời câu hỏi: tại sao nó không rơi?

Giới hạn khả năng ứng dụng của cơ học cổ điển.

Cơ học cổ điển không còn tuyên bố là một khoa học giải thích mọi thứ (vào đầu thế kỷ trước, mọi thứ hoàn toàn khác), và có một phạm vi ứng dụng rõ ràng. Nói chung, các định luật của cơ học cổ điển có giá trị đối với thế giới quen thuộc với chúng ta về kích thước (macroworld). Chúng ngừng hoạt động trong trường hợp thế giới của các hạt, khi thế giới cổ điển được thay thế bằng cơ lượng tử. Ngoài ra, cơ học cổ điển không thể áp dụng cho các trường hợp chuyển động của các vật thể xảy ra với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng. Trong những trường hợp như vậy, các hiệu ứng tương đối tính trở nên rõ rệt. Nói một cách đại khái, trong lượng tử và cơ học tương đối tính là cơ học cổ điển trương hợp đặc biệt khi kích thước của vật lớn và tốc độ nhỏ. Bạn có thể tìm hiểu thêm về nó từ bài viết của chúng tôi.

Nói chung, các hiệu ứng lượng tử và tương đối tính không bao giờ biến mất, chúng cũng diễn ra trong quá trình chuyển động thông thường của các vật thể vĩ mô với tốc độ lớn tốc độ thấp hơn Sveta. Một điều nữa là tác động của những hiệu ứng này rất nhỏ nên nó không vượt ra ngoài các phép đo chính xác nhất. Do đó, cơ học cổ điển sẽ không bao giờ mất đi tầm quan trọng cơ bản của nó.

Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu cơ sở vật chất cơ học trong các bài viết sau. Vì hiểu rõ hơn những người thợ máy mà bạn luôn có thể hướng tới, những người tự mình làm sáng tỏ điểm tối của nhiệm vụ khó khăn nhất.

Tin học- Đây là một nhánh của cơ học lý thuyết, nghiên cứu các điều kiện để đạt trạng thái cân bằng của các vật chất dưới tác dụng của các lực.

Ở trạng thái cân bằng, ở trạng thái tĩnh, được hiểu là trạng thái mà tất cả các bộ phận của hệ cơ học đều ở trạng thái nghỉ (so với hệ trục tọa độ cố định). Mặc dù các phương pháp tĩnh học có thể áp dụng cho các vật thể chuyển động và với sự trợ giúp của chúng, người ta có thể nghiên cứu các vấn đề về động lực học, nhưng các đối tượng nghiên cứu cơ bản của tĩnh học là bất động cơ thể máy móc và hệ thống.

Sức mạnh là thước đo tác động của cơ thể này lên cơ thể khác. Lực là một vectơ có điểm ứng dụng trên bề mặt của vật. Dưới lực cơ thể miễn phí nhận một gia tốc tỉ lệ với vectơ lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật.

Quy luật bình đẳng của hành động và phản ứng

Lực mà vật thứ nhất tác dụng lên vật thứ hai là giá trị tuyệt đối và ngược hướng với lực mà vật thứ hai tác dụng lên vật thứ nhất.

Nguyên tắc chữa bệnh

Nếu vật thể biến dạng ở trạng thái cân bằng, thì trạng thái cân bằng của nó sẽ không bị xáo trộn nếu vật đó được coi là hoàn toàn cứng.

Điểm vật liệu tĩnh

Xem xét điểm vật chấtđang ở trạng thái cân bằng. Và để n lực tác dụng lên nó, k = 1, 2, ..., n.

Nếu chất điểm ở trạng thái cân bằng thì vectơ tổng của các lực tác dụng lên nó bằng không:
(1) .

Trong sự cân bằng tổng hình học lực tác dụng lên một điểm bằng không.

Giải thích hình học. Nếu đầu của vectơ thứ hai được đặt ở cuối vectơ thứ nhất và đầu của vectơ thứ ba được đặt ở cuối vectơ thứ hai và sau đó quá trình này được tiếp tục, thì phần cuối của vectơ thứ n cuối cùng sẽ được kết hợp với đầu của vectơ đầu tiên. Tức là, chúng ta nhận được một hình hình học khép kín, độ dài các cạnh của chúng bằng môđun của các vectơ. Nếu tất cả các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng, thì chúng ta nhận được một đa giác đóng.

Nó thường là thuận tiện để lựa chọn hệ thống hình chữ nhật tọa độ Oxyz. Khi đó tổng các hình chiếu của tất cả các vectơ lực trên các trục tọa độ đều bằng không:

Nếu bạn chọn một hướng bất kỳ được xác định bởi một vectơ nào đó, thì tổng các hình chiếu của các vectơ lực lên hướng này bằng không:
.
Chúng tôi nhân phương trình (1) một cách tỉ lệ với vectơ:
.
Nơi đây - sản phẩm vô hướng vectơ và.
Lưu ý rằng hình chiếu của một vectơ lên ​​phương của vectơ được xác định theo công thức:
.

Tĩnh cơ thể cứng nhắc

Mômen của lực đối với một điểm

Xác định mômen của lực

Moment của lực, tác dụng lên vật tại điểm A, so với tâm O cố định, được gọi là vectơ bằng tích vectơ của các vectơ và:
(2) .

Giải thích hình học

Khoảnh khắc của quyền lực bằng với sản phẩm lực F lên cánh tay OH.

Cho các vectơ và nằm trong mặt phẳng của hình. Theo tính chất của tích chéo, vectơ vuông góc với các vectơ và, tức là, vuông góc với mặt phẳng của hình. Hướng của nó được xác định bởi quy tắc vít phải. Trong hình, vectơ mômen hướng về phía chúng ta. Giá trị tuyệt đối khoảng khăc:
.
Kể từ đó
(3) .

Sử dụng hình học, người ta có thể đưa ra một cách giải thích khác về mômen của lực. Để làm điều này, hãy vẽ một đường thẳng AH qua vectơ lực. Từ tâm O ta thả OH vuông góc với đường thẳng này. Độ dài của đoạn vuông góc này được gọi là vai của sức mạnh. sau đó
(4) .
Vì, công thức (3) và (4) là tương đương.

Theo cách này, giá trị tuyệt đối của mômen lực so với tâm O là sản phẩm của lực trên vai lực này so với tâm O đã chọn.

Khi tính toán mômen, người ta thường phân chia lực thành hai thành phần:
,
ở đâu . Lực đi qua điểm O. Do đó, động lượng của nó bằng không. sau đó
.
Giá trị tuyệt đối của thời điểm:
.

Các thành phần mô men trong tọa độ hình chữ nhật

Nếu ta chọn một hệ trục tọa độ hình chữ nhật Oxyz làm trọng tâm tại điểm O thì mômen của lực sẽ có các thành phần sau:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Dưới đây là tọa độ của điểm A trong hệ tọa độ đã chọn:
.
Các thành phần lần lượt là các giá trị của mômen lực tác dụng lên các trục.

Tính chất của mômen lực về tâm

Thời điểm cách tâm O hợp lực đi qua tâm này bằng không.

Nếu điểm tác dụng của lực được dịch chuyển dọc theo một đường thẳng đi qua vectơ lực thì mômen trong quá trình chuyển động đó không thay đổi.

Thời điểm từ tổng vectơ của các lực tác dụng vào một điểm của vật bằng tổng vectơ của các mômen của mỗi lực tác dụng vào cùng một điểm:
.

Điều tương tự cũng áp dụng cho các lực có đường kéo dài cắt nhau tại một điểm. Trong trường hợp này, giao điểm của chúng phải được coi là điểm tác dụng của lực.

Nếu tổng vectơ của các lực bằng không:
,
thì tổng các mômen của các lực này không phụ thuộc vào vị trí của tâm, liên quan đến các mômen đó được tính:
.

Cặp đôi quyền lực

Cặp đôi quyền lực là hai lực, có giá trị tuyệt đối bằng nhau và có hướng ngược nhau, tác dụng lên những điểm khác nhau thân hình.

Một cặp lực được đặc trưng bởi thời điểm chúng tạo ra. Vì tổng vectơ của các lực bao gồm trong cặp bằng 0, nên mômen do cặp đôi tạo ra không phụ thuộc vào điểm tương đối mà mômen đó được tính. Theo quan điểm của cân bằng tĩnh, bản chất của các lực trong cặp là không liên quan. Một cặp lực được dùng để chỉ một thời điểm của lực tác dụng lên vật thể, có giá trị nhất định.

Mômen của lực đối với một trục đã cho

Thường có những trường hợp ta không cần biết tất cả các thành phần của mômen lực về một điểm đã chọn mà chỉ cần biết mômen lực về một trục đã chọn.

Mômen của lực đối với trục đi qua điểm O là hình chiếu của vectơ mômen lực lên điểm O trên phương của trục.

Tính chất của mômen lực đối với trục

Thời điểm kể từ trục quay qua trục này bằng không.

Thời điểm cách một lực song song với trục này một khoảng bằng không.

Tính mômen của lực đối với một trục

Cho một lực tác dụng lên vật tại điểm A. Hãy để chúng tôi tìm mômen của lực này so với trục O′O ′ ′.

Hãy xây dựng một hệ tọa độ hình chữ nhật. Cho trục Oz trùng với O′O ′ ′. Từ điểm A ta thả tia OH vuông góc với O′O ′ ′. Qua các điểm O và A ta vẽ trục Ox. Ta vẽ trục Oy vuông góc với Ox và Oz. Chúng ta phân chia lực thành các thành phần dọc theo các trục của hệ tọa độ:
.
Lực qua trục O′O ′ ′. Do đó, động lượng của nó bằng không. Lực có phương song song với trục O′O ′ ′. Do đó, thời điểm của nó cũng bằng không. Theo công thức (5.3) ta thấy:
.

Lưu ý rằng thành phần hướng tiếp tuyến với đường tròn có tâm là điểm O. Hướng của vectơ được xác định theo quy tắc vít phải.

Điều kiện cân bằng cho một cơ thể cứng

Ở trạng thái cân bằng, vectơ tổng của tất cả các lực tác dụng lên vật bằng không và tổng vectơ mômen của các lực này so với một trọng tâm cố định tùy ý bằng không:
(6.1) ;
(6.2) .

Chúng tôi nhấn mạnh rằng tâm O, liên quan đến các mômen lực được tính toán, có thể được chọn tùy ý. Điểm O có thể thuộc về cơ thể hoặc nằm ngoài nó. Thông thường tâm O được chọn để thực hiện các phép tính dễ dàng hơn.

Các điều kiện cân bằng có thể được xây dựng theo một cách khác.

Ở trạng thái cân bằng, tổng các hình chiếu của các lực theo phương bất kỳ cho bởi vectơ tùy ý, bằng 0:
.
Tổng mômen của các lực đối với một trục tùy ý O′O ′ ′ cũng bằng không:
.

Đôi khi những điều kiện này thuận tiện hơn. Đôi khi, bằng cách chọn trục, các phép tính có thể được thực hiện đơn giản hơn.

Trọng tâm của cơ thể

Hãy xem xét một trong số những lực lượng quan trọng nhất- Trọng lực. Ở đây, lực không được áp dụng trong những điểm nhất định cơ thể, nhưng được phân phối liên tục trên thể tích của nó. Đối với mỗi bộ phận của cơ thể với một khối lượng nhỏ ∆V, lực hấp dẫn tác dụng. Ở đây ρ là khối lượng riêng của vật chất, là gia tốc rơi tự do.

Gọi là khối lượng của một phần nhỏ vô hạn của cơ thể. Và cho điểm A k xác định vị trí của phần này. Chúng ta hãy tìm các đại lượng liên quan đến lực hấp dẫn, được bao gồm trong các phương trình cân bằng (6).

Hãy tìm tổng các lực hấp dẫn do tất cả các bộ phận của cơ thể tạo thành:
,
đâu là khối lượng của cơ thể. Do đó, tổng các lực hấp dẫn của các phần nhỏ riêng lẻ của cơ thể có thể được thay thế bằng một vectơ trọng lực của toàn bộ cơ thể:
.

Hãy tìm tổng mômen của các lực hấp dẫn so với tâm O đã chọn theo một cách tùy ý:

.
Ở đây chúng tôi đã giới thiệu điểm C được gọi là Trung tâm của lực hấp dẫn thân hình. Vị trí của trọng tâm, trong một hệ tọa độ có tâm tại điểm O, được xác định theo công thức:
(7) .

Vì vậy, khi xác định trạng thái cân bằng tĩnh, tổng lực hấp dẫn của các phần riêng lẻ của cơ thể có thể được thay thế bằng kết quả
,
tác dụng lên khối tâm của vật C, vị trí của nó được xác định theo công thức (7).

Vị trí của trọng tâm đối với các hình dạng hình học có thể được tìm thấy trong các hướng dẫn có liên quan. Nếu vật thể có trục hoặc mặt phẳng đối xứng thì trọng tâm nằm trên trục hoặc mặt phẳng này. Vì vậy, trọng tâm của một hình cầu, hình tròn hoặc hình tròn nằm ở tâm của các hình tròn của những hình này. Trọng tâm hình khối, hình chữ nhật hoặc hình vuông cũng nằm ở tâm của chúng - tại các giao điểm của các đường chéo.

Đồng nhất (A) và tuyến tính (B) tải phân phối.

Cũng có những trường hợp tương tự như lực hấp dẫn, khi các lực không được tác dụng vào một số điểm nhất định của cơ thể, mà liên tục phân bố trên bề mặt hoặc thể tích của nó. Lực lượng như vậy được gọi là lực lượng phân tán hoặc .

(Hình A). Ngoài ra, như trong trường hợp trọng lực, nó có thể được thay thế bằng lực kết quả có độ lớn, tác dụng tại trọng tâm của biểu đồ. Vì sơ đồ trong hình A là hình chữ nhật nên trọng tâm của sơ đồ nằm ở tâm của nó - điểm C: | AC | = | CB |.

(hình B). Nó cũng có thể được thay thế bằng kết quả. Giá trị của kết quả bằng diện tích của sơ đồ:
.
Điểm áp dụng là ở trọng tâm của sơ đồ. Trọng tâm của một tam giác, chiều cao h, cách mặt đáy một khoảng. Đó là lý do tại sao.

Lực ma sát

Ma sát trượt. Hãy để cơ thể được trên bề mặt bằng phẳng. Và cho là một lực vuông góc với bề mặt mà bề mặt đó tác dụng lên cơ thể (lực ép). Khi đó lực ma sát trượt có phương song song với bề mặt và hướng sang một bên, cản trở vật chuyển động. Tuyệt vời nhất của cô ấy giá trị là:
,
trong đó f là hệ số ma sát. Hệ số ma sát là một đại lượng không thứ nguyên.

ma sát lăn. Hãy để cơ thể hình tròn cuộn hoặc có thể cuộn trên một bề mặt. Và cho là lực ép vuông góc với bề mặt mà bề mặt đó tác dụng lên cơ thể. Khi đó trên cơ thể, tại điểm tiếp xúc với bề mặt, lực ma sát sẽ tác dụng, ngăn cản chuyển động của cơ thể. Giá trị lớn nhất mômen ma sát bằng:
,
trong đó δ là hệ số ma sát lăn. Nó có thứ nguyên là chiều dài.

Người giới thiệu:
S. M. Targ, Khóa học ngắn hạn cơ học lý thuyết, trường cao học“, Năm 2010.

Ví dụ về giải quyết vấn đề trong cơ học lý thuyết

Tin học

Điều kiện nhiệm vụ

Động học

Động học của một điểm vật liệu

Nhiệm vụ

Xác định tốc độ và gia tốc của một điểm từ phương trình đã cho chuyển động của cô ấy.
Theo phương trình chuyển động của chất điểm đã cho, thiết lập dạng quỹ đạo của nó và tại thời điểm t = 1 giây tìm vị trí của một điểm trên quỹ đạo, tốc độ, tổng, tiếp tuyến của nó và gia tốc bình thường, cũng như bán kính cong của quỹ đạo.
Phương trình chuyển động điểm:
x = 12 sin (πt / 6), cm;
y = 6 cos 2 (πt / 6), cm.

Phân tích động học của một cơ chế phẳng

Nhiệm vụ

Cơ cấu phẳng bao gồm các thanh 1, 2, 3, 4 và thanh trượt E. Các thanh được kết nối với nhau, với các thanh trượt và giá đỡ cố định bằng bản lề hình trụ. Điểm D nằm chính giữa thanh AB. Chiều dài của các thanh lần lượt bằng nhau
l 1 \ u003d 0,4 m; l 2 = 1,2 m; l 3 \ u003d 1,6 m; l 4 \ u003d 0,6 m.

Sự sắp xếp lẫn nhau của các phần tử của cơ chế trong một phiên bản cụ thể của bài toán được xác định bởi các góc α, β, γ, φ, ϑ. Thanh 1 (thanh O 1 A) quay quanh điểm cố định O 1 ngược chiều kim đồng hồ với hằng số vận tốc gócω 1.

Đối với một vị trí nhất định của cơ chế, cần phải xác định:

• tốc độ tuyến tính V A, V B, V D và V E điểm A, B, D, E;
• tốc độ góc ω 2, ω 3 và ω 4 liên kết 2, 3 và 4;
• gia tốc tuyến tính a B điểm B;
• gia tốc góc ε AB của liên kết AB;
• vị trí của các tâm tức thời của tốc độ C 2 và C 3 của liên kết 2 và 3 của cơ cấu.

Xác định tốc độ tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của một điểm

Nhiệm vụ

Sơ đồ dưới đây xét chuyển động của điểm M trong máng của một vật thể quay. Cho phương trình của chuyển động tịnh tiến φ = φ (t) và chuyển động tương đối OM = OM (t), hãy xác định tốc độ tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của chất điểm tại một thời điểm nhất định.

Tải xuống giải pháp >>>

Động lực học

Tích phân phương trình vi phân chuyển động của một chất điểm dưới tác dụng của lực biến thiên

Nhiệm vụ

Chất tải D có khối lượng m, nhận tại điểm A tốc độ ban đầu V 0 chuyển động trong ống cong ABC nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Trên đoạn AB có chiều dài là l, tải chịu tác dụng của lực T không đổi (có phương như hình vẽ) và lực R của lực cản của môi trường (môđun của lực này là R = μV 2, vectơ R có hướng ngược với vận tốc V của tải).

Tải trọng, sau khi hoàn thành chuyển động trên đoạn AB, tại điểm B của đường ống, mà không thay đổi giá trị của môđun vận tốc của nó, sẽ chuyển sang đoạn BC. Trên đoạn BC, một lực F thay đổi được tác dụng lên tải, hình chiếu F x của nó lên trục x.

Coi tải trọng là một chất điểm, tìm quy luật chuyển động của nó trên đoạn BC, tức là x = f (t), trong đó x = BD. Bỏ qua ma sát của tải trọng lên đường ống.

Tải xuống giải pháp >>>

Định lý về sự thay đổi động năng của hệ cơ học

Nhiệm vụ

Hệ thống cơ học bao gồm các quả nặng 1 và 2, một con lăn hình trụ 3, các puli hai tầng 4 và 5. Các thân của hệ thống được nối với nhau bằng các sợi chỉ quấn trên puli; các phần của sợi chỉ song song với các mặt phẳng tương ứng. Con lăn (hình trụ đồng chất rắn) lăn dọc theo mặt phẳng chuẩn mà không bị trượt. Bán kính các bước của ròng rọc 4 và 5 lần lượt là R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Khối lượng của mỗi ròng rọc được coi là phân bố đều dọc theo vành ngoài của nó. Mặt phẳng đỡ của quả nặng 1 và 2 là nhám, hệ số ma sát trượt của mỗi quả nặng là f = 0,1.

Dưới tác dụng của lực F, môđun của nó thay đổi theo định luật F = F (s), trong đó s là độ dời của điểm đặt nó, hệ bắt đầu chuyển từ trạng thái nghỉ. Khi hệ chuyển động, lực cản tác dụng lên ròng rọc 5, mômen cản so với trục quay không đổi và bằng M 5.

Xác định giá trị của vận tốc góc của ròng rọc 4 tại thời điểm mà độ dời s của chất điểm tác dụng lực F bằng s 1 = 1,2 m.

Tải xuống giải pháp >>>

Ứng dụng của phương trình động lực học tổng quát để nghiên cứu chuyển động của một hệ cơ học

Nhiệm vụ

Đối với một hệ cơ học, hãy xác định gia tốc chuyển động thẳng a 1. Coi rằng đối với khối và con lăn, khối lượng được phân bố dọc theo bán kính bên ngoài. Cáp và dây đai được coi là không trọng lượng và không thể uốn nắn; không có trượt giá. Bỏ qua ma sát lăn và trượt.

Tải xuống giải pháp >>>

Ứng dụng của nguyên lý d'Alembert để xác định phản ứng của các giá đỡ của một vật thể quay

Nhiệm vụ

Trục AK thẳng đứng, quay đều với vận tốc góc ω = 10 s -1, được đặt cố định với ổ đỡ tại điểm A và ổ trụ tại điểm D.

Một thanh không khối lượng 1 có chiều dài l 1 = 0,3 m được gắn cứng vào trục, ở đầu tự do có tải trọng khối lượng m 1 = 4 kg và thanh đồng chất 2 có chiều dài l 2 = 0,6 m, có khối lượng m 2 = 8 kg. Cả hai thanh nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng. Các điểm gắn của các thanh với trục, cũng như các góc α và β được chỉ ra trong bảng. Kích thước AB = BD = DE = EK = b, trong đó b = 0,4 m. Lấy tải trọng làm điểm vật liệu.

Bỏ qua khối lượng của trục, xác định các phản lực của ổ đỡ lực đẩy và ổ trục.