Variatsioon on tunnuse väärtuste erinevus antud populatsiooni erinevate üksuste vahel samal perioodil või ajahetkel.

Näiteks erinevad ettevõtte töötajad sissetulekute, tööle kulutatud aja, pikkuse, kaalu, lemmiktegevuse poolest vaba aeg jne.

Variatsioon tuleneb asjaolust, et tunnuse individuaalsed väärtused kujunevad erinevate tegurite (tingimuste) koosmõjul, mis kombineeritakse igas erineval viisil. eraldi juhtum. Seega on iga variandi väärtus objektiivne.

Statistika varieerumise uurimine on teinud suur tähtsus aitab mõista uuritava nähtuse olemust. See on eriti aktuaalne segamajanduse kujunemise perioodil. Variatsiooni mõõtmine, selle põhjuse väljaselgitamine, üksikute tegurite mõju tuvastamine annab oluline teave(näiteks inimeste eluea, elanike sissetulekute ja kulude, ettevõtte finantsseisu jms kohta) teaduslikult põhjendatud juhtimisotsuste tegemiseks.

Keskmine väärtus annab küll üldistava tunnuse uuritava populatsiooni tunnuse kohta, kuid ei paljasta populatsiooni struktuuri, mis on selle teadmiseks väga oluline. Keskmine ei näita, kuidas keskmistatava tunnuse variandid selle läheduses paiknevad, kas nad on koondunud keskmise lähedale või kalduvad sellest oluliselt kõrvale. Tunnuse keskmine väärtus kahes komplektis võib olla sama, kuid ühel juhul erinevad kõik üksikväärtused sellest vähe, teisel juhul on need erinevused suured, s.t. ühel juhul on atribuudi varieeruvus väike, teisel juhul suur, see on keskmise väärtuse usaldusväärsuse iseloomustamiseks väga oluline.

Mida rohkem erinevad populatsiooni üksikute üksuste valikud üksteisest, seda rohkem nad erinevad oma keskmisest ja vastupidi, mida vähem erinevad valikud üksteisest, seda vähem erinevad nad keskmisest, mis sel juhul on rohkem esindavad reaalselt kogu elanikkonda. Seetõttu ei saa mõnel juhul piirduda ühe keskmise arvutamisega. Vaja on ka muid kõrvalekaldeid iseloomustavaid näitajaid. individuaalsed väärtusedüldisest keskmisest.

Seda saab näidata näitega. Oletame, et kaks meeskonda, millest igaüks koosneb kolmest inimesest, teevad sama tööd. Olgu üksikute töötajate poolt vahetuses valmistatud osade, tükkide arv:

esimeses brigaadis - 95, 100, 105 (= 100 ühikut);

teises brigaadis - 75, 100, 125 (= 100 ühikut).

Keskmine toodang töötaja kohta mõlemas meeskonnas on sama ja moodustab = 100 tükki, kuid esimese meeskonna üksikute töötajate toodangu kõikumine on palju väiksem kui teises.

Seetõttu on vaja mõõta tunnuse varieerumist populatsioonides. Selleks kasutatakse statistikas mitmeid üldistavaid näitajaid.

• Ш Variatsiooninäitajate hulka kuuluvad: variatsioonivahemik, keskmine lineaarne hälve, dispersioon ja keskmine standardhälve, variatsioonikoefitsient.
• Ш Tunnuse variatsiooni kõige elementaarsem näitaja on variatsiooni vahemik R, mis on tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse erinevus:

Meie näites on osade vahetustega tootmise varieeruvus: esimeses meeskonnas - R1 = 10 tk. (st 105–95); teises brigaadis - R2 = 50 tk. (st 125 - 75), mis on 5 korda rohkem.

See näitab, et numbrilise võrdsuse korral on esimese brigaadi keskmine toodang "stabiilsem". Variatsioonivahemik võib olla aluseks toodangu kasvu võimalike reservide arvutamisel. Teisel brigaadil on selliseid varusid rohkem, kuna kui kõik töötajad jõuavad selle brigaadi osade toodangu maksimumini, saab ta toota 375 tükki, s.o. (3x125) ja esimeses - ainult 315 tükki, s.o. (3 x 105).

Variatsioonivahemik näitab aga ainult tunnuse äärmuslikke kõrvalekaldeid ja ei kajasta seeria kõikide variantide kõrvalekaldeid. Variatsiooni uurimisel ei saa piirduda ainult selle ulatuse määramisega. Variatsiooni analüüsimiseks on vaja indikaatorit, mis kajastaks kõikuva tunnuse kõikumisi ja annaks üldistatud tunnuse. Seda tüüpi lihtsaim näitaja on keskmine lineaarne hälve

Ш Keskmine lineaarne hälve d on üksikute valikute aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete absoluutväärtuste aritmeetiline keskmine (alati eeldatakse, et valikust lahutatakse keskmine: ().

Keskmine lineaarne hälve:

Grupeerimata andmete jaoks

kus n on seeria liikmete arv;

Rühmitatud andmete jaoks

kus on variatsioonirea sageduste summa.

Valemites (5.18) ja (5.19) võetakse lugeja erinevused modulo, (muidu on lugeja alati null - algebraline summa valikute kõrvalekalded nende aritmeetilisest keskmisest). Seetõttu kasutatakse keskmist lineaarset hälvet tunnuse varieerumise mõõdikuna statistikapraktikas harva (ainult neil juhtudel, kui näitajate liitmine ilma märke arvestamata on majanduslikult mõttekas). Selle abil analüüsitakse näiteks töötajate koosseisu, tootmise rütmi, väliskaubanduse käivet.

Tunnuse dispersioon on keskmine ruut optsioonide kõrvalekalded nende keskmisest väärtusest, arvutatakse lihtsate ja kaalutud dispersioonide valemite abil (olenevalt algandmetest):

§ lihtne dispersioon rühmitamata andmete puhul

§ variatsioonirea kaalutud dispersioon

Valemit (5.21) rakendatakse juhul, kui variantidel on oma kaalud (või variatsioonirea sagedused).

Dispersiooni (5.20) arvutamise valemit saab teisendada, võttes arvesse seda

need. dispersioon võrdub valikute ruutude keskmise ja nende keskmise ruudu vahega.

Dispersiooni arvutamise tehnika valemite (5.20), (5.21) abil on üsna keeruline ja kui suured väärtused valikud ja sagedused võivad olla tülikad.

Arvutamist saab lihtsustada dispersiooni omaduste abil (tõestatud matemaatilises statistikas). Siin on neist kaks:

esimene - kui atribuudi kõiki väärtusi vähendatakse või suurendatakse sama võrra püsiv väärtus Ja siis dispersioon sellest ei muutu;

teine ​​- kui atribuudi kõiki väärtusi vähendatakse või suurendatakse sama arv kordi (i korda), siis dispersioon väheneb või suureneb vastavalt i2 korda. Kasutades dispersiooni teist omadust, jagades kõik valikud intervalli väärtusega, saame järgmise valemi variatsiooniridade dispersiooni arvutamiseks võrdsete ajavahemike järel vastavalt hetkede meetodile:

kus on momentide meetodil arvutatud dispersioon;

i - intervalli väärtus;

valikute uued (teisndatud) väärtused (A on tingimuslik null, mille jaoks on mugav kasutada intervalli keskpunkti, millel on kõrgeim sagedus);

Teise tellimuse hetk;

Esimese järjekorra hetke ruut.

Dispersiooni arvutamine valemiga (5.23) on vähem töömahukas.

Dispersioonil on majandusanalüüsis suur tähtsus. Matemaatilises statistikas oluline roll kvaliteedi iseloomustamiseks statistilised hinnangud mängib nende dispersiooni. Allpool näitame eelkõige dispersiooni lagunemist vastavateks elementideks, mis võimaldavad hinnata mõju erinevaid tegureid, mis põhjustab tunnuse varieerumist; dispersiooni kasutamine korrelatsiooni tugevuse indikaatorite koostamiseks valimivaatluste tulemuste hindamisel.

• Ш Standardhälve võrdub dispersiooni ruutjuurega:
  • § grupeerimata andmete puhul

§ variatsiooniseeria jaoks

Standardhälve on agregaadi tunnuse variatsiooni suuruse üldistav tunnus; see näitab, kui palju konkreetsed optsioonid keskmiselt oma keskmisest väärtusest kõrvale kalduvad; on an absoluutne mõõt atribuudi kõikumine ja seda väljendatakse samades ühikutes nagu variandid, mistõttu on see majanduslikult hästi tõlgendatav.

Tähistame: 1 - meid huvitava tunnuse olemasolu; 0 -- selle puudumine; p on selle tunnusega ühikute osakaal; q - ühikute osakaal, millel seda tunnust ei ole; p+q=1. Arvutame alternatiivse tunnuse keskmise väärtuse ja selle dispersiooni. Alternatiivse funktsiooni keskmine väärtus

variatsiooni keskmine ruutkeskmine

kuna p + q = 1.

Funktsiooni dispersioon

Asendades dispersioonivalemis q \u003d 1-p, saame

Seega = pq -- alternatiivse atribuudi dispersioon on võrdne atribuuti omavate ühikute ja seda atribuuti mitteomavate ühikute osakaalu korrutisega.

Näiteks kui linnaosas on 10 000 elaniku kohta 4500 meest ja 5500 naist, siis

Alternatiivse tunnuse dispersioon = pq = 0,45 * 0,55 = 0,2475.

Alternatiivse tunnuse dispersiooni piirväärtus on 0,25. See saadakse p = 0,5 juures.

Alternatiivse tunnuse standardhälve

Kui näiteks 2% kõigist osadest on defektsed (p = 0,02), siis 98% on head (q = 0,98), siis tagasilükkamise määra dispersioon

0,02- 0,98 = 0,0196.

Abielu osa standardhälve on:

0,14, s.o. = 14%.

Intervalljaotuse seeria keskmiste väärtuste ja dispersiooni arvutamisel tõelised väärtused funktsioonid asendatakse intervallide keskmiste (keskmiste) väärtustega, mis erinevad keskmisest aritmeetilised väärtused sisaldub intervallis. See toob kaasa süstemaatilise vea ilmnemise dispersiooni arvutamisel. WF Sheppard leidis, et rühmitatud andmete kasutamisest põhjustatud dispersiooni arvutamise viga on 1/12 intervalli ruudust (st i2/12) nii ala- kui ka ülehindamise suunas. dispersioon.

Sheppardi parandust tuleks rakendada, kui jaotus on normaalsele lähedane, viitab pideva variatsiooni iseloomuga tunnusele, mis põhineb suurel hulgal algandmetel (n> 500). Kuid lähtuvalt asjaolust, et mitmel juhul neutraliseeritakse ja kompenseerivad mõlemad vastassuunalised vead, on mõnikord võimalik paranduste tegemisest keelduda.

Mida väiksem on dispersiooni ja standardhälbe väärtus, seda homogeensem (kvantitatiivselt) üldkogum ja seda tüüpilisem on keskmine väärtus.

Statistilises praktikas on sageli vaja võrrelda erinevate tunnuste variatsioone. Näiteks, suur huvi esitab töötajate vanuse ja oskuste, tööstaaži ja suuruse erinevuste võrdluse palgad, kulu ja kasum, tööstaaž ja tööviljakus jne. Sest sellised võrdlused atribuutide absoluutse varieeruvuse näitajad ei sobi: aastates väljendatud töökogemuse varieeruvust ei saa võrrelda rublades väljendatud töötasu kõikumisega.

Selliste võrdluste tegemiseks, samuti sama tunnuse kõikumise võrdlemiseks mitmes erineva aritmeetilise keskmisega populatsioonis, kasutatakse suhtelist variatsiooninäitajat - variatsioonikordajat.

Variatsioonikoefitsient on standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhe, väljendatuna protsentides:

Variatsioonikoefitsienti ei kasutata mitte ainult populatsiooni üksuste varieerumise võrdlevaks hindamiseks, vaid ka populatsiooni homogeensuse tunnusena. Kogum loetakse kvantitatiivselt homogeenseks, kui variatsioonikoefitsient ei ületa 33%.

Näitame arvutust erinevaid viise variatsiooninäitajad toodud töörühmade vahetuste väljundi andmete näitel intervallide seeriad jaotused (tabel 5.7).

Arvutage keskmine nihke väljund, tk:

Arvutage väljundi dispersioon vastavalt punktile (5.21):

Leidke standardhälve, tk:

Määratleme variatsioonikoefitsiendi, %:

Seega on see töötajate meeskond väljundi poolest üsna homogeenne, kuna tunnuse varieeruvus on vaid 8%.

Nüüd arvutame dispersiooni valemi (5.22) ja momentide meetodi järgi valemi (5.23) järgi, arvutamiseks kasutame tabeli andmeid. 5.7, veerud 8-11.

Dispersiooni arvutamine valemi (5.20) järgi:

Dispersiooni arvutamine momentide meetodil, vt valemit (5.21):

kus A \u003d 50 on kõrgeima sagedusega keskne variant;

i \u003d 20 - selle seeria intervalli väärtus;

Tabel 5.7

Töötajate jaotus toote A vahetustega toodangus ja arvutatud väärtused variatsiooninäitajate arvutamiseks

Töötajate rühmad vahetustega toodete tootmisel, tk.	Tööliste arv	Intervall x	Hinnangulised väärtused

Nagu näete, on dispersiooni arvutamise meetod hetkemeetodi abil kõige vähem töömahukas.

Keskmised väärtused on üldistavad statistika, mis annavad kokkuvõtliku (lõpliku) iseloomustuse massilistele sotsiaalsetele nähtustele, kuna need on üles ehitatud suur hulk individuaalsed väärtused muutuv märk. Keskmise väärtuse olemuse selgitamiseks on vaja arvestada nende nähtuste märkide väärtuste kujunemise tunnustega, mille järgi keskmine väärtus arvutatakse.

On teada, et iga ühikut massinähtus omavad mitmeid funktsioone. Ükskõik, millise neist märkidest me võtame, on selle üksikute ühikute väärtused erinevad, need muutuvad või, nagu statistikas öeldakse, erinevad ühikuti. Nii et näiteks töötaja töötasu määrab tema kvalifikatsioon, töö iseloom, tööstaaži ja mitmed muud tegurid ning varieerub seetõttu väga laias vahemikus. Kõigi tegurite kumulatiivne mõju määrab iga töötaja töötasu suuruse, samas võib rääkida erinevate majandusharude töötajate keskmisest kuupalgast. Siin töötame muutuja atribuudi tüüpilise iseloomuliku väärtusega, mis viitab suure populatsiooni ühikule.

Keskmine peegeldab seda üldine, mis on tüüpiline kõikidele uuritava populatsiooni üksustele. Samal ajal tasakaalustab see kõigi populatsiooni üksikute üksuste atribuudi suurusele mõjuvate tegurite mõju, justkui tühistades need vastastikku. Iga sotsiaalse nähtuse taseme (või suuruse) määrab kahe tegurite rühma toime. Mõned neist on üldised ja peamised, pidevalt toimivad, tihedalt seotud uuritava nähtuse või protsessi olemusega ja moodustavad selle tüüpiline kõigi uuritava üldkogumi üksuste kohta, mis kajastub keskmises väärtuses. Teised on individuaalne, nende tegevus on vähem väljendunud ja episoodiline, juhuslik tegelane. Nad tegutsevad sisse vastupidine suund, põhjustavad erinevusi populatsiooni üksikute üksuste kvantitatiivsete tunnuste vahel, püüdes muuta uuritavate tunnuste konstantset väärtust. Üksikute märkide tegevus kustub keskmises väärtuses. Tüüpiliste ja individuaalsete tegurite kumulatiivses mõjus, mis on üldistavates omadustes tasakaalustatud ja vastastikku tühistatud, avaldub see üldine vaade aastast tuntud matemaatiline statistika põhiline seadus suured numbrid.

Kokkuvõttes sulanduvad tunnuste individuaalsed väärtused kogukaal ja omamoodi lahustuvad. Seega ja keskmine väärtus toimib "umbisikulisena", mis võib erineda tunnuste individuaalsetest väärtustest, mitte ühegi neist kvantitatiivselt kokku langeda. Keskmine väärtus peegeldab kogu populatsiooni üldist, iseloomulikku ja tüüpilist, mis on tingitud juhuslike, ebatüüpiliste erinevuste vastastikusest tühistamisest selle üksikute üksuste märkide vahel, kuna selle väärtuse määrab justkui kõigi kõigi ühine resultant. põhjused.

Kuid selleks, et keskmine väärtus kajastaks tunnuse kõige tüüpilisemat väärtust, ei tohiks seda määrata ühegi populatsiooni, vaid ainult kvalitatiivselt homogeensetest üksustest koosnevate populatsioonide jaoks. See nõue on keskmiste ja vihjete teaduslikult põhjendatud kohaldamise peamine tingimus tihe ühendus keskmiste meetod ja rühmitamise meetod sotsiaalmajanduslike nähtuste analüüsimisel. Seetõttu on keskmine väärtus üldistav näitaja, mis iseloomustab tüüpiline tase muutuv tunnus homogeense populatsiooni ühiku kohta kindlates koha- ja ajatingimustes.

Seega keskmiste väärtuste olemuse kindlaksmääramisel tuleb rõhutada, et mis tahes keskmise väärtuse õige arvutamine eeldab järgmiste nõuete täitmist:

• populatsiooni kvalitatiivne homogeensus, mille alusel keskmine väärtus arvutatakse. See tähendab, et keskmiste väärtuste arvutamine peaks põhinema rühmitusmeetodil, mis tagab homogeensete, sama tüüpi nähtuste valiku;
• juhuslike, puhtalt individuaalsete põhjuste ja tegurite keskmise väärtuse arvutamise mõju välistamine. See saavutatakse juhul, kui keskmise arvutamise aluseks on piisavalt massiivne materjal, milles avaldub suurte arvude seaduse toimimine ja kõik õnnetused tühistavad üksteist;
• keskmise väärtuse arvutamisel on oluline paika panna selle arvutamise eesmärk ja nn defineeriv näitaja-tel(omand), millele see peaks olema orienteeritud.

Määrav näitaja võib toimida keskmistatud tunnuse väärtuste summana, selle summana vastastikused väärtused, selle väärtuste korrutis jne. Määrava indikaatori ja keskmise väärtuse suhet väljendatakse järgmiselt: kui kõik keskmistatud atribuudi väärtused asendatakse keskmise väärtusega, siis nende summa või korrutis sel juhul ei muutu muutke määravat indikaatorit. Selle määrava indikaatori seose põhjal keskmise väärtusega ehitatakse algväärtus. suhe keskmise väärtuse otseseks arvutamiseks. Keskmiste võimet säilitada statistiliste üldkogumite omadusi nimetatakse vara määratlemine.

Rahvastiku kui terviku kohta arvutatud keskmist väärtust nimetatakse üldine keskmine; iga rühma jaoks arvutatud keskmised väärtused - rühma keskmised.Üldine keskmine peegeldab ühiseid jooni uuritavast nähtusest grupi keskmine iseloomustab nähtust, mis areneb antud rühma spetsiifilistes tingimustes.

Arvutusmeetodid võivad olla erinevad, seetõttu eristatakse statistikas mitut tüüpi keskmisi, millest peamised on aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine ja geomeetriline keskmine.

Majandusanalüüsis on keskmiste kasutamine tulemuste hindamise peamiseks vahendiks. teaduse ja tehnoloogia arengut, seltskondlikud üritused, majandusarengu reservide otsimine. Samas tuleb meeles pidada, et liialdamine keskmised võivad majandus- ja statistilise analüüsi tegemisel viia kallutatud järeldusteni. See on tingitud asjaolust, et keskmised väärtused, olles üldistavad näitajad, tühistavad ja ignoreerivad rahvastiku üksikute üksuste kvantitatiivsete omaduste erinevusi, mis tõesti eksisteerivad ja võivad pakkuda iseseisvat huvi.

Keskmiste tüübid

Statistikas kasutatakse erinevat tüüpi keskmisi, mis jagunevad kahte suurde klassi:

• võimsuse keskmised (harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine, aritmeetiline keskmine, keskmine ruut, keskmine kuup);
• struktuursed keskmised (mood, mediaan).

Arvutada jõud tähendab tuleb kasutada kõiki olemasolevaid iseloomulikke väärtusi. Mood ja mediaan on määratud ainult jaotusstruktuuriga, seetõttu nimetatakse neid struktuurseteks, positsioonilisteks keskmisteks. Mediaani ja režiimi kasutatakse sageli kui keskmine omadus nendes populatsioonides, kus keskmise võimsuse arvutamine on võimatu või ebaotstarbekas.

Kõige tavalisem keskmise tüüp on aritmeetiline keskmine. Under aritmeetiline keskmine all mõistetakse atribuudi väärtust, mis populatsiooni igal üksusel oleks, kui Üldine tulemus atribuudi kõigist väärtustest jaotati ühtlaselt kõigi elanikkonna üksuste vahel. Selle väärtuse arvutamine taandatakse muutuja atribuudi kõigi väärtuste liitmiseks ja saadud summa jagamiseks kokku koondühikud. Näiteks viis töötajat täitsid osade valmistamise tellimuse, samas kui esimene tootis 5 osa, teine ​​- 7, kolmas - 4, neljas - 10, viies - 12. Kuna iga variandi väärtus esines ainult üks kord. algandmetes tuleks ühe töötaja keskmise toodangu määramiseks kasutada lihtsat aritmeetilise keskmise valemit:

st meie näites on ühe töötaja keskmine toodang võrdne

Koos lihtsa aritmeetilise keskmisega õpivad nad kaalutud aritmeetiline keskmine. Näiteks arvutame keskmine vanusõpilased 20-liikmelises rühmas, kelle vanus jääb vahemikku 18–22, kus xi- keskmistatud tunnuse variandid, fi- sagedus, mis näitab, mitu korda see esineb i-th väärtus kokkuvõttes (tabel 5.1).

Tabel 5.1

Õpilaste keskmine vanus

Kaalutud aritmeetilise keskmise valemi rakendamisel saame:

Kaalutud aritmeetilise keskmise valimiseks kehtib kindel reegel: kui kahe näitaja kohta on andmeseeria, millest ühe jaoks on vaja arvutada

keskmine väärtus ja samal ajal selle loogilise valemi nimetaja arvväärtused on teada ja lugeja väärtused on teadmata, kuid need on leitavad korrutisena. need näitajad, siis tuleks keskmine väärtus arvutada aritmeetilise kaalutud keskmise valemi abil.

Mõnel juhul on esialgsete statistiliste andmete olemus selline, et aritmeetilise keskmise arvutamine kaotab oma mõtte ja ainsaks üldistavaks näitajaks saab olla ainult teist tüüpi keskmine väärtus - keskmine harmooniline. Praeguseks on aritmeetilise keskmise arvutuslikud omadused üldistavate statistiliste näitajate arvutamisel kaotanud oma tähtsuse seoses elektrooniliste arvutite laialdase kasutuselevõtuga. suur praktiline väärtus omandanud keskmise harmooniline väärtus, mis on samuti lihtne ja kaalutud. Kui loogilise valemi lugeja arvväärtused on teada ja nimetaja väärtused on teadmata, kuid neid saab leida ühe indikaatori jagatisena teise näitajaga, siis arvutatakse keskmine väärtus kaalutud harmoonilise järgi. keskmine valem.

Näiteks andke teada, et auto läbis esimesed 210 km kiirusega 70 km/h ja ülejäänud 150 km kiirusega 75 km/h. Auto keskmist kiirust kogu 360 km pikkuse teekonna jooksul on aritmeetilise keskmise valemiga võimatu määrata. Kuna valikud on kiirused sisse lülitatud eraldi sektsioonid xj= 70 km/h ja X2= 75 km/h ja raskusi (fi) loetakse tee vastavateks lõikudeks, siis ei ole optsioonide kaalude korrutistel ei füüsilist ega majanduslik mõte. AT sel juhul tähenduse omandavad teelõikude vastavateks kiirusteks jagamise murdosad (valikud xi), st üksikute teelõikude läbimiseks kuluv aeg (fi / xi). Kui tee lõigud on tähistatud tähega fi, siis väljendatakse kogu teekonda Σfi ja kogu teele kulunud aega väljendatakse Σ fi / xi , Siis saab keskmise kiiruse leida kogu vahemaa jagatis kogu kulutatud ajaga:

Meie näites saame:

Kui kõigi valikute (f) keskmine harmooniline kaal on võrdsed, võite kaalutud harmoonilise massi asemel kasutada lihtne (kaaluta) harmooniline keskmine:

kus xi - individuaalsed valikud; n- keskmistatud tunnuse variantide arv. Kiiruse näites saab rakendada lihtsat harmoonilist keskmist, kui erinevatel kiirustel läbitud tee lõigud oleksid võrdsed.

Iga keskmine väärtus tuleks arvutada nii, et kui see asendab iga keskmistatud tunnuse varianti, siis mõne lõpliku üldistava näitaja väärtus, mis on seotud keskmistatud näitajaga, ei muutuks. Seega, kui asendada tegelikud kiirused tee üksikutel lõikudel nende keskmise väärtusega ( keskmine kiirus) ei tohiks kogu vahemaad muuta.

Keskmise väärtuse vormi (valemi) määrab selle lõppnäitaja ja keskmistatud näitaja suhte olemus (mehhanism), seega lõppnäitaja, mille väärtus ei tohiks muutuda, kui valikud asendatakse nende keskmise väärtusega. , kutsutakse määrav näitaja. Keskmise valemi tuletamiseks peate koostama ja lahendama võrrandi, kasutades keskmistatud indikaatori suhet määrava näitajaga. See võrrand konstrueeritakse, asendades keskmistatud tunnuse (indikaatori) variandid nende keskmise väärtusega.

Lisaks aritmeetilisele keskmisele ja harmoonilisele keskmisele kasutatakse statistikas ka muid keskmise liike (vorme). Kõik need on erijuhtumid. kraadi keskmine. Kui arvutame samade andmete jaoks igat tüüpi võimsusseaduse keskmised, siis väärtused

need on samad, kehtib siin reegel majoraan keskmine. Kui keskmise eksponent suureneb, suureneb ka keskmine ise. Kõige sagedamini kasutatav aastal praktiline uurimine arvutusvalemid mitmesugused võimsuse keskmised on esitatud tabelis. 5.2.

Tabel 5.2

Geomeetrilist keskmist rakendatakse võimaluse korral. n kasvufaktorid, samas kui tunnuse individuaalsed väärtused on reeglina dünaamika suhtelised väärtused, mis on üles ehitatud ahelväärtuste kujul, suhtena dünaamikaseeria iga taseme eelmise tasemega. Keskmine iseloomustab seega keskmine koefitsient kasvu. geomeetriline keskmine lihtne arvutatakse valemiga

Valem geomeetriline keskmine kaalutud Sellel on järgmine vaade:

Ülaltoodud valemid on identsed, kuid ühte rakendatakse praeguste koefitsientide või kasvumäärade korral ja teist - seeria tasemete absoluutväärtuste korral.

ruutkeskmine kasutatakse kogustega arvutamisel ruudu funktsioonid, kasutatakse tunnuse individuaalsete väärtuste kõikumise määra mõõtmiseks jaotusrea aritmeetilise keskmise ümber ja see arvutatakse valemiga

Kaalutud keskmine ruut arvutatakse erineva valemi abil:

Keskmine kuup kasutatakse kogustega arvutamisel kuupfunktsioonid ja arvutatakse valemiga

kaalutud keskmine kuup:

Kõiki ülaltoodud keskmisi väärtusi saab esitada üldvalemina:

kus on keskmine väärtus; - individuaalne väärtus; n- uuritava üldkogumi ühikute arv; k- eksponent, mis määrab keskmise tüübi.

Kui kasutada samu lähteandmeid, seda rohkem k sisse üldine valem võimsuse keskmine, seda suurem on keskmine. Sellest järeldub, et võimu väärtuste vahel on korrapärane seos:

Ülalkirjeldatud keskmised väärtused annavad üldistatud ettekujutuse uuritavast populatsioonist ning sellest vaatenurgast on nende teoreetiline, rakenduslik ja kognitiivne tähtsus vaieldamatu. Kuid juhtub, et keskmise väärtus ei ühti ühegi tegelikuga olemasolevaid valikuid Seetõttu on statistilises analüüsis lisaks vaadeldavatele keskmistele soovitatav kasutada konkreetsete valikute väärtusi, mis asuvad järjestatud (järjestatud) iseloomulike väärtuste seerias täpselt määratletud positsioonil. Nendest kogustest on kõige sagedamini kasutatavad struktuurne, või kirjeldav, keskmine- režiim (Mo) ja mediaan (Me).

Mood- selles populatsioonis kõige sagedamini esineva tunnuse väärtus. Variatsiooniridade puhul on režiim järjestatud seeria kõige sagedamini esinev väärtus, st kõrgeima sagedusega variant. Moe järgi saab määrata enimkülastatud kauplusi, mis tahes toote kõige levinumat hinda. See näitab olulisele osale elanikkonnast iseloomuliku tunnuse suurust ja määratakse valemiga

kus x0 on intervalli alumine piir; h- intervalli väärtus; fm- intervallide sagedus; fm_ 1 - eelmise intervalli sagedus; fm+ 1 - järgmise intervalli sagedus.

Mediaan nimetatakse rea keskel asuvat varianti. Mediaan jagab rea kaheks võrdseks osaks nii, et selle mõlemal küljel on sama arv rahvastikuühikuid. Samas on ühes pooltes populatsiooniüksustes muutuja atribuudi väärtus mediaanist väiksem, teises pooles sellest suurem. Mediaani kasutatakse, kui uuritakse elementi, mille väärtus on suurem või võrdne või samaaegselt väiksem või võrdne poolte jaotusrea elementidega. Mediaan annab üldine idee selle kohta, kuhu objekti väärtused on koondunud, teisisõnu, kus asub nende keskpunkt.

Mediaani kirjeldav iseloom väljendub selles, et see iseloomustab varieeruva atribuudi väärtuste kvantitatiivset piiri, mis on pooltel rahvastikuüksustest. Diskreetse variatsioonirea mediaani leidmise probleem lahendatakse lihtsalt. Kui kõik seeria ühikud on antud järjekorranumbrid, siis on mediaanvariandi järjekorranumber (n + 1) / 2 paaritu arvu liikmetega n. Kui seeria liikmete arv on paarisarv, on mediaan kahe keskmine väärtus seerianumbritega variandid n/ 2 ja n / 2 + 1.

Intervalli variatsioonirea mediaani määramisel määratakse kõigepealt kindlaks intervall, milles see asub (mediaanintervall). Seda intervalli iseloomustab asjaolu, et selle sageduste akumuleeritud summa on võrdne või ületab poole seeria kõigi sageduste summast. Intervallide variatsioonirea mediaani arvutamine toimub valemi järgi

kus X0- intervalli alumine piir; h- intervalli väärtus; fm- intervallide sagedus; f- sarja liikmete arv;

∫m-1 – sellele eelnenud jada akumuleeritud liikmete summa.

Koos mediaaniga rohkem täielikud omadused uuritud populatsiooni struktuurid kasutavad ka muid valikute väärtusi, mis on järjestatud seerias üsna kindlal kohal. Need sisaldavad kvartiilid ja detsiilid. Kvartiilid jagavad seeria sageduste summaga 4 võrdseks osaks ja detsiilid - 10-ks võrdsetes osades. Seal on kolm kvartiili ja üheksa detsiili.

Mediaan ja režiim, erinevalt aritmeetilisest keskmisest, ei tühista individuaalsed erinevused muutuja atribuudi väärtustes ja on seetõttu täiendavad ja väga olulised omadused statistiline agregaat. Praktikas kasutatakse neid sageli keskmise asemel või koos sellega. Mediaani ja mooduse arvutamine on eriti otstarbekas neil juhtudel, kui uuritav üldkogum sisaldab teatud arvu ühikuid, mille muutuja atribuudi väärtus on väga suur või väga väike. Need valikuvõimaluste väärtused, mis ei ole üldsusele väga iseloomulikud, mõjutavad küll aritmeetilise keskmise väärtust, kuid ei mõjuta mediaani ja režiimi väärtusi, mistõttu on viimased majandusliku ja statistilise analüüsi jaoks väga väärtuslikud näitajad. .

Variatsiooninäitajad

eesmärk statistiline uuring on paljastav põhiomadused ja uuritud statistilise üldkogumi mustrid. Koondandmete töötlemise protsessis statistiline vaatlus ehitavad jaotusliinid. Jaotusseeriaid on kahte tüüpi – omistatav ja variatsiooniline, olenevalt sellest, kas rühmitamise aluseks võetud atribuut on kvalitatiivne või kvantitatiivne.

variatsiooniline nimetatakse kvantitatiivsel alusel üles ehitatud jaotussarjadeks. Väärtused kvantitatiivsed tunnusedüksikute üksuste puhul ei ole koondnäitajad konstantsed, need erinevad üksteisest enam-vähem. Seda tunnuse väärtuse erinevust nimetatakse variatsioonid. Eraldi arvväärtusi nimetatakse tunnuseid, mis esinevad uuritavas populatsioonis väärtusvalikud. Variatsiooni olemasolu populatsiooni üksikutes üksustes on tingitud mõjust suur hulk tunnuse taseme kujunemist mõjutavad tegurid. Märkide olemuse ja varieerumisastme uurimine populatsiooni üksikutes üksustes on kriitiline probleem mis tahes statistiline uuring. Variatsiooninäitajaid kasutatakse tunnuste varieeruvuse mõõtmise kirjeldamiseks.

Teine oluline ülesanne statistilised uuringud on üksikute tegurite või nende rühmade rolli kindlaksmääramine populatsiooni teatud tunnuste varieerumises. Selle probleemi lahendamiseks statistikas spetsiaalsed meetodid variatsiooniuuringud, mis põhinevad variatsiooni mõõtva tulemuskaardi kasutamisel. Praktikas seisab uurija silmitsi piisavalt suur kogus atribuudi väärtuste valikud, mis ei anna aimu ühikute jaotusest atribuudi väärtuse järgi agregaadis. Selleks on kõik atribuutide väärtuste variandid järjestatud kasvavas või kahanevas järjekorras. Seda protsessi nimetatakse rea järjestus. Järjestatud seeria annab kohe üldise ettekujutuse väärtustest, mida see funktsioon koondväärtusena võtab.

Keskmise väärtuse ebapiisavus populatsiooni ammendavaks iseloomustamiseks tingib vajaduse täiendada keskmisi väärtusi näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse kõikumist (variatsiooni). Nende variatsiooninäitajate kasutamine võimaldab muuta statistilise analüüsi terviklikumaks ja sisukamaks ning seeläbi paremini mõista uuritavate sotsiaalsete nähtuste olemust.

kõige poolt lihtsad märgid variatsioonid on miinimum ja maksimaalne - on väikseim ja kõrgeim väärtus omadus kokkuvõttes. Nimetatakse tunnusväärtuste üksikute variantide korduste arvu kordussagedus. Tähistagem tunnuse väärtuse kordumise sagedust fi, sageduste summa, mis võrdub uuritava populatsiooni mahuga, on:

kus k- atribuutide väärtuste variantide arv. Sagedusi on mugav asendada sagedustega - w.i. Sagedus- suhtelise sageduse indikaator - saab väljendada ühiku murdosa või protsentides ja võimaldab võrrelda variatsiooniseeriaid erinev number tähelepanekud. Formaalselt on meil:

Tunnumuse varieerumise mõõtmiseks kasutatakse erinevaid absoluutseid ja suhteline jõudlus. Variatsiooni absoluutnäitajad hõlmavad keskmist lineaarhälvet, variatsioonivahemikku, dispersiooni, standardhälvet.

Laiuse variatsioon(R) on erinevuse tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahel uuritud populatsioonis: R= Xmax – Xmin. See indikaator annab ainult kõige üldisema ettekujutuse uuritava tunnuse kõikumisest, kuna see näitab erinevust ainult valikute äärmuslike väärtuste vahel. See ei ole täielikult seotud variatsioonirea sagedustega, st jaotuse olemusega ja selle sõltuvus võib anda sellele ebastabiilse juhusliku iseloomu ainult siis, kui äärmuslikud väärtused märk. Variatsioonivahemik ei anna mingit teavet uuritud populatsioonide tunnuste kohta ega võimalda hinnata saadud keskmiste väärtuste tüüpilisuse astet. Selle indikaatori ulatus on piiratud üsna homogeensete populatsioonidega, täpsemalt iseloomustab see tunnuse varieerumist, indikaatorit, mis põhineb tunnuse kõigi väärtuste varieeruvuse arvestamisel.

Tunnuse varieerumise iseloomustamiseks on vaja üldistada kõigi väärtuste kõrvalekalded mis tahes väärtustest, mis on tüüpilised uuritavale populatsioonile. Sellised näitajad

variatsioonid, nagu keskmine lineaarne hälve, dispersioon ja standardhälve, põhinevad populatsiooni üksikute ühikute atribuudi väärtuste kõrvalekallete arvestamisel aritmeetilisest keskmisest.

Keskmine lineaarne hälve on üksikute valikute aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete absoluutväärtuste aritmeetiline keskmine:

variandi aritmeetilisest keskmisest kõrvalekalde absoluutväärtus (moodul); f- sagedus.

Esimest valemit rakendatakse juhul, kui kõik valikud esinevad kokkuvõttes ainult üks kord ja teist - ebavõrdsete sagedustega järjestikku.

On veel üks võimalus keskmistada valikute kõrvalekaldeid aritmeetilisest keskmisest. See statistikas väga levinud meetod taandub optsioonide ruutude kõrvalekallete arvutamisele keskmisest ja seejärel nende keskmistamisest. Sel juhul saame uue variatsiooninäitaja – dispersiooni.

Dispersioon(σ 2) - tunnuste väärtuste variantide ruutude keskmine nende keskmisest väärtusest:

Teist valemit kasutatakse juhul, kui variantidel on oma kaalud (või variatsioonirea sagedused).

Majanduslikus ja statistilises analüüsis on tavaks hinnata atribuudi varieerumist kõige sagedamini standardhälbe abil. Standardhälve(σ) on dispersiooni ruutjuur:

Keskmine lineaar- ja ruuthälve näitab, kui palju kõigub atribuudi väärtus keskmiselt uuritava üldkogumi ühikute puhul, ja väljendatakse samades ühikutes nagu variandid.

Statistilises praktikas on sageli vaja võrrelda erinevate tunnuste varieerumist. Näiteks pakub suurt huvi võrrelda töötajate vanuse ja kvalifikatsiooni, tööstaaži ja töötasu jm erinevusi. Sellisteks võrdlusteks ei sobi märkide absoluutse varieeruvuse näitajad – keskmine lineaar- ja standardhälve. . Aastates väljendatud töökogemuse kõikumist on tegelikult võimatu võrrelda rublades ja kopikates väljendatud töötasu kõikumisega.

Erinevate tunnuste varieeruvuse võrdlemisel agregaadis on mugav kasutada suhtelisi variatsiooninäitajaid. Need näitajad arvutatakse absoluutnäitajate ja aritmeetilise keskmise (või mediaani) suhtena. Kasutades as absoluutne näitaja variatsioonid, variatsioonivahemik, keskmine lineaarhälve, standardhälve, saad suhtelise kõikumise näitajad:

Kõige sagedamini kasutatav suhtelise volatiilsuse näitaja, mis iseloomustab populatsiooni homogeensust. Hulk loetakse homogeenseks, kui variatsioonikoefitsient ei ületa normaallähedaste jaotuste puhul 33%.

Üldine teooria statistika: loengukonspektid Nina Vladimirovna Konik

LOENG №5. Keskmised väärtused ja variatsiooninäitajad

1. Keskmised väärtused ja üldised põhimõtted nende arvutused

Keskmised väärtused viitavad üldistavatele statistilistele näitajatele, mis annavad kokkuvõtliku (lõpliku) tunnuse massilistele sotsiaalsetele nähtustele, kuna need on üles ehitatud suure hulga erineva atribuudi individuaalsete väärtuste põhjal. Keskmise väärtuse olemuse selgitamiseks on vaja arvestada nende nähtuste märkide väärtuste kujunemise tunnustega, mille järgi keskmine väärtus arvutatakse.

On teada, et iga massinähtuse ühikutel on arvukalt tunnuseid. Ükskõik milline neist märkidest võetakse, on selle üksikute ühikute väärtused erinevad, need muutuvad või, nagu statistikas öeldakse, erinevad ühikuti. Nii et näiteks töötaja töötasu määrab tema kvalifikatsioon, töö iseloom, tööstaaži ja mitmed muud tegurid ning varieerub seetõttu väga laias vahemikus. Kõigi tegurite kumulatiivne mõju määrab iga töötaja töötasu suuruse. Sellest hoolimata saame rääkida erinevate majandusharude töötajate keskmisest kuupalgast. Siin töötame muutuja atribuudi tüüpilise iseloomuliku väärtusega, mis viitab suure populatsiooni ühikule.

Keskmine väärtus peegeldab üldist, mis on iseloomulik kõigile uuritava üldkogumi üksustele. Samal ajal tasakaalustab see kõigi populatsiooni üksikute üksuste atribuudi suurusele mõjuvate tegurite mõju, justkui tühistades need vastastikku. Iga sotsiaalse nähtuse taseme (või suuruse) määrab kahe tegurite rühma toime. Mõned neist on üldised ja põhilised, pidevalt toimivad, uuritava nähtuse või protsessi olemusega tihedalt seotud ning moodustavad kõigile uuritava üldkogumi üksustele omase, mis kajastub keskmises väärtuses. Teised on individuaalsed, nende tegevus on vähem väljendunud ja episoodiline, juhuslik. Need toimivad vastupidises suunas, põhjustavad erinevusi populatsiooni üksikute üksuste kvantitatiivsete omaduste vahel, püüdes muuta uuritavate tunnuste konstantset väärtust. Üksikute märkide tegevus kustub keskmises väärtuses. Tüüpiliste ja individuaalsete tegurite kumulatiivses mõjus, mis üldistavates tunnustes on tasakaalus ja vastastikku tühistatud, avaldub matemaatilisest statistikast tuntud suurte arvude põhiseadus üldkujul.

Kokkuvõttes sulanduvad märkide üksikud väärtused ühiseks massiks ja justkui lahustuvad. Seega toimib keskmine "umbisikulise" väärtusena, mis võib erineda tunnuste individuaalsetest väärtustest, mitte ühegi neist kvantitatiivselt kokku langeda. Seega peegeldab keskmine kogu populatsiooni üldist, iseloomulikku ja tüüpilist, mis on tingitud juhuslike, ebatüüpiliste erinevuste vastastikusest tühistamisest selle üksikute ühikute märkide vahel, kuna selle väärtuse määrab justkui ühine resultant kõik põhjused.

Kuid selleks, et keskmine kajastaks tunnuse kõige tüüpilisemat väärtust, ei tohiks seda määrata ühegi populatsiooni, vaid ainult kvalitatiivselt homogeensetest üksustest koosnevate populatsioonide kohta. See nõue on keskmiste teaduslikult põhjendatud rakendamise põhitingimus ning eeldab sotsiaalmajanduslike nähtuste analüüsimisel keskmiste meetodi ja rühmitamismeetodi tihedat seost.

Seega keskmine väärtus- see on üldnäitaja, mis iseloomustab muutuva tunnuse tüüpilist taset homogeense populatsiooni ühiku kohta kindlates koha- ja ajatingimustes.

Sel viisil keskmiste olemust määratledes tuleb rõhutada, et iga keskmise õige arvutamine eeldab järgmiste nõuete täitmist:

1) selle üldkogumi kvalitatiivne homogeensus, mille kohta keskmine arvutatakse. Erineva kvaliteediga (erinevat tüüpi) nähtuste keskmise arvutamine on vastuolus keskmise olemusega, kuna selliste nähtuste areng on allutatud erinevatele, mitte üldistele seadustele ja põhjustele. See tähendab, et keskmiste väärtuste arvutamine peaks põhinema rühmitusmeetodil, mis tagab homogeensete, sama tüüpi nähtuste valiku;

2) juhuslike, puht-individuaalsete põhjuste ja tegurite keskmise väärtuse arvutamisel mõjutamise välistamine. See saavutatakse juhul, kui keskmise arvutamise aluseks on piisavalt massiivne materjal, milles avaldub suurte arvude seaduse toimimine ja kõik õnnetused tühistavad üksteist;

3) keskmise väärtuse arvutamisel on oluline paika panna selle arvutamise eesmärk ja nn määrav näitaja (omadus), millele see peaks olema orienteeritud. Määrav näitaja võib toimida keskmistatud atribuudi väärtuste summana, selle vastastikuste väärtuste summana, väärtuste korrutisena jne. Määrava näitaja ja keskmise vahelist suhet väljendatakse järgmiselt: kui kõik väärtused on keskmistatud atribuudist asendatakse nende keskmise väärtusega, siis summa või tootejuhtum, määravat näitajat ei muudeta. Selle määrava näitaja seose alusel keskmise väärtusega koostatakse esialgne kvantitatiivne suhe keskmise väärtuse otseseks arvutamiseks. Keskmiste võimet säilitada statistiliste üldkogumite omadusi nimetatakse defineerivaks omaduseks.

Rahvastiku kui terviku kohta arvutatud keskmist nimetatakse üldkeskmiseks, iga rühma kohta arvutatud keskmisi nimetatakse rühma keskmisteks. Üldkeskmine peegeldab uuritava nähtuse üldisi tunnuseid, grupi keskmine annab tunnuse nähtuse suurusele, mis kujuneb välja selle rühma spetsiifilistes tingimustes.

Arvutusmeetodid võivad olla erinevad ja sellega seoses eristatakse statistikas mitut tüüpi keskmisi, millest peamised on aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine ja geomeetriline keskmine.

Majandusanalüüsis on keskmiste kasutamine tõhus vahend teaduse ja tehnika arengu tulemuste, sotsiaalsete meetmete hindamiseks ning majandusarengu varjatud ja kasutamata reservide leidmiseks.

Samas tuleb meeles pidada, et liigne keskendumine keskmistele võib viia majandus- ja statistilise analüüsi tegemisel kallutatud järeldusteni. See on tingitud asjaolust, et keskmised väärtused, olles üldistavad näitajad, tühistavad ja ignoreerivad rahvastiku üksikute üksuste kvantitatiivsete omaduste erinevusi, mis tõesti eksisteerivad ja võivad pakkuda iseseisvat huvi.

Raamatust Rohkem, kui tead. Ebatavaline välimus rahandusmaailma autor Mauboussin Michael

Peatükk 24 Ekstrapoleerimine Kummardamine Hinna/tulu keskmiste väärtuste kasutamine on rumal Selleks, et ajaloolised keskmised oleksid kasulikud, peavad nende aluseks olevad andmed pärinema samast populatsioonist. Vastasel juhul, kui andmed pärinevad

Raamatust Ajalugu majandusdoktriinid: loengukonspektid autor Eliseeva Jelena Leonidovna

LOENG nr 15. Majandusareng Venemaa keskajal 1. Põhjused ja tagajärjed feodaalne killustatus. Feodaalse maaomandi kasvu periood poliitiline killustatus tuli XII-XV sajandil. See on loomulik ajalooline etapp feodalismi arengus. Üks neist

autor Štšerbina Lidia Vladimirovna

23. Keskmised väärtused ja nende arvutamise üldpõhimõtted

Raamatust Statistika üldteooria autor Štšerbina Lidia Vladimirovna

26. Variatsiooninäitajad Variatsioon viitab kvantitatiivsel alusel koostatud jaotussarjadele. Rahvastiku üksikute üksuste kvantitatiivsete tunnuste väärtused ei ole püsivad, need erinevad üksteisest enam-vähem. Selline märgi n s väärtuse erinevus

Raamatust Statistika üldteooria autor Štšerbina Lidia Vladimirovna

54. Dünaamika keskmised näitajad Aja jooksul ei muutu mitte ainult nähtuste tasemed, vaid ka nende dünaamika näitajad - absoluutsed kasvu- ja arengumäärad. Seetõttu arengu üldistavaks tunnuseks, tüüpiliste põhisuundade väljaselgitamiseks ja mõõtmiseks ning

autor Konik Nina Vladimirovna

LOENG nr 4. Statistilised kogused ja näitajad 1. Statistiliste näitajate ja väärtuste eesmärk ja liigid Statistiliste näitajate olemus ja sisu vastavad nendele majandus- ja sotsiaalsed nähtused ja neid peegeldavad protsessid. Kõik majanduslikud ja

Raamatust Üldine statistikateooria: loengukonspektid autor Konik Nina Vladimirovna

1. Keskmised väärtused ja nende arvutamise üldpõhimõtted

Raamatust Üldine statistikateooria: loengukonspektid autor Konik Nina Vladimirovna

3. Variatsiooninäitajad Statistilise uuringu eesmärk on selgitada välja uuritava statistilise üldkogumi peamised omadused ja mustrid. Statistiliste vaatlusandmete koondtöötluse käigus koostatakse jaotusread. On kahte tüüpi ridu

Raamatust Üldine statistikateooria: loengukonspektid autor Konik Nina Vladimirovna

3. Dünaamika keskmised näitajad Aja jooksul ei muutu mitte ainult nähtuste tasemed, vaid ka nende dünaamika näitajad – absoluutsed kasud ja arengumäärad. Seetõttu arengukarakteristikute kokkuvõtmiseks, tuvastada ja mõõta tüüpilisi põhisuundumusi ja

Raamatust Majandusanalüüs. petulehed autor Olševskaja Natalja

59. Suhtelised ja keskmised väärtused>Majandusanalüüs algab sisuliselt suhtelise väärtuse arvutamisega. Suhtelised suurused on dünaamiliste nähtuste analüüsimisel asendamatud. On selge, et neid nähtusi saab väljendada absoluutväärtused, vaid arusaadavus

Raamatust Statistika teooria autor

31. Struktuursed keskmised. Mode ja mediaan Statistilise üldkogumi struktuuri iseloomustamiseks kasutatakse näitajaid, mida nimetatakse struktuurseteks keskmisteks. Nende hulka kuuluvad režiim ja mediaan. Režiim (Mo) on kõige levinum valik. Režiimi nimetatakse

Raamatust The Art of Communication in Network Marketing autor Piz Alan

Reegel nr 5: parandage oma keskmisi kindlustusäri, mõistsin, et iga kord, kui võtsin telefoni ja rääkisin mõne kliendiga, teenisin 30 dollarit. Kümnest kõnest viis ei tundunud mulle siiski kõige parem number, sest

autor Burkhanova Inessa Viktorovna

LOENG nr 7. Keskmised väärtused 1. Üldiseloomustus Analüüsimiseks ja statistiliste järelduste tegemiseks arvutatakse kokkuvõtete ja rühmituste tulemustest üldnäitajad - keskmised ja suhtelised väärtused Keskmiste väärtuste ülesanne on iseloomustada kõiki ühikut

Raamatust Theory of Statistics: Lecture Notes autor Burkhanova Inessa Viktorovna

3. Struktuursed keskmised. Mode ja mediaan Statistilise üldkogumi struktuuri iseloomustamiseks kasutatakse näitajaid, mida nimetatakse struktuurseteks keskmisteks. Nende hulka kuuluvad režiim ja mediaan. Režiim (Mo) on kõige levinum valik. Mood kutsutakse

Raamatust Theory of Statistics: Lecture Notes autor Burkhanova Inessa Viktorovna

LOENG nr 8. Variatsiooninäitajad 1. Variatsiooni mõiste Tunnuse individuaalsete väärtuste erinevust uuritava populatsiooni piires statistikas nimetatakse tunnuse variatsiooniks. See tekib seetõttu, et selle individuaalsed väärtused liidetakse kogusumma alla

Raamatust Performance. saladusi tõhus käitumine autor Stuart Kotze Robin

Üksikisiku käitumisprofiili keskmised keskmised peidavad alati erinevusi Eelnevad graafikud näitavad müügimeeskondade keskmist käitumist ja keskmine tase kliendigrupi käitumuslikud ootused ja väärtused. Joonisel fig. 14.5 müügistiil

Vastavalt valikuuringu tehti hoiustajate rühmitus linna Sberbanki hoiuse suuruse järgi:

Määratlege:

1) variatsiooni ulatus;

2) keskmine suurus panus;

3) keskmine lineaarhälve;

4) hajutamine;

5) standardhälve;

6) sissemaksete variatsioonikoefitsient.

Otsus:

See jaotusseeria sisaldab avatud intervalle. Sellistes seeriates eeldatakse, et esimese rühma intervalli väärtus on võrdne järgmise intervalli väärtusega ja viimase rühma intervalli väärtus on võrdne eelmise rühma intervalli väärtusega. üks.

Teise rühma intervalli väärtus on 200, seega on ka esimese grupi väärtus 200. Eelviimase rühma intervalli väärtus on 200, mis tähendab, et ka viimane intervall on 200-ga võrdne.

1) Defineeri variatsioonivahemik kui erinevus suurima ja suurima vahel väikseim väärtus märk:

Sissemakse suuruse varieeruvus on 1000 rubla.

2) Osamakse keskmine suurus määratakse aritmeetilise kaalutud keskmise valemiga.

Esialgu määratleme diskreetne kogus funktsioon igas intervallis. Selleks leiame lihtsa aritmeetilise keskmise valemi abil intervallide keskpunktid.

Esimese intervalli keskmine väärtus on võrdne:

teine ​​- 500 jne.

Paneme arvutuste tulemused tabelisse:

Sissemakse summa, hõõruda.	Kaastööliste arv, f	Intervalli keskpunkt, x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Kokku	400	-	312000

Keskmine tagatisraha linna Sberbankis on 780 rubla:

3) Keskmine lineaarne hälve on atribuudi üksikute väärtuste absoluutsete kõrvalekallete aritmeetiline keskmine kogukeskmisest:

Intervalljaotuse seeria keskmise lineaarse hälbe arvutamise protseduur on järgmine:

1. Aritmeetiline kaalutud keskmine arvutatakse vastavalt lõikele 2).

2. Määratakse variandi absoluutsed kõrvalekalded keskmisest:

3. Saadud hälbed korrutatakse sagedustega:

4. Kaalutud hälvete summa leitakse märki arvestamata:

5. Kaalutud hälvete summa jagatakse sageduste summaga:

Mugav on kasutada arvutatud andmete tabelit:

Sissemakse summa, hõõruda.	Kaastööliste arv, f	Intervalli keskpunkt, x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Kokku	400	-	-	-	81280

Sberbanki klientide hoiuse suuruse keskmine lineaarne kõrvalekalle on 203,2 rubla.

4) Dispersioon on iga tunnuse väärtuse aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete ruudus aritmeetiline keskmine.

Dispersiooni arvutamine in intervallide seeriad jaotus tehakse järgmise valemi järgi:

Sel juhul on dispersiooni arvutamise protseduur järgmine:

1. Määrake aritmeetiline kaalutud keskmine, nagu on näidatud lõikes 2).

2. Leidke kõrvalekalded keskmisest:

3. Iga valiku hälbe keskmisest ruudustamiseks:

4. Korrutage kõrvalekalded ruudus kaalude (sagedustega):

5. Tee laekunud töödest kokkuvõte:

6. Saadud summa jagatakse kaalude (sageduste) summaga:

Paneme arvutused tabelisse:

Sissemakse summa, hõõruda.	Kaastööliste arv, f	Intervalli keskpunkt, x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Kokku	400	-	-	-	23040000

Keskmise mõiste on enamikule inimestest hästi teada. Tavaliselt tajutakse keskmist väärtust paljude ühikute väärtuste ühise tunnuse peegeldusena. Sellised on näiteks riigi elaniku keskmine vanus, pere keskmine suurus piirkonnas ja ettevõtte keskmine kasum.

Tõesti, keskmine väärtus - see on objektide kogumi tunnuse üldistatud hinnang, mis peegeldab selle iseloomulikku väärtust. iseloomulik väärtus fikseerib tunnuse tüüpilise väärtuse, mis väljendab antud objektide rühma unikaalsust ja selle erinevust teiste rühmade tunnuse väärtustest.

Näiteks töötajate keskmine palk aastal erinevad tüübid tegevus Venemaal ulatus 2015. aastal tuhande rublani. :

• Põllumajandus - 19,5;
• kaevandamine - 63,7;
• töötlev tööstus - 31,8;
• ehitus - 29.9.

AT erinevad tasemed makse, s.t. Töötaja erinevas keskmises palgas avalduvad töökorralduse tunnused eri tüüpi tegevustes ja lõppkokkuvõttes konkreetse töö sotsiaalne tunnustus.

Ülaltoodud näites on toodud keskmised, mis on arvutatud sama tüüpi tegevusobjektidest koosnevate rühmade kohta ja mida selles mõttes võib nimetada homogeenseteks. Sarnased keskmine helistas Grupp. Need on huvitavad selle poolest, et on seotud konkreetsete objektide ja nende olemasolu tingimustega. Kui arvutada rühma keskmised, siis samadel töötingimustel toimub näiteks juhuslike põhjuste mõju palgale vastastikune tühistamine. Samas arvutamisel rühma keskmine eriliste, spetsiifiliste tingimuste mõju tugevneb, kuna need toimivad pidevalt ja ühes suunas. Rühma keskmine peegeldab homogeensete objektide tunnuseid ja tühistab juhuslikkuse. Just neil põhjustel leiavad rühmade keskmised laialdast praktilist rakendust.

Kui rääkida üldisest keskmisest, kuid komplektist, mis sisaldab mitut homogeensed rühmad, siis kui see on arvutatud, mõju mitte ainult juhuslik, vaid ka rühma omadused. Seega oli riigi majanduses hõivatud inimese keskmine palk 2015. aastal kokku 34 tuhat rubla. See ei kajasta tasustamise tunnuseid erinevat tüüpi tegevustes, vaid ainult näitab üldine tase MAJANDUSALAS töötav palk.

Võrdleme erinevate tegevusalade töötajate keskmist töötasu aastatel 2010 ja 2015. Venemaa majanduses (tabel 6.1).

Tabel 6.1

Keskmine palk erinevatel tegevusaladel ja selle muutused,

Allikas: Venemaa arvudes. 2016. Tab. 7.7.

Keskmiste muutumise kiiruses tegevusliikide lõikes, s.o. rühmade keskmistes avalduvad erilised palgamuutuste mustrid: vahemikus 1,41-1,82 korda. Võrreldes üldkeskmise muutust, teeme kindlaks riigi majanduse palgataseme muutuste üldise mustri: tõus 1,62 korda.

Põhjalik analüüs hõlmab üldiste ja rühmade keskmiste ühiskasutust: see võimaldab teil iseloomustada üldised mustrid areng ja nende avaldumise tunnused konkreetsetes tingimustes.

Keskmine arvutatakse kahes etapis. Esimesel etapil on see üldistus uuritud tunnuste individuaalsed väärtused komplektis, mis koosneb Pühikud: (x-). Teisel etapil tulemus jagatud nende paljude vahel Pühikud: (x,) + P - X.

Atribuudi y väärtuste üldistamisel P hulga objektid (x,) toimub juhuslike põhjuste mõju vastastikune tühistamine ja mittejuhuslike süstemaatiliste tegurite mõju tugevneb. Tunnuse üldistatud väärtuse jaotamisel vahel P komplekti ühikud (x; -) P määratakse selle ühe abstraktse ühiku keskmine tüüpiline väärtus x y. Selle tulemusena saame homogeensete objektide rühma kohta kas rühma keskmise: (x; )-n P\u003d x või kogu uuritava komplekti üldine keskmine (x,) -r- P= x.

Keskmiste arvutamiseks on mitu võimalust, mis erinevad üldistamise ja jaotuse järjekorra poolest.

Aritmeetiline keskmine võtab kokku individuaalsed väärtused x f liitmise teel ja ühtlane jaotus - jagades q summa arvuga

arvutusse kaasatud ühikud:

Aritmeetilise keskmise sagedane kasutamine on tingitud sellest erilised omadused, mis muudavad selle arvutamise lihtsamaks ja tulemuse kergesti kontrollitavaks.

Atribuutide väärtuste aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete summa on null:

Kui iseloomulikud väärtused X, muutke arvuks L, seejärel aritmeetikaks

keskmine muutub sama numbri võrra:

Kui iseloomulikud väärtused X, suurendada sisse AGA korda, siis aritmeetiline keskmine suureneb võrra AGAüks kord:

Kui iseloomulikud väärtused Xj sisse vähendama AGA korda, siis väheneb ka aritmeetiline keskmine

Keskmine harmooniline kasutatakse juhtudel, kui arvutus tehakse uuritava tunnusega seotud tunnuse väärtuste põhjal pöördvõrdeline seos, st. tingimusel, et V määratud iseloomulike väärtustega

Näiteks väljund töötaja kohta:

Tootmisühiku töömahukuse näitaja:

Tootmise ja tööjõumahukuse näitajad on pöördvõrdelises seoses: . Seetõttu tuleks tööjõusisendi väärtuste järgi keskmise toodangu arvutamisel kasutada harmoonilist keskmist

ruutkeskmine kasutatakse juhtudel, kui märgi A/ väärtuste summeerimisel on vaja vältida nulltulemust, kuna ruudud arvutavad keskmise: , ja saadud tulemusest

keskmine võta ruutjuur:

Enamasti kasutatakse ruutkeskmist variatsioonimäärade ja komplektstruktuuride erinevuste hinnangute arvutamiseks.

Geomeetriline keskmine võtab tunnuste väärtused arvutamise teel kokku

nende tööd: , ja tulemusest ekstraheeritakse

juur P aste:

Kõige loogilisemalt põhjendatud on geomeetrilise keskmise kasutamine keskmise kasvukiiruse arvutamisel ahela kasvumääradest:

Selgitab keskmiste arvutamise erinev järjekord erinevaid tähendusi tulemus. Keskmiste väärtuste ülekaalu omadus määrab keskmise väärtuse sõltuvuse selle astme eksponendist: mida kõrgem on keskmise eksponent, seda suurem on selle väärtus. Iga vaadeldav keskmine on teatud tüüpi võimsuse keskmine (tabel 6.2).

Tabel 6.2

Keskmiste vormid

Keskmise kujuga	Arvutusvalem	Keskmine eksponent (id)
ruutkeskne
Aritmeetika
Geomeetriline
harmooniline

Suurema kinnistu illustreerimiseks toimigem rahvastikuandmete järgi föderaalringkonnad Erinevate keskmiste RF arvutamine (tabel 6.3).

Ülaltoodud näide kinnitab, et keskmise astme suurenemisega: väikseimast - harmoonilise, suurimani - ruutkeskmise korral suureneb keskmise väärtus. Vahendite ülekaalu omadust saab esitada ebavõrdsusena: V

Majorsuse omadusest järeldub järeldus, et keskmise arvutamise meetodi valik ei saa olla meelevaldne. See peaks põhinema lähteandmete semantilisel sisul ja rakendustingimustel. konkreetne vorm keskmine.

On teada, et kasvukiiruse üldistamiseks kasutatakse geomeetrilist keskmist ja ruutkeskmist juhtudel, kui atribuudi väärtuste summa on null. Seetõttu on kõige populaarsemad tavad keskmiste aritmeetilised ja harmoonilised vormid.

Kõrval erireeglid keskmised arvutatakse uuritud tunnuste absoluutsete ja suhteliste väärtuste põhjal. Mõelge keskmiste arvutamise funktsioonidele Vene Föderatsiooni 2014. aasta föderaalringkondade andmete näitel (tabel 6.4).

Tabelis. 6.4 kasutatakse järgmisi märke ja nende tähistusi.

Majanduses hõivatud inimeste arv föderaalringkond, miljonit inimest Р,.

Hõivatu protsent föderaalringkonna kogurahvastikust, % - С,.

Moodustab jaekaubanduse käivet aastas keskmiselt föderaalringkonna elaniku kohta, tuhat rubla. - T g

Arvestavad investeeringud keskmiselt ühe föderaalringkonna majanduses hõivatu kohta, tuhat rubla. - R r

Tabel 63

Arvutus keskmine rahvaarv Vene Föderatsiooni föderaalringkondade elanikkonnast, kasutades erinevaid keskmisi

Föderaalne	elanikkonnast elanikkonnast
Keskne
Loode
Põhja-Kaukaasia
Volga
Uural

Föderaalne	Rahvaarv 01.01.2016 seisuga
Siberi
Kaug-Ida
krimmi
				I 196 529 418,1
Ruutkeskmine (vt valemit (6.1))
Aritmeetiline keskmine (vt valemit (6.2))
Geomeetriline keskmine (vt valemit (6.3))
Harmooniline keskmine (vt valemit (6.4))

Allikas: Venemaa arvudes. 2016. Tab. 1.3.

Atribuudi absoluutväärtuste eripära on see, et need on otseselt seotud populatsiooni ühikuga ja määravad selle absoluutsuuruse. Näiteks föderaalringkonna kui komplekti ühiku puhul on absoluutväärtusteks rahvaarv, töötajate arv, valmistatud toodete maksumus, põhikapitali maksumus, kasum toodete müügist jne. Antud märgid on otseselt seotud föderaalringkonnaga, kutsutakse esmane ja nende väärtuste järgi on võimalik määrata iga uuritava objekti mõõtmed. Nende tunnuste absoluutväärtuste töötlemisel võetakse täpselt arvesse iga ühiku suurust ja seetõttu ei ole nende väärtuste üldistamisel otsese summeerimise teel mingeid piiranguid. Keskmist, mille arvutamisel ühe atribuudi väärtusi töödeldakse, nimetatakse lihtsaks. Näiteks ühe föderaalringkonna majanduses hõivatud inimeste keskmise arvu arvutamiseks kasutatakse lihtkeskmist (tabel 6.4).

Tabel 6.4

Keskmiste väärtuste arvutamine majandusnäitajad vastavalt föderaalsele

Vene Föderatsiooni ringkonnad, 2014

föderaalringkond	Majanduses hõivatud inimeste arv, miljon inimest	Tööga hõivatute arv % kogu rahvastikust	Arvestab jaekaubanduse käivet aastas keskmiselt elaniku kohta, tuhat rubla.	Arvestab investeeringuid keskmiselt ühe majanduses hõivatu kohta, tuhat rubla.
Keskne
Loe! i
Se vsro - Ka in kazs k ja y
Volga
Uural
Siberi
Kaug-Ida
Tähendab

Allikas: Venemaa arvudes. 2016. Tab. 1.3.

Märge: märk "x" tähendab, et seda lahtrit ei täideta.

Arvutamine toimub järgmise valemi järgi:

Föderaalringkonna majanduses töötas 2014. aastal keskmiselt 8,5 miljonit inimest.

Suhteliste väärtuste keskmised määratakse, kuid keerulisemas skeemis. Suhteliste väärtuste eripära on see, et need ei ole otseselt seotud uuritavate ühikute suurusega ja ilma selle arvestamiseta on täpse keskmise arvutamine tavaliselt võimatu. Sellistel juhtudel tuleks arvutusse kaasata karakteristikute lisaväärtused, mis kajastavad iga uuritava üksuse absoluutmõõtmeid. Keskmise arvutamisel lisaks uuritavale lisatunnus või kaal, seega nimetatakse keskmist kaalutuks. Kaalutud keskmise arvutamisel toimib kaaluna alati absoluutne tunnus või esmane tunnus. Kaal võimaldab arvestada iga ühiku absoluutmõõtmetega ja tagab keskmise täpse väärtuse arvutamise.

Antud näites on karakteristikud C, G ja suhtelised, seega pole nende väärtuste otsene liitmine lubatud. Nende keskmiste väärtuste arvutamise skeemi kindlaksmääramiseks kehtestame nende individuaalsete väärtuste arvutamise korra.

Tööga hõivatud inimeste osakaal rahvastikust arvutatakse järgmise valemi järgi: AT arvutusvalem

elanikkond on probleemi olukorra järgi teadmata. Määramiseks

väljendame selle väärtusi töötavate P arvuna ja teadaolevad väärtused protsenti hõivatutest kogu elanikkonnast C,:

või

Rahvaarvu määramiseks miljonites inimestes on vaja jagada majanduses hõivatud inimeste arv P nende osakaaluga kogurahvastikust C,. Seetõttu on vaja teisendada C väärtused protsentidest ühiku murdosadeks:

Arvutame täiendavalt arvutatud veerus oleva üldkogumi tundmatu väärtuse (tabel 6.5, veerg 2).

Töötavate P arvu ja koguarvu teadaolevate väärtustega

elanikkonnast on töötajate osakaalu arvutamisel kirja kujul vorm

Üldine keskmine Koos arvutatakse sama skeemi järgi kui tunnuse C,- individuaalsed väärtused. Ainus erinevus seisneb selles, et üldkeskmise arvutamisel Koos kasutatakse võrreldavate tunnuste lõppväärtusi: töötajate arv, miljon inimest ja kogurahvastik, miljon inimest See tähendab, et üldkeskmise arvutamine Koos aga kaheksa

föderaalringkondades teostatakse vastavalt valemile

Venemaa majanduse suhteliste näitajate keskmiste väärtuste arvutamine 2014. aastal

Tabel 6.5

föderaalringkond	Aasta keskmine majanduses hõivatud inimeste arv, miljon inimest	elanikkonnast % kogu elanikkonnast	Rahvaarv kokku, miljon inimest	Moodustab jaekaubanduse käivet aastas keskmiselt elaniku kohta, tuhat ov6.	Aasta jaekaubanduse käive miljard rubla	Arvestab investeeringuid keskmiselt töötaja kohta, tuhat rubla.	Aasta investeeringud majandusse, miljard rubla
			R g 100%		r g t g t%
Keskne
Loode
Põhja-Kaukaasia
Volga
Uural
Siberi
Kaug-Ida
Aritmeetiline keskmine
Keskmine harmooniline

Koostatud ja arvutatud vastavalt: Venemaa arvudes. 2016. Tab. 1.3.

Venemaa majandusteaduses oli 2014. aastal hõivatud elanikkonna osatähtsus kogurahvastikust keskmiselt 47,2%. Arvestus tehti vastavalt harmooniline kaalutud keskmine, milles kaal oli peamine märk P t - majanduses hõivatud inimeste arv.

Sarnane põhjendus on kahe teise suhtelise tunnuse keskmiste väärtuste arvutamise aluseks: keskmine maksumus jaekaubanduse käive elaniku kohta, T tuhat rubla ja keskmine investeeringute maksumus töötaja kohta, R tuhat rubla.

Jaekaubanduse käibe maksumuse individuaalsed väärtused elaniku kohta, tuhat rubla, on arvutatud aasta jaekaubanduse käibe (miljard rubla) võrdlemise tulemusena kogurahvastikuga, miljonit inimest:

Probleemi seisu järgi on jaekaubanduse käibe väärtus teadmata. Seetõttu väljendame jaekaubanduse käibe tundmatuid väärtusi üldrahvastiku teadaolevate väärtuste ja probleemi seisukorras antud väärtuste kaudu T g Soovitav jaekaubanduskäive (kaubakäive) on kogurahvastiku ja kaubakäibe väärtuse korrutis elaniku kohta:

Jaekaubanduse käibe väärtust mõõdetakse miljardites rublades, kuna selle arvutamisel korrutatakse elanike arv miljonis inimese kohta käiva käibega tuhandetes rublades.

Määrame aasta jaekaubanduse käibe teadmata väärtused gr. 5 sakk. 6.5.

Jaekaubanduse käibe üldise keskmise väärtuse arvutamine elaniku kohta, tuhat rubla, T, teostame vastavalt käibesumma koguväärtustele

jaekaubandus, miljard rubla, ja koguarv

rahvaarv, miljon inimest, . Arvutusvalemil on vorm

2014. aastal elaniku kohta aastal Venemaa Föderatsioon moodustas keskmiselt 181,5 tuhat rubla. jaemüügi käive. Arvutamisel kasutati aritmeetilist kaalutud keskmist ja kaalud on absoluutväärtused kogu tugevus elanikkond:

Investeeringute maksumuse arvutamiseks töötaja kohta on vaja võrrelda investeeringute maksumust, miljardit rubla, majanduses hõivatud inimeste arvuga, miljonit inimest:

Tingimuse kohaselt on investeeringute maksumus teadmata, seetõttu on selle väärtuste arvutamiseks vaja investeeringuid väljendada töötajate arvu teadaolevate väärtuste kaudu pj ja investeeringute väärtuste kaudu ühe hõivatu kohta /?, mis on antud probleemi tingimuses:

Count tundmatu väärtus kogu summa teeme investeeringuid gr. 7 vahekaart. 6.5.

Investeeringute kogusumma arvutatud väärtused võimaldavad määrata investeeringute individuaalsed väärtused töötaja kohta vastavalt valemile

Venemaa Föderatsiooni kui terviku puhul keskmine investeeringute väärtus ühe hõivatu kohta To arvutame aasta investeeringu summa suhtena? /? R töötajate koguarvule

2014. aastal moodustasid investeeringud töötaja kohta keskmiselt 198,8 tuhat rubla. Arvutamisel kasutati kaalutud aritmeetilist keskmist, kaalud on töötajate arvu absoluutväärtused.

Keskmiste arvutamise viimane etapp on tulemuse õigsuse kontrollimine. Loogiline kontrollimine põhineb tunnuse individuaalsete väärtuste arvutamise skeemi analüüsil ja tunnuse kaalu tähenduse määramisel. Loendamiskontroll määrab, kas keskmine on vahemikus minimaalsest kuni maksimaalne väärtus uuritud omadus. Kui tingimus X mjn siis on keskmise arvutamine õige. Kui see tingimus ei ole täidetud, on arvutuses vigu, mis tuleb tuvastada ja parandada.

Meie näites (vt tabel 6.5) on see tingimus täidetud kõigi arvutatud keskmiste väärtuste puhul:

lihtne aritmeetika R= 8,5, 3,3 P

kaalutud harmooniline Koos= 47,2, 36,3 C 53,2;

kaalutud aritmeetika T = 181,5, 134,7 T

kaalutud aritmeetika R= 198,8, 142,9R383,3.

See tähendab, et keskmiste määramisel arvutusvigu ei tehtud ning kaalutud keskmiste kasutamine keskmiste arvutamisel alates suhtelised väärtused võimaldas meil arvesse võtta uuritavate üksuste – Vene Föderatsiooni föderaalringkondade – suurust.

Kokkuvõtteks tuletame meelde keskmiste arvutamise põhireegleid.

Atribuudi absoluutväärtuste põhjal saame arvutada lihtsa keskmise. Reeglina kasutatakse enamasti aritmeetilist keskmist. Näiteks arvutamine R.

Suhteliste väärtuste järgi tehakse arvutus, kuid kaalutud keskmisega, milles kaalud on esmase tunnuse absoluutväärtused, mis on tähenduselt seotud uuritava tunnusega. Näiteks arvutamine S, T ja R.

Kaaluna kasutatakse atribuudi väärtusi, mille alusel väärtused arvutatakse. suhtelised väärtused sekundaarne märk. Kaalu saab kuvada üsna lihtsalt, nagu näiteks arvutamisel Koos ja R, kus kaaluna kasutatakse töötajate arvu R g Kuid sellel võib olla ka keeruline ekraan, nagu näiteks Г arvutamisel, mille kaal

oli kogu elanikkond. Olenemata sellest, kuidas seda kuvatakse

märk-kaal, peaks see alati olema uuritava objekti absoluutne hinnang.

Keskmise vormi valik piirdub enamikul juhtudel aritmeetilise või harmoonilisega, kuna ruut- ja geomeetrilist vormi kasutatakse ainult rangelt määratletud juhtudel.

Keskmise aritmeetilist kuju kasutatakse juhtudel, kui kõnealuse ülesande tingimus ei sisalda uuritava tunnusega otseselt seotud tunnuse väärtusi, s.t. kui üksikväärtuste arvutusvalemis puudub teave selle lugeja kohta. Näiteks oleks P arvutamine, T ja R.

Kui arvutusvalemis ei ole andmeid suhte nimetaja kohta, siis kasutatakse harmoonilist keskmist. Sel juhul seostatakse uuritav tunnus tundmatu tunnusega pöördseosega, nagu näiteks arvutamisel KOOS.

Õigesti teostatud arvutused võimaldavad saada täpseid keskmisi väärtusi, mis kajastavad tunnuse iseloomulikku väärtust ja pakuvad huvi analüütiliste ja ennustavate probleemide lahendamisel.

• Vaata: Venemaa numbrites. 2016. Vahekaart. 7.7.