Uurimismeetodid dispersioonkorrelatsioonianalüüs. ANOVA MEETODID

Dispersioonanalüüs

Dispersioonanalüüs- see on tunnuse varieeruvuse analüüs mis tahes kontrollitud muutuva faktori mõjul. Väliskirjanduses nimetatakse dispersioonanalüüsi sageli ANOVA-ks, mis tõlkes tähendab dispersioonanalüüsi (Analysis of Variance).

Dispersioonanalüüsi ülesanne seisneb erinevat tüüpi varieeruvuse eraldamises tunnuse üldisest varieeruvusest:

a) varieeruvus iga uuritud sõltumatu muutuja toimest;

b) uuritud sõltumatute muutujate koosmõjust tulenev varieeruvus;

c) kõikidest muudest tundmatutest muutujatest tingitud juhuslik variatsioon.

Uuritud muutujate toimest ja nende vastasmõjust tulenev varieeruvus korreleerub juhusliku varieeruvusega. Selle suhte näitajaks on Fisheri F-test.

Kriteeriumi F arvutamise valem sisaldab dispersioonide hinnanguid ehk tunnuse jaotusparameetreid, seetõttu on kriteerium F parameetriline kriteerium.

Kui sisse rohkem tunnuse muutlikkus on tingitud uuritavatest muutujatest (teguritest) või nende vastasmõjust, seda suurem kriteeriumi empiirilised väärtused.

Null dispersioonanalüüsi hüpotees ütleb, et uuritud efektiivse tunnuse keskmised väärtused kõigis astmetes on samad.

Alternatiivne hüpotees väidab, et efektiivse atribuudi keskmised väärtused uuritava teguri erinevates astmetes on erinevad.

Dispersioonanalüüs võimaldab meil väita tunnuse muutust, kuid ei näita suunas need muudatused.

Alustame dispersioonanalüüsi kõige lihtsama juhtumiga, kui uurime ainult tegevust üks muutuja (üks tegur).

2. Mitteseotud valimite ühesuunaline dispersioonanalüüs

2.1. Meetodi eesmärk

Ühefaktorilise dispersioonanalüüsi meetodit kasutatakse juhtudel, kui efektiivse atribuudi muutusi uuritakse muutuvate tingimuste või mis tahes teguri gradatsiooni mõjul. Meetodi selles versioonis on teguri iga gradatsiooni mõju mitmesugused katsealuste näidis. Teguri astmeid peab olema vähemalt kolm. (Astmeid võib olla kaks, kuid sel juhul ei saa me luua mittelineaarseid sõltuvusi ja tundub mõistlikum kasutada lihtsamaid).

Seda tüüpi analüüsi mitteparameetriline variant on Kruskal-Wallis H test.

Hüpoteesid

H 0: erinevused faktorite klasside vahel (erinevad tingimused) ei ole rohkem väljendunud kui juhuslikud erinevused igas rühmas.

H 1: erinevused faktorite gradatsioonide (erinevate tingimuste) vahel on rohkem väljendunud kui juhuslikud erinevused iga rühma sees.

2.2. Sõltumatute valimite ühemõõtmelise dispersioonanalüüsi piirangud

1. Ühemõõtmeline dispersioonanalüüs eeldab vähemalt kolme teguri gradatsiooni ja vähemalt kahte ainet igas astmes.

2. Tulemuseks olev tunnus peab uuritavas valimis olema normaalselt jaotunud.

Tõsi, enamasti ei näidata, kas räägime mingi tunnuse jaotusest kogu uuritavas valimis või selle selles osas, mis moodustab dispersioonikompleksi.

3. Näide probleemi lahendamisest sõltumatute valimite ühefaktorilise dispersioonanalüüsi meetodil, kasutades näidet:

Kolm erinevat kuuest ainest koosnevat rühma said kümnesõnalised nimekirjad. Esimesele rühmale esitati sõnu madala kiirusega 1 sõna 5 sekundis, teisele rühmale keskmiselt 1 sõna 2 sekundis ja kolmandale rühmale suure kiirusega 1 sõna sekundis. Eeldati, et reprodutseerimise jõudlus sõltub sõna esitamise kiirusest. Tulemused on esitatud tabelis. üks.

Reprodutseeritud sõnade arv Tabel 1

teema number	madal kiirus	keskmine kiirus	suur kiirus








kogu summa

H 0: Sõna mahu erinevused vahel rühmad ei ole rohkem väljendunud kui juhuslikud erinevused sees iga rühm.

H1: Erinevused sõnade mahus vahel rühmad on rohkem väljendunud kui juhuslikud erinevused sees iga rühm. Tabelis esitatud eksperimentaalsete väärtuste kasutamine. 1, määrame kindlaks mõned väärtused, mida on vaja kriteeriumi F arvutamiseks.

Ühesuunalise dispersioonanalüüsi põhisuuruste arvutamine on toodud tabelis:

tabel 2

Tabel 3

Toimingute jada lahtiühendatud proovide ühesuunalises ANOVA-s

Selles ja järgmistes tabelites sageli kasutatav tähistus SS on "ruutude summa" lühend. Seda lühendit kasutatakse kõige sagedamini tõlkeallikates.

SS fakt tähendab tunnuse muutlikkust, mis on tingitud uuritava teguri toimest;

SS levinud- tunnuse üldine varieeruvus;

S CA- varieeruvus, mis tuleneb arvesse võtmata teguritest, "juhuslik" või "jääk" varieeruvus.

PRL - "keskmine ruut" ehk ruutude summa keskmine, vastava SS keskmine väärtus.

df - vabadusastmete arv, mida mitteparameetrilisi kriteeriume arvesse võttes tähistasime kreeka tähega v.

Järeldus: H 0 lükatakse tagasi. H 1 on aktsepteeritud. Rühmadevahelised erinevused sõnade reprodutseerimise mahus on selgemad kui juhuslikud erinevused iga rühma sees (α=0,05). Niisiis mõjutab sõnade esituskiirus nende reprodutseerimise mahtu.

Allpool on toodud näide probleemi lahendamisest Excelis:

Algandmed:

Kasutades käsku: Tööriistad->Andmeanalüüs->Ühesuunaline dispersioonanalüüs, saame järgmised tulemused:

Eespool käsitletud kontrollimeetodid statistilised hüpoteesid kahe keskmise erinevuse olulisuse kohta praktikas on vähe kasutust. See on tingitud asjaolust, et kõigi võimalike tingimuste ja tegurite mõju tuvastamiseks tootlikule atribuudile on väli ja laboratoorsed katsed reeglina tehakse mitte kahe, vaid suurema hulga proovide (1220 või enama) abil.

Sageli võrdlevad teadlased mitme kombineeritud proovi keskmisi üks kompleks. Näiteks mõju uurimine mitmesugused ja väetiste doosid saagikuse kohta, katseid korratakse erinevaid valikuid. Nendel juhtudel muutub paariline võrdlemine tülikaks ning kogu kompleksi statistiline analüüs eeldab spetsiaalse meetodi kasutamist. Seda matemaatilises statistikas välja töötatud meetodit nimetatakse dispersioonanalüüsiks. Seda kasutas esmakordselt inglise statistik R. Fisher agronoomiliste katsete tulemuste töötlemisel (1938).

Dispersioonanalüüs on meetod statistiline hindamine efektiivtunnuse sõltuvuse avaldumise usaldusväärsus ühest või mitmest tegurist. Dispersioonanalüüsi meetodil testitakse statistilisi hüpoteese mitme normaaljaotusega üldpopulatsiooni keskmiste kohta.

Dispersioonanalüüs on üks peamisi katse tulemuste statistilise hindamise meetodeid. Üha enam kasutatakse seda ka majandusinfo analüüsimisel. Dispersioonanalüüs võimaldab kindlaks teha, kuivõrd on efektiivsete ja faktormärkide vahelise seose selektiivsed näitajad piisavad, et levitada valimist saadud andmeid üldkogumisse. Selle meetodi eeliseks on see, et see annab väikestest proovidest üsna usaldusväärseid järeldusi.

Uurides saadud atribuudi varieerumist ühe või mitme teguri mõjul, kasutades dispersioonanalüüsi, on võimalik saada lisaks üldistele hinnangutele sõltuvuste olulisuse kohta ka hinnang keskmiste väärtuste erinevustele. kujunevad tegurite erinevatel tasanditel ning tegurite koosmõju olulisust. Dispersioonanalüüsi kasutatakse nii kvantitatiivse kui ka sõltuvuste uurimiseks kvalitatiivsed omadused, samuti nende kombinatsioon.

Selle meetodi olemus on statistiline uuringühe või mitme teguri mõju tõenäosus, samuti nende koostoime efektiivsele tunnusele. Vastavalt sellele lahendatakse dispersioonanalüüsi abil kolm peamist ülesannet: 1) üldskoor rühmade keskmiste erinevuste olulisus; 2) tegurite koosmõju tõenäosuse hindamine; 3) keskmiste paaride vaheliste erinevuste olulisuse hindamine. Kõige sagedamini peavad teadlased selliseid probleeme lahendama väli- ja zootehniliste katsete tegemisel, kui uuritakse mitme teguri mõju tekkivale tunnusele.

Dispersioonanalüüsi põhimõtteline skeem hõlmab resultantatribuudi põhiliste variatsiooniallikate kindlaksmääramist ja variatsiooni mahu (kõrvalekallete summade) määramist selle kujunemise allikate järgi; koguvariatsiooni komponentidele vastavate vabadusastmete arvu määramine; dispersioonide arvutamine vastavate variatsioonimahtude ja nende vabadusastmete arvu suhtena; dispersioonide vaheliste seoste analüüs; keskmiste erinevuse usaldusväärsuse hindamine ja järelduste tegemine.

See skeem säilib nii lihtsates ANOVA mudelites, kui andmed on rühmitatud ühe atribuudi järgi, kui ka keerukates mudelites, kui andmed on rühmitatud kahe ja suur hulk märgid. Rühmatunnuste arvu suurenemisega muutub aga üldise variatsiooni lagunemise protsess vastavalt selle tekkeallikatele keerulisemaks.

Vastavalt elektriskeem dispersioonanalüüsi saab esitada viie järjestikuse etapina:

1) variatsiooni määratlus ja dekomponeerimine;

2) variatsioonivabadusastmete arvu määramine;

3) dispersioonide ja nende vahekordade arvutamine;

4) dispersioonide ja nende vahekordade analüüs;

5) keskmiste erinevuse usaldusväärsuse hindamine ja järelduste tegemine nullhüpoteesi kontrollimisel.

Dispersioonanalüüsi kõige aeganõudvam osa on esimene etapp – variatsiooni defineerimine ja dekomponeerimine selle tekkeallikate järgi. Variatsiooni kogumahu laienemise järjekorda käsitleti üksikasjalikult 5. peatükis.

Dispersioonanalüüsi ülesannete lahendamise aluseks on variatsiooni laienemise (liitumise) seadus, mille järgi üldine varieeruvus Efektiivse atribuudi (kõikumised) jaguneb kaheks: uuritava teguri (tegurite) toimest tulenev variatsioon ja juhuslike põhjuste toimest tingitud varieerumine, st.

Oletame, et uuritav populatsioon jaguneb faktoriatribuudi järgi mitmeks rühmaks, millest igaüht iseloomustab oma keskmine tõhus märk. Samal ajal saab nende väärtuste kõikumist seletada kahte tüüpi põhjustega: need, mis süstemaatiliselt toimivad tõhusale omadusele ja mida on katse käigus kohandatavad ja mida ei saa kohandada. On ilmne, et rühmadevaheline (faktoriaalne või süstemaatiline) varieeruvus sõltub peamiselt uuritava teguri toimest ja grupisisene (jääk- või juhuslik) varieeruvus juhuslike tegurite toimest.

Et hinnata rühmade keskmiste erinevuste olulisust, on vaja määrata rühmadevahelised ja grupisisesed variatsioonid. Kui rühmadevaheline (faktoriaalne) variatsioon ületab oluliselt rühmasisest (jääk)variatsiooni, siis mõjutas tegur saadud tunnust, muutes oluliselt rühma keskmiste väärtusi. Tekib aga küsimus, milline on rühmadevaheliste ja grupisiseste variatsioonide suhe, mida võib pidada piisavaks järelduseks grupi keskmiste erinevuste usaldusväärsuse (olulisuse) kohta.

Keskmiste vaheliste erinevuste olulisuse hindamiseks ja nullhüpoteesi (H0: x1 = x2 = ... = xn) testimise kohta järelduste tegemiseks kasutatakse dispersioonanalüüsis teatud tüüpi standardit - G-kriteeriumi, jaotusseadust. mille asutas R. Fisher. See kriteerium on kahe variatsiooni suhe: faktoriaalne, mis tekib uuritava teguri toimel, ja jääk, mis on tingitud juhuslikest põhjustest:

Dispersioonisuhe r = t>u : £ * 2 tegi Ameerika statistik Snedecor ettepaneku tähistada tähega G dispersioonanalüüsi leiutaja R. Fisheri auks.

°2 ja io2 dispersioonid on dispersiooni hinnangud elanikkonnast. Kui valimid, mille dispersioon on °2 °2, on võetud samast üldpopulatsioonist, kus väärtuste kõikumine oli juhuslik tegelane, siis on ka lahknevus °2 °2 väärtustes juhuslik.

Kui katses kontrollitakse samaaegselt mitme teguri (A, B, C jne) mõju efektiivsele tunnusele, siis peaks igaühe toimest tulenev dispersioon olema võrreldav °e.gP, st

Kui teguri dispersiooni väärtus on oluliselt suurem kui jääk, siis mõjutas tegur oluliselt saadud atribuuti ja vastupidi.

Mitmefaktorilistes katsetes esineb lisaks iga teguri toimest tulenevale variatsioonile peaaegu alati ka variatsioon, mis tuleneb tegurite koostoimest ($av: ^ls ^ss $liіs). Interaktsiooni olemus seisneb selles, et ühe teguri mõju muutub oluliselt erinevad tasemed teine (näiteks mulla kvaliteedi efektiivsus erinevate väetiste annuste korral).

Faktorite koostoimet tuleks hinnata ka vastavate dispersioonide võrdlemisel 3 ^w.gr:

B-kriteeriumi tegeliku väärtuse arvutamisel võetakse lugejas dispersioonidest suurim, seega B > 1. On ilmne, et mida suurem on B-kriteerium, olulisemad erinevused dispersioonide vahel. Kui B = 1, siis dispersioonide erinevuste olulisuse hindamise küsimus eemaldatakse.

Juhuslike kõikumiste piiride määramiseks töötas G. Fisher välja dispersioonide suhte B-jaotuse spetsiaalsed tabelid (lisa 4 ja 5). Kriteerium B on funktsionaalselt seotud tõenäosusega ja sõltub variatsioonivabadusastmete arvust k1 ja k2 kahest võrreldavast dispersioonist. Piirmäära kohta järelduste tegemiseks kasutatakse tavaliselt kahte tabelit kõrge väärtus olulisuse tasemete 0,05 ja 0,01 kriteerium. Olulisuse tase 0,05 (või 5%) tähendab, et ainult viiel juhul 100-st võib kriteerium B omandada väärtuse, mis on võrdne või suurem kui tabelis näidatud. Olulisuse taseme langus 0,05-lt 0,01-le toob kaasa kriteeriumi B väärtuse suurenemise kahe dispersiooni vahel ainult juhuslike põhjuste toime tõttu.

Kriteeriumi väärtus sõltub otseselt ka kahe võrreldava dispersiooni vabadusastmete arvust. Kui vabadusastmete arv kaldub lõpmatuseni (k-me), siis oleks kahe dispersiooni suhe ühtsusele.

Kriteeriumi B tabeliväärtus näitab kahe dispersiooni suhte võimalikku juhuslikku väärtust antud olulisuse tasemel ja vastavat vabadusastmete arvu iga võrreldava dispersiooni korral. Nendes tabelites on B väärtus antud samast üldkogumikust tehtud proovide puhul, kus väärtuste muutuse põhjused on juhuslikud.

G väärtus leitakse tabelitest (lisa 4 ja 5) vastava veeru (vabadusastmete arv suurema dispersiooni korral - k1) ja rea (vabadusastmete arv väiksema dispersiooni korral) lõikekohast. - k2). Seega, kui suurem dispersioon (lugeja G) k1 = 4 ja väiksem (nimetaja G) k2 = 9, on Ga olulisuse tasemel a = 0,05 3,63 (u. 4). Seega võib juhuslike põhjuste toimel, kuna valimid on väikesed, ühe valimi dispersioon 5% olulisuse tasemel ületada teise valimi dispersiooni 3,63 korda. Olulisuse taseme vähenemisel 0,05-lt 0,01-le suureneb kriteeriumi D tabeliväärtus, nagu eespool märgitud. Niisiis, samade vabadusastmete k1 = 4 ja k2 = 9 ja a = 0,01 korral on kriteeriumi G tabeliväärtus 6,99 (u. 5).

Vaatleme dispersioonanalüüsi vabadusastmete arvu määramise protseduuri. Vabadusastmete arv, mis vastab ruuduhälvete kogusummale, jagatakse vastavateks komponentideks sarnaselt ruuduhälvete summade lagunemisega. koguarv vabadusastmed (k") jaotatakse rühmadevaheliste (k1) ja grupisisese (k2) variatsioonide vabadusastmete arvuks.

Nii et kui proovivõtu raam, koosnevad N tähelepanekud jagatud t rühmad (katse valikute arv) ja P alarühmad (korduste arv), siis on vabadusastmete arv k vastavalt:

ja eest kogu summa ruudus hälbed (d7zar)

b) rühmadevaheliste ruutude hälvete summa jaoks ^m.gP)

c) grupisiseste hälvete ruudusumma jaoks sisse w.gr)

Vastavalt lisamise variatsioonireeglile:

Näiteks kui katses moodustati neli katse varianti (m = 4) viie kordusega (n = 5) ja kokku tähelepanekud N = = t o p \u003d 4 * 5 \u003d 20, siis on vabadusastmete arv vastavalt võrdne:

Teades vabadusastmete arvu ruuduhälbete summasid, on võimalik määrata erapooletuid (kohandatud) hinnanguid kolmele dispersioonile:

Kriteeriumi B nullhüpoteesi H0 kontrollitakse samamoodi nagu Studenti u-testiga. H0 kontrollimise otsuse tegemiseks on vaja arvutada kriteeriumi tegelik väärtus ja võrrelda seda aktsepteeritud olulisuse taseme a ja vabadusastmete arvu tabeliväärtusega Ba. k1 ja k2 kahe dispersiooni korral.

Kui Bfakg > Ba, siis vastavalt aktsepteeritud olulisuse tasemele võime järeldada, et valimi dispersioonide erinevusi ei määra mitte ainult juhuslikud tegurid; need on märkimisväärsed. Sel juhul lükatakse nullhüpotees tagasi ja on alust arvata, et tegur mõjutab oluliselt saadud atribuuti. Kui< Ба, то нулевую гипотезу принимают и есть основание утверждать, что различия между сравниваемыми дисперсиями находятся в границах возможных случайных колебаний: действие фактора на результативный признак не является существенным.

Ühe või teise ANOVA mudeli kasutamine sõltub nii uuritavate tegurite arvust kui ka valimi moodustamise meetodist.

Sõltuvalt efektiivse tunnuse varieerumist määravate tegurite arvust võib valimeid moodustada ühest, kahest või enamast tegurist. Selle dispersioonanalüüsi kohaselt jaguneb see ühefaktoriliseks ja mitmefaktoriliseks. Muidu nimetatakse seda ka ühe- ja mitmefaktoriliseks dispersioonikompleksiks.

Üldvariatsiooni lagunemise skeem sõltub rühmade moodustamisest. See võib olla juhuslik (ühe rühma vaatlused ei ole seotud teise rühma vaatlustega) ja mittejuhuslikud (kahe valimi vaatlused on omavahel seotud katse ühiste tingimustega). Vastavalt saadakse sõltumatud ja sõltuvad valimid. Sõltumatuid valimeid saab moodustada nii võrdsete kui ka paaritute arvudega. Sõltuvate valimite moodustamine eeldab nende võrdset arvu.

Kui rühmad on moodustatud mittevägivaldses järjekorras, sisaldab saadud tunnuse variatsiooni kogusumma koos faktoriaalse (rühmadevahelise) ja jääkvariatsiooniga ka korduste varieerumist, st.

Praktikas on enamikul juhtudel vaja arvestada sõltuvaid valimeid, kui rühmade ja alarühmade tingimused on võrdsustatud. Jah, sisse valdkonna kogemus kogu sait on jagatud plokkideks, kus on kõige virivnyanniya tingimused. Ühtlasi saab katse iga variant võrdsed võimalused olla esindatud kõikides plokkides, millega saavutatakse tingimuste võrdsustamine kõikide testitud variantide, kogemuste puhul. Seda kogemuse konstrueerimise meetodit nimetatakse randomiseeritud plokkide meetodiks. Sarnaselt tehakse katseid loomadega.

Sotsiaalmajanduslike andmete töötlemisel dispersioonanalüüsi meetodil tuleb meeles pidada, et tegurite suure hulga ja nende omavaheliste seoste tõttu on isegi kõige hoolikama tingimuste vastavusse viimise korral raske kindlaks teha, kui palju tegureid on. iga üksiku teguri objektiivne mõju efektiivsele omadusele. Seetõttu ei määra jääkvariatsiooni taset mitte ainult juhuslikud põhjused, vaid ka olulised tegurid, mida ANOVA mudeli koostamisel arvesse ei võetud. Seetõttu muutub jääkdispersioon võrdlusalusena mõnikord oma otstarbeks ebapiisavaks, on selgelt ülehinnatud ega saa olla tegurite mõju olulisuse kriteeriumina. Sellega seoses muutub dispersioonanalüüsi mudelite koostamisel tegelik probleem valik kriitilised tegurid ja nende igaühe tegevuse avaldumise tingimuste tasandamine. Pealegi. dispersioonanalüüsi kasutamine eeldab normaalset või sellele lähedast normaaljaotus uurinud statistilisi agregaate. Kui see tingimus ei ole täidetud, on dispersioonanalüüsis saadud hinnangud liialdatud.

Dispersioonanalüüs(ladina sõnast Dispersio - dispersion / inglise keeles Analysis Of Variance - ANOVA) kasutatakse ühe või mitme kvalitatiivse muutuja (teguri) mõju uurimiseks ühele sõltuvale kvantitatiivsele muutujale (vastus).

Dispersioonanalüüs põhineb eeldusel, et mõnda muutujat saab käsitleda põhjustena (tegurid, sõltumatud muutujad): , ja teisi kui tagajärgi (sõltuvad muutujad). Sõltumatuid muutujaid nimetatakse mõnikord reguleeritavateks teguriteks just seetõttu, et eksperimendis on uurijal võimalus neid varieerida ja saadud tulemust analüüsida.

peamine eesmärk dispersioonanalüüs(ANOVA) uurib keskmiste erinevuste olulisust dispersioonide võrdlemise (analüüsimise) teel. Kogu dispersiooni jagamine mitmeks allikaks võimaldab võrrelda rühmadevahelisest erinevusest tulenevat dispersiooni rühmasisesest varieeruvusest tuleneva dispersiooniga. Kui nullhüpotees on tõene (keskmiste võrdsuse kohta mitmes üldkogumi hulgast valitud vaatlusrühmas), peaks rühmasisese varieeruvusega seotud dispersiooni hinnang olema lähedane hinnangule rühmadevaheline dispersioon. Kui võrrelda lihtsalt kahe valimi keskmisi, annab dispersioonanalüüs sama tulemuse kui tavaline sõltumatu valimi t-test (kui võrdlete kahte sõltumatut objektide või vaatluste rühma) või sõltuva valimi t-test ( kui võrdlete kahte muutujat sama ja sama objektide või vaatluste kogumi kohta).

Dispersioonanalüüsi olemus seisneb uuritava tunnuse summaarse dispersiooni jagamises eraldi komponentideks, tulenevalt konkreetsete tegurite mõjust, ning hüpoteeside kontrollimisest nende tegurite mõju olulisuse kohta uuritavale tunnusele. Võrreldes dispersiooni komponente omavahel Fisheri F-testi abil, on võimalik määrata, kui suur osa saadud tunnuse koguvarieeruvusest on tingitud reguleeritavate tegurite toimest.

Dispersioonanalüüsi lähtematerjaliks on kolme või enama valimi uurimise andmed: , mille arv võib olla nii võrdne kui ka ebavõrdne, nii ühendatud kui ka mitteühendatud. Vastavalt tuvastatud reguleeritavate tegurite arvule võib dispersioonanalüüs olla ühefaktoriline(samal ajal uuritakse ühe teguri mõju katse tulemustele), kahefaktoriline(kahe teguri mõju uurimisel) ja multifaktoriaalne(võimaldab hinnata mitte ainult iga teguri mõju eraldi, vaid ka nende koostoimet).

Dispersioonanalüüs kuulub parameetriliste meetodite rühma ja seetõttu tuleks seda kasutada ainult siis, kui on tõestatud, et jaotus on normaalne.

Dispersioonanalüüsi kasutatakse juhul, kui sõltuvat muutujat mõõdetakse suhtarvude, intervallide või järjekorra skaalal ning mõjutavad muutujad on mittenumbrilised (nimeskaala).

Ülesannete näited

Dispersioonanalüüsiga lahendatavates ülesannetes on arvuline vastus, mida mõjutavad mitmed nominaalse iseloomuga muutujad. Näiteks mitut tüüpi kariloomade nuumratsioonid või kaks pidamisviisi jne.

Näide 1: Nädala jooksul tegutses kolmes erinevas kohas mitu apteegikioski. Tulevikus saame jätta ainult ühe. Tuleb välja selgitada, kas kioskites on narkootikumide müügimahtudel statistiliselt oluline erinevus. Kui jah, siis valime välja suurima keskmise päevase müügimahuga kioski. Kui müügimahu erinevus osutub statistiliselt ebaoluliseks, siis peaks kioski valikul lähtuma muudest näitajatest.

Näide 2: Rühmakeskmiste kontrastide võrdlus. Seitse poliitilist kuuluvust on järjestatud äärmiselt liberaalsest kuni äärmiselt konservatiivseni ning lineaarset kontrasti kasutatakse selleks, et testida, kas rühmade keskmistes on nullist erinev tõusutrend, st kas keskmine vanus tõuseb oluliselt lineaarselt, kui arvestada aastal järjestatud gruppe. suund liberaalsest konservatiivseks.

Näide 3: Kahesuunaline dispersioonanalüüs. Toodete müüginumbrit mõjutab lisaks poe suurusele sageli ka tootega koos olevate riiulite asukoht. See näide sisaldab iganädalasi müüginäitajaid, mida iseloomustavad neli riiulipaigutust ja kolm poe suurust. Analüüsi tulemused näitavad, et mõlemad tegurid - kaubaga riiulite asukoht ja kaupluse suurus - mõjutavad müükide arvu, kuid nende koostoime ei ole märkimisväärne.

Näide 4:Ühemõõtmeline ANOVA: Randomiseeritud kahe töötlusega täisploki disain. Mõju kõigi leivaküpsetamisele võimalikud kombinatsioonid kolm rasva ja kolm taigna rebimist. Neljast võetud neli jahuproovi erinevatest allikatest, toimis blokeerivate teguritena. Rasva-ripperi interaktsiooni olulisus tuleb kindlaks teha. Seejärel määrake kontrastide valimise erinevad võimalused, mis võimaldavad teil teada saada, millised tegurite tasemete kombinatsioonid erinevad.

Näide 5: Segatud efektidega hierarhilise (pesastatud) plaani mudel. Uuritakse nelja juhuslikult valitud tööpinki paigaldatud pea mõju valmistatud klaaskatoodihoidikute deformatsioonile. (Pead on masinasse sisse ehitatud, seega ei saa sama pead erinevatel masinatel kasutada.) Peaefekti käsitletakse juhusliku tegurina. ANOVA statistika näitab, et masinate vahel olulisi erinevusi ei ole, kuid on viiteid sellele, et pead võivad erineda. Kõigi masinate erinevus ei ole märkimisväärne, kuid kahe puhul on erinevus peatüüpide vahel märkimisväärne.

Näide 6:Ühemõõtmeline korduvate mõõtmiste analüüs jagatud proovitüki plaani abil. See katse viidi läbi selleks, et teha kindlaks, milline on inimese ärevuse reitingu mõju eksami sooritamisele neljal järjestikusel katsel. Andmed on korraldatud nii, et neid saab käsitleda kogu andmekogumi alamhulkade rühmadena ("kogu graafik"). Ärevuse mõju ei olnud märkimisväärne, samas kui proovimise mõju oli märkimisväärne.

Meetodite loetelu

Faktoriaalse katse mudelid. Näited: matemaatikaülesannete lahendamise edukust mõjutavad tegurid; müügimahtu mõjutavad tegurid.

Andmed koosnevad mitmest vaatluse (töötluse) seeriast, mida käsitletakse sõltumatute valimite realisatsioonidena. Esialgne hüpotees on, et ravides pole vahet, s.t. eeldatakse, et kõiki vaatlusi võib käsitleda ühe valimina kogu populatsioonist:

Ühefaktoriline parameetriline mudel: Scheffe meetod.
Ühefaktoriline mitteparameetriline mudel [Lagutin M.B., 237]: Kruskal-Wallise test [Hollender M., Wolf D.A., 131], Jonkheeri test [Lagutin M.B., 245].

Konstantsete teguritega mudeli üldjuhtum, Cochrani teoreem [Afifi A., Eisen S., 234].

Andmed on kahekordsed korduvad vaatlused:

Kahefaktoriline mitteparameetriline mudel: Friedmani kriteerium [Lapach, 203], Page’i kriteerium [Lagutin M.B., 263]. Näited: tootmismeetodite efektiivsuse võrdlus, põllumajandustavad.
Kahefaktoriline mitteparameetriline mudel mittetäielike andmete jaoks

Lugu

Kust nimi tuli dispersioonanalüüs? Võib tunduda kummaline, et keskmiste võrdlemise protseduuri nimetatakse dispersioonanalüüsiks. Tegelikult on see tingitud asjaolust, et kahe (või mitme) rühma keskmiste erinevuse statistilist olulisust uurides me tegelikult võrdleme (analüüsime) näidiserinevused. Pakutakse välja dispersioonanalüüsi põhikontseptsioon Fisher aastal 1920. Võib-olla oleks loomulikum termin ruutude summaanalüüs või variatsioonianalüüs, kuid traditsioonist tulenevalt kasutatakse terminit dispersioonanalüüs. Algselt töötati välja dispersioonanalüüs spetsiaalselt kavandatud katsete käigus saadud andmete töötlemiseks ja seda peeti ainsaks meetodiks, mis õigesti uurib põhjuslikke seoseid. Meetodit kasutati taimekasvatuse katsete hindamiseks. Hiljem selgus dispersioonanalüüsi üldine teaduslik tähendus psühholoogia, pedagoogika, meditsiini jne eksperimentide jaoks.

Kirjandus

Sheff G. Dispersioonianalüüs. - M., 1980.
Ahrens H. Leiter Yu. Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs.
Kobzar A.I. Rakendatud matemaatika statistika. - M.: Fizmatlit, 2006.
Lapach S. N., Tšubenko A. V., Babich P. N. Statistika teaduses ja ettevõtluses. - Kiiev: Morion, 2002.
Lagutin M. B. Visuaalne matemaatiline statistika. Kahes köites. - M.: P-keskus, 2003.
Afifi A., Eisen S. Statistiline analüüs: Arvutipõhine lähenemine.
Hollender M., Wolf D.A. Statistika mitteparameetrilised meetodid.

Lingid

Dispersioonianalüüs - Elektrooniline õpik statsoft.

Keskmised ruudud ja s R 2 on sõltuva muutuja erapooletud hinnangud, mis on ajendatud vastavalt regressiooni- või selgitavast muutujast X ja arvesse võtmata juhuslike tegurite ja vigade mõju; m on hinnanguliste regressiooniparameetrite arv, n on vaatluste arv. Sõltuva ja selgitava (faktoriaalse) muutuja vahelise lineaarse seose puudumisel on juhuslikel suurustel ja s R 2 vastavalt 2 - jaotus, m-1 ja n-m vabadusastmed ja nende suhe F on samade vabadusastmetega jaotus. Seetõttu on regressioonivõrrand oluline tasemel, kui statistika tegelikult vaadeldud väärtus ületab tabeli väärtust:

(5.11),

kus on F tabeliväärtus – Fisher – Snedekori test, mis on määratud olulisuse tasemel at k1 = m-1 ja k2 = n-m vabadusastmed.

Arvestades väärtuste ja s R 2 tähendust, võime öelda, et F väärtus näitab, mil määral hindab regressioon sõltuva muutuja väärtust selle keskmisest paremini.

Leiliruumi puhul lineaarne regressioon m = 2 ja regressioonivõrrand on oluline tasemel, kui

(5.12)

Regressioonijoone olulisuse mõõtmiseks võib kasutada järgmist suhet:

kus ŷ i -i-e võrdsustatud väärtus; - keskmine aritmeetilised väärtused y i ; σ y.x – ruutkeskmine viga (ligikaudne viga) regressioonivõrrand, arvutatud alates tuntud valem; n on võrreldavate tunnuste väärtuste paaride arv; m on faktori tunnuste arv.

Tõepoolest, seos on seda suurem, mida olulisem on regressioonist tingitud tunnuse hajuvuse mõõt, mis ületab tegelike väärtuste ja tasandatud väärtuste kõrvalekallete hajumise mõõdet.

See suhe võimaldab meil lahendada regressioonivõrrandi kui terviku olulisuse, st reaalse elu olemasolu. statistiline sõltuvus muutujate vahel. Regressioonivõrrand on oluline, st märkide vahel on statistiline seos, kui antud tase olulisust, ületab Fisheri kriteeriumi F arvutatud väärtus kriitilist väärtust F cr , mis asub spetsiaalse statistilise tabeli m-nda veeru ja rea ristumiskohas, mida nimetatakse Fisheri F-kriteeriumi väärtuste tabeliks. ”.

Näide. Kasutame Fisheri kriteeriumi, et hinnata viimases loengus konstrueeritud regressioonivõrrandi ehk saagi ja elaniku kohta külvi vahelist seost väljendava võrrandi olulisust.

Asendades Fisheri kriteeriumi arvutamise valemis eelmise näite andmed, saame

Viidates F-jaotuse tabelile P=0,95 (α=1-P=0,5) ja võttes arvesse, et n-2=21, m-1 =1, ristmike F-testi väärtuste tabelis 1. veerust ja 21. reast leiame kriitilise väärtuse F cr, mis on võrdne 4,32 usaldusväärsusastmega P=0,95. Kuna F-kriteeriumi arvutatud väärtus ületab oluliselt F cr väärtust, on avastatud lineaarne seos oluline, st a priori hüpotees olemasolu kohta. lineaarne ühendus kinnitatud. Järeldus tehti usaldusväärsuse astmega P=0,95. Saab kontrollida, et väljund sisse sel juhul jääb samaks, kui usaldusväärsust suurendada väärtuseni P=0,99 (vastav F cr =8,02 väärtus olulisuse tasemele α=0,01).

Määramiskoefitsient. F-kriteeriumi abil oleme tuvastanud, et on olemas lineaarne sõltuvus teraviljasaagi ja elaniku kohta külvatud koguse vahel. Seetõttu võib väita, et teraviljasaagi kogus elaniku kohta sõltub lineaarselt külvi kogusest elaniku kohta. Nüüd on asjakohane esitada täpsustav küsimus – kuivõrd määrab külvi hulk elaniku kohta teraviljasaagi koguse elaniku kohta? Sellele küsimusele saab vastata, kui arvutada, milline osa saadud tunnuse variatsioonist on seletatav faktortunnuse mõjuga. Seda eesmärki täidab määramisindeks (või koefitsient) R 2 , mis võimaldab hinnata regressioonis arvessevõetava hajumise osa efektiivse atribuudi koguhajuvuses. Määramiskoefitsient, mis võrdub faktoriaalse variatsiooni ja tunnuse koguvariatsiooni suhtega, võimaldab hinnata, kui "edukalt" on valitud reaalset statistilist sõltuvust kirjeldav funktsiooni tüüp.

Kui determinatsioonikordaja R 2 on teada, võib regressioonivõrrandi olulisuse kriteeriumi või determinatsioonikordaja enda (Fisheri kriteerium) kirjutada järgmiselt:

Fisheri kriteerium võimaldab hinnata ka kaasamise kasulikkust täiendavad tegurid võrrandi mudelisse mitmekordne lineaarne regressioon.

Ökonomeetrias peale üldine kriteerium Fisher, seda mõistet kasutatakse ka privaatne kriteerium . Osaline F-kriteerium näitab täiendava sõltumatu muutuja mõju astet saadud atribuudile ja seda saab kasutada otsustamisel, kas see sõltumatu muutuja võrrandisse lisada või sellest välja jätta.

Varem konstrueeritud kahefaktorilise regressioonivõrrandiga seletatava tunnuse hajuvuse saab laotada kahte tüüpi: 1) tunnuse hajumine sõltumatust muutujast x 1 ja 2) tunnuse hajumine sõltumatu muutuja tõttu. x 2, kui x 1 on võrrandis juba kaasatud. Esimene komponent vastab atribuudi levikule, mida seletatakse võrrandiga, mis sisaldab ainult muutujat x 1 . Paaripõhisest lineaarsest regressioonivõrrandist tuleneva tunnuse hajumise ja kahesuunalisest lineaarsest regressioonivõrrandist tuleneva tunnuse hajumise erinevus määrab ära selle hajumise osa, mida seletatakse täiendava sõltumatu muutujaga x 2 .

Määratud erinevuse ja tunnuse hajumise suhe, mida regressiooniga ei seletata, on väärtus privaatne kriteerium. Konkreetset F-testi nimetatakse ka järjestikuseks, kui statistilised omadused konstrueeritakse, lisades järjestikku regressioonivõrrandisse muutujaid.

Näide. Hinnake regressioonivõrrandisse lisamuutuja "tootlus" lisamise kasulikkust (vastavalt eelnevalt vaadeldud näidete andmetele ja tulemustele).

Võrrandiga seletatava tunnuse hajuvus mitmekordne regressioon ja arvutatuna võrdsustatud väärtuste ja nende keskmise ruudu erinevuste summana, on 1623,8815. Atribuudi levik, mida seletatakse lihtsa regressioonivõrrandiga, on 1545,1331.

Tunnuse hajuvus, mida regressiooniga ei seletata, määratakse keskmise ruuduga ruutviga võrrand ja on võrdne 10,9948.

Neid omadusi kasutades arvutame privaatse F-kriteeriumi

Usaldusväärsuse tasemega 0,95 (α = 0,05) on tabeli väärtus F (1,20), st väärtus tabeli 1. veeru ja 20. rea ristumiskohas. 4A rakendus, võrdne 4,35-ga. F-kriteeriumi arvutuslik väärtus ületab oluliselt tabeliväärtust ja seetõttu on muutuja “tootlus” lisamine võrrandisse mõttekas.

Seega on varem tehtud järeldused regressioonikoefitsientide kohta üsna õigustatud.

4 õppeküsimus. Regressioonivõrrandi üksikute parameetrite olulisuse hindamine Studenti t-testi abil.

Väga sageli on ökonomeetrias vaja hinnata korrelatsioonikordaja olulisust r, see tähendab, et teha kindlaks, kui oluline on korrelatsioonikordaja erinevus nullist (näiteks kui analüüsida multikollineaarsust ja hinnata mitmekordse regressioonivõrrandi tegurite vahelisi paariskorrelatsioonikordajaid).

Samas eeldatakse, et korrelatsiooni puudumisel statistika t,

Sellel on t-Õpilaste jaotus (n-2) vabadusastmega.

Korrelatsioonikordaja r xy on oluline tasemel , (vastasel juhul lükatakse tagasi hüpotees Н 0 üldise korrelatsioonikordaja võrdsuse kohta nulliga), kui

(5.13),

Kus on tabeli väärtus t-Õpilase kriteerium, mis määratakse olulisuse tasemel a vabadusastmete arvuga (n-2).

Lineaarse regressiooni korral hinnatakse tavaliselt mitte ainult võrrandi kui terviku, vaid ka selle üksikute parameetrite olulisust. Selleks määratakse iga parameetri jaoks selle standardviga. Selle parameetri olulisuse hindamise protseduur ei erine eespool regressioonikordaja puhul käsitletust; arvutatakse t-kriteeriumi väärtus, selle väärtust võrreldakse tabeli väärtusega (n-2) vabadusastmetel. Regressiooni- ja korrelatsioonikoefitsientide olulisuse hüpoteeside testimine on samaväärne olulisuse hüpoteesi testimisega lineaarvõrrand regressioon.

Järeldus. Niisiis oleme selles loengus kaalunud üldreeglid statistiliste hüpoteeside ja nende kontrollimine praktiline kasutamine regressioonivõrrandite ja nende üksikute parameetrite olulisuse hindamisel Fisheri ja Studenti kriteeriumide abil.

Dispersioonanalüüs

Kursusetöö distsipliini järgi: " Süsteemi analüüs»

Esineja üliõpilane gr. 99 ISE-2 Zhbanov V.V.

Orenburg Riiklik Ülikool

õppejõud infotehnoloogiad

Rakendusinformaatika osakond

Orenburg-2003

Sissejuhatus

Töö eesmärk: tutvuda sellise statistilise meetodiga nagu dispersioonanalüüs.

Dispersioonianalüüs (ladina sõnast Dispersio - dispersioon) - statistiline meetod, mis võimaldab mõju analüüsida erinevaid tegureid uuritavale muutujale. Meetodi töötas välja bioloog R. Fisher 1925. aastal ja seda kasutati algselt taimekasvatuse katsete hindamiseks. Hiljem selgus dispersioonanalüüsi üldine teaduslik tähendus psühholoogia, pedagoogika, meditsiini jne eksperimentide jaoks.

Dispersioonanalüüsi eesmärk on dispersioonide võrdlemise teel testida keskmiste erinevuse olulisust. Mõõdetava atribuudi dispersioon jaotatakse sõltumatuteks terminiteks, millest igaüks iseloomustab konkreetse teguri mõju või nende vastasmõju. Hilisem selliste terminite võrdlemine võimaldab hinnata iga uuritava teguri olulisust ja ka nende kombinatsiooni /1/.

Kui nullhüpotees on tõene (keskmiste võrdsuse kohta mitmes üldpopulatsioonist valitud vaatlusrühmas), peaks grupisisese varieeruvusega seotud dispersiooni hinnang olema lähedane rühmadevahelise dispersiooni hinnangule.

Turu-uuringuid tehes kerkib sageli küsimus tulemuste võrreldavusest. Näiteks viies läbi uuringuid toote tarbimise kohta aastal erinevad piirkonnad riikides, tuleb teha järeldused, kui palju uuringuandmed üksteisest erinevad või ei erine. võrdlema individuaalsed näitajad ei ole mõtet ja seetõttu viiakse võrdlemise ja hilisema hindamise protseduur läbi vastavalt mõnele keskmistatud väärtusele ja kõrvalekalletele sellest keskmistatud hinnangust. Tunnumuse varieerumist uuritakse. Dispersiooni võib võtta kui variatsiooni mõõdikut. Dispersioon σ 2 on variatsiooni mõõt, mis on määratletud kui tunnuse kõrvalekallete keskmine ruudus.

Praktikas tekivad probleemid sageli üldine- mitme üldkogumi valimite keskmiste erinevuste olulisuse kontrollimise ülesanded. Näiteks on vaja hinnata erinevate toorainete mõju toodete kvaliteedile, lahendada probleem väetiste koguse mõjust põllumajandussaaduste saagikusele.

Mõnikord kasutatakse mitme populatsiooni homogeensuse kindlakstegemiseks dispersioonanalüüsi (nende populatsioonide dispersioon on eeldusel ühesugune; kui dispersioonanalüüs näitab, et matemaatilised ootused on samad, siis on populatsioonid selles mõttes homogeensed). Homogeenseid agregaate saab ühendada üheks ja seeläbi saada nende kohta rohkem teavet. täielik teave, seega usaldusväärsemad järeldused /2/.

1 Dispersioonanalüüs

1.1 Dispersioonanalüüsi põhimõisted

Uuritava objekti vaatlemise käigus muutuvad kvalitatiivsed tegurid meelevaldselt või etteantud viisil. Faktori spetsiifilist rakendamist (näiteks teatud temperatuurirežiim, valitud seadmed või materjal) nimetatakse faktori tasemeks või töötlemismeetodiks. Fikseeritud tegurite tasemega ANOVA mudelit nimetatakse mudeliks I, juhuslike teguritega mudelit II mudeliks. Tegurit muutes saab uurida selle mõju vastuse suurusele. Praegu üldine teooria mudelite I jaoks välja töötatud dispersioonanalüüs.

Sõltuvalt tegurite arvust, mis määravad tulemuseks oleva tunnuse variatsiooni, jagatakse dispersioonanalüüs ühe- ja mitmefaktoriliseks.

Peamised skeemid lähteandmete korraldamiseks kahe või enama teguriga on järgmised:

I mudelitele iseloomulik ristklassifikatsioon, milles katse planeerimisel kombineeritakse ühe teguri iga tase teise teguri iga gradatsiooniga;

Mudelile II iseloomulik hierarhiline (pesastatud) klassifikatsioon, milles ühe teguri iga juhuslikult valitud väärtus vastab teise teguri väärtuste alamhulgale.

Kui üheaegselt uurida vastuse sõltuvust kvalitatiivsetest ja kvantitatiivsetest teguritest, s.o. segatüüpi tegurid, siis kasutatakse kovariatsioonianalüüsi /3/.

Seega erinevad need mudelid üksteisest teguri tasemete valiku poolest, mis ilmselt mõjutab eelkõige saadud katsetulemuste üldistamise võimalust. Ühefaktoriliste katsete dispersioonanalüüsi jaoks ei ole nende kahe mudeli erinevus nii oluline, kuid mitme muutujaga dispersioonanalüüsis võib see olla väga oluline.

Dispersioonanalüüsi tegemisel tuleb järgida järgmisi statistilisi eeldusi: sõltumata teguri tasemest on vastuse väärtustel normaalne (Gaussi) jaotuse seadus ja sama dispersioon. Seda dispersioonide võrdsust nimetatakse homogeensuseks. Seega mõjutab töötlemismeetodi muutmine ainult vastuse juhusliku suuruse asukohta, mida iseloomustab keskmine väärtus ehk mediaan. Seetõttu kuuluvad kõik vastuse vaatlused normaaljaotuste nihkeperekonda.

ANOVA tehnika on väidetavalt "jõuline". See statistikute kasutatav termin tähendab, et neid eeldusi võib mingil määral rikkuda, kuid vaatamata sellele saab tehnikat kasutada.

Kui vastuse väärtuste jaotuse seadus pole teada, kasutatakse mitteparameetrilisi (enamasti järjestatud) analüüsimeetodeid.

Dispersioonanalüüs põhineb dispersiooni jaotamisel osadeks või komponentideks. Rühmitamise aluseks oleva teguri mõjust tulenevat varieerumist iseloomustab rühmadevaheline dispersioon σ 2 . See on ühise keskmise ümber olevate rühmade osaliste keskmiste varieerumise mõõt ja määratakse järgmise valemiga:

kus k on rühmade arv;

n j on ühikute arv j-ndas rühmas;

j-nda rühma erakeskmine;

Üldkeskmine üksuste populatsiooni kohta.

Teiste tegurite mõjust tingitud varieerumist iseloomustab igas rühmas grupisisese dispersiooniga σ j 2 .

vahel kogu dispersioonσ 0 2, grupisisene dispersioon σ 2 ja rühmadevaheline dispersioon on seos:

σ 0 2 = + σ 2 .

Grupisisene dispersioon selgitab rühmitamisel arvesse võtmata tegurite mõju ja rühmadevaheline dispersioon grupeerimistegurite mõju grupi keskmisele /2/.

1.2 Ühesuunaline dispersioonanalüüs

Ühefaktorilisel dispersioonimudelil on vorm:

x ij = μ + F j + ε ij , (1)

kus x ij on uuritava muutuja väärtus, mis on saadud i-s tase tegur (i=1,2,...,m) j-ndaga seerianumber(j = 1,2,...,n);

F i on teguri i-nda taseme mõjust tulenev mõju;

εij – juhuslik komponent, või häire, mis on põhjustatud kontrollimatute tegurite mõjust, st. variatsioon ühel tasemel.

Dispersioonanalüüsi põhieeldused:

Häiringu ε ij matemaatiline ootus on mis tahes i korral võrdne nulliga, st.

M(eij) = 0; (2)

Häired ε ij on üksteisest sõltumatud;

Muutuja x ij (või häire ε ij) dispersioon on jaoks konstantne

mis tahes i, j, st.

D(ε ij) = σ2; (3)

Muutujal x ij (või häiringul ε ij) on tavaline seadus

jaotused N(0;σ 2).

Faktoritasemete mõju võib olla kas fikseeritud või süstemaatiline (mudel I) või juhuslik (mudel II).

Olgu näiteks vaja välja selgitada, kas mõne kvaliteedinäitaja osas on tootepartiide vahel olulisi erinevusi, s.t. kontrollige ühe teguri – tootepartii – mõju kvaliteedile. Kui uuringusse on kaasatud kõik toorainepartiid, siis on sellise teguri taseme mõju süstemaatiline (mudel I) ning leiud kehtivad ainult nende üksikute partiide kohta, mis uuringusse kaasati. Kui kaasata ainult juhuslikult valitud osa osapooltest, siis on teguri mõju juhuslik (mudel II). Multifaktoriaalsetes kompleksides on võimalik segamudel III, milles mõnel faktoril on juhuslikud tasemed, teised aga fikseeritud.

Toodet olgu m partiid. Igast partiist valiti välja vastavalt n 1, n 2, ..., n m toodet (lihtsuse huvides eeldatakse, et n 1 =n 2 =...=n m =n). Nende toodete kvaliteedinäitaja väärtused on toodud vaatlusmaatriksis:

x 11 x 12 … x 1n

x 21 x 22 … x 2n

…………………… = (x ij), (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n).

x m 1 x m 2 … x mn

On vaja kontrollida tootepartiide mõju nende kvaliteedile.

Kui eeldame, et vaatlusmaatriksi reaelemendid on arvväärtused juhuslikud muutujadХ 1 ,Х 2 ,...,Х m , mis väljendab toodete kvaliteeti ja millel on normaaljaotuse seadus koos matemaatiliste ootustega vastavalt a 1 ,а 2 ,...,а m ja identsete dispersioonidega σ 2 , siis antud ülesanne taandatakse dispersioonanalüüsis läbi viidud nullhüpoteesi H 0: a 1 =a 2 =...= a m kontrollimisele.

Mõne indeksi keskmistamist tähistab siis indeksi asemel tärn (või punkt). keskmine kvaliteet tooted i-th partii või teguri i-nda taseme rühma keskmine on kujul:

kus i * on veergude keskmine väärtus;

Ij on vaatlusmaatriksi element;

n on valimi suurus.

Ja üldine keskmine:

. (5)

Vaatluste x ij ruutude kõrvalekallete summa kogukeskmisest ** näeb välja järgmine:

2 = 2 + 2 +

2 2 . (6)

Q \u003d Q 1 + Q 2 + Q 3.

Viimane tähtaeg on null

kuna muutuja väärtuste kõrvalekallete summa selle keskmisest on võrdne nulliga, s.o.

2 =0.

Esimese termini võib kirjutada järgmiselt:

Tulemuseks on identiteet:

Q = Q 1 + Q 2, (8)

kus – hälvete ruudu summa või summaarne summa;

- grupi ruutude hälvete summa summaarsest keskmisest või rühmadevaheline (faktoriaalne) ruutude summa;

- vaatluste ruutude kõrvalekallete summa grupi keskmistest või grupisisene (jääk) hälbete ruudusumma.

Laiend (8) sisaldab dispersioonanalüüsi põhiideed. Seoses vaadeldava probleemiga näitab võrdsus (8), et kvaliteedinäitaja üldine varieeruvus, mida mõõdetakse summaga Q, koosneb kahest komponendist - Q 1 ja Q 2, mis iseloomustavad selle näitaja varieeruvust partiide vahel (Q 1 ) ja partiide sees varieeruvus (Q 2), mis iseloomustab kõigi partiide sama varieerumist arvestamata tegurite mõjul.

Dispersioonanalüüsis ei analüüsita mitte hälvete ruudu summasid endid, vaid nn keskmisi ruute, mis on vastavate dispersioonide kallutamata hinnangud, mis saadakse ruuduhälvete summade jagamisel vastava astmete arvuga. vabadust.

Vabadusastmete arv on defineeritud kui vaatluste koguarv miinus nendega seotud võrrandite arv. Seetõttu on keskmise ruudu s 1 2 jaoks, mis on rühmadevahelise dispersiooni erapooletu hinnang, vabadusastmete arv k 1 =m-1, kuna selle arvutamisel kasutatakse m rühma keskmisi, mis on omavahel seotud ühe võrrandiga (5). Ja keskmise ruudu s22 puhul, mis on rühmasisese dispersiooni erapooletu hinnang, on vabadusastmete arv k2=mn-m, sest see arvutatakse kõigi mn vaatluste abil, mis on omavahel seotud m võrrandiga (4).

Seega:

Kui leiame keskmiste ruutude matemaatilised ootused ja asendame mudeli parameetrite kaudu nende valemites avaldise xij (1), saame:

(9)

sest võttes arvesse matemaatilise ootuse omadusi

(10)

Mudeli I jaoks, millel on teguri F fikseeritud tasemed, on i (i=1,2,...,m) mittejuhuslikud väärtused, seega

M(S) = 2/(m-1) +σ2.

Hüpotees H 0 saab kuju F i = F * (i = 1,2,...,m), st. teguri kõikide tasandite mõju on ühesugune. Kui see hüpotees vastab tõele

M(S) = M(S) = σ2.

Sest juhuslik mudel II liige F i avaldises (1) on juhuslik väärtus. Tähistades seda dispersiooniga

saame (9)

(11)

ja nagu mudelis I

Tabel 1.1 esitab üldine vorm väärtuste arvutamine dispersioonanalüüsi abil.

Tabel 1.1 – dispersioonanalüüsi põhitabel

Dispersiooni komponendid	Ruudude summa	Vabadusastmete arv	Keskmine ruut	Keskmine ruudu ootus
Rühmadevaheline
Grupisisene

Hüpotees H 0 saab kujul σ F 2 =0. Kui see hüpotees vastab tõele

M(S) = M(S) = σ2.

Nii mudeli I kui ka II mudeli ühefaktorilise kompleksi korral on keskmised ruudud S 2 ja S 2 sama dispersiooni σ 2 erapooletud ja sõltumatud hinnangud.

Seetõttu taandati nullhüpoteesi H 0 testimine erapooletu vahelise erinevuse olulisuse testimiseks. näidishinnangud S ja S dispersioonid σ 2 .

Hüpotees H 0 lükatakse tagasi, kui statistika tegelikult arvutatud väärtus F = S/S on suurem kui kriitiline väärtus F α: K 1: K 2 , mis on määratud olulisuse tasemel α vabadusastmete arvuga k 1 = m-1 ja k 2 =mn-m ning aktsepteeritakse, kui F< F α: K 1: K 2 .

Fisheri F jaotus (x > 0 puhul) on järgmine funktsioon tihedus (= 1, 2, ...; = 1, 2, ...):

kus - vabadusastmed;

G - gamma funktsioon.

Selle probleemiga seoses tähendab hüpoteesi H 0 ümberlükkamine oluliste erinevuste olemasolu erinevate partiide toodete kvaliteedis vaadeldaval olulisuse tasemel.

Ruudude Q 1 , Q 2 , Q arvutamiseks on sageli mugav kasutada järgmisi valemeid:

(12)

(13)

(14)

need. ei ole üldjuhul vaja keskmisi ise leida.

Seega seisneb ühesuunalise dispersioonanalüüsi protseduur hüpoteesi H 0 testimises, et on olemas üks homogeensete katseandmete rühm, võrreldes alternatiiviga, et selliseid rühmi on rohkem kui üks. Homogeensus viitab andmete mis tahes alamhulga keskmiste ja dispersioonide sarnasusele. Sel juhul võivad hälbed olla nii ette teada kui ka teadmata. Kui on alust arvata, et mõõtmiste teadaolev või tundmatu dispersioon on kogu andmestiku ulatuses sama, siis taandatakse ühesuunalise dispersioonanalüüsi ülesanne andmerühmades olevate keskmiste erinevuse olulisuse uurimisele / 1/.

1.3 Mitme muutujaga dispersioon analüüs

Tuleb kohe märkida, et mitmemõõtmelise ja ühefaktorilise dispersioonanalüüsi vahel pole põhimõttelist erinevust. Mitmemõõtmeline analüüs ei muutu ühine loogika dispersioonanalüüs, kuid muudab selle ainult mõnevõrra keerulisemaks, kuna lisaks iga teguri mõju sõltuvale muutujale eraldi arvessevõtmisele tuleks hinnata ka nende mõju. ühistegevus. Seega puudutab uus asi, mida mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs andmeanalüüsi toob, peamiselt võimet hinnata faktoritevahelist interaktsiooni. Siiski on siiski võimalik hinnata iga teguri mõju eraldi. Selles mõttes on mitme muutujaga dispersioonanalüüsi protseduur (selle arvutikasutuse variandis) kahtlemata säästlikum, kuna vaid ühe katsega lahendab see korraga kaks probleemi: hinnatakse iga teguri mõju ja nende koostoimet / 3/.

Üldskeem kahefaktoriline eksperiment, mille andmeid töödeldakse dispersioonanalüüsiga, on kujul:

Joonis 1.1 – Kahefaktorilise katse skeem

Mitmemõõtmelisele dispersioonanalüüsile allutatud andmed märgistatakse sageli tegurite arvu ja nende tasemete järgi.

Eeldusel, et erinevate m partiide kvaliteediprobleemi puhul valmistati tooteid erinevatel t masinatel ja tuleb välja selgitada, kas iga teguri puhul on toodete kvaliteedis olulisi erinevusi:

A - partii tooteid;

B - masin.

Tulemuseks on üleminek kahefaktorilise dispersioonanalüüsi probleemile.

Kõik andmed on esitatud tabelis 1.2, kus ridades - teguri A tasemed A i, veergudes - teguri B tasemed B j ja tabeli vastavates lahtrites on toote kvaliteedinäitaja x ijk väärtused. (i = 1,2, ... ,m; j = 1,2,...,l; k = 1,2,...,n).

Tabel 1.2 – Toote kvaliteedinäitajad


x 11l,…,x11k	x 12l,…,x12k	x 1jl ,…,x 1jk	x 1ll,…,x 1lk
x 2 1l ,…,x 2 1k	x 22l,…,x22k	x 2jl ,…,x 2jk	x 2ll,…,x 2lk

x i1l ,…,x i1k	x i2l,…,x i2k	xijl,…,xijk	xjll ,…, xjlk

x m1l ,…,x m1k	x m2l ,…,x m2k	xmjl,…,xmjk	x mll ,…,x mlk

Kahe teguri dispersioonimudelil on järgmine vorm:

x ijk =μ+F i +G j +I ij +ε ijk , (15)

kus x ijk on vaatluse väärtus lahtris ij arvuga k;

μ - üldine keskmine;

F i - teguri A i-nda taseme mõjust tulenev mõju;

G j - faktori B j-nda taseme mõjust tulenev mõju;

I ij - kahe teguri koosmõjust tulenev mõju, s.o. lahtri ij vaatluste keskmisest kõrvalekalle mudeli (15) esimese kolme liikme summast;

ε ijk – häire, mis on tingitud muutuja varieerumisest ühes lahtris.

Eeldatakse, et ε ijk on normaaljaotusega N(0; с 2) ja kõik matemaatilised ootused F * , G * , I i * , I * j on võrdsed nulliga.

Grupi keskmised leitakse valemite abil:

Lahtris:

rea järgi:

veeru järgi:

üldine keskmine:

Tabelis 1.3 on esitatud üldine vaade väärtuste arvutamisest dispersioonanalüüsi abil.

Tabel 1.3 – dispersioonanalüüsi põhitabel

Dispersiooni komponendid	Ruudude summa	Vabadusastmete arv	Keskmised ruudud
Gruppidevaheline (tegur A)
Gruppidevaheline (tegur B)
Interaktsioon
Jääk

Nullhüpoteeside HA, HB, HAB kontrollimine tegurite A, B ja nende koostoime AB mõju puudumise kohta vaadeldavale muutujale AB viiakse läbi suhtarvude , , (mudel I jaoks fikseeritud tegurite tasemega) või seoste , , võrdlemisel. (juhusliku mudeli II jaoks) vastavaga tabeli väärtused F – Fisher-Snedecori kriteerium. Segamudeli III puhul tehakse hüpoteeside testimine fikseeritud tasemega tegurite kohta samamoodi nagu mudelis II ja juhuslike tasemetega tegurite puhul nagu mudelis I.

Kui n=1, s.t. ühe vaatlusega lahtris ei saa kõiki nullhüpoteese testida, kuna Q3 komponent langeb hälvete ruudu summast välja ja koos sellega ka keskmine ruut, kuna sel juhul ei saa kõne alla tulla tegurid.

Arvutustehnika seisukohalt on ruutude Q 1, Q 2, Q 3, Q 4, Q ruutude summade leidmiseks otstarbekam kasutada valemeid:

Q 3 \u003d Q - Q 1 - Q 2 - Q 4.

Kõrvalekaldumine dispersioonanalüüsi põhieeldustest - uuritava muutuja jaotuse normaalsus ja dispersioonide võrdsus rakkudes (kui see ei ole ülemäärane) - ei mõjuta oluliselt dispersioonanalüüsi tulemusi. võrdne arv vaatlusi rakkudes, kuid võib olla väga tundlik, kui nende arv on ebavõrdne. Lisaks suureneb rakkude ebavõrdse arvu vaatluste korral dispersioonanalüüsi aparaadi keerukus järsult. Seetõttu on soovitatav planeerida skeem, millega võrdne arv lahtrites olevaid vaatlusi ja kui andmeid on puudu, siis kompenseerige need teiste lahtrite vaatluste keskmiste väärtustega. Sel juhul aga ei tohiks vabadusastmete arvu arvutamisel arvesse võtta kunstlikult sisestatud puuduvaid andmeid /1/.

2 ANOVA rakendamine aastal erinevaid protsesse ja uurimistööd

2.1 Dispersioonanalüüsi kasutamine rändeprotsesside uurimisel

Ränne on keeruline sotsiaalne nähtus mis määrab suuresti ühiskonna majanduslikud ja poliitilised aspektid. Rändeprotsesside uurimine on seotud huvipakkuvate tegurite väljaselgitamise, töötingimustega rahulolu ja saadud tegurite mõju hindamisega elanikkonna rühmadevahelisele liikumisele.

λ ij = c i q ij a j ,

kus λ ij on üleminekute intensiivsus algsest rühmast i (väljund) uude rühma j (sisend);

c i – grupist i lahkumise võimalus ja võimalus (c i ≥0);

q ij – atraktiivsus uus grupp võrreldes originaaliga (0≤q ij ≤1);

a j – grupi j kättesaadavus (a j ≥0).

ν ij ≈ n i λ ij =n i c i q ij a j. (kuusteist)

Praktikas selleks üksikisik tõenäosus p liikuda teise rühma on väike ja vaadeldava rühma arv n on suur. Sel juhul seadus haruldased sündmused, see tähendab, et piirväärtus ν ij on Poissoni jaotus parameetriga μ=np:

Kui μ suureneb, läheneb jaotus normaalsele. Teisendatud väärtust √ν ij võib pidada normaaljaotuseks.

Kui võtta avaldise (16) logaritm ja teha muutujates vajalikud muudatused, saame dispersioonanalüüsi mudeli:

ln√ν ij =½lnν ij =½(lnn i +lnc i +lnq ij +lna j)+ε ij,

X i,j =2ln√ν ij -lnn i -lnq ij ,

Xi,j =Ci +Aj +ε.

C i ja A j väärtused võimaldavad saada kahesuunalise ANOVA mudeli ühe vaatlusega raku kohta. vastupidine teisendus koefitsiendid c i ja a j arvutatakse C i ja A j põhjal.

Dispersioonanalüüsi tegemisel tuleks efektiivse tunnuse Y väärtusteks võtta järgmised väärtused:

X \u003d (X 1,1 + X 1,2 +: + X mi, mj) / mimj,

kus mimj on matemaatilise ootuse hinnang X i,j ;

X mi ja X mj – vastavalt väljumis- ja sisenemisrühmade arv.

Faktori I tasemed on mi väljumisrühmad, teguri J tasemed on mj sisenemisrühmad. Eeldatakse, et Mi=mj=m. Ülesanne on testida hüpoteese H I ja H J võrdsuste kohta matemaatilised ootused Y väärtused tasemel I i ja tasemetel J j , i,j=1,…,m. Hüpoteesi testimine H I põhineb dispersiooni s I 2 ja s o 2 erapooletute hinnangute väärtuste võrdlemisel. Kui hüpotees H I on õige, siis on väärtusel F (I) = s I 2 /s o 2 Fisheri jaotus vabadusastmete arvuga k 1 =m-1 ja k 2 =(m-1)(m- 1). Antud olulisuse taseme α korral parem käsi kriitiline punkt x pr,α kr. Kui a arvväärtus F (I) väärtuste arv langeb intervalli (x pr, α kr, +∞), siis lükatakse hüpotees H I tagasi ja arvatakse, et tegur I mõjutab efektiivset tunnust. Mõõdetakse selle mõju ulatust vastavalt vaatlustulemustele diskreetimissagedus määramine, mis näitab, milline osa efektiivse tunnuse dispersioonist valimis on tingitud teguri I mõjust sellele Kui F (I) on arv

2.2 Biomeditsiiniliste uuringute andmete matemaatilise ja statistilise analüüsi põhimõtted

Olenevalt ülesandest, materjali mahust ja iseloomust, andmete liigist ja nende seostest on matemaatilise töötlemise meetodite valik nii esialgse (uuringuvalimis jaotuse olemuse hindamiseks) kui ka staadiumis. lõppanalüüs vastavalt uuringu eesmärkidele. Äärmiselt oluline aspekt on valitud vaatlusrühmade, sh kontrollrühmade homogeensuse kontrollimine, mida saab läbi viia kas eksperdi või mitme muutujaga statistika meetoditega (näiteks klasteranalüüsi abil). Kuid esimene samm on koostada küsimustik, mis sisaldab tunnuste standardset kirjeldust. Eriti epidemioloogiliste uuringute läbiviimisel, kus on vaja ühtsust erinevate arstide samade sümptomite mõistmisel ja kirjeldamisel, sealhulgas nende muutuste ulatuse (raskusastme) arvestamisel. Kui algandmete registreerimisel (patoloogiliste ilmingute olemuse subjektiivne hinnang erinevate spetsialistide poolt) ja teabe kogumise etapis võimatus neid ühtsele vormile viia, on nn kovariandi korrigeerimine võimalik. läbi viia, mis hõlmab muutujate normaliseerimist, st. näitajate kõrvalekallete kõrvaldamine andmemaatriksis. "Arvamuste kooskõlastamine" toimub arstide eriala ja kogemusi arvestades, mis võimaldab seejärel nende poolt saadud uuringutulemusi omavahel võrrelda. Selleks saab kasutada mitmemõõtmelist dispersioonanalüüsi ja regressioonanalüüse.

Märgid võivad olla sama tüüpi, mis on haruldased, või erinevat tüüpi. See termin viitab nende erinevatele metroloogilistele hinnangutele. Kvantitatiivsed ehk numbrilised märgid on need, mida mõõdetakse teatud skaalal ning intervallide ja suhete skaaladel (I märkide rühm). Kvalitatiivset, pingerida või punktiarvestust kasutatakse selliste meditsiiniliste terminite ja mõistete väljendamiseks, millel ei ole arvväärtusi (näiteks haigusseisundi tõsidus) ja mida mõõdetakse järjestusskaalal (II märkide rühm). Klassifikatsioon või nominaalne (näiteks elukutse, veregrupp) - neid mõõdetakse nimede skaalal (III märkide rühm).

Paljudel juhtudel püütakse analüüsida äärmiselt suurt hulka tunnuseid, mis peaksid aitama tõsta esitatud valimi infosisu. Kasuliku teabe valik ehk funktsioonide valiku rakendamine on aga absoluutselt vajalik toiming, kuna mis tahes klassifitseerimisprobleemi lahendamiseks tuleb valida selle ülesande jaoks kasulikku informatsiooni kandev info. Juhul, kui teadlane seda mingil põhjusel omal käel ei teosta või puuduvad piisavalt põhjendatud kriteeriumid tunnusruumi mõõtmete vähendamiseks mõtestatud põhjustel, toimub infoliigsuse vastane võitlus juba formaalsete meetoditega. teabe sisu hindamine.

Dispersioonanalüüs võimaldab määrata erinevate tegurite (tingimuste) mõju uuritavale tunnusele (nähusele), mis saavutatakse kogu varieeruvuse (dispersioon, mida väljendatakse üldkeskmisest kõrvalekallete ruudu summana) lagundamisel üksikuteks põhjustatud komponentideks. erinevate varieeruvuse allikate mõjul.

Dispersioonanalüüsi abil uuritakse haiguse ohte riskitegurite olemasolul. Suhtelise riski mõiste hõlmab seost konkreetse haigusega patsientide ja seda mitte põdevate patsientide vahel. Suhteline riskiväärtus võimaldab määrata, mitu korda suureneb haigestumise tõenäosus selle olemasolul, mida saab hinnata järgmise lihtsustatud valemi abil:

kus a on tunnuse olemasolu uuritavas rühmas;

b - tunnuse puudumine uuringurühmas;

c - märgi olemasolu võrdlusrühmas (kontroll);

d - märgi puudumine võrdlusrühmas (kontroll).

Atribuudi riskiskoori (rA) kasutatakse antud riskiteguriga seotud haigestumuse osakaalu hindamiseks:

kus Q on riski markeeriva tunnuse esinemissagedus populatsioonis;

r" - suhteline risk.

Haiguse tekkimist (ilmingut) soodustavate tegurite väljaselgitamine, s.o. riskitegureid saab läbi viia mitmel viisil, näiteks hinnates infosisu koos järgneva märkide järjestamisega, mis aga ei näita valitud parameetrite kumulatiivset mõju, erinevalt regressiooni, faktoranalüüside kasutamisest, mustrituvastuse teooria meetodid, mis võimaldavad saada riskitegurite "sümptomaatilised kompleksid". Lisaks võimaldavad keerukamad meetodid analüüsida kaudseid seoseid riskitegurite ja haiguste vahel /5/.

2.3 Mulla bioanalüüs

Agrotsenoosi sattudes võivad mitmesugused saasteained selles läbi viia mitmesuguseid muutusi, suurendades samal ajal nende toksilist toimet. Sel põhjusel osutusid vajalikuks meetodid agrotsenoosi komponentide kvaliteedi terviklikuks hindamiseks. Uuringud viidi läbi mitmemõõtmelise dispersioonanalüüsi põhjal 11-põllulise tera-heinarea külvikorras. Katses uuriti järgmiste tegurite mõju: mullaviljakus (A), väetissüsteem (B), taimekaitsesüsteem (C). Mulla viljakust, väetisesüsteemi ja taimekaitsesüsteemi uuriti doosides 0, 1, 2 ja 3. Põhilised võimalused olid esindatud järgmiste kombinatsioonidega:

000 - viljakuse esialgne tase, ilma kahjurite, haiguste ja umbrohtude väetisi ja taimekaitsevahendeid kasutamata;

111 - mulla viljakuse keskmine tase, minimaalne väetisedoos, taimede bioloogiline kaitse kahjurite ja haiguste eest;

222 - mulla viljakuse esialgne tase, väetiste keskmine annus, taimede keemiline kaitse umbrohtude eest;

333 - kõrge mullaviljakuse tase, suur väetise annus, taimede keemiline kaitse kahjurite ja haiguste eest.

Uurisime võimalusi, kus on ainult üks tegur:

200 - viljakus:

020 - väetised;

002 - taimekaitsevahendid.

Nagu ka optsioonid erinevate tegurite kombinatsiooniga - 111, 131, 133, 022, 220, 202, 331, 313, 311.

Töö eesmärgiks oli uurida kloroplastide inhibeerimist ja hetkkasvu koefitsienti kui pinnase saastatuse indikaatoreid multifaktoriaalse katse erinevates variantides.

Pardlille kloroplastide fototaksise pärssimist uuriti erinevates mullahorisontides: 0–20, 20–40 cm. Mullaviljakuse koguhajutuse osatähtsus oli 39,7%, väetisesüsteemid - 30,7%, taimekaitsesüsteemid - 30,7%.

Kloroplastide fototaksise pärssimise tegurite koosmõju uurimiseks kasutati erinevaid eksperimentaalsete variantide kombinatsioone: esimesel juhul - 000, 002, 022, 222, 220, 200, 202, 020, teisel juhul - 111, 333, 331, 313, 133, 311, 131.

Kahesuunalise dispersioonanalüüsi tulemused näitavad esimesel juhul interakteeruvate väetise ja taimekaitsesüsteemide olulist mõju fototaksise erinevustele (osatähtsus kogu dispersioonis oli 10,3%). Teisel juhul leiti mulla viljakuse ja väetisesüsteemi koosmõjul olulist mõju (53,2%).

Kolmesuunaline dispersioonanalüüs näitas esimesel juhul kõigi kolme teguri koostoime olulist mõju. Osakaal kogu dispersioonist oli 47,9%.

Hetkekasvukoefitsienti uuriti katse erinevates variantides 000, 111, 222, 333, 002, 200, 220. Katsetamise esimene etapp oli enne herbitsiidide pealekandmist talinisu põllukultuuridel (aprill), teine etapp - pärast seda. herbitsiidide kasutamine (mai) ja viimane - saagikoristuse ajal (juuli). Eeskäijad – päevalill ja mais teraviljaks.

Uute lehtede ilmumist täheldati pärast lühikest viivitusfaasi värske massi täieliku kahekordistumise perioodiga 2–4 päeva.

Kontrollis ja igas variandis arvutati saadud tulemuste põhjal populatsiooni hetkkasvu koefitsient r ning seejärel arvutati lehtede arvu kahekordistumise aeg (t kahekordistumine).

t kahekordistub \u003d ln2 / r.

Nende näitajate arvutamine toimus dünaamikas koos mullaproovide analüüsiga. Andmete analüüs näitas, et pardlillepopulatsiooni kahekordistumise aeg enne mullaharimist oli kõige lühem võrreldes mullaharimisjärgsete ja koristusaegsete andmetega. Vaatluste dünaamikas pakub suuremat huvi mulla reaktsioon pärast herbitsiidi kasutamist ja koristusajal. Esiteks koostoime väetistega ja viljakuse tase.

Mõnikord võib keemiliste preparaatide kasutamisele otsese vastuse saamine olla keeruline preparaadi koostoime tõttu nii orgaaniliste kui ka mineraalväetistega. Saadud andmed võimaldasid jälgida kasutatud preparaatide reaktsiooni dünaamikat kõikides keemiliste kaitsevahenditega variantides, kus indikaatori kasv peatus.

Ühesuunalise dispersioonanalüüsi andmed näitasid iga näitaja olulist mõju pardirohu kasvukiirusele esimesel etapil. Teises etapis oli mullaviljakuse erinevuste mõju 65,0%, väetisesüsteemis ja taimekaitsesüsteemis kumbki 65,0%. Tegurid näitasid olulisi erinevusi variandi 222 ja optsioonide 000, 111, 333 hetkkasvu koefitsiendi keskmises. Kolmandas etapis oli osakaal mullaviljakuse koguhajutusest 42,9%, väetisesüsteemide ja taimekaitsesüsteemide puhul. - igaüks 42,9%. Olulist erinevust täheldati optsioonide 000 ja 111, valikute 333 ja 222 keskmistes väärtustes.

Põldseire võimalustest uuritud mullaproovid erinevad üksteisest fototaksise inhibeerimise poolest. Märgiti viljakustegurite mõju, registreeriti väetisesüsteemi ja taimekaitsevahendite osakaaludega 30,7 ja 39,7% ühefaktorilises analüüsis, kahe- ja kolmefaktorilises analüüsis tegurite koosmõju.

Katsetulemuste analüüs näitas mullahorisontide vahel ebaolulisi erinevusi fototaksise inhibeerimise indikaatori osas. Erinevused on tähistatud keskmiste väärtustega.

Kõikides variantides, kus on taimekaitsevahendeid, on vähem märgata kloroplastide asendi muutusi ja pardipuu kasvupeetust /6/.

2.4 Gripp põhjustab histamiini tootmise suurenemist

Pittsburghi (USA) lastehaigla teadlased on saanud esimesed tõendid selle kohta, et histamiini tase tõuseb ägedate hingamisteede viirusnakkuste korral. Hoolimata asjaolust, et histamiinil on varem väidetud oma rolli ülemiste hingamisteede ägedate hingamisteede infektsioonide sümptomite ilmnemisel.

Teadlasi huvitas, miks paljud inimesed kasutavad külmetushaiguste ja külmetushaiguste eneseraviks antihistamiine, mis paljudes riikides kuuluvad käsimüügiravimite kategooriasse. saadaval ilma arsti retseptita.

Selle uuringu eesmärk oli kindlaks teha, kas eksperimentaalse A-gripiviirusega nakatumise ajal suureneb histamiini tootmine.

15 tervele vabatahtlikule süstiti intranasaalselt A-gripiviirust ja seejärel jälgiti nakkuse arengut. Iga päev koguti haiguse käigus vabatahtlikelt hommikune uriinikogus, seejärel määrati histamiin ja selle metaboliidid ning arvutati histamiini ja selle metaboliitide koguhulk päevas.

Haigus arenes kõigil 15 vabatahtlikul. Dispersioonanalüüs kinnitas oluliselt kõrgemat histamiini taset uriinis viirusnakkuse 2.-5. päeval (p<0,02) - период, когда симптомы «простуды» наиболее выражены. Парный анализ показал, что наиболее значительно уровень гистамина повышается на 2 день заболевания. Кроме этого, оказалось, что суточное количество гистамина и его метаболитов в моче при гриппе примерно такое же, как и при обострении аллергического заболевания.

Selle uuringu tulemused annavad esimese otsese tõendi selle kohta, et ägedate hingamisteede infektsioonide korral on histamiini tase kõrgenenud /7/.

Keemia dispersioonanalüüs

Dispersioonanalüüs on meetodite kogum dispersiooni, st osakeste suuruste omaduste määramiseks hajutatud süsteemides. Dispersioonanalüüs hõlmab erinevaid meetodeid vabade osakeste suuruse määramiseks vedelas ja gaasilises keskkonnas, pooride kanalite suuruse määramiseks peenpoorsetes kehades (sel juhul kasutatakse dispersiooni mõiste asemel poorsuse ekvivalentmõistet), samuti eripind. Mõned dispersioonanalüüsi meetodid võimaldavad saada täieliku pildi osakeste jaotusest suuruse (mahu) järgi, teised aga annavad ainult dispersiooni (poorsuse) keskmise tunnuse.

Esimesse rühma kuuluvad näiteks meetodid üksikute osakeste suuruse määramiseks otsemõõtmise teel (sõelanalüüs, optiline ja elektronmikroskoopia) või kaudsete andmete abil: osakeste settimise kiirus viskoosses keskkonnas (settimisanalüüs gravitatsiooniväljas ja tsentrifuugides) elektrivoolu impulsside tugevus, mis tekivad osakeste läbimisel läbi mittejuhtivas vaheseinas oleva augu (konduktomeetriline meetod).

Teine meetodite rühm ühendab vabade osakeste keskmise suuruse hindamise ning pulbrite ja poorsete kehade eripinna määramise. Osakeste keskmine suurus leitakse hajutatud valguse intensiivsuse (nefelomeetria), ultramikroskoobi, difusioonimeetodite jms abil, eripind leitakse gaaside (aurude) või lahustunud ainete adsorptsiooni, gaasi läbilaskvuse, lahustumiskiiruse järgi, ja muud meetodid. Allpool on toodud erinevate dispersioonanalüüsi meetodite (osakeste suurused meetrites) rakenduspiirid:

Sõela analüüs - 10 -2 -10 -4

Setteanalüüs gravitatsiooniväljas - 10 -4 -10 -6

Konduktomeetriline meetod - 10 -4 -10 -6

Mikroskoopia - 10 -4 -10 -7

Filtreerimismeetod - 10 -5 -10 -7

Tsentrifuugimine - 10 -6 -10 -8

Ultratsentrifuugimine - 10 -7 -10 -9

Ultramikroskoopia - 10 -7 -10 -9

Nefelomeetria - 10 -7 -10 -9

Elektronmikroskoopia - 10 -7 -10 -9

Difusioonimeetod - 10 -7 -10 -10

Dispersioonianalüüsi kasutatakse laialdaselt erinevates teadusvaldkondades ja tööstuslikus tootmises, et hinnata süsteemide (suspensioonid, emulsioonid, soolid, pulbrid, adsorbendid jne) dispersiooni, mille osakeste suurus on alates mitmest millimeetrist (10-3 m) kuni mitme nanomeetrini (10). -9 m) /8/.

2.6 Otsese tahtliku sugestiooni kasutamine ärkvelolekus füüsiliste omaduste kasvatamise meetodis

Füüsiline ettevalmistus on sporditreeningu põhikülg, kuna seda iseloomustavad suuremal määral kui teisi treeningu aspekte füüsilised koormused, mis mõjutavad keha morfoloogilisi ja funktsionaalseid omadusi. Tehnilise ettevalmistuse edukus, sportlase taktika sisu, isiklike omaduste realiseerimine treening- ja võistlusprotsessis sõltub füüsilise vormi tasemest.

Füüsilise ettevalmistuse üks peamisi ülesandeid on kehaliste omaduste kasvatamine. Sellega seoses on vaja välja töötada pedagoogilised vahendid ja meetodid, mis võimaldavad võtta arvesse noorsportlaste ealisi iseärasusi, mis hoiavad nende tervist, ei nõua lisaaega ning stimuleerivad samal ajal füüsiliste omaduste kasvu ning tulemus, sportlikkus. Verbaalse heteromõju kasutamine koolitusprotsessis algkoolitusrühmades on üks paljutõotav selleteemaline uurimisvaldkond.

Inspireeriva verbaalse heteromõju rakendamise teooria ja praktika analüüs tõi välja peamised vastuolud:

Tõendid konkreetsete verbaalse heteromõju meetodite tõhusa kasutamise kohta koolitusprotsessis ja nende kasutamise praktilise võimatuse kohta treeneri poolt;

Otsese tahtliku sugestiooni (edaspidi DSP) tunnistamine ärkvelolekus kui verbaalse heteromõju ühe peamise meetodi treeneri pedagoogilises tegevuses ja teoreetilise põhjenduse puudumine selle kasutamise metoodilistele tunnustele sporditreeningus, ja eriti füüsiliste omaduste kasvatamise protsessis.

Seoses tuvastatud vastuolude ja ebapiisava arenguga määras verbaalse heteromõju meetodite süsteemi kasutamise probleem sportlaste füüsiliste omaduste kasvatamise protsessis eelnevalt kindlaks uuringu eesmärgi - töötada välja ratsionaalsed sihipärased PPV meetodid ärkvelolekus, aidates kaasa algtreeningu rühmade judoistide kehaliste omaduste kasvatamise protsessi parandamisele, lähtudes vaimse seisundi, kehaliste omaduste avaldumise ja dünaamika hindamisest.

PPV eksperimentaalsete meetodite efektiivsuse testimiseks ja määramiseks judomaadlejate füüsiliste omaduste arendamisel viidi läbi võrdlev pedagoogiline eksperiment, milles osales neli rühma - kolm eksperimentaalset ja üks kontroll. Esimeses katserühmas (EG) kasutati PPV M1 tehnikat, teises - PPV M2 tehnikat, kolmandas - PPV M3 tehnikat. Kontrollrühmas (CG) PPV meetodeid ei kasutatud.

PPV meetodite pedagoogilise mõju efektiivsuse määramiseks judokate kehaliste omaduste kasvatamise protsessis viidi läbi ühefaktoriline dispersioonanalüüs.

PPV M1 metoodika mõju aste õppeprotsessis:

Vastupidavus:

a) pärast kolmandat kuud oli 11,1%;

Kiiruse võimed:

a) pärast esimest kuud - 16,4%;

b) pärast teist - 26,5%;

c) pärast kolmandat - 34,8%;

a) pärast teist kuud - 26,7%;

b) pärast kolmandat - 35,3%;

Paindlikkus:

a) pärast kolmandat kuud - 20,8%;

a) peale pedagoogilise põhieksperimendi teist kuud oli metoodika mõjuaste 6,4%;

b) pärast kolmandat - 10,2%.

Sellest tulenevalt leiti PPV M1 meetodit kasutavate füüsiliste omaduste arengutaseme näitajates olulisi muutusi kiirusvõimetes ja jõus, meetodi mõjuaste on antud juhul suurim. Kõige väiksem metoodika mõju oli vastupidavuse, painduvuse ja koordinatsioonivõime kasvatamise protsessis, mis annab alust rääkida PPV M1 meetodi kasutamise ebapiisavast efektiivsusest nende omaduste kasvatamisel.

PPV M2 metoodika mõju aste õppeprotsessis:

Vastupidavus

a) pärast katse esimest kuud - 12,6%;

b) pärast teist - 17,8%;

c) pärast kolmandat - 20,3%.

Kiiruse võimed:

a) pärast kolmandat treeningkuud - 28%.

a) pärast teist kuud - 27,9%;

b) pärast kolmandat - 35,9%.

Paindlikkus:

a) pärast kolmandat treeningkuud - 14,9%;

Koordinatsioonivõimed - 13,1%.

Selle EG ühefaktorilise dispersioonanalüüsi saadud tulemus lubab järeldada, et PPV M2 meetod on vastupidavuse ja jõu arendamisel kõige efektiivsem. See on vähem efektiivne paindlikkuse, kiiruse ja koordinatsioonivõime arendamise protsessis.

PPV M3 metoodika mõju aste haridusprotsessis:

Vastupidavus:

a) pärast esimest katsekuud 16,8%;

b) pärast teist - 29,5%;

c) pärast kolmandat - 37,6%.

Kiiruse võimed:

a) pärast esimest kuud - 26,3%;

b) pärast teist - 31,3%;

c) pärast kolmandat - 40,9%.

a) pärast esimest kuud - 18,7%;

b) pärast teist - 26,7%;

c) pärast kolmandat - 32,3%.

Paindlikkus:

a) pärast esimest - muudatusi pole;

b) pärast teist - 16,9%;

c) pärast kolmandat - 23,5%.

Koordineerimisvõime:

a) pärast esimest kuud muudatusi ei ole;

b) pärast teist - 23,8%;

c) pärast kolmandat - 91%.

Seega näitas ühefaktoriline dispersioonanalüüs, et PPV M3 tehnika kasutamine ettevalmistusperioodil on füüsiliste omaduste kasvatamise protsessis kõige tõhusam, kuna pärast iga pedagoogilise eksperimendi kuud suureneb selle mõju määr. /9/.

2.7 Ägedate psühhootiliste sümptomite leevendamine skisofreeniaga patsientidel atüüpilise antipsühhootikumiga

Uuringu eesmärk oli uurida rispolepti kasutamise võimalust ägeda psühhoosi leevendamiseks patsientidel, kellel on diagnoositud skisofreenia (RHK-10 järgi paranoiline tüüp) ja skisoafektiivne häire. Samal ajal kasutati uuritava peamise kriteeriumina psühhootiliste sümptomite püsimise kestuse indikaatorit farmakoteraapias rispolepti (põhirühm) ja klassikaliste antipsühhootikumidega.

Uuringu põhieesmärgiks oli määrata psühhoosi (nn netopsühhoos) kestuse näitaja, mille all mõisteti produktiivsete psühhootiliste sümptomite säilimist antipsühhootikumide kasutamise algusest, väljendatuna päevades. See näitaja arvutati eraldi risperidooni rühma ja eraldi klassikalise antipsühhootikumi rühma jaoks.

Koos sellega püstitati ülesandeks määrata risperidooni mõjul produktiivsete sümptomite vähenemise osakaal võrreldes klassikaliste antipsühhootikumidega erinevatel raviperioodidel.

Kokku uuriti 89 patsienti (42 meest ja 47 naist), kellel esinesid ägedad psühhootilised sümptomid skisofreenia (49 patsienti) ja skisoafektiivse häire (40 patsienti) paranoilises vormis.

Esimene episood ja haiguse kestus kuni 1 aasta registreeriti 43 patsiendil, teistel juhtudel täheldati uuringu ajal järgnevaid skisofreeniaepisoode haiguse kestusega üle 1 aasta.

Rispoleptoomravi sai 29 inimest, kelle hulgas oli 15 nn esimese episoodiga patsienti. Ravi klassikaliste neuroleptikumidega sai 60 inimest, kellest 28 inimest oli esimese episoodiga. Rispolepti annus varieerus vahemikus 1 kuni 6 mg päevas ja oli keskmiselt 4 ± 0,4 mg päevas. Risperidooni võeti ainult suu kaudu pärast sööki üks kord päevas õhtul.

Ravi klassikaliste antipsühhootikumidega hõlmas trifluoperasiini (triftasiin) manustamist päevases annuses kuni 30 mg intramuskulaarselt, haloperidooli ööpäevases annuses kuni 20 mg intramuskulaarselt, triperidooli päevases annuses kuni 10 mg suukaudselt. Valdav enamus patsiente kasutas klassikalisi antipsühhootikume monoteraapiana esimese kahe nädala jooksul, seejärel läksid nad vajadusel üle (säilitades luululisi, hallutsinatoorseid või muid produktiivseid sümptomeid) mitme klassikalise antipsühhootikumi kombinatsioonile. Samal ajal jäi põhiravimiks tugevaks valikuliseks meelepette- ja hallutsinatsioonivastase toimega neuroleptikum (näiteks haloperidool või triftasiin), selge hüpnosedatiivse toimega ravim (kloorpromasiin, tisertsiin, kloorprotikseen annustes kuni 50-100 mg / päevas) lisati sellele õhtul.

Klassikalisi antipsühhootikume kasutavas rühmas oli kavas võtta antikolinergilised korrektorid (Parkopan, Cyclodol) annustes kuni 10-12 mg/päevas. Korrektorid määrati selgete ekstrapüramidaalsete kõrvaltoimete ilmnemisel ägeda düstoonia, ravimitest põhjustatud parkinsonismi ja akatiisia kujul.

Tabelis 2.1 on toodud andmed psühhoosi kestuse kohta rispolepti ja klassikaliste antipsühhootikumide ravis.

Tabel 2.1 – psühhoosi ("netopsühhoosi") kestus rispolepti ja klassikaliste antipsühhootikumide ravis

Tabeli andmetest nähtub, et kui võrrelda psühhoosi kestust ravi ajal klassikaliste antipsühhootikumide ja risperidooniga, siis rispolepti mõjul väheneb psühhootiliste sümptomite kestus peaaegu kaks korda. On märkimisväärne, et ei krambihoogude seerianumbri tegurid ega juhtiva sündroomi pildi iseloom ei mõjutanud seda psühhoosi kestuse väärtust. Ehk siis psühhoosi kestuse määras ainult teraapiafaktor, s.t. sõltus kasutatud ravimi tüübist, sõltumata rünnaku seerianumbrist, haiguse kestusest ja juhtiva psühhopatoloogilise sündroomi olemusest.

Saadud seaduspärasuste kinnitamiseks viidi läbi kahefaktoriline dispersioonanalüüs. Seejuures võeti kordamööda arvesse teraapiafaktori ja rünnaku seerianumbri (1. staadium) koostoimet ning teraapiafaktori ja juhtivsündroomi iseloomu (2. etapp) koostoimet. Dispersioonanalüüsi tulemused kinnitasid teraapiafaktori mõju psühhoosi kestusele (F=18,8) rünnakute arvuteguri (F=2,5) ja psühhopatoloogilise sündroomi tüüpi teguri (F=1,7) mõju puudumisel. ). Oluline on, et puudus ka teraapiafaktori ja hoogude arvu ühine mõju psühhoosi kestusele, samuti teraapiafaktori ja psühhopatoloogilise sündroomi teguri ühine mõju.

Seega kinnitasid dispersioonanalüüsi tulemused ainult kasutatud antipsühhootikumi faktori mõju. Rispolept viis ühemõtteliselt psühhootiliste sümptomite kestuse vähenemiseni võrreldes traditsiooniliste antipsühhootikumidega umbes 2 korda. On oluline, et see toime saavutati vaatamata rispolepti suukaudsele manustamisele, samas kui klassikalisi antipsühhootikume kasutati enamikul patsientidest parenteraalselt /10/.

2.8 Uhkete lõngade koolutamine heidetava efektiga

Kostroma Riiklik Tehnikaülikool on välja töötanud uue kujuga keermestruktuuri, millel on erinevad geomeetrilised parameetrid. Sellega seoses tekib ettevalmistavas tootmises väljamõeldud lõnga töötlemise probleem. See uurimus oli pühendatud väänamisprotsessile järgmistel teemadel: pinguti tüübi valimine, mis tagab pinge minimaalse leviku ja pinge joondamine, erineva joontihedusega keermed piki kõverdusvõlli laiust.

Uurimisobjektiks on linase kujuga niit nelja joontihedusega 140 kuni 205 tex. Uuriti kolme tüüpi pingutusseadmete tööd: portselanseib, kahetsooniline NS-1P ja ühetsooniline NS-1P. Koolutamismasinaga SP-140-3L viidi läbi eksperimentaalne kooldusniitide pingeuuring. Koolutuskiirus, piduriketaste kaal vastas lõnga koolutamise tehnoloogilistele parameetritele.

Kujundatud keerme pinge sõltuvuse geomeetrilistest parameetritest koolutamise ajal uurimiseks viidi läbi kahe teguri analüüs: X 1 - efekti läbimõõt, X 2 - efekti pikkus. Väljundparameetrid on pinge Y 1 ja pinge kõikumine Y 2 .

Saadud regressioonivõrrandid on katseandmete jaoks piisavad olulisuse tasemel 0,95, kuna kõigi võrrandite arvutatud Fisheri kriteerium on väiksem kui tabelikriteerium.

Tegurite X 1 ja X 2 mõju määramiseks parameetritele Y 1 ja Y 2 viidi läbi dispersioonanalüüs, mis näitas, et mõju läbimõõt omab suuremat mõju pingetasemele ja kõikumisele. .

Saadud tensogrammide võrdlev analüüs näitas, et minimaalse pinge levimise selle lõnga koolutamisel tagab kahetsooniline pingutusseade NS-1P.

On kindlaks tehtud, et lineaarse tiheduse suurenemisega 105-lt 205 texini suurendab seade NS-1P pingetaset vaid 23%, samas kui portselanseib - 37%, ühetsooniline NS-1P - 53% võrra.

Koolutavate võllide, sh vormitud ja "siledate" keermete moodustamisel on vaja pinguti individuaalselt reguleerida traditsioonilisel meetodil /11/.

2.9 Kaasnev patoloogia hammaste täieliku väljalangemisega eakatel ja seniilsetel inimestel

Uuriti Tšuvašia territooriumil hooldekodudes elavate eakate epidemioloogiliselt täielikku hammaste kaotust ja kaasnevat patoloogiat. Uuring viidi läbi 784 inimese hambaarstiuuringu ja statistiliste kaartide täitmisega. Analüüsi tulemused näitasid hammaste täieliku kaotuse suurt protsenti, mida süvendas keha üldine patoloogia. See iseloomustab uuritavat elanikkonna kategooriat kui suurenenud hambaraviriski rühma ja nõuab kogu nende hambaravisüsteemi ülevaatamist.

Eakatel on haigestumus kaks korda, vanemas eas kuus korda kõrgem võrreldes nooremate inimestega.

Eakate ja seniilsete inimeste peamised haigused on vereringeelundite, närvisüsteemi ja meeleelundite, hingamiselundite, seedeorganite, luude ja liikumisorganite haigused, kasvajad ja vigastused.

Uuringu eesmärk on välja töötada ja saada teavet hammaste täieliku väljalangemisega eakate ja seniilsete inimeste kaasuvate haiguste, proteesimise efektiivsuse ja ortopeedilise ravi vajaduse kohta.

Kokku uuriti 784 inimest vanuses 45–90 aastat. Naiste ja meeste suhe on 2,8:1.

Statistilise seose hindamine Pearsoni järgu korrelatsioonikordaja abil võimaldas kindlaks teha hammaste puudumise vastastikust mõju kaasuvale haigestumusele usaldusväärsuse tasemega p=0,0005. Täieliku hammaste väljalangemisega eakad patsiendid kannatavad vanadusele iseloomulike haiguste, nimelt aju ateroskleroosi ja hüpertensiooni all.

Dispersioonanalüüs näitas, et haiguse spetsiifilisus mängib uuritavates tingimustes otsustavat rolli. Nosoloogiliste vormide roll erinevatel vanuseperioodidel jääb vahemikku 52-60%. Suurimat statistiliselt olulist mõju hammaste puudumisele põhjustavad seedesüsteemi haigused ja suhkurtõbi.

Üldiselt oli 75–89-aastaste patsientide rühmale iseloomulik suur hulk patoloogilisi haigusi.

Selles uuringus viidi läbi hooldekodudes elavate eakate ja seniilses eas täieliku hammaste väljalangemisega patsientide kaasuvate haiguste esinemissageduse võrdlev uuring. Selle vanuserühma inimeste hulgas avastati suur puuduvate hammaste protsent. Täieliku adentiaga patsientidel täheldatakse sellele vanusele iseloomulikke kaasuvaid haigusi. Ateroskleroos ja hüpertensioon olid uuritavatest enim levinud. Statistiliselt oluline mõju suuõõne seisundile selliste haiguste nagu seedetrakti haigused ja suhkurtõbi, teiste nosoloogiliste vormide osakaal oli vahemikus 52-60%. Dispersioonanalüüsi kasutamine ei kinnitanud soo ja elukoha olulist rolli suuõõne seisundi näitajates.

Seega tuleb kokkuvõtteks märkida, et kaasuvate haiguste leviku analüüs eakatel ja seniilses eas inimeste täieliku hammaste puudumisega inimestel näitas, et see kodanike kategooria kuulub elanikkonna erirühma, kes peaks saama piisavat hambaravi. hooldus olemasolevate hambaravisüsteemide raames /12/ .

3 Dispersioonanalüüs statistiliste meetodite kontekstis

Statistilised analüüsimeetodid on metoodika inimtegevuse tulemuste mõõtmiseks, st kvalitatiivsete tunnuste teisendamiseks kvantitatiivseteks.

Statistilise analüüsi peamised etapid:

Algandmete kogumise plaani koostamine - sisendmuutujate väärtused (X 1 ,...,X p), vaatluste arv n. See samm tehakse siis, kui katse on aktiivselt planeeritud.

Algandmete saamine ja arvutisse sisestamine. Selles etapis moodustatakse arvude massiivid (x 1i ,..., x pi ; y 1i ,..., y qi), i=1,..., n, kus n on valimi suurus.

Esmane statistiline andmetöötlus. Selles etapis koostatakse vaadeldavate parameetrite statistiline kirjeldus:

a) statistiliste sõltuvuste konstrueerimine ja analüüs;

b) korrelatsioonianalüüs on mõeldud tegurite (X 1 ,...,X p) mõju olulisuse hindamiseks vastusele Y;

c) dispersioonanalüüsi kasutatakse mittekvantitatiivsete tegurite (X 1 ,...,X p) mõju hindamiseks vastusele Y, et valida nende hulgast välja olulisemad;

d) regressioonanalüüs on mõeldud vastuse Y analüütilise sõltuvuse määramiseks kvantitatiivsetest teguritest X;

Tulemuste tõlgendamine ülesandekomplekti lõikes /13/.

Tabelis 3.1 on toodud statistilised meetodid, mille abil analüütilisi probleeme lahendatakse. Tabeli vastavad lahtrid sisaldavad statistiliste meetodite rakendamise sagedusi:

Silt "-" - meetodit ei rakendata;

Silt "+" - meetodit rakendatakse;

Silt "++" - meetodit kasutatakse laialdaselt;

Silt "+++" - meetodi rakendamine pakub erilist huvi /14/.

Dispersioonanalüüs, nagu ka Studenti t-test, võimaldab teil hinnata valimi keskmiste erinevusi; erinevalt t-testist ei ole sellel aga piiranguid võrreldavate keskmiste arvule. Seega selle asemel, et küsida, kas kaks valimi keskmist erinevad, saab hinnata, kas kaks, kolm, neli, viis või k keskmist erinevad.

ANOVA võimaldab käsitleda korraga kahte või enamat sõltumatut muutujat (tunnust, tegurit), hinnates mitte ainult igaühe mõju eraldi, vaid ka nendevahelise interaktsiooni mõjusid /15/.

Tabel 3.1 – Statistiliste meetodite rakendamine analüütiliste ülesannete lahendamisel

Ettevõtluse, rahanduse ja juhtimise valdkonnas tekkivad analüütilised ülesanded	Kirjeldava statistika meetodid	Statistiliste hüpoteeside kontrollimise meetodid	Regressioonanalüüsi meetodid	Dispersioonanalüüsi meetodid	Mitmemõõtmelise analüüsi meetodid	Diskriminantanalüüsi meetodid	kobar-nogo	Analüüsimeetodid ellujäämine	Analüüsimeetodid ja prognoos aegrida
Horisontaalse (ajalise) analüüsi ülesanded
Vertikaalse (struktuurse) analüüsi ülesanded
Trendide analüüsi ja prognoosi ülesanded
Suhteliste näitajate analüüsi ülesanded
Võrdleva (ruumi)analüüsi ülesanded
Faktoranalüüsi ülesanded

Enamiku keeruliste süsteemide puhul kehtib Pareto printsiip, mille kohaselt 20% teguritest määravad süsteemi omadused 80% võrra. Seetõttu on simulatsioonimudeli uurija esmaseks ülesandeks ebaoluliste tegurite kõrvaldamine, mis võimaldab vähendada mudeli optimeerimise probleemi dimensiooni.

Dispersioonanalüüs hindab vaatluste kõrvalekaldeid üldisest keskmisest. Seejärel jagatakse variatsioon osadeks, millest igaühel on oma põhjus. Variatsiooni jääkosa, mida ei saa seostada katse tingimustega, loetakse selle juhuslikuks veaks. Olulisuse kinnitamiseks kasutatakse spetsiaalset testi - F-statistikat.

Dispersioonanalüüs määrab, kas mõju on olemas. Regressioonanalüüs võimaldab ennustada vastust (sihtfunktsiooni väärtust) mingis punktis parameetriruumis. Regressioonanalüüsi vahetu ülesanne on hinnata regressioonikordajaid /16/.

Liiga suured valimimahud muudavad statistilise analüüsi keeruliseks, mistõttu on mõistlik valimi suurust vähendada.

Dispersioonanalüüsi rakendades on võimalik tuvastada erinevate tegurite mõju olulisus uuritavale muutujale. Kui mõne teguri mõju osutub ebaoluliseks, võib selle teguri edasisest töötlemisest välja jätta.

Makroökonomeetriad peavad suutma lahendada neli loogiliselt erinevat probleemi:

Andmete kirjeldus;

Makromajanduslik prognoos;

Struktuurne järeldus;

Poliitika analüüs.

Andmete kirjeldamine tähendab ühe või mitme aegrea omaduste kirjeldamist ja nende omaduste edastamist paljudele majandusteadlastele. Makromajanduslik prognoosimine tähendab majanduse käekäigu ennustamist, mis on tavaliselt kaks kuni kolm aastat või vähem (peamiselt seetõttu, et seda on liiga keeruline pikema aja jooksul prognoosida). Struktuurne järeldus tähendab kontrollimist, kas makromajanduslikud andmed on kooskõlas konkreetse majandusteooriaga. Makroökonomeetriline poliitikaanalüüs kulgeb mitmes suunas: ühelt poolt hinnatakse poliitikainstrumentide (näiteks maksumäära või lühiajalise intressimäära) hüpoteetilise muudatuse mõju majandusele, teisalt hinnatakse poliitikainstrumentide (näiteks maksumäära või lühiajalise intressimäära) muutmise mõju majandusele. hinnatakse poliitikareeglite muutumist (näiteks üleminekut uuele rahapoliitilisele režiimile). Empiiriline makromajanduslik uurimisprojekt võib sisaldada ühte või mitut neist neljast ülesandest. Iga ülesanne tuleb lahendada nii, et arvestataks aegridade vahelisi korrelatsioone.

1970. aastatel lahendati neid probleeme erinevate meetoditega, mis tänapäeva positsioonidelt hinnates olid mitmel põhjusel ebaadekvaatsed. Üksikrea dünaamika kirjeldamiseks piisas lihtsalt aegridade ühemõõtmeliste mudelite kasutamisest ning kahe seeria ühisdünaamika kirjeldamiseks spektraalanalüüsist. Mitme aegrea ühiste dünaamiliste omaduste süstemaatiliseks kirjeldamiseks ei leitud aga ühist keelt. Majandusprognoosid tehti kas lihtsustatud autoregressiivse libiseva keskmise (ARMA) mudelite või tol ajal populaarsete suurte struktuursete ökonomeetriliste mudelite abil. Struktuursed järeldused põhinesid kas väikestel ühevõrrandimudelitel või suurtel mudelitel, mille tuvastamine saavutati põhjendamatute välistavate piirangute abil ja mis tavaliselt ei sisaldanud ootusi. Struktuurimudeli poliitika analüüs sõltus neist identifitseerivatest eeldustest.

Lõpuks pidasid paljud hinnatõusu 1970. aastatel suureks tagasilöögiks suurtele mudelitele, mida tol ajal poliitiliste soovituste andmiseks kasutati. See tähendab, et oli õige aeg uue makroökonomeetrilise konstruktsiooni tekkeks, mis suudaks need paljud probleemid lahendada.

1980. aastal loodi selline konstruktsioon – vektorautoregressioonid (VAR). Esmapilgul pole VAR midagi muud kui ühemõõtmelise autoregressiooni üldistus mitme muutujaga juhtumile ja iga VAR-i võrrand pole midagi muud kui ühe muutuja lihtne vähimruutude regressioon enda ja teiste VAR-i muutujate hilinenud väärtustele. Kuid see pealtnäha lihtne tööriist võimaldas süstemaatiliselt ja sisemiselt järjekindlalt tabada mitme muutujaga aegridade rikkalikku dünaamikat ning VAR-iga kaasas olev statistiline tööriistakomplekt osutus mugavaks ja mis väga oluline, kergesti tõlgendatavaks.

Seal on kolm erinevat VAR mudelit:

Vähendatud VAR vorm;

Rekursiivne VAR;

Struktuurne VAR.

Kõik kolm on dünaamilised lineaarsed mudelid, mis seovad n-mõõtmelise aegrea Y t vektori praeguseid ja varasemaid väärtusi. Vähendatud vorm ja rekursiivsed VAR-id on statistilised mudelid, mis ei kasuta muid majanduslikke kaalutlusi peale muutujate valiku. Neid VAR-e kasutatakse andmete ja prognooside kirjeldamiseks. Struktuurne VAR sisaldab makromajandusteooriast tuletatud piiranguid ja seda VAR-i kasutatakse struktuursete järelduste tegemiseks ja poliitika analüüsiks.

Ülaltoodud VAR-i vorm väljendab Y t jaotatud mineviku viivitusena pluss seeriaviisiliselt korrelatsioonita veatermin, see tähendab, et see üldistab ühe muutujaga autoregressiooni vektorite puhul. VAR-mudeli matemaatiliselt taandatud vorm on n võrrandi süsteem, mille saab kirjutada maatriksi kujul järgmiselt:

kus  on n l konstantide vektor;

A 1 , A 2 , ..., A p on n n koefitsiendi maatriksit;

 t , on järjestikku korrelatsioonita vigade nl vektor, mille keskmine väärtus on null ja kovariatsioonimaatriks .

Vead  t punktis (17) on Y t ootamatu dünaamika, mis jääb alles pärast mineviku väärtuste lineaarse jaotatud viivituse arvessevõtmist.

Vähendatud VAR-vormi parameetrite hindamine on lihtne. Kõik võrrandid sisaldavad samu regressoreid (Y t–1 ,...,Y t–p) ja võrrandite vahel ei ole vastastikusi piiranguid. Seega lihtsustatakse efektiivne hinnang (maksimaalse tõenäosuse meetod koos täieliku teabega) tavapäraste vähimruutudeni, mida rakendatakse igale võrrandile. Vea kovariatsioonimaatriksit saab mõistlikult hinnata LSM-i jääkidest saadud valimi kovariatsioonimaatriksi abil.

Ainus peensus on viivituse pikkuse p määramine, kuid seda saab teha teabekriteeriumi, näiteks AIC või BIC abil.

Maatriksvõrrandite tasemel näevad rekursiivne ja struktuurne VAR välja ühesugused. Need kaks VAR mudelit võtavad selgesõnaliselt arvesse samaaegseid interaktsioone Y t elementide vahel, mis tähendab samaaegse liikme lisamist võrrandi (17) paremale poolele. Seega on rekursiivne ja struktuurne VAR mõlemad esitatud järgmisel üldkujul:

kus  - konstantide vektor;

B 0 ,..., B p - maatriksid;

 t - vead.

Maatriksi B 0 olemasolu võrrandis tähendab n muutuja vahelise samaaegse interaktsiooni võimalust; see tähendab, et B 0 võimaldab teil muuta need muutujad seotud sama ajahetkega, määratletud koos.

Rekursiivset VAR-i saab hinnata kahel viisil. Rekursiivne struktuur annab rekursiivsete võrrandite komplekti, mida saab hinnata vähimruutude meetodil. Samaväärne hindamismeetod on see, et süsteemina vaadeldava redutseeritud vormi (17) võrrandid korrutatakse vasakult alumise kolmnurkmaatriksiga.

Struktuurse VAR-i hindamise meetod sõltub sellest, kuidas täpselt B 0 tuvastatakse. Osalise teabe lähenemisviis hõlmab ühe võrrandi hindamismeetodite, näiteks kaheastmelise vähimruutude kasutamist. Täieliku teabe lähenemine hõlmab mitme võrrandiga hindamismeetodite kasutamist, näiteks kolmeastmelisi vähimruutusid.

Olge teadlik paljudest erinevat tüüpi VAR-idest. VAR-i vähendatud vorm on ainulaadne. See muutujate järjekord Y t-s vastab ühele rekursiivsele VAR-ile, kuid seal on n! sellised korraldused, st. n! mitmesugused rekursiivsed VAR-id. Struktuursete VAR-ide – see tähendab eelduste kogumite, mis tuvastavad muutujate vahelisi samaaegseid seoseid – arvu piirab ainult uurija leidlikkus.

Kuna hinnanguliste VAR-koefitsientide maatrikseid on raske otse tõlgendada, esitatakse VAR-i hinnangutulemused tavaliselt nende maatriksite mõne funktsiooniga. Sellisele statistikale prognoosivigade dekompositsioon.

Prognoositavate vigade dispersiooni laiendused arvutatakse peamiselt rekursiivsete või struktuursete süsteemide jaoks. See dispersiooni dekomponeerimine näitab, kui oluline on viga j-ndas võrrandis i-nda muutuja ootamatute muutuste selgitamiseks. Kui VAR-vead on võrdväärselt korrelatsioonita, saab prognoositava vea dispersiooni h perioodi ette kirjutada kõigi nendest vigadest tulenevate komponentide summana /17/.

3.2 Faktoranalüüs

Kaasaegses statistikas mõistetakse faktoranalüüsi kui meetodite kogumit, mis võimaldab tunnuste (või objektide) tegelike suhete põhjal tuvastada organisatsiooni struktuuri ja nähtuste ja protsesside arengumehhanismi varjatud üldistavaid tunnuseid. uurimise all.

Määratluses on latentsuse mõiste võtmetähtsusega. See tähendab faktoranalüüsi meetodeid kasutades avalikustatud tunnuste kaudsust. Esiteks käsitleme elementaartunnuste kogumit X j , nende koosmõju eeldab teatud põhjuste, eritingimuste olemasolu, s.t. teatud varjatud tegurite olemasolu. Viimased tekivad elementaarsete tunnuste üldistamise tulemusena ja toimivad integreeritud tunnustena ehk tunnustena, kuid kõrgemal tasemel. Loomulikult ei saa korreleerida mitte ainult triviaalsed tunnused X j, vaid ka vaadeldavad objektid N i ise, seega on varjatud tegurite otsimine teoreetiliselt võimalik nii tunnuse kui ka objektiandmete järgi.

Kui objekte iseloomustab piisavalt suur hulk elementaartunnuseid (m > 3), siis on loogiline ka teine eeldus - tihedate punktide (tunnuste) klastrite olemasolu n objekti ruumis. Samal ajal ei üldista uued teljed mitte X j tunnuseid, vaid vastavalt objekte n i ja varjatud tegurid F r tuvastatakse vaadeldavate objektide koostise järgi:

F r = c 1 n 1 + c 2 n 2 + ... + c N n N ,

kus c i on objekti n i kaal teguris F r.

Sõltuvalt sellest, millist ülaltoodud korrelatsioonitüüpi - elementaarseid tunnuseid või vaadeldavaid objekte - faktoranalüüsis uuritakse, eristatakse R ja Q - andmetöötluse tehnilisi meetodeid.

R-tehnika nimetus on mahuandmete analüüs m tunnuse järgi, mille tulemusena saadakse r tunnuste lineaarset kombinatsiooni (rühma): F r =f(X j), (r=1..m). Analüüsi n vaadeldava objekti läheduse (seotuse) järgi nimetatakse Q-tehnikaks ja see võimaldab määrata objektide r lineaarset kombinatsiooni (rühma): F=f(n i), (i = l .. N).

Praegu lahendatakse praktikas üle 90% probleemidest R-tehnikat kasutades.

Faktoranalüüsi meetodite kogum on praegu üsna suur, see sisaldab kümneid erinevaid lähenemisi ja andmetöötlustehnikaid. Et uurimistöös keskenduda õigele meetodite valikule, on vaja tutvustada nende tunnuseid. Jagame kõik faktoranalüüsi meetodid mitmeks klassifikatsioonirühmaks:

Põhikomponendi meetod. Rangelt võttes ei klassifitseerita seda faktoranalüüsiks, kuigi sellel on sellega palju ühist. Konkreetne on esiteks see, et arvutusprotseduuride käigus saadakse korraga kõik põhikomponendid ja nende arv on algselt võrdne elementaartunnuste arvuga. Teiseks postuleeritakse elementaartunnuste dispersiooni täieliku lagunemise võimalus ehk teisisõnu selle täielik seletus latentsete tegurite (üldistatud tunnuste) kaudu.

Faktoranalüüsi meetodid. Elementaartunnuste dispersioon ei ole siin täielikult selgitatud, tunnistatakse, et osa dispersioonist jääb tunnusena tunnustamata. Tavaliselt tuuakse tegurid välja järjestikku: esimene, mis selgitab elementaartunnuste variatsiooni suurimat osakaalu, siis teine, mis selgitab dispersiooni väiksemat osa, teine pärast esimest varjatud tegurit, kolmas jne. Faktorite väljatõmbamise protsess võib igal sammul katkeda, kui otsustatakse elementaartunnuste seletatava dispersiooni proportsiooni piisavuse üle või arvestatakse varjatud tegurite tõlgendatavust.

Soovitav on faktoranalüüsi meetodid täiendavalt jagada kahte klassi: lihtsustatud ja kaasaegsed lähendusmeetodid.

Lihtsaid faktoranalüüsi meetodeid seostatakse peamiselt esialgsete teoreetiliste arengutega. Nende võimalused varjatud tegurite tuvastamiseks ja faktoriaalsete lahenduste lähendamiseks on piiratud. Need sisaldavad:

Ühe teguri mudel. See võimaldab valida ainult ühe üldise latentse ja ühe iseloomuliku teguri. Võimalike olemasolevate muude varjatud tegurite puhul tehakse eeldus nende ebaolulisuse kohta;

kahefaktoriline mudel. Võimaldab mõjutada mitte ühe, vaid mitme varjatud teguri (tavaliselt kahe) ja ühe iseloomuliku teguri elementaarsete tunnuste varieerumist;

tsentroidi meetod. Selles käsitletakse muutujate vahelisi korrelatsioone vektorite kogumina ja varjatud tegurit on geomeetriliselt kujutatud tasakaalustava vektorina, mis läbib selle kimbu keskpunkti. : Meetod võimaldab tuvastada mitmeid varjatud ja iseloomulikke tegureid, esmakordselt saab võimalikuks faktoriaallahenduse korrelatsiooni algandmetega, s.t. lahendada lähendusülesanne kõige lihtsamal kujul.

Kaasaegsed lähendusmeetodid eeldavad sageli, et esimene, ligikaudne lahendus on mõne meetodi abil juba leitud ja seda lahendust optimeeritakse järgmiste sammudega. Meetodid erinevad arvutuste keerukuse poolest. Need meetodid hõlmavad järgmist:

rühma meetod. Lahendus põhineb mingil viisil eelnevalt valitud elementaartunnuste rühmadel;

Peamiste tegurite meetod. See on kõige lähedasem põhikomponentide meetodile, erinevus seisneb tunnuste olemasolu oletuses;

Maksimaalne tõenäosus, minimaalsed jäägid, a-faktori analüüs, kanooniline faktorianalüüs, kõik optimeerimine.

Need meetodid võimaldavad järjepidevalt täiustada varem leitud lahendusi, mis põhinevad statistiliste võtete kasutamisel juhusliku suuruse või statistiliste kriteeriumide hindamisel ning nõuavad palju aeganõudvaid arvutusi. Kõige lootustandvam ja mugavam selles rühmas töötamiseks on maksimaalse tõenäosuse meetod.

Peamine ülesanne, mis lahendatakse erinevate faktorianalüüsi meetoditega, sealhulgas põhikomponentide meetodiga, on teabe kokkusurumine, üleminek väärtuste kogumilt vastavalt m elementaartunnusele teabehulgaga n x m piiratud arvule. faktorite kaardistamise maatriksi (m x r) või varjatud väärtuste maatriksi elementide kogum iga vaadeldava objekti jaoks mõõtmetega n x r ja tavaliselt r< m.

Faktoranalüüsi meetodid võimaldavad visualiseerida ka uuritavate nähtuste ja protsesside struktuuri, mis tähendab nende seisundi määramist ja arengu ennustamist. Lõpuks annavad faktoranalüüsi andmed aluse objekti tuvastamiseks, s.t. pildituvastuse probleemi lahendamine.

Faktoranalüüsi meetoditel on omadused, mis on väga atraktiivsed nende kasutamiseks teiste statistiliste meetodite osana, kõige sagedamini korrelatsioon-regressioonanalüüsis, klasteranalüüsis, mitmemõõtmelises skaleerimises jne /18/.

3.3 Paaritud regressioon. Regressioonimudelite tõenäosuslik olemus.

Kui võtta arvesse probleemi analüüsida toidukulusid sama sissetulekuga rühmades, näiteks $10 000(x), siis on see deterministlik väärtus. Aga Y – toidule kuluv osa sellest rahast – on juhuslik ja võib aasta-aastalt muutuda. Seega iga i-nda isiku kohta:

kus ε i - juhuslik viga;

α ja β on konstandid (teoreetiliselt), kuigi need võivad mudeliti erineda.

Paaripõhise regressiooni eeldused:

X ja Y on lineaarselt seotud;

X on fikseeritud väärtustega mittejuhuslik muutuja;

- ε - vead on normaalselt jaotatud N(0,σ 2);

- .

Joonisel 3.1 on kujutatud paarikaupa regressioonimudel.

Joonis 3.1 – Paaritud regressioonimudel

Need eeldused kirjeldavad klassikalist lineaarse regressiooni mudelit.

Kui vea keskmine väärtus on nullist erinev, on algmudel samaväärne uue mudeli ja muu lõikepunktiga, kuid vea keskväärtusega null.

Kui eeldused on täidetud, siis vähimruutude hindajad ja on tõhusad lineaarsed erapooletud hinnangud

Kui me määrame:

asjaolu, et koefitsientide matemaatiline ootus ja dispersioon on järgmine:

Koefitsientide kovariatsioon:

Kui a siis jaotuvad need ka tavaliselt:

Sellest järeldub, et:

Variatsioon β on täielikult määratud variatsiooniga ε;

Mida suurem on X dispersioon, seda parem on β hinnang.

Kogu dispersioon määratakse järgmise valemiga:

Selle vormi hälvete dispersioon on erapooletu hinnang ja seda nimetatakse regressiooni standardveaks. N-2 - võib tõlgendada kui vabadusastmete arvu.

Regressioonijoonest kõrvalekallete analüüs võib anda kasuliku mõõdiku selle kohta, kui hästi hinnanguline regressioon tegelikke andmeid peegeldab. Hea regressioon on selline, mis selgitab olulist osa Y dispersioonist ja vastupidi, halb regressioon ei jälgi enamikku algandmete kõikumisest. On intuitiivselt selge, et igasugune lisainformatsioon parandab mudelit, st vähendab seletamatut variatsiooni Y osakaalu. Regressioonimudeli analüüsimiseks jagatakse dispersioon komponentideks ja määratakse determinatsioonikordaja R 2.

Kahe dispersiooni suhe jaotub F-jaotuse järgi, st kui kontrollime mudeli dispersiooni ja jääkide dispersiooni erinevuse statistilist olulisust, võime järeldada, et R 2 on oluline.

Nende kahe valimi dispersioonide võrdsuse hüpoteesi testimine:

Kui hüpotees H 0 (mitme valimi dispersioonide võrdsus) on tõene, on t-l F-jaotus (m 1 ,m 2)=(n 1 -1,n 2 -1) vabadusastmetega.

Arvutades F-suhte kahe dispersiooni suhtena ja võrreldes seda tabeli väärtusega, võime järeldada, et R 2 /2/, /19/ on statistiliselt oluline.

Järeldus

Dispersioonanalüüsi kaasaegsed rakendused hõlmavad paljusid majandus-, bioloogia- ja tehnoloogiaprobleeme ning neid tõlgendatakse tavaliselt statistilise teooria kaudu, mis näitab süstemaatilisi erinevusi teatud muutuvates tingimustes tehtud otsemõõtmiste tulemuste vahel.

Tänu dispersioonanalüüsi automatiseerimisele saab teadlane arvuti abil läbi viia erinevaid statistilisi uuringuid, kulutades samal ajal andmete arvutamisele vähem aega ja vaeva. Praegu on palju tarkvarapakette, mis rakendavad dispersioonianalüüsi seadet. Kõige levinumad tarkvaratooted on:

Enamik statistilisi meetodeid on rakendatud kaasaegsetes statistikatarkvaratoodetes. Algoritmiliste programmeerimiskeelte arenedes sai võimalikuks statistiliste andmete töötlemiseks lisaplokkide loomine.

ANOVA on võimas kaasaegne statistiline meetod eksperimentaalsete andmete töötlemiseks ja analüüsimiseks psühholoogias, bioloogias, meditsiinis ja teistes teadustes. See on väga tihedalt seotud eksperimentaalsete uuringute planeerimise ja läbiviimise spetsiifilise metoodikaga.

Dispersioonanalüüsi kasutatakse kõikides teadusuuringute valdkondades, kus on vaja analüüsida erinevate tegurite mõju uuritavale muutujale.

Bibliograafia

1 Kremer N.Sh. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika. M.: Ühtsus - Dana, 2002.-343s.

2 Gmurman V.E. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika. - M .: Kõrgkool, 2003.-523s.

4 www.conf.mitme.ru

5 www.pedklin.ru

6 www.webcenter.ru

7 www.infections.ru

8 www.encycl.yandex.ru

9 www.infosport.ru

10 www.medtrust.ru

11 www.flax.net.ru

12 www.jdc.org.il

13 www.big.spb.ru

14 www.bizcom.ru

15 Gusev A.N. Dispersioonanalüüs eksperimentaalpsühholoogias. - M .: Haridus- ja metoodiline koguja "Psühholoogia", 2000.-136s.

17 www.econometrics.expponenta.ru

18 www.optimizer.by.ru